Класична та статистична ймовірність. Статистичне визначення ймовірності Випадкова подія визначення ймовірності статистичне та класичне

Імовірність поводиться, коли той самий випадковий експеримент проводиться багато разів, причому отже результати вже проведених експериментів не впливають наступні. За цих умов частота настання події при необмеженому зростанні числа експериментів прагне ймовірності події.

Розглянемо випадковий експеримент, який полягає в тому, що підкидається гральна кістка, виготовлена ​​з неоднорідного матеріалу. Її центр тяжкості не знаходиться у геометричному центрі. І тут ми можемо вважати результати (випадання одиниці, двійки тощо.) рівноймовірними. З фізики відомо, що кістка частіше падатиме на ту грань, яка ближче до центру тяжіння. Як визначити ймовірність випадання, наприклад, трьох очок? Єдине, що можна зробити, це підкинути цю кістку nраз (де n-Досить велике число, скажімо n=1000 або n=5000), підрахувати кількість випадань трьох очок n 3і вважати ймовірність результату, що полягає у випаданні трьох очок, що дорівнює n 3/n- Відносна частота випадання трьох очок. Аналогічним чином можна визначити ймовірність інших елементарних результатів - одиниці, двійки, четвірки і т.д.

Класичне визначення ймовірності передбачає, що це елементарні результати рівноможливі. Про рівноможливість результатів досвіду укладають з міркувань симетрії (як і монети чи грального кубика). Завдання, у яких можна виходити з міркувань симетрії, практично зустрічаються рідко. У багатьох випадках важко вказати підстави, що дозволяють вважати, що всі елементарні наслідки рівноможливі. У зв'язку з цим виникла необхідність запровадження ще одного визначення ймовірності, що називається статистичним. Щоб дати визначення, попередньо вводять поняття відносної частоти події.

Визначення 18.2.2. Відносною частотою події, або частотою називається ставлення

числа дослідів, у яких виникла ця подія, до всіх вироблених дослідів. Позначимо частоту події А через W(A),тоді за визначенням W(A)= m/n ,

де m - Число дослідів, в яких з'явилася подія А; n- Число всіх вироблених дослідів.

Частота події має такі властивості.

1. Частота випадкової події є числом, укладеним між нулем

та одиницею:

0< W(A)< 1

2. Частота достовірної події Ω дорівнює одиниці:

W(Ω)= 1

3. Частота неможливої ​​події Ø дорівнює:

W(Ø)=0.

4. Частота суми двох несумісних подій А та В дорівнює сумі

частот цих подій:

W(A+ В) = W(A)+ W(B)

Спостереження дозволили встановити, що відносна частота має властивості статистичної стійкості: в різних серіях багаточленних випробувань (у кожному з яких може з'явитися або не з'явитися ця подія) вона набуває значення, досить близька до деякої постійної. цю постійну, яка є об'єктивною числовою характеристикою явища, вважають ймовірністю цієї події.

Визначення 18.2.3. ( Статистичною) ймовірністю події називається число, біля якого групуються значення частоти цієї події в різних серіях великої кількості випробувань.

Суворіше, статистична ймовірність P( w i) визначається як межа відносної частоти появи результату w iу процесі необмеженого збільшення кількості випадкових експериментів n, тобто

де m n(w i) – число випадкових експериментів (із загальної кількості nпроведених випадкових експериментів), у яких зареєстровано появу елементарного результату w i.

У разі статистичного визначення ймовірність має ті ж властивості, що і ймовірність, визначена за класичною схемою:

властивостями: 1) ймовірність достовірної події дорівнює одиниці;

2) ймовірність неможливої ​​події дорівнює нулю; 3) ймовірність

випадкової події укладено між нулем та одиницею; 4) ймовірність

суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

приклад. З 500 взятих навмання деталей виявилося 10 бракованих. Якою є частота бракованих деталей?

W = 10/500 = 1/50 = 0,2

Геометрична ймовірність

Класичне визначення ймовірності передбачає, що кількість елементарних наслідків звісно. Насправді зустрічаються досліди, котрим безліч таких результатів нескінченно.

Щоб подолати нестачу класичного визначення ймовірності, що полягає в тому, що воно не застосовується до випробувань з нескінченним числом результатів, вводять геометричні ймовірності - ймовірності попадання точки в область.

Нехай експеримент полягає у випадковому виборі точки із деякої області. Вважаємо вибір будь-якої точки рівноможливим. Вказану в просторі область позначимо W. В експерименті, пов'язаному з випадковим вибором тільки однієї точки з W, безліч W є простором елементарних подій. Випадковими подіями у разі можна вважати різні підмножини з W. Будемо говорити, що випадкове подія А настало, якщо навмання обрана точка x належить підмножині А, тобто.

Визначення 18.2.4.

Нехай W – певний відрізок, L – його довжина. А – відрізок довжини l,що належить W . Подія А полягає в попаданні точки, кинутої у великий відрізок А. Тоді

Аналогічно, якщо безліччю W елементарних наслідків випадкового експерименту є фігура на площині площі S, а область А, її підмножина, куди може потрапити випадково кинута на W точка, має площу s, відповідна ймовірність події А – потрапляння в область А тоді

І, нарешті, якщо йдеться про об'ємні фігури, відповідно, W обсягу V і області А обсягу v, що входить до неї

Зауваження 18.2.3.. Строго кажучи, підхід, що розглядається тут, вимагає введення більш загальної характеристики (функції) множини – його заходи ( mes(A)), окремими випадками якої є довжина, площа та обсяг, і тоді ймовірність події А буде ставленням міри множини А до міри множини W

Приклад 1. У квадрат вписано коло. Крапка випадково кидається в квадрат. Яка ймовірність того, що вона потрапить до кола? Згідно з наведеною формулою, відповідна ймовірність буде відношенням площі кола до площі квадрата.

Приклад 2. Двоє людей обідають у кафе в обідню перерву, яка починається в них одночасно і триває 1 годину, від 12 до 13 годин. Кожен із них приходить у довільний момент часу та обідає протягом 10 хвилин. Яка ймовірність їхньої зустрічі?

Нехай x- час приходу в кафе першого, а y- Час приходу другого. Зустрітися вони можуть лише тоді, коли обидва перебувають у кафе.

Якщо другий прийшов пізніше першого ( x ³ y), то зустріч відбудеться за умови 0 £ x - y£ 1/6..

Таким чином, у першому випадку нас задовольнятиме умова y£ x+ 1/6, а в другому

y ≥ x- 1/6. Область, що задовольняє цим двом умовам, заштрихована на рис. 2

Іншими словами, у термінах геометричної ймовірності, ймовірність зустрічі є відношення площі заштрихованої смуги між прямими. y= x+ 1/6 та y = x- 1/6 усередині квадрата до площі квадрата.

Шукана ймовірність pдорівнює відношенню площі заштрихованої області до площі всього квадрата. Площа квадрата дорівнює одиниці, а площа заштрихованої області можна визначити як різницю одиниці та сумарної площі двох трикутників, зображених на малюнку 7. Звідси випливає:

Розглянемо випадковий експеримент, який полягає в тому, що підкидається гральна кістка, виготовлена ​​з неоднорідного матеріалу. Її центр тяжкості не знаходиться у геометричному центрі. І тут ми можемо вважати результати (випадання одиниці, двійки тощо.) рівноймовірними. З фізики відомо, що кістка частіше падатиме на ту грань, яка ближче до центру тяжіння. Як визначити ймовірність випадання, наприклад, трьох очок? Єдине, що можна зробити, це підкинути цю кістку n разів (де n-досить велике число, скажімо n=1000 або n=5000), підрахувати число випадань трьох очок n 3 і вважати ймовірність результату, що полягає у випаданні трьох очок, що дорівнює n 3/n – відносній частоті випадання трьох очок. Аналогічним чином можна визначити ймовірність інших елементарних результатів – одиниці, двійки, четвірки тощо. Теоретично такий спосіб дій можна виправдати, якщо запровадити статистичне визначення ймовірності.

Імовірність P(w i) визначається як межа відносної частоти появи результату w i у процесі необмеженого збільшення числа випадкових експериментів n, тобто

де m n (w i) - Число випадкових експериментів (із загальної кількості n вироблених випадкових експериментів), в яких зареєстровано появу елементарного результату w i .

Оскільки тут не наводиться жодних доказів, ми можемо лише сподіватися, що межа в останній формулі існує, обґрунтовуючи надію життєвим досвідом та інтуїцією.

У практиці часто-густо виникають завдання, у яких будь-який інший спосіб визначення ймовірності події, крім статистичного визначення, знайти неможливо чи дуже важко.

Безперервний імовірнісний простір.

Як мовилося раніше раніше, безліч елементарних результатів то, можливо більш, ніж рахунковим (тобто незліченним). Так незліченна безліч наслідків має експеримент, що полягає у випадковому киданні точки на відрізок . Можна собі уявити, що експеримент, що полягає у вимірі температури в заданий момент у заданій точці теж має незліченну кількість результатів (дійсно, температура може прийняти будь-яке значення з деякого проміжку, хоча насправді ми можемо вимірювати її лише з певною точністю, і практична реалізація такого експерименту дасть кінцеве число результатів). У разі експерименту з нечисленною множиною W елементарних результатів не можна вважати будь-яке підмножина множини W подією. Слід зазначити, що підмножини W, які є подіями, є математичними абстракціями і зустрічаються у практичних завданнях. Тому в нашому курсі цей параграф є необов'язковим.

Щоб запровадити визначення випадкової події, розглянемо систему (кінцеву чи лічильну) підмножин простору елементарних результатів W.

У разі виконання двох умов:

1) з власності А цій системі випливає належність цій системі;

2) з належності та цій системі випливає приналежність A i A j цій системі

така система підмножин називається алгеброю.

Нехай W - деяке місце елементарних результатів. Переконайтеся, що дві системи підмножин:

1) W, Æ; 2) W, А, , Æ (тут А-підмножина W) є алгебрами.

Нехай A 1 і A 2 належать до деякої алгебри. Доведіть, що A 1 \ A 2 і належать цій алгебрі.

Назвемо s-алгеброю систему Á підмножин множини W, яка задовольняє умову 1) та умову 2)¢:

2)¢ якщо підмножини А 1 , А 2 ,¼, А n , ¼ належать Á, їх лічильне об'єднання (за аналогією з підсумовуванням це лічильне об'єднання коротко записується формулою ) теж належить Á.

Підмножина А множини елементарних наслідків W є подією, якщо воно належить деякій s-алгебрі.

Можна довести, що якщо вибрати будь-яку лічильну систему подій, що належать деякій s-алгебрі і проводити з цими подіями будь-які прийняті в теорії множин операції (об'єднання, перетин, взяття різниці та доповнення), то результатом буде безліч або подія, що належить тієї ж s- алгебри.

Сформулюємо аксіому, звану аксіомою О.М. Колмогорова.

Кожній події відповідає невід'ємне і не перевищує одиниці число P(А), зване ймовірністю події А, причому функція P(А) має такі властивості:

2) якщо події A 1 , A 2 ,..., A n , ¼ несумісні, то

Якщо заданий простір елементарних наслідків W, алгебра подій і певна на ній функція Р, що задовольняє умовам наведеної аксіоми, то кажуть, що простір ймовірнісний.

Це визначення імовірнісного простору можна перенести на випадок кінцевого простору елементарних результатів W. Тоді як алгебра можна взяти систему всіх підмножин безлічі W.

Геометрична ймовірність

В одному спеціальному випадку дамо правило розрахунку ймовірності події для випадкового експерименту з безліччю результатів.

Якщо між безліччю W елементарних результатів випадкового експерименту і безліччю точок деякої плоскої фігури S (сигма велика) можна встановити взаємно-однозначну відповідність, а також можна встановити взаємно-однозначну відповідність між множиною елементарних результатів, що сприяють події А, і безліччю точок плоскої фігури s ( сигма мала), що є частиною фігури S, то

де s – площа фігури s, S – площа фігури S. Тут, природно, мається на увазі, що фігури S та s мають площі. Зокрема, наприклад, фігура s може являти собою відрізок прямої лінії, з площею, що дорівнює нулю.

Зауважимо, що в цьому визначенні замість плоскої фігури S можна розглядати проміжок S, а замість її частини s – проміжок s, що цілком належить проміжку s, і можливість представляти як відношення довжин відповідних проміжків.

приклад. Двоє людей обідають у їдальні, яка відкрита з 12 до 13 години. Кожен із них приходить у довільний момент часу та обідає протягом 10 хвилин. Яка ймовірність їхньої зустрічі?

Нехай x - час приходу першого до їдальні, а y - час приходу другого.

Можна встановити взаємно-однозначну відповідність між усіма парами чисел (x; y) (або безліччю результатів) і безліччю точок квадрата зі стороною, що дорівнює 1, на координатній площині, де початок координат відповідає числу 12 по осі X і осі Y, як зображено на малюнку 6. Тут, наприклад, точка А відповідає результату, що полягає в тому, що перший прийшов о 12:30, а другий - о 13:00. І тут, очевидно, зустріч не відбулася.

Якщо перший прийшов не пізніше за другий (y ³ x), то зустріч відбудеться за умови 0 £ y - x £ 1/6 (10 хвилин – це 1/6 години).

Якщо другий прийшов пізніше першого (x³y), то зустріч відбудеться за умови 0 £ x – y £ 1/6..

Між безліччю результатів, сприятливих зустрічі, і безліччю точок області s, зображеної малюнку7 в заштрихованому вигляді, можна встановити взаємно-однозначне відповідність.

Шукана ймовірність p дорівнює відношенню площі області до площі всього квадрата. Площа квадрата дорівнює одиниці, а площу області s можна визначити як різницю одиниці та сумарної площі двох трикутників, зображених на рисунку7. Звідси випливає:

Завдання із рішеннями.

На шахівницю з шириною клітини 5см кинуто монету радіуса 1,5см. Знайти ймовірність того, що монета не потрапить на жодну межу клітини.

Завдання ІІ.

Через річку завширшки 100 м перекинутий міст. У деякий момент, коли на мосту перебувають дві людини, міст руйнується, і обидва вони падають у річку. Перший вміє плавати та врятується. Другий плавати не вміє, і врятується, тільки якщо впаде не далі 10 метрів від берега або не далі, ніж за 10 метрів від першого. Яка ймовірність, що друга людина врятується?

Завдання ІІІ.

Протитанкові міни поставлені на прямій через 15 м. Танк шириною 2 м. їде перпендикулярно цій прямій. Якою є ймовірність, що він не підірветься на міні?

Завдання VI.

На проміжку (0; 2) випадково вибираються два числа. Знайти ймовірність того, що квадрат більшого числа менший, ніж менше число

На відрізок кидаються навмання дві точки. Вони розбивають відрізок втричі. Якою є ймовірність того, що з отриманих відрізків можна скласти трикутник?

Завдання VI.

На відрізок кидають навмання три точки, одну за одною. Яка ймовірність того, що третя за рахунком крапка впаде між двома першими?

Завдання I. Положення монети на шахівниці повністю визначається положенням її геометричного центру. Усе безліч результатів можна зобразити як квадрата S зі стороною 5. Все безліч сприятливих результатів тоді зображується як квадрата s, лежачого всередині квадрата S, як і зображено малюнку 1.

Шукана ймовірність тоді дорівнює відношенню площі малого квадрата до площі великого квадрата, тобто 4/25

Завдання ІІ. Позначимо через відстань від лівого берега річки до точки падіння першої людини, а через у – відстань від лівого берега до точки падіння другої людини. Очевидно, що і х, і у належать проміжку (0; 100). Таким чином, можна зробити висновок, що все безліч результатів можна відобразити на квадрат, лівий нижній кут якого лежить на початку координат, а правий верхній - у точці з координатами (100; 100). Дві лінії: 0 x, тобто другий впав ближче до правого берега, ніж перший, то для того, щоб він був врятований, має виконуватися умова у<х+10. Если ух-10. Зі сказаного випливає, що всі благополучні для другої людини результати відображаються в заштриховану область на малюнку 2. Площа цієї області найлегше підрахувати, віднімаючи з площі всього квадрата площі двох незаштрихованих трикутників, що дає в результаті 10000-6400 = 3600. Шукана ймовірність дорівнює 0,36.

Завдання ІІІ.

За умовою завдання положення танка на проміжку між двома сусідніми мінами повністю визначається положенням прямої лінії, що рівно віддаляється від бортів танка. Ця лінія перпендикулярна лінії, за якою встановлені міни, і танк підривається на міні, якщо ця лінія розташована ближче, ніж за 1 метр від краю проміжку. Таким чином, все безліч наслідків відображається в проміжок довжиною 15, а безліч сприятливих наслідків відображається в проміжок довжиною 13, як показано на малюнку 3, Шукана ймовірність дорівнює 13/15.

Завдання IV.

Позначимо одне із чисел х, а інше – у. Все безліч можливих наслідків відображається в квадрат ОBCD , дві сторони якого збігаються з осями координат і мають довжину, рівну 2, як показано на малюнку 4. Припустимо, що у-менше число. Тоді безліч результатів відображається в трикутник ОCD з площею 2. Вибрані числа повинні задовольняти двом нерівностям:

у<х, у>х 2

Безліч чисел, що задовольняють цим нерівностям, відображається в заштриховану область на малюнку 4. Площа цієї області визначається як різниця площі трикутника OEG, що дорівнює 1/2, і площі криволінійного трикутника OFEG. Площа цього криволінійного трикутника визначається формулою

і дорівнює 1/3. Звідси отримуємо, що площа заштрихованої фігури OEF дорівнює 1/6. Таким чином, шукана ймовірність дорівнює 1/12.

Нехай довжина відрізка дорівнює l. Якщо прийняти за х і на відстані від лівого кінця відрізка до точок, про які йдеться в умові задачі, то безліч всіх результатів можна відобразити на квадрат зі стороною l, одна зі сторін якого лежить на координатній осі х, а інша – на координатній осі у . Якщо прийняти умову у>х, то безліч наслідків відобразиться на трикутник OВС, зображений на малюнку 5. Площа цього трикутника дорівнює l 2 /2. Отримані відрізки матимуть довжини: х, у-х та l-у. Тепер згадаємо геометрію. З трьох відрізків можна скласти трикутник тоді і лише тоді, коли довжина кожного відрізка менша за суму довжин двох інших відрізків. Ця умова в нашому випадку призводить до системи трьох нерівностей

Перша нерівність перетворюється на вид х l/2, а третя нерівність – до виду у<х+l/2. Множество пар чисел х, у, являющееся решением системы неравенств отображается в заштрихованный треугольник на рисунке 5. Площадь этого треугольника в 4 раза меньше площади треугольника OВС. Отсюда следует, что ответ задачи составляет 1/4.

Завдання VI.

Приймемо довжину відрізка за l. Нехай відстань від лівого кінця відрізка до першої точки дорівнює х, до другої точки – у, а до третьої точки – z. Тоді все безліч наслідків відображається в куб, три ребра якого лежать на осях х, у і z прямокутної системи координат, і з ребром довжиною l. Припустимо, що у>х. Тоді безліч наслідків відобразиться в пряму призму АВСА 1 В 1 С 1 , зображену на малюнку 6. Умова z>x означає, що всі результати будуть відображатися в область, що лежить вище площині AD 1 C 1 B, показаної на малюнку 7. всі допустимі результати будуть відображатися в піраміду з квадратом АА 1 В 1 В на підставі та з висотою В 1 С 1 . Усі результати, які відповідають умові z

Завдання для самостійного вирішення.

1. Два пароплави повинні підійти до одного і того ж причалу. Час приходу обох пароплавів незалежно та рівноможливий протягом цієї доби. Визначити ймовірність того, що одному з пароплавів доведеться чекати на звільнення причалу, якщо час стоянки першого пароплава – одна година, а другого – дві години. Відповідь: 139/1152.

2. На перехресті встановлено автоматичний світлофор, в якому одну хвилину горить зелене світло та півхвилини червоне, потім знову одну хвилину - зелене та півхвилини червоне тощо. У випадковий момент до перехрестя під'їжджає автомобіль. Якою є ймовірність того, що він проїде перехрестя без зупинки? Відповідь: 2/3

3. На нескінченну шахівницю з шириною клітини 5см кинуто монету радіуса 1,5см. Знайти ймовірність того, що монета розташується не більше ніж у двох клітинах шахівниці. Відповідь: 16/25.

4. У коло навмання вписується трикутник. Яка ймовірність, що він гострокутний? Відповідь: 1/4.

5. У коло навмання вписується трикутник. Якою є ймовірність, що він прямокутний? Відповідь: 0.

6. Стрижень довжини а навмання розламаний на три частини. Знайдіть ймовірність того, що довжина кожної частини виявиться більшою за а/4. Відповідь: 1/16.

Імовірність - ступінь (захід, кількісна оцінка) можливості настання деякої події. Коли підстави для того, щоб якась можлива подія сталася насправді, переважують протилежні підстави, то цю подію називають ймовірною, інакше - неймовірною або малоймовірною. Перевага позитивних підстав над негативними, і навпаки, може бути різною мірою, внаслідок чого ймовірність (і неймовірність) буває більшою чи меншою. Тому часто ймовірність оцінюється на якісному рівні, особливо в тих випадках, коли більш менш точна кількісна оцінка неможлива або вкрай скрутна. Можливі різні градації «рівнів» ймовірності.

Класичне визначення ймовірності засноване на понятті та можливості результатів. Як ймовірність виступає відношення кількості результатів, що сприяють даній події, до загального числа рівноможливих результатів. Наприклад, ймовірність випадання «орла» або «решки» при випадковому підкиданні монетки дорівнює 1/2, якщо передбачається, що ці дві можливості мають місце і є рівноможливими. Дане класичне «визначення» ймовірності можна узагальнити на випадок нескінченної кількості можливих значень - наприклад, якщо деяка подія може статися з рівною ймовірністю в будь-якій точці (кількість точок нескінченно) деякої обмеженої області простору (площини), то ймовірність того, що вона відбудеться в деякі частини цієї допустимої області дорівнює відношенню обсягу (площі) цієї частини до обсягу (площі) області всіх можливих точок.

Імовірнісний опис тих чи інших явищ набув широкого поширення в сучасній науці, зокрема в економетриці, статистичній фізиці макроскопічних (термодинамічних) систем, де навіть у разі класичного детермінованого опису руху частинок детермінований опис усієї системи часток не є практично можливим і доцільним. У квантовій фізиці самі описувані процеси мають імовірнісну природу.

Виникнення поняття та теорії ймовірності

Перші роботи про вчення про ймовірність відноситься до 17 століття. Такі як листування французьких вчених Б. Паскаля, П. Ферма (1654) і голландського вченого X. Гюйгенса (1657) дав найранішу з відомих наукових трактувань ймовірності]. Фактично Гюйгенс вже оперував поняттям математичного очікування. Швейцарський математик Я. Бернуллі встановив закон великих чисел для схеми незалежних випробувань з двома результатами (посмертно, 1713). У XVIII ст. - На початку ХIХ ст. теорія ймовірностей набуває розвитку на роботах А. Муавра (Англія)(1718 рік), П. Лаплас (Франція), До. Гаусса (Німеччина) і З. Пуассона (Франція). Теорія ймовірностей починає застосовуватися в теорії помилок спостережень, що розвинулася у зв'язку з потребами геодезії та астрономії, і теорії стрільби. Слід зазначити, що закон розподілу помилок насправді запропонував Лаплас спочатку як експоненційна залежність від помилки без урахування знака (1774 рік), потім як експоненційну функцію квадрата помилки (1778 року). Останній закон зазвичай називають розподілом Гауса чи нормальним розподілом. Бернуллі (1778) ввів принцип твору ймовірностей одночасних подій. Адрієн Марі Лежандр (1805) розробив метод найменших квадратів.

У другій половині ХІХ ст. розвиток теорії ймовірностей пов'язаний з роботами російських математиків П. Л. Чебишева, А. М. Ляпунова та А. А. Маркова (старшого), а також роботи з математичної статистики А. Кетле (Бельгія) та Ф. Гальтона (Англія) та статистичної фізики Л. Больцмана (в Австрія), які створили основу для суттєвого розширення проблематики теорії ймовірностей. Найбільш поширена в даний час логічна (аксіоматична) схема побудови основ теорії ймовірностей розроблена в 1933 році радянським математиком А. Н. Колмогоровим.

Класичне визначення ймовірності:

По класичному визначенню можливість випадкового події Р(А) дорівнює відношенню числа результатів, сприятливих А, до кількості результатів, складових простір елементарних подій, тобто.

ймовірність статичний класичний теорія

Обчислення ймовірностей при цьому зводиться до підрахунку елементів тієї чи іншої множини і часто виявляється суто комбінаторним завданням, іноді дуже важким.

Класичне визначення виправдане, коли існує можливість передбачення ймовірності на підставі симетрії умов, за яких відбувається експеримент, і внаслідок цього симетрії результатів випробування, що призводить до поняття "рівно можливості" результатів.

Наприклад. Якщо зроблена з однорідного матеріалу геометрично правильна гральна кістка підкидається так, що вона встигає зробити досить велику кількість обертів перед тим, як впасти, то випадання будь-якої з її граней вважається рівноможливим результатом.

З тих же міркувань симетрії вважаються рівноможливими наслідки такого експерименту, як виймання ретельно перемішаних і невідмінних на дотик білих і чорних куль так, що після реєстрації кольору кожна куля повертається назад в посудину і після ретельного перемішування проводиться вилучення наступної кулі.

Найчастіше така симетрія спостерігається у штучно організованих експериментах, якими є азартні ігри.

Таким чином, класичне визначення ймовірності пов'язане з поняттям і можливості і використовується для експериментів, що зводяться до схеми випадків. Для цього необхідно, щоб події e1, e2, en були несумісними, тобто жодні з них не можуть з'явитися разом; такими, що утворюють повну групу, тобто вони вичерпують собою всі можливі результати (не може бути так, що в результаті досвіду жодна з них не відбулася); рівноможливими за умови, що експеримент забезпечує однакову можливість появи кожного їх.

Не всякий експеримент задовольняє схему випадків. Якщо порушується умова симетрії, немає схеми випадків.

Формула (1.1), "класична формула", застосовувалася для обчислення ймовірностей подій від початку появи науки про випадкові явища.

Ті досліди, які не мали симетрії, "підганялися" під схему випадків. Нині поруч із " класичної формулою " існують способи обчислення ймовірностей, коли експеримент не зводиться до схеми випадків. І тому використовується статистичне визначення ймовірності.

Поняття статистичної ймовірності буде введено пізніше, а зараз повернемось до класичної формули.

Розглянемо такі приклади.

Приклад 1. Досвід полягає у киданні двох монет. Знайти можливість того, що з'явиться хоча б один герб.

Рішення. Випадкова подія А – поява хоча б одного герба.

Простір елементарних подій у даному експерименті визначається наступними результатами: Е = (РР, РР, РР, РР), які відповідно позначаються e1, e2, e3, e4. Таким чином,

E=e1, e2, e3, e4; n=4.

Необхідно визначити число наслідків з Е, які сприяють появі А. Це e1, e2, e3; їхнє число m=3.

Використовуючи класичну формулу визначення ймовірності події А, маємо

Приклад 2. У урні 3 білих та 4 чорні кулі. З урни виймається одна куля. Знайти ймовірність того, що ця куля біла.

Рішення. Випадкова подія А – поява білої кулі. Простір елементарних подій Е включає наслідки e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, де ei - поява однієї кулі (білої або чорної);

E=(e1, e2, e3, e4, 5, e6, e7), n=7.

Випадковій події А в просторі Е сприяє 3 результати; m=3. Отже,

Приклад 3. У урні 3 білих та 4 чорні кулі. З урни виймається дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидва будуть білими.

Рішення. Випадкова подія А – обидві кулі будуть білими.

Приклад 3 відрізняється від прикладу 2 тим, що в прикладі 3 наслідками, що становлять простір елементарних наслідків Е, будуть не окремі кулі, а комбінації з 7 куль по 2. Тобто, щоб визначити розмірність Е, необхідно визначити кількість комбінацій з 7 по 2. Для цього необхідно використовувати формули комбінаторики, що наводяться в розділі "Комбінаторний метод". В даному випадку для визначення числа комбінацій із 7 по 2 використовується формула для визначення числа поєднань

оскільки вибір проводиться без повернення і порядок появи куль неважливий. Таким чином,

Число комбінацій, сприятливих появи події А, визначається як

Отже, .

Статистичне визначення ймовірності

При розгляді результатів окремих випробувань дуже важко знайти будь-які закономірності. Однак у послідовності однакових випробувань можна знайти стійкість деяких середніх характеристик. Частиною будь-якої події в даній серії з n випробувань називається відношення m/n, числа m тих випробувань, в яких подія А настала, до загальної кількості випробувань n. Майже в кожній досить довгій серії випробувань, частота події А встановлюється біля певного значення, яке приймається за ймовірність події А. Стійкість значення частості підтверджується спеціальними експериментами. Статистичні закономірності такого роду були вперше виявлені з прикладу азартних ігор, т. е. з прикладу тих випробувань, які характеризуються і можливістю результатів. Це відкрило шлях для статистичного підходу до чисельного визначення ймовірності, коли порушується умова симетрії експерименту. Частина події А називають статистичною ймовірністю, що позначається

де mA – число експериментів, у яких з'явилася подія А;

n – загальна кількість експериментів.

Формули (1.1) і (1.2) визначення ймовірності мають зовнішнє подібність, але вони різні сутнісно. Формула (1.1) служить для теоретичного обчислення ймовірності події за заданими умовами досвіду. Формула (1.2) служить експериментального визначення частоти події. Щоб скористатися формулою (1.2), потрібний досвідчений статистичний матеріал.

Аксіоматичний підхід до визначення ймовірності

Третім підходом визначення ймовірності є аксіоматичний підхід, у якому ймовірності задаються перерахуванням їх властивостей.

Прийняте аксіоматичне визначення ймовірності було сформульовано 1933 р. А. Н. Колмогоровим. У цьому випадку ймовірність задається як числова функція Р(А) на безлічі всіх подій, що визначаються цим експериментом, яка задовольняє наступним аксіомам:

P(A)=1, якщо А - достовірна подія.

Якщо А та В несумісні.

Основні властивості ймовірності

Для кожної випадкової події А визначено її ймовірність, причому.

Для достовірної події U має місце рівність P(U)=1.Властивості 1 і 2 випливають із визначення ймовірності.

Якщо події А і В несумісні, то ймовірність суми подій дорівнює сумі ймовірностей. Ця властивість зветься формули складання ймовірностей у окремому випадку (для несумісних подій).

Для довільних подій А та В

Ця властивість зветься формули складання ймовірностей у загальному випадку.

Для протилежних подій А і має місце рівність.

Крім цього, вводиться неможлива подія, позначена, якій не сприяє жоден вихід із простору елементарних подій. Імовірність неможливої ​​події дорівнює 0, P()=0.

приклад. Імовірність того, що випадково обрана в результаті опитування сім'я має кольоровий, чорно-білий або кольоровий та чорно-білий телевізори, що дорівнює відповідно 0.86; 0,35; 0,29. Яка ймовірність, що сім'я має кольоровий чи чорно-білий телевізор?

Рішення. Нехай подія полягає в тому, що сім'я має кольоровий телевізор.

Подія полягає в тому, що сім'я має чорно-білий телевізор.

Подія полягає в тому, що сім'я має або кольоровий, або чорно-білий телевізор. Подія визначається через А і В у вигляді, А і В спільні, тому

Комбінаторний метод

У багатьох імовірнісних проблемах необхідно перерахувати всі можливі наслідки експерименту або елементарні події, які можливі в даній ситуації, або обчислити їх кількість. Для цього можна використати такі правила.

Правило 1. Якщо операція складається з двох кроків, у яких перший може бути зроблений n1 способами і другий може бути зроблений n2 способами, то вся операція може бути зроблено за n1 n2 способів.

Під словом "операція" мається на увазі будь-яка процедура, процес чи метод вибору.

Щоб підтвердити це правило, розглянемо операцію, що складається з кроків xi та yi, крок x може бути здійснено n1 способами, тобто. , Крок y може бути здійснений n2 способами, тобто. тоді ряд всіх можливих способів може бути представлений наступними n1n2 парами:

приклад. Скільки можливих результатів є в експерименті, який полягає у підкиданні двох гральних кісток.

Рішення. Під x і y у разі розуміється випадання будь-якої грані першої кістки і другої кістки. Випадання грані першої кістки можливе шістьма способами xi, ; випадання грані другої кістки можливо також шістьма способами xj, .

Усього можливих способів 6.6=36.

Правило 2. Якщо операція складається з k кроків, у яких перший може бути зроблений n1 способами, другий n2 способами, третій способами і т. д., k-й - способами, то вся операція може бути зроблена за n1 · n2 ... .

приклад. Інспектор якості хоче вибрати частину кожного з чотирьох контейнерів, що містять 4, 3, 5 і 4 частин відповідно. Скільки він може це зробити?

Рішення. Загальна кількість способів визначається як 4·3·5·4=240.

приклад. Скільки можливими способами може відповісти студент у тесті з 20 питань, якщо на кожне запитання він може відповісти "так" чи "ні"?

Рішення. Усіх можливих способів 2 · 2 ... 2 = 220 = 1048576.

Часто практично виникає ситуація, коли об'єкти мають бути впорядковані.

Наприклад: скільки різними способами 6 персон можуть сісти навколо столу? Різні розташування називаються перестановками.

приклад. Скільки перестановок можливе для літер a, b, c?

Рішення. Можливі розташування abc, acb, bac, bca, cab, cba. Число можливих розташувань дорівнює шести.

Узагальнюючи цей приклад, для n об'єктів всього n·(n-1)(n-2)…3 ·2 ·1 різних способів або n!, тобто число перестановок n!=1·2·3...· (n-2)(n-1)n, причому 0!=1.

Правило 3. Число перестановок n різних об'єктів дорівнює n!

приклад. Число перестановок із чотирьох літер 4!=24, але яке число перестановок вийде, якщо вибирати по 2 літери із чотирьох?

Рішення. Ми маємо заповнити дві позиції з чотирьох літер. Для першої позиції - 4 способи, для другої позиції - 3 способи. Отже, використовуючи правило 1, маємо 43=12.

Узагальнюючи цей приклад на n різних об'єктів, у тому числі вибирається r об'єктів без повернення r > 0, всього способів n(n-1)...(n-r+1). Це число позначимо, а комбінації, що отримуються, називаються розміщеннями.

Правило 4. Число розміщень з n об'єктів по r визначається як

(Для r = 0,1,...,n).

Перестановки, коли об'єкти розташовуються за колом, називаються круговими перестановками. Дві кругові перестановки є різними (а вважаються лише однієї), якщо відповідні об'єкти у двох розташуваннях мають самі об'єкти зліва і справа.

Наприклад: якщо чотири персони грають у бридж, ми не отримаємо різних прихильностей, якщо всі гравці пересунуться на один стілець праворуч.

приклад. Скільки кругових перестановок можливо з чотирьох осіб, які грають у бридж? Рішення. Якщо довільно взяти позицію одного з чотирьох гравців як фіксовану, можна трьох інших гравців розташувати 3! способами, тобто, маємо шість різних кругових перестановок.

Узагальнюючи цей приклад, отримуємо таке правило.

Правило 5. Число перестановок із n різних предметів, розташованих по колу, дорівнює (n-1)!.

Досі передбачалося, що n об'єктів, у тому числі ми вибираємо r об'єктів і формуємо перестановки, є різними. Таким чином, згадані раніше формули не можуть бути використані для визначення числа способів розташування букв у слові "book" або числа способів розташування трьох копій однієї новели та однієї копії кожної з чотирьох інших новел на полиці.

приклад. Скільки різних перестановок літер у слові "book"?

Рішення. Якщо важливо розрізняти літери O, то ми їх позначимо O1, O2 і тоді матимемо 4!=24 різних перестановок літер в O1, O2 і K. Однак якщо ми опускаємо індекси, то O1 O2 і O2, O1 вже не розрізняються, тоді загальне число перестановок одно.

приклад. Скільки різних способів розташування трьох копій однієї новели та однієї копії інших чотирьох новел на полиці?

Рішення. Якщо позначити три копії першої новели як a1, a2, a3 та інші чотири новели – b, c, d та e, то в даному випадку маємо 7! різних способів та 3! способу розташувати a1, a2, a3.

Якщо опустити індекси, то різні способи розташування копій.

Узагальнюючи ці міркування, отримаємо таке правило.

Правило 6. Число перестановок n об'єктів, у яких n1 одного сорту, n2 - другого сорту, …, nk - k-го сорту та n1+n2+...+nk=n,

Багато завдань, у яких необхідно визначити кількість способів вибору r об'єктів з різних об'єктів, не звертаючи уваги на порядок, в якому вони вибираються. Такі комбінації називаються поєднаннями.

приклад. Скільки можна вибрати трьох кандидатів з 20-ти осіб для громадського опитування?

Рішення. Якщо нам важливий порядок при виборі кандидатів, то кількість комбінацій, але кожен ряд із трьох кандидатів може бути обраний 3! способами; якщо порядок вибору не є важливим, то всього способів вибору.

Комбінації без повернення r об'єктів з n різних об'єктів, які відрізняються самими об'єктами, але з їх порядком, називаються поєднаннями.

Правило 7. Число комбінацій по r об'єктів з n різних об'єктів визначається числом, число поєднань може позначатися як.

приклад. Скільки різними способами можна при шести підкиданнях монети отримати 2 герби та 4 решки?

Рішення. Так як порядок отримання гербів і решіків не важливий, то, застосовуючи правило 7, отримаємо.

приклад. Скільки різних комітетів з двох хіміків та одного фізика може бути сформовано на факультеті невеликого коледжу, що має 4 хіміки та 3 фізики.

Рішення. Число комбінацій із чотирьох хіміків по 2 може бути отримано (шістьма) способами.

Один із трьох фізиків може бути обраний (трьома) способами.

Число комітетів, відповідно до правила 1, визначається як 6 · 3 = 18.

приклад. Скільки способами можна розбити ряд із чотирьох об'єктів на три ряди, що містять відповідно два, один і один об'єкти?

Рішення. Позначимо дані чотири об'єкти літерами a, b, c, d. Число розбиття на два, один і один буде 12:

Розбиття з двох об'єктів можна отримати способами, що дає 6 можливостей. Число способів сформувати друге розбиття. І для третього розбиття число методів дорівнює 1.

Відповідно до правила 2 всього способів розбиття (6 · 2 · 1) = 12.

Узагальнюючи цей приклад, отримуємо таке правило.

Правило 8. Число способів, за допомогою яких ряд n різних об'єктів може бути розбитий на k частин з n1 об'єктами в 1-й частині, n2 у 2-й частині, ... і nk в k-й, визначається як

приклад. Скільки способами 7 бізнесменів можуть бути розміщені в одному трикімнатному та двох двокімнатних номерах у готелі?

Рішення. Відповідно до правила 8 це можна зробити (двохсотдесятьма) способами.

Доказ правила 8

Так як n1 об'єктів можуть бути вибрані рядом способами, n2 можуть бути обрані

Згідно з правилом 2 всього число способів визначатиметься у вигляді

Завдання для самостійної роботи

1. Десять книг на одній полиці розставляють навмання. Визначити ймовірність того, що три певні книги виявляться поруч.

Відповідь: 0.066.

2. З колоди карт (52 карти) навмання витягуються три карти. Знайти ймовірність того, що це будуть трійка, сімка та туз.

Відповідь: 0.0029.

3. Є п'ять квитків вартістю по 1 рублю;

три квитки вартістю по 3 рублі;

два квитки вартістю по 5 рублів.

Навмання вибирається три квитки. Визначити ймовірність того, що:

а) хоча б два з цих квитків мають однакову вартість.

Відповідь: 0.75;

б) усі три квитки коштують 7 рублів.

Відповідь: 0.29.

4. У гаманці лежать три монети номіналом по 20 копійок і сім монет номіналом по 3 копійки. Навмання береться одна монета, а потім витягується друга монета номіналом 20 копійок.

Визначити ймовірність того, що і перша монета має гідність 20 копійок.

Відповідь: 0.22.

• 5. З десяти квитків лотереї виграшними є два. Визначити ймовірність того, що серед взятих навмання п'яти квитків:
  • а) один виграшний;
  • б) два виграшні;
  • в) хоча б один виграшний.

Відповідь: 0.55, 0.22, 0.78.

6. У кошику є n куль з номерами від 1 до n, кулі витягуються навмання по одному без повернення. Яка ймовірність того, що при перших вилученнях номера куль збігатимуться з номерами витягів.

Відповідь: (n – k)!/n!

Використана література

• 1. http://kurs.ido.tpu.ru/courses/theory_ver/tema2/tema2.html
• 2. http://free.megacampus.ru/xbookM0018/index.html?go=part-003*page.htm
• 3. http://www.testent.ru/publ/studenty/vysshaja_matematika/klassicheskoe_opredelenie_verojatnosti/35-1-0-1121
• 4. http://ua.wikipedia.org/
• 5. http://www.kolasc.net.ru/cdo/books/tv/page15.html

Показник рангової кореляції Кендала, перевірка відповідної гіпотези про суттєвість зв'язку.

2.Класичне визначення ймовірності. Властивості ймовірності.
Імовірність – одне з основних понять теорії ймовірностей. Існує кілька визначень цього поняття. Наведемо визначення, яке називають класичним. Далі вкажемо слабкі сторони цього визначення та наведемо інші визначення, що дозволяють подолати недоліки класичного визначення.

Розглянемо приклад. Нехай в урні міститься 6 однакових, ретельно перемішаних куль, причому 2 з них – червоні, 3 – сині та 1 – біла. Очевидно, можливість вийняти навмання з кольорової урни (тобто червоний або синій) кулю більше, ніж можливість витягти білу кулю. Чи можна охарактеризувати цю можливість числом? Виявляється, можна. Це число називають ймовірністю події (появи кольорової кулі). Таким чином, ймовірність є числом, що характеризує ступінь можливості появи події.

Поставимо перед собою завдання дати кількісну оцінку можливості того, що взята навмання куля кольорова. Появу кольорової кулі будемо розглядати як події А. Кожен із можливих результатів випробування (випробування полягає у витяганні кулі з урни) назвемо елементарним результатом (елементарною подією). Елементарні результати позначимо через w 1 w 2 w 3 і т.д. У прикладі можливі такі 6 елементарних результатів: w 1 - з'явився білий шар; w 2 , w 3 - з'явилася червона куля; w 4 , w 5 , w 6 - з'явилася синя куля. Легко бачити, що ці результати утворюють повну групу попарно несумісних подій (обов'язково з'явиться тільки одна куля) і вони рівноможливі (куля виймають навмання, кулі однакові і ретельно перемішані).

Ті елементарні результати, в яких цікава для нас подія настає, назвемо сприятливимицій події. У нашому прикладі сприяють події A (появі кольорової кулі) наступні 5 результатів: w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 .

Таким чином, подія А спостерігається, якщо у випробуванні настає один, байдуже який з елементарних результатів, що сприяють A; в нашому прикладі А спостерігається, якщо настане w 2 або w 3 або w 4 або w 5 або w 6 . У цьому сенсі подія А поділяється на кілька елементарних подій (w 2, w 3, w 4, w 5, w 6); елементарна подія не поділяється на інші події. У цьому полягає різниця між подією А та елементарною подією (елементарним результатом).

Відношення числа сприятливих події А елементарних наслідків до їх загального числа називають ймовірністю події А та позначають через Р(А). У аналізованому прикладі всього елементарних результатів 6; з них 5 сприяють події А. Отже, ймовірність того, що взята куля виявиться кольоровою, дорівнює Р(A) = 5/6. Це число і дає ту кількісну оцінку ступеня можливості появи кольорової кулі, яку ми хотіли знайти. Дамо тепер визначення ймовірності.

Імовірністю події Аназивають відношення числа сприятливих цій події наслідків до загального числа всіх рівноможливих несумісних елементарних наслідків, що утворюють повну групу. Отже, ймовірність події А визначається формулою

де m - Число елементарних результатів, що сприяють A; n – число всіх можливих елементарних результатів випробування.

Тут передбачається, що елементарні наслідки несумісні, рівноможливі та утворюють повну групу. З визначення ймовірності випливають такі властивості:

С в о й с т в о 1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Справді, якщо подія є достовірною, то кожен елементарний результат випробування сприяє події. У цьому випадку m = n, отже,

Р(A) = m/n = n/n = 1.

С в о й с т в о 2. Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.

Справді, якщо подія неможлива, то жоден з елементарних результатів випробування не сприяє події. У цьому випадку m = 0, отже,

Р(А) = m/n=0/n=0.

С в о й с т в о 3. Імовірність випадкової події є позитивне число, укладене між нулем та одиницею.

Справді, до випадкової події сприяє лише частина із загальної кількості елементарних результатів випробування. У цьому випадку 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,

0 < Р (А) < 1

Отже, ймовірність будь-якої події задовольняє подвійну нерівність

Сучасні суворі курси теорії ймовірностей побудовані на теоретико-множинні основі. Обмежимося викладом мовою теорії множини тих понять, які розглянуті вище.

Нехай в результаті випробування настає одна і тільки одна з подій w i (i = 1, 2, ..., n). Події w i , називають елементарними подіями (елементарними наслідками). Вже звідси випливає, що елементарні події попарно несумісні. Безліч всіх елементарних подій, які можуть з'явитися у випробуванні, називають простором елементарних подій W, а самі елементарні події - точками простору W.

Подія А ототожнюють з підмножиною (простору W), елементи якого є елементарними наслідками, що сприяють А; подія є підмножина W, елементи якого є результати, що сприяють, і т.д. Таким чином, безліч всіх подій, які можуть наступити у випробуванні, є безліч всіх підмножин. Саме W настає за будь-якого результату випробування, тому W - достовірне подія; порожнє підмножина простору W - неможлива подія (вона не настає за жодного результату випробування).

Зауважимо, що елементарні події виділяються з усіх подій тим, що кожна з них містить тільки один елемент W.

Кожному елементарному результату w i ставлять у відповідність позитивне число p i - ймовірність цього результату, причому

За визначенням, ймовірність Р(А) події А дорівнює сумі ймовірностей елементарних результатів, що сприяють А. Звідси легко отримати, що ймовірність події достовірного дорівнює одиниці, неможливого - нулю, довільного - укладена між нулем та одиницею.

Розглянемо важливий окремий випадок, коли всі результати рівноможливі. Число результатів дорівнює n, сума ймовірностей всіх результатів дорівнює одиниці; отже, ймовірність кожного результату дорівнює 1/n. Нехай події А сприяє m результатів. Імовірність події А дорівнює сумі ймовірностей наслідків, що сприяють А:

Р(А) = 1/n+1/n+..+1/n.

Враховуючи, що кількість доданків дорівнює m, маємо

Р(А) = m/n.

Отримано класичне визначення ймовірності.

Побудова логічно повноцінної теорії ймовірностей ґрунтується на аксіоматичному визначенні випадкової події та її ймовірності. У системі аксіом, запропонованої А. Н. Колмогоровим, невизначеними поняттями є елементарна подія та ймовірність. Наведемо аксіоми, що визначають ймовірність:

1. Кожній події А поставлено у відповідність невід'ємне дійсне число Р(А). Це називається ймовірністю події А.

2. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці:

3. Імовірність настання хоча б однієї з попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Виходячи з цих аксіом, властивості ймовірностей та залежності між ними виводять як теорем.

3.Статичне визначення ймовірності, відносна частота.

Класичне визначення не потребує проведення досвіду. У той час як реальні прикладні завдання мають нескінченну кількість результатів, і класичне визначення в цьому випадку не може відповідати. Тому в таких завданнях будемо використовувати статичне визначення ймовірностей, яке підраховують після проведення експерименту чи досвіду

Статичною ймовірністю w(A) або відносною частотою називають відношення числа сприятливих даної події результатів до загального числа фактично проведених випробувань.

w(A)=nm

Відносна частота події має властивістю стійкості:

lim n→∞P(∣ ∣ nm−p∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)

4.Геометричні ймовірності.

При геометричний підхіддо визначення ймовірностіяк простір елементарних подій розглядається довільна безліч кінцевої лебеговой заходи на прямій, площині чи просторі.Подіями називаються всілякі вимірніпідмножини множини.

Імовірність події Авизначається формулою

де позначає лебегову міру безлічі А.При такому визначенні подій та ймовірностей усі аксіоми А.Н.Колмогорова виконуються.

У конкретних завданнях, які зводяться до зазначеної вище імовірнісної схеми,випробування інтерпретується як випадковий вибір точки в деякій галузі, а подія А– як попадання обраної точки до деякої підобласть А області. При цьому потрібно, щоб усі точки області мали однакову можливість бути обраними.Ця вимога зазвичай виражається словами "навдачу", "випадковим чином" і т.д.

Щоб кількісно порівнювати між собою події за рівнем їхньої можливості, очевидно, потрібно з кожною подією пов'язати певне число, яке тим більше, чим можливіша подія. Таку кількість ми назвемо ймовірністю події. Таким чином, ймовірність подіїє чисельний захід ступеня об'єктивної можливості цієї події.

Першим за часом визначенням ймовірності слід вважати класичне, що виникло з аналізу азартних ігор і спочатку застосовувалося інтуїтивно.

Класичний спосіб визначення ймовірності заснований на понятті рівноможливих та несумісних подій, які є наслідками даного досвіду і утворюють повну групу несумісних подій.

Найбільш простим прикладом рівноможливих і несумісних подій, що утворюють повну групу, є поява тієї чи іншої кулі з урни, що містить кілька однакових за розміром, вагою та іншим відчутним ознаками куль, що відрізняються лише кольором, ретельно перемішаних перед вилученням.

Тому про випробування, результати якого утворюють повну групу несумісних і рівноможливих подій, говорять, що воно зводиться до схеми урн, або схеми випадків, або укладається в класичну схему.

Рівноможливі та несумісні події, що становлять повну групу, називатимемо просто випадками чи шансами. При цьому в кожному досвіді поряд з випадками можуть відбуватися складніші події.

Приклад : При підкиданні гральної кістки поряд з випадками А i - випадання i-окулярів на верхній грані можна розглядати такі події, як В - випадання парних очок, С - випадання числа очок, кратних трьом …

По відношенню до кожної події, яка може статися при здійсненні експерименту, випадки поділяються на сприятливі, у яких ця подія відбувається, і несприятливі, у яких подія немає. У попередньому прикладі, події В сприяють випадки А2, А4, А6; події С - випадки А3, А6.

Класичною ймовірністюПоява деякої події називається відношення числа випадків, що сприяють появі цієї події, до загального числа випадків рівноможливих, несумісних, що становлять повну групу в даному досвіді:

де Р(А)- ймовірність появи події А; m- Число випадків, що сприяють події А; n- загальна кількість випадків.

Приклади:

1) (дивись приклад вище) Р(В)= , Р(С) =.

2) У урні знаходяться 9 червоних та 6 синіх куль. Знайти ймовірність того, що вийняті навмання одна, дві кулі виявляться червоними.

А- Вийнята навмання куля червона:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- вийняті навмання дві кулі червоні:

З класичного визначення ймовірності випливають такі властивості (показати самостійно):

1) Імовірність неможливої ​​події дорівнює 0;

2) Імовірність достовірної події дорівнює 1;

3) Імовірність будь-якої події укладена між 0 та 1;

4) Імовірність події, протилежної події А,

Класичне визначення ймовірності передбачає, що кількість результатів випробування є звичайною. Насправді ж часто зустрічаються випробування, число можливих випадків яких нескінченно. Крім того, слабка сторона класичного визначення полягає в тому, що дуже часто неможливо уявити результат випробування як сукупність елементарних подій. Ще важче вказати підстави, що дозволяють вважати елементарні наслідки випробування рівноможливими. Зазвичай про рівноможливість елементарних результатів випробування укладають з міркувань симетрії. Проте такі завдання практично зустрічаються дуже рідко. З цих причин поруч із класичним визначенням ймовірності користуються та інші визначення ймовірності.

Статистичною ймовірністюподії А називається відносна частота появи цієї події у проведених випробуваннях:

де – ймовірність появи події А;

Відносна частота появи події А;

Число випробувань, у яких з'явилася подія А;

Загальна кількість випробувань.

На відміну від класичної ймовірності, статистична ймовірність є характеристикою досвідченої, експериментальної.

Приклад : Для контролю якості виробів з партії вибрано 100 виробів, серед яких 3 вироби виявилися бракованими. Визначити можливість шлюбу.

Статистичний спосіб визначення ймовірності застосуємо лише до тих подій, які мають такі властивості:

Події, що розглядаються, повинні бути результатами тільки тих випробувань, які можуть бути відтворені необмежену кількість разів при одному і тому ж комплексі умов.

Події повинні мати статистичну стійкість (або стійкість відносних частот). Це означає, що у різних серіях випробувань відносна частота події змінюється незначно.

Число випробувань, у яких з'являється подія А, має бути досить велике.

Легко перевірити, що властивості ймовірності, які з класичного визначення, зберігаються і за статистичному визначенні ймовірності.