6.2 Застосування меж в економічних розрахунках

Складні відсотки

У практичних розрахунках переважно застосовують дискретні відсотки, тобто. відсотки, що нараховуються за фіксовані однакові інтервали часу (рік, півріччя, квартал тощо). Час – дискретна змінна. У деяких випадках - у доказах та розрахунках, пов'язаних з безперервними процесами, виникає необхідність застосування безперервних відсотків. Розглянемо формулу складних відсотків:

S = P (1 + i) n. (6.16)

Тут P – первісна сума, i – ставка відсотків (у вигляді десяткового дробу), S – сума, що утворилася до кінця терміну позички в кінці n-го року. Зростання за складними відсотками є процес, що розвивається по геометричній прогресії. Приєднання нарахованих відсотків до суми, що служила базою їх визначення, часто називають капіталізацією відсотків. У фінансовій практиці часто стикаються із завданням, зворотним визначенням нарощеної суми: за заданою сумою S, яку слід сплатити через деякий час n, необхідно визначити суму отриманої позички P. У цьому випадку кажуть, що сума S дисконтується, а відсотки у вигляді різниці S - P називають дисконтом. Величину P, знайдену дисконтуванням S, називають сучасною або наведеною величиною S. Маємо:

P = Þ P = = 0.

Таким чином, за дуже великих термінів платежу сучасна величина останнього буде вкрай незначною.

У практичних фінансово-кредитних операціях безперервні процеси нарощення грошових сум, тобто нарощення за нескінченно малі проміжки часу застосовуються рідко. Істотно більшого значення безперервне нарощення має у кількісному фінансово-економічному аналізі складних виробничих і господарських об'єктів та явищ, наприклад, під час виборів та обгрунтування інвестиційних рішень. Необхідність у застосуванні безперервних нарощень (або безперервних відсотків) визначається насамперед тим, що багато економічних явищ за своєю природою безперервні, тому аналітичний опис у вигляді безперервних процесів є більш адекватним, ніж на основі дискретних. Узагальнемо формулу складних відсотків для випадку, коли відсотки нараховуються m разів на рік:

S = P (1 + i/m) mn.

Нарощена сума при дискретних процесах перебуває у цій формулі, тут m - число періодів нарахування року, i - річна чи номінальна ставка. Що більше m, то менше проміжки часу між моментами нарахування відсотків. У межі при m ®¥ маємо:

`S = P (1 + i/m) mn = P ((1 + i/m) m) n.

Оскільки (1 + i/m) m = e i , то S = P e in .

При безперервному нарощенні відсотків застосовують особливий вид процентної ставки - силу зростання, що характеризує відносний приріст нарощеної суми в нескінченно малому проміжку часу. При безперервній капіталізації відсотків нарощена сума дорівнює кінцевій величині, що залежить від первісної суми, строку нарощення та номінальної ставки відсотків. Щоб відрізнити ставки безперервних відсотків від ставки дискретних відсотків, позначимо першу через d, тоді `S = Pe .

Сила зростання d є номінальною ставкою відсотків при m®¥. Множина нарощення розраховується за допомогою ЕОМ або за таблицями функції.

Потоки платежів. Фінансова рента

Контракти, угоди, комерційні та виробничо-господарські операції часто передбачають не окремі разові платежі, а безліч розподілених у часі виплат та надходжень. Окремі елементи такого ряду, інколи ж і сам ряд платежів загалом, називається потоком платежів. Члени потоку платежів може бути як позитивними (надходження), і негативними (виплати) величинами. Потік платежів, усі члени якого позитивні величини, а часові інтервали між двома послідовними платежами постійні, називають фінансовою рентою. Ренти поділяються на річні та р-строкові, де р характеризує кількість виплат протягом року. Це дискретні ренти. У фінансово-економічній практиці зустрічаються і з послідовностями платежів, які виробляються так часто, що їх можна розглядати як безперервні. Такі платежі описуються безперервними рентами.

Приклад 3.13. Нехай наприкінці кожного року протягом чотирьох років до банку вноситься по 1 млн. рублів, відсотки нараховуються наприкінці року, ставка – 5% річних. У цьому випадку перший внесок звернеться до кінця терміну ренти у величину 10 6 ´ 1,05 3 оскільки відповідна сума була на рахунку протягом 3 років, другий внесок збільшиться до 10 6 ´ 1,05 2 , оскільки був на рахунку 2 роки . Останній внесок відсотків не приносить. Таким чином, наприкінці строку ренти внески з нарахованими на них відсотками становлять ряд чисел: 10 6 ´ 1,05 3 ; 10 6 '1,05 2; 10 6 ´ 1,05; 6. Нарощена до кінця терміну ренти величина дорівнюватиме сумі членів цього ряду. Узагальним сказане, виведемо відповідну формулу для нарощеної суми річної ренти. Позначимо: S – нарощена сума ренти, R – розмір члена ренти, i – ставка відсотків (десятковий дріб), n – термін ренти (кількість років). Члени ренти будуть приносити відсотки протягом n - 1, n - 2,..., 2, 1 та 0 років, а нарощена величина членів ренти складе

R (1 + i) n - 1, R (1 + i) n - 2, ..., R (1 + i), R.

Перепишемо цей ряд у зворотному порядку. Він є геометричною прогресією зі знаменником (1+i) і першим членом R. Знайдемо суму членів прогресії. Отримаємо: S = R ((1 + i) n - 1) / ((1 + i) - 1) = = R ((1 + i) n - 1) / i. Позначимо Sn; i = ((1 + i) n - 1) / i і називатимемо його коефіцієнтом нарощення ренти. Якщо ж відсотки нараховуються m разів на рік, то S = R ((1 + i/m) mn - 1) / ((1 + i / m) m - 1), де i - номінальна ставка відсотків.

Розмір a n; i = (1 - (1 + i) - n) / i називається коефіцієнтом приведення ренти. Коефіцієнт приведення ренти при n ®¥ показує, у скільки разів сучасна величина ренти більша за її член:

A n; i = (1 - (1 + i) - n) / i = 1/i.

Приклад 3.14. Під вічною рентою розуміється послідовність платежів, кількість членів якої не обмежена - вона виплачується протягом нескінченного числа років. Вічна рента не є чистою абстракцією – на практиці це деякі види облігаційних позик, оцінка здатності пенсійних фондів відповідати за своїми зобов'язаннями. Виходячи з сутності вічної ренти можна вважати, що її нарощена сума дорівнює нескінченно великій величині, що легко довести за формулою: R '((1 + i) n - 1)/ i ® при n ® .

Коефіцієнт приведення для вічної ренти an; i ® 1/i, звідки A = R/i, тобто сучасна величина залежить лише від величини члена ренти та прийнятої ставки відсотків.

Метод потенціалів. Однак на розподільчому методі засновані деякі інші способи вирішення завдань, що викликає необхідність його вивчення. 9. Метод потенціалів Розв'язання транспортного завдання будь-яким способом здійснюється на макеті. Макет для застосування методу потенціалів має такий вигляд. Основна частина макету виділена подвійними лініями. Вона містить k×l клітин. Кожна...

Ознакам слід виділити два основних види ігор, що несуть найбільше освітнє навантаження, оскільки всі інші є похідними від них. Цими видами є інноваційні ігри та ансамблеві ігри. Імітаційні або рольові ігри дозволяють навчати персонал практично з нуля, у той час як два попередні види більше пов'язані з навчанням. Призначення ділових ігор Ділова...

З решти чинників мало що вдасться зробити. Коли я вступив до корпорації "Крайслер", то взяв із собою мої записники з компанії "Форд", в яких була відображена службова кар'єра кількох сотень фордівських менеджерів. Після звільнення я написав детальний перелік того, що не хотів залишати в кабінеті. Ці записники в чорних палітурках, безперечно, належали мені, але можна було...

Навч. картині світу, кіт. дає природознавство. Необхідність застосування природно-наукових методів і законів у практичній деят-ті гуманітарних спеціальностей і призвело до постановки того курсу, кіт. ми вивчатимемо: Фізика для гуманітаріїв. (38) Зв'язок між розділами природознавства. Слово природознавство є поєднанням 2х слів: природа (природа) і знання. В даний час...

Економічний елемент– це економічно однорідний вид витрат за виробництво і продукції (робіт, послуг), який у межах цього підприємства неможливо розкласти на складові.

«Правила бухгалтерського обліку» (ПБО 10/99, п. 8) регламентують єдиний перелік економічних елементів, що формують витрати на виробництво:

1) матеріальні витрати: а) витрати на придбання сировини, матеріалів, що використовуються у виробництві товарів (виконанні робіт, наданні послуг); б) витрати на придбання інструментів, пристроїв, інвентарю, приладів, лабораторного обладнання, спецодягу та інших засобів індивідуального та колективного захисту та іншого майна, що не є майном, що амортизується; в) витрати на придбання комплектуючих виробів, напівфабрикатів, що зазнають додаткової обробки; г) витрати на придбання палива, води та енергії всіх видів, що витрачаються на технологічні цілі, вироблення всіх видів енергії, опалення будівель, а також витрати на трансформацію та передачу енергії; д) витрати на придбання робіт та послуг виробничого характеру, що виконуються сторонніми організаціями;

2) витрати на оплату праці:будь-які нарахування працівникам у грошовій та (або) натуральній формах, що стимулюють нарахування та надбавки, компенсаційні нарахування та ін.;

3) відрахування на соціальні потреби:у формі єдиного соціального податку (ЄСП). Шкала ЄСП регресивна, ставка знижується зі зростанням фонду оплати праці.;

4) амортизація:амортизаційні відрахування повне відновлення об'єктів основних засобів. Амортизація є розрахунковою величиною, яка відображає частину вартості основних засобів, перенесену на готовий продукт і накопичувану для цільового використання на капітальні вкладення;

5) Інші витрати:дуже широка група, до якої відносяться витрати з різними способами віднесення їх на собівартість.

71. Прибуток: підходи до визначення

Прибуток як кінцевий фінансовий результат є ключовим показником у системі цілей підприємства. У зв'язку з великою складністю цієї економічної категорії в економічній науці існує безліч визначень та трактувань прибутку. Серед цілого ряду підходів можна виділити як базові економічний та бухгалтерський підходи.

Економічний підхідрозглядає прибуток як приріст капіталу власників за звітний період (і відповідно збиток – як зменшення капіталу). Прибуток, що трактується з позицій цього підходу, зазвичай називають економічним.

Обчислення економічного прибутку можливе двома шляхами:

1) ґрунтуючись на динаміці ринкових оцінок капіталу – цей шлях можливий лише у разі, якщо цінні папери підприємства котируються на біржі;

2) ґрунтуючись на даних, що містяться у ліквідаційних балансах на початок та кінець звітного періоду. Але результат будь-якого з цих двох розрахунків є вкрай умовним (зокрема, оскільки зовсім на кожне зміна капіталу є елементом прибутку).

Бухгалтерський підхідбагато авторів розцінюють як більш реалістичний та обґрунтований. Тут прибуток сприймається як позитивне значення різниці між доходами підприємства його витратами (негативне значення, відповідно, розцінюється як збиток). Доходи підприємства є збільшення сукупної вартісної оцінки активів; цьому приросту супроводжує зростання капіталу власників. Витрати – зниження сукупної вартісної оцінки активів.

Принципові відмінностіміж підходами:

1. Бухгалтерський підхід містить чітке визначення елементів прибутку – видів доходів і витрат, якими виробляється відокремлений облік. Це створює об'єктивну, доступну верифікацію основу, що дозволяє розрахувати кінцевий фінансовий результат.

2. Ці підходи по-різному інтерпретують реалізовані та нереалізовані доходи. У економічному підході відсутня різницю між цими видами доходів, а бухгалтерському підході нереалізований дохід може бути визнаний прибутком лише за умови його реалізації.

Області застосування простих відсотків найчастіше є короткострокові операції (з терміном до одного року) з одноразовим нарахуванням відсотків (короткострокові позички, вексельні кредити) і рідше - довгострокові операції.

При короткострокових операціях використовується про проміжна відсоткова ставка, під якої розуміється річна відсоткова ставка, наведена до терміну вкладення коштів. Математично проміжна процентна ставка дорівнює частці річної процентної ставки. Формула нарощення простих відсотків з використанням проміжної процентної ставки має такий вигляд:

FV = PV (1 + f * r),

FV = PV (1 + t * r / Т),

t - термін вкладення коштів (при цьому день вкладення та день вилучення коштів приймаються за один день); Т - розрахункова кількість днів на рік.

При довгострокових операціях нарахування простих відсотків розраховується за формулою:

FV = PV (1 + r * n),

де n - термін вкладення коштів (у роках). ,

Застосування складних відсотків

Сферою застосування складних відсотків є довгострокові операції (з терміном, що перевищує рік), у тому числі що передбачають внутрішньорічне нарахування відсотків.

У першому випадку застосовується звичайна формула нарахування складних відсотків:

FV = PV (1 + r)n.

У другому випадку застосовується формула нарахування складних відсотків із урахуванням внутрішньорічного нарахування. Під внутрішньорічним нарахуванням відсотків розуміється виплата відсоткового доходу більше одного разу на рік. Залежно від кількості виплат доходу на рік (m) внутрішньорічне нарахування може бути:

1) піврічним (m = 2);
2) поквартальним (m = 4);
3) щомісячним (m = 12);
4) щоденним (m = 365 чи 366);
5) безперервним (m -»?).

Формула нарощення при піврічному, поквартальному, щомісячному та щоденному нарахуванні складних відсотків має такий вигляд:

FV = PV (1 + r / m)nm,

де PV - вихідна сума;

г - річна відсоткова ставка;

n - кількість років;

m - кількість внутрішньорічних нарахувань;

FV - нарощена сума.

Відсотковий дохід при безперервному нарахуванні відсотків розраховується за такою формулою:

де: e = 2, 718281 - трансцендентне число (число Ейлера);

е?n - множник нарощення, що використовується як загалом, і дробовому значенні n;

Спеціальне позначення процентної ставки при безперервному нарахуванні відсотків (безперервна відсоткова ставка, сила зростання);

n - кількість років.

При однаковій величині вихідної суми, однаковому терміні вкладення коштів та значенні процентної ставки повертається сума виявляється більшою у разі використання формули внутрішньорічних нарахувань, ніж у разі використання звичайної формули нарахування складних відсотків:

FV = PV (1 + r / m)nm> FV = PV (1 + r)n.

Якщо дохід, отриманий при використанні внутрішньорічних нарахувань, виразити у відсотках, то отримана відсоткова ставка виявиться вищою за ту, яка використовувалася при звичайному нарахуванні складних відсотків.

Таким чином, спочатку заявлена річна процентна ставка для нарахування складних відсотків, яка називається номінальною, не відображає реальної ефективності угоди. Відсоткова ставка, що відбиває фактично отриманий дохід, називається ефективною. Класифікацію відсоткові ставки при внутрішньорічному нарахуванні складних відсотків наочно ілюструє малюнок.

Номінальна відсоткова ставка визначається спочатку. Для кожної номінальної відсоткової ставки та на її підставі можна розрахувати ефективну відсоткову ставку (rе).

З формули нарощення складних відсотків можна отримати формулу ефективної процентної ставки:

FV = PV (1 + r)n;

(1 + re) = FV/PV.

Наведемо формулу нарощення складних відсотків із внутрішньорічними нарахуваннями, при яких щороку нараховується r/m відсотка:

FV = PV (1 + r / m)nm.

Тоді ефективна процентна ставка знаходиться за формулою:

(1 + re) = (1 + r/m)m,

re = (l + r/m) m-1,

де rе - ефективна відсоткова ставка; r - номінальна відсоткова ставка; m - кількість внутрішньорічних виплат.

Розмір ефективної процентної ставки залежить від кількості внутрішньорічних нарахувань (m):

1) при m = 1 номінальна та ефективна відсоткові ставки рівні;
2) чим більша кількість внутрішньорічних нарахувань (значення m), тим більша ефективна відсоткова ставка.

Області одночасного застосування простих і складних відсотків є довгострокові операції, термін яких становить дробову кількість років. При цьому нарахування відсотків можливе двома способами:

1) нарахування складних відсотків із дробовим числом років;
2) нарахування відсотків за змішаною схемою.

У першому випадку для розрахунків застосовується формула складних відсотків, в якій є зведення в дробовий ступінь:

FV = PV (1 + r)n+f,

де f - дрібна частина терміну вкладення коштів.

У другому випадку для розрахунків застосовується так звана змішана схема, яка включає формулу нарахування складних відсотків із цілим числом років та формулу нарахування простих відсотків для короткострокових операцій:

FV = PV (1 + r)n * (1 + f * r),

FV = PV (1 + r)n * (1 + t * r / Т).

Робота додана на сайт сайт: 2015-07-10

Замовити написання унікальної роботи

;font-family:"Times New Roman"">ЗМІСТ

;font-family: "Times New Roman"">Вступ………………………………………………………………………1

">Відсотки……………………………………………………………………...2
Застосування простих і складних відсотків;color:#000000">……………………………………………………………………6
;color:#000000">Застосування простих відсотків…………………………………………...7
;color:#000000">Застосування складних відсотків…………………………………….…….9
Порівняння методів простих і складних відсотків;color:#000000">…………………………………………………………………..14
Комбіновані схеми нарахування відсотків;color:#000000">………………………………………………………………..…16
">Номінальна процентна ставка……………………………………………............................ ...............18
;color:#000000">Поняття номінальної процентної ставки…………………………….…19
;color:#000000">Ефективна процентна ставка……………………………………….…20
;color:#000000">Безперервне нарахування складних відсотків……………………..……21
">ПРОЦЕНТНІ НАЧИСЛЕННЯ……………………………………………...22

"Бібліографічний список………………………………………....25

">ВИСНОВОК……..…………………………………………………….........26

">ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА………………………………………………….....27

ВСТУП

У будь-якій розвиненій ринковій економіці процентна ставка в національній валюті є одним з найважливіших макроекономічних показників, за яким уважно стежать не тільки професійні фінансисти, інвестори та аналітики, але також підприємці та прості громадяни. Причина такої уваги зрозуміла: відсоткова ставка - це найголовніша ціна в національній економіці: вона відображає ціну грошей у часі, крім того, двоюрідна сестра відсоткової ставки - це рівень інфляції, що вимірюється також у процентних пунктах і визнаний відповідно до монетаристської парадигми одним з головних орієнтирів і результатів стану національної економіки (чим менше інфляція, тим краще для економіки, і навпаки) Споріднений зв'язок тут простий: рівень номінальної процентної ставки повинен бути вищим за рівень інфляції, при цьому обидва показники вимірюються у відсотках річних. "відсоткова ставка" використовується в єдиному числа. Тут вона розглядається як інструмент, за допомогою якого держава в особі монетарної влади впливає на економічний цикл країни, сигналізуючи про зміну кредитно-грошової політики та змінюючи обсяг грошової маси в обігу.

Різноманітність конкретних відсоткових ставок у національній валюті - тема, яка є дуже корисним практичним знанням, накопичення якого в житті будь-якої людини відбувається емпіричним шляхом. Завдяки засобам масової інформації, або у своїй професійній діяльності, або при управлінні особистими заощадженнями та інвестиціями ми всі чули або регулярно стикаємося з різними відсотковими ставками за різноманітними продуктами.

;font-family:"Times New Roman"">1. ВІДСОТКИ

;font-family:"Times New Roman"">Відсотками називають суму, яку сплачують за користування грошовими коштами. Це абсолютна величина доходу.

Відношення відсоткових грошей, отриманих за одиницю часу, до величини капіталу називається відсотковою ставкою, або таксою.Щодо моменту виплати або нарахування доходу за користування наданими грошовими коштами відсотки поділяються на звичайні та авансові.

;font-family:"Times New Roman"">Звичайні (декурсивні,;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">postnumerando)font-family:"Times New Roman"">) відсотки нараховуються в кінці періоду щодо вихідної величини коштів. Дохід на відсоток виплачується в кінці періодів фінансової операції.

;font-family:"Times New Roman"">Під періодом нарахування відсотків слід розуміти відрізок часу між двома наступними один за одним процедурами стягнення відсотків або термін фінансової операції, якщо відсотки нараховуються один раз (рис. 1). ці відсотки (звичайні) застосовуються частіше, у більшості депозитних та кредитних операцій, а також у страхуванні.

;font-family:"Times New Roman"">Схема нарахування відсотків

Якщо ж дохід, що визначається відсотком, виплачується в момент надання кредиту, то дана форма розрахунків називається авансовою, або обліком, а застосовувані відсотки авансовими (антисипативними,;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">;font-family:"Times New Roman"">), які нараховуються на початку періоду щодо кінцевої суми грошей.

;font-family:"Times New Roman"">Дохід на відсоток виплачується на початку періоду, в момент надання боргу. цьому базою до розрахунку відсотків служить сума грошей із відсотками (сума погашення боргу), а обчислені в такий спосіб відсотки стягуються вперед і є авансом.

;font-family:"Times New Roman"">Існують такі види процентних ставок:

;font-family:"Times New Roman"">Декурсивна ставка,;font-family:"Times New Roman"">норма прибутковості;font-family:"Times New Roman""> якої розраховується за початковою сумою кредиту. Дохід на відсоток виплачується разом із сумою кредиту.

Антисипативна ставка, норма прибутковості якої розраховується за кінцевою сумою боргу.Дохід на відсоток виплачується в момент надання кредиту.

Дійсна ставка, норма прибутковості якої відповідає отриманню доходу на відсоток один раз на рік.

Номінальна ставка, дохід на відсоток якої збільшується кратне число щорічно.

;font-family:"Times New Roman"">Практика сплати відсотків ґрунтується на теорії нарощування коштів за арифметичною або геометричною прогресією.

;font-family:"Times New Roman"">Арифметична прогресія відповідає простим відсоткам, геометрична - складним, тобто в залежності від того, що є базою для нарахування - змінна або постійна величина.

;font-family:"Times New Roman"">Відсотки поділяються на:

- прості, які весь термін зобов'язання нараховуються на первісну суму;

;font-family:"Times New Roman"">- складні, база для нарахування яких постійно змінюється за рахунок приєднання раніше нарахованих відсотків.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Нарощення може здійснюватися за схемою простих і складних відсотків.

Формула нарощення простих відсотків (simpleinterest). Нарощення простих відсотків означає, що інвестована сума щорічно зростає на величину PV r. У цьому випадку розмір інвестованого капіталу через n років можна визначити за формулою:

; font-family: "Times New Roman"">FV = PV (1 + r n).

;font-family:"Times New Roman"">Формула нарощення складних відсотків (compoundinterest). Нарощення за схемою складних відсотків означає, що черговий річний дохід обчислюється не з вихідної величини інвестованого капіталу, а із загальної суми, що включає також раніше нараховані і не Затребувані інвестором відсотки, у цьому випадку розмір інвестованого капіталу через n років можна визначити за формулою:

;font-family:"Times New Roman"">FV = PV (1 + r);font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">n; font-family: "Times New Roman"">.

;font-family:"Times New Roman"">При одному і тому ж значенні процентної ставки:

1) темпи нарощення складних відсотків вищі за темпи нарощення простих, якщо період нарощення перевищує стандартний інтервал нарахування доходу;

2) темпи нарощення складних відсотків менші за темпи нарощення простих, якщо період нарощення менший за стандартний інтервал нарахування доходу.

;font-family:"Times New Roman"">Області застосування простих і складних відсотків. Прості та складні відсотки можуть застосовуватися як в окремих операціях, так і одночасно.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">1. операції із застосуванням простих відсотків;

2. операції із застосуванням складних відсотків;

3. операції з одночасним застосуванням простих і складних відсотків.

;font-family:"Times New Roman"">2 ЗАСТОСУВАННЯ простих і складних відсотків

З економічної точки зору метод складних відсотків є більш обґрунтованим, оскільки він висловлює можливість безперервного реінвестування (повторного вкладення) коштів. Проте для короткострокових (тривалістю менше року) фінансових операцій найчастіше використовується метод простих відсотків. Тому є кілька причин:

По-перше, і ще кілька десятиліть тому це було досить актуально, розрахунки із застосуванням методу простих відсотків набагато простіше, ніж розрахунки із застосуванням методу складних відсотків.
По-друге, при невеликих відсоткових ставках (в межах 30%) і невеликих проміжках часу (в межах одного року) результати, отримані за допомогою методу простих відсотків, досить близькі до результатів, отриманим із застосуванням методу складних відсотків (розбіжність у межах 1%) Якщо словосполучення «формула Тейлора» вам про щось говорить, то ви зрозумієте, чому це так.
По-третє, і, можливо, це основна причина, заборгованість, знайдена за допомогою методу простих відсотків для проміжку часу менше року, завжди;font-family:"Times New Roman"">більше,font-family:"Times New Roman"", ніж заборгованість, знайдена із застосуванням методу складних відсотків. Так як правила гри завжди диктує кредитор, то зрозуміло, що в такому випадку він вибере перший метод.

;font-family:"Times New Roman"">2.1 Застосування простих відсотків

Області застосування простих відсотків найчастіше є короткострокові операції (з терміном до одного року) з одноразовим нарахуванням відсотків (короткострокові позички, вексельні кредити) і рідше - довгострокові операції.

;font-family:"Times New Roman"">При короткострокових операціях використовується так звана проміжна процентна ставка, під якою розуміється річна процентна ставка, наведена до терміну вкладення коштів. Математично проміжна процентна ставка дорівнює частці річної процентної ставки. з використанням проміжної процентної ставки має такий вигляд:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + f r),

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">або

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + t r / Т),

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">де f=t/T;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">t | термін вкладення коштів (при цьому день вкладення і день вилучення коштів приймаються за один день);

;font-family:"Times New Roman"">Придовгострокових операціях нарахування простих відсотків розраховується за формулою:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r n),

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">де n ? термін вкладення коштів (у роках).

;font-family:"Times New Roman"">2.2 Застосування складних відсотків

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Областю застосування складних відсотків є довгострокові операції (з терміном, що перевищує рік), у тому числі що передбачають внутрішньорічне нарахування відсотків.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">У першому випадку застосовується звичайна формула нарахування складних відсотків:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r);font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">n;font-family:"Times New Roman";color:#000000">.

У другому випадку застосовується формула нарахування складних відсотків з урахуванням внутрішньорічного нарахування. Під внутрішньорічним нарахуванням відсотків розуміється виплата відсоткового доходу більше одного разу на рік. Залежно від кількості виплат доходу на рік (m) внутрішньорічне нарахування може бути:

; font-family: "Times New Roman"; color: # 000000 "> 1) піврічним (m = 2);

2) поквартальним (m = 4);

; font-family: "Times New Roman"; color: # 000000 "> 3) щомісячним (m = 12);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">4) щоденним (m = 365 або 366);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">5) безперервним (m -» ?).

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r / m);font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">nm;font-family:"Times New Roman";color:#000000">,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">де PV - вихідна сума;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">г річна процентна ставка;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">n | кількість років;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">m | кількість внутрішньорічних нарахувань;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV | нарощена сума.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Відсотковий дохід при безперервному нарахуванні відсотків розраховується за такою формулою:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000">n;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> = Р e;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">rn;font-family:"Times New Roman";color:#000000">,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">або:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000">n;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> = P e;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">?n;font-family:"Times New Roman";color:#000000">,

де: e = 2, 718281 трансцендентне число (число Ейлера);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">е;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">?nмножник нарощення, який використовується як при цілому, так і дробовому значенні n;

спеціальне позначення процентної ставки при безперервному нарахуванні відсотків (безперервна відсоткова ставка, «сила зростання»);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">n | кількість років.

;font-family:"Times New Roman"">При однаковій величині вихідної суми, однаковому терміні вкладення коштів і значенні процентної ставки повертається сума виявляється більше у разі використання формули внутрішньорічних нарахувань, ніж у разі використання звичайної формули нарахування складних відсотків:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">FV = PV;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">nm;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">> FV = PV (1 + r);font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">n;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">.

Таким чином, спочатку заявлена річна процентна ставка для нарахування складних відсотків, звана номінальною, не відображає реальної ефективності угоди. Процентна ставка, що відображає фактично отриманий дохід, називається ефективною. Класифікацію процентних ставок при внутрішньорічному нарахування складних відсотків наочно ілюструє рисунок.

Номінальна відсоткова ставка задається спочатку. Для кожної номінальної відсоткової ставки і на її підставі можна розрахувати ефективну відсоткову ставку (r;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub">е;font-family:"Times New Roman"">).

;font-family:"Times New Roman"">З формули нарощення складних відсотків можна отримати формулу ефективної процентної ставки:

;font-family:"Times New Roman"">Наведемо формулу нарощення складних відсотків із внутрішньорічними нарахуваннями, при яких щороку нараховується r / m відсотка:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r / m);font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">nm;font-family:"Times New Roman";color:#000000">.

Тоді ефективна відсоткова ставка знаходиться за формулою: "Times New Roman";

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">(1 + r;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">e;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">) = (1 + r/m);font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">m;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">або

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">r;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">e;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US"> = (l + r/m);font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">m;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">- 1,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">де r;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000">е;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> ефективна відсоткова ставка; r номінальна відсоткова ставка;

;font-family:"Times New Roman"">Величина ефективної процентної ставки залежить від кількості внутрішньорічних нарахувань (m):

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">1) при m = 1 номінальна та ефективна відсоткові ставки рівні;

2) чим більша кількість внутрішньорічних нарахувань (значення m), тим більша ефективна відсоткова ставка.

Областю одночасного застосування простих і складних відсотків є довгострокові операції, термін яких становить дрібну кількість років. При цьому нарахування відсотків можливе двома способами:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">1) нарахування складних відсотків з дробовим числом років;

2) нарахування відсотків за змішаною схемою.

;font-family:"Times New Roman"">У першому випадку для розрахунків застосовується формула складних відсотків, в якій є зведення в дробовий ступінь:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r);font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">n+f;font-family:"Times New Roman";color:#000000">,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">де f | дробова частина терміну вкладення коштів.

;font-family:"Times New Roman"">У другому випадку для розрахунків застосовується так звана змішана схема, яка включає формулу нарахування складних відсотків з цілим числом років і формулу нарахування простих відсотків для короткострокових операцій:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r);font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">n;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> (1 + f r),

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">або

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r);font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">n;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> (1 + t r / Т);font-family:"Times New Roman";color:#52594f;display:none">;font-family:"Times New Roman";color:#52594f">.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">
;font-family:"Times New Roman"">3 ПОРІВНЯННЯ МЕТОДІВ ПРОСТИХ І СКЛАДНИХ відсотків

Зупинимося докладніше на другій і третій причинах (бо перша очевидна). Якщо поєднати наведені в попередньому параграфі графіки зростання заборгованості, то вийде наступна картина:

;color:#000000">
Порівняння графіків зростання заборгованості за методами простих та складних відсотків.

Таким чином, якщо використовується одна і та ж процентна ставка, то:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">для проміжків часу менше року заборгованість, знайдена за методом простих відсотків, завжди буде більше заборгованості, знайденої за методом складних відсотків;
для проміжків часу більше року, навпаки, заборгованість, знайдена за методом складних відсотків, завжди буде більшою заборгованості, знайденою за методом простих відсотків;
;font-family:"Times New Roman";color:#000000">ну і, зрозуміло, для проміжку часу, що дорівнює одному році, результати збігаються.

При цьому, якщо процентна ставка невелика, а проміжок часу менше року, то S;vertical-align:sub">сл>>(t) і S ;vertical-align:sub">пр ">(t) досить близькі один до одного. Однак завжди треба пам'ятати, що якщо ці умови не виконуються, то розбіжності в результатах можуть бути значними!"

">Приклад
На початку 90-х років, у період сильної інфляції, російські банки пропонували дуже великі, обчислювані сотнями відсотків, процентні ставки за рублевими вкладами та кредитами.

Як приклад подивимося, до яких розбіжностей може привести використання простих відсотків для піврічного вкладу, коли відсоткова ставка становить 300% річних. Якщо розмір вкладу становить S рублів, то через півроку на рахунку вкладника буде сума

" xml:lang="en-US" lang="en-US">\

"Якби банк використав складні відсотки, то підсумкова сума склала б

" xml:lang="en-US" lang="en-US">\

Різниця в результатах складає ½S, або 25% щодо складного підсумку.

;font-family:"Times New Roman"">4 КОМБІНОВАНІ СХЕМИ НАЧИСЛЕННЯ ВІДСОТКІВ

На практиці для тривалих, але не цілих проміжків часу особливо педантичні кредитори іноді застосовують комбіновану схему нарахування відсотків. При цьому для цілого числа років використовується метод складних відсотків, а для нецілого «залишку» метод простих відсотків. Наприклад, якщо позичка розміром 1 млн рублів видано на 3 роки і 73 дні (73 дні – це 0,2 невисокосного року) під 10% річних, то підсумкова заборгованість може бути знайдена наступним способом:

;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">\(S(3,2) = (1+0,1)^3 \cdot (1+0,1 \ cdot 0,2) \ cdot 1 \ 000 \ 000 = 1 \ 357 \ 620 \);color:#000000">рублів ;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">.

Комбінування простих і складних відсотків може також природним чином виникати при багаторазовому повторенні однієї і тієї ж короткострокової операції. Наприклад, банки пропонують своїм клієнтам короткострокові депозити (вклади) на строки від місяця до року. Протягом періоду дії депозитного договору збільшення суми на рахунку вкладника відбувається за простою схемою.По закінченні терміну вкладу відбувається капіталізація (приєднання відсоткових грошей до вихідної суми).Якщо клієнт не забирає гроші, то договір по вкладу пролонгується на новий термін і базою для нарахування відсотків стає вже збільшена сума. погляду клієнта банку сума вкладу, залишеного на кілька термінів, зростатиме за схемою складних відсотків:

де t ? тривалість того самого «базового» вкладу, а n ? число періодів.

">Приклад
Якийсь банк пропонує своїм клієнтам термінові вклади терміном на півроку під просту відсоткову ставку 10% річних. Якщо клієнт цього банку поклав на депозит 200 000 рублів, а потім двічі продовжував договір по вкладу, то через півтора роки він зняв зі свого рахунку

;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">\(S(1,5) = (1+0,1 \cdot \frac(1)(2))^ 3 \ cdot 200 \ 000 = 231 \ 525 \);color:#000000">рублів ;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">.

;font-family:"Times New Roman"">5 НОМІНАЛЬНА ПРОЦЕНТНА СТАВКА

З цього параграфа ми починаємо розгляд методу складних відсотків, не так часто застосовуваного в кредитуванні, як метод простих відсотків, але широко поширеного в інших галузях фінансів. Зокрема, метод складних відсотків використовується для нарахування процентних грошей за довгостроковими вкладами (тривалістю більше року ).

Нагадаю, що сенс цього методу виражається фразою «нарахування відсотків на відсотки». Це означає, що заборгованість позичальника в попередній момент часу служить основою для нарахування відсотків у наступний момент. При цьому розмір заборгованості збільшується в геометричній прогресії (або відповідно до показової функцією, якщо вважати час безперервним.) Наприклад, якщо вкладник поклав у банк 100 тисяч рублів під складну процентну ставку i = 6%, то через, скажімо, п'ять місяців на його рахунку буде сума

;color:#000000">S(5/12) = (1 + i);vertical-align:super;color:#000000">5/12;color:#000000">S ;vertical-align:sub;color:#000000">0;color:#000000"> = 1,06 ;vertical-align:super;color:#000000">5/12;color:#000000"> · 100 000 ≈ 102 458 рублів.

; font-family: "Times New Roman"">5.1 Поняття номінальної процентної ставки

Зрозуміло, що без спеціальної техніки проводити такі обчислення не дуже зручно, а до недавнього часу це було можливо тільки за допомогою спеціальних таблиць за табуйованими множниками нарощення. ставок практично застосовуються так звані номінальні відсоткові ставки, їх суть полягає в наступному.

"Якщо ви поклали гроші в банк, то відсотки за вкладом будуть нараховуватися не безперервно, а з деякою періодичністю - раз на рік, квартал, місяць або навіть день. Цей процес нарахування відсоткових грошей та їх приєднання до суми вкладу називається "капіталізацією відсотків" Так от, припустимо, що капіталізація відсотків відбувається m разів на рік.Тоді, якщо відома j номінальна відсоткова ставка за вкладом, то щоразу при нарахуванні відсотків сума на рахунку вкладника буде збільшуватися в(1 + \dfrac(j)(m )\) раз.

Зрозуміло, що по суті йдеться про застосування комбінованої схеми простих і складних відсотків.

">Приклад
Вкладник поклав на рахунок у банку суму 200 тисяч рублів. Якщо номінальна відсоткова ставка за вкладом дорівнює 8%, а відсотки капіталізуються раз на квартал (банк, зрозуміло, використовує складні відсотки), то через півроку (тобто після двох нарахувань відсотків) сума на рахунку вкладника складатиме

;color:#000000">200 000 · (1 + 0,08/4);vertical-align:super;color:#000000">2; color: # 000000 "> = 208080 рублів.

;font-family:"Times New Roman"">5.2 Ефективна процентна ставка

Якщо задана номінальна процентна ставка, і капіталізація відсотків здійснюється m раз на рік, то за рік сума вкладу збільшиться в

" xml:lang="en-US" lang="en-US">\(\left(1+ \dfrac(j)(m) \right)^m\)

"Раз.

"Оскільки, з іншого боку, завжди має виконуватися співвідношення для складної процентної ставки:

"xml:lang="en-US" lang="en-US">S(1) = (1+ i) S;vertical-align:sub" xml:lang="en-US" lang="en-US">0

">то

"xml:lang="en-US" lang="en-US">\[\tag(15.1) i = \left(1+ \frac(j)(m) \right)^m - 1\]

Знайдена таким чином складна відсоткова ставка називається «ефективною», оскільки вона, на відміну від номінальної ставки, характеризує справжню дохідність (ефективність) позичкової операції.

">Приклад
Якщо номінальна ставка за вкладом дорівнює 18%, і відсотки нараховуються щомісяця, ефективна відсоткова ставка становитиме

;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">\(i = \left(1+ \dfrac(0,18)(12) \right)^(12) - 1 \approx 0,1956 = 19,56\%\);color:#000000">річних;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">,

Тобто на півтора відсотка більше, ніж заявлено.

Взагалі кажучи, ефективна відсоткова ставка завжди більша, ніж номінальна. У цьому неважко переконатися, розклавши праву частину співвідношення (15.1) за формулою бінома Ньютона.

;font-family:"Times New Roman"">5.3 Безперервне нарахування складних відсотків

Як відомо, для числа x, що прагне до нескінченності, існує межа

"xml:lang="en-US" lang="en-US">\[\lim_(x \to \infty) \left(1 + \frac(1)(x) \right)^x = e, \]

де e = 2,718281828... основа натуральних логарифмів. Ця формула називається другою чудовою межею. З неї випливає, зокрема, що справедливе співвідношення

">\[\ " xml:lang="en-US" lang="en-US">lim">_{ " xml:lang="en-US" lang="en-US">m"> \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">to"> \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">infty">} \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">left">(1 + \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">frac">{ " xml:lang="en-US" lang="en-US">j">}{ " xml:lang="en-US" lang="en-US">m">} \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">right">)^ " xml:lang="en-US" lang="en-US">m"> = " xml:lang="en-US" lang="en-US">e">^ " xml:lang="en-US" lang="en-US">j">\]

"Отже, якщо капіталізація відсотків здійснюється досить часто, наприклад, щодня, то ефективну відсоткову ставку можна приблизно знайти наступним чином:

">\[\ " xml:lang="en-US" lang="en-US">tag">{15.2} " xml:lang="en-US" lang="en-US">i"> \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">approxe">^ " xml:lang="en-US" lang="en-US">j"> - 1\]

">Приклад
Знову припускатимемо, що номінальна процентна ставка за вкладом становить 18%, але капіталізація відсотків здійснюється щодня (m = 365). Точне значення ефективної процентної ставки, знайдене за формулою (15.1), дорівнює

Якщо ж використовувати наближену формулу (15.2), то можна отримати наступний результат:

;color:#000000">i ≈ e ;vertical-align:super;color:#000000">0,18;color:#000000"> 1 = 0,197217...

Як бачите, розбіжність зовсім невелика.

6 Відсоткові нарахування

Для нарахування відсотків за вкладами (депозитами), та й кредитами теж, застосовуються наступні формули відсотків:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">формула простих відсотків,
; font - family: "Times New Roman";

Порядок нарахування відсотків формулам здійснюється з використанням фіксованої або плаваючої ставки.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Фіксована ставка, це коли встановлена за вкладом банку відсоткова ставка, закріплена в депозитному договорі і залишається незмінною весь термін вкладення коштів, тобто фіксується. Така ставка може змінитись тільки в момент автоматичної пролонгації договору на новий строк або за дострокового розірвання договірних відносин та виплати відсотків за фактичний термін вкладення за ставкою «до запитання», що обумовлюється умовами.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Плаваюча ставка, це коли спочатку встановлена за договором процентна ставка може змінюватися протягом усього терміну вкладення. Умови та порядок зміни ставок обумовлюються в депозитному договорі. Процентні ставки можуть змінюватися : у зв'язку зі змінами ставки рефінансування, зі зміною курсу валюти, з переходом суми вкладу в іншу категорію та іншими факторами.

Для нарахування відсотків із застосуванням формул, необхідно знати параметри вкладення коштів на депозитний рахунок, а саме:

; font-family: "Times New Roman"; color: # 000000"
;font-family:"Times New Roman";color:#000000">відсоткову ставку за вибраним вкладом (депозитом),
;font-family:"Times New Roman";color:#000000">циклічність нарахування відсотків (щодня, щомісячно, щоквартально і т.д.),
термін розміщення вкладу (депозиту), ;font-family:"Times New Roman";
іноді потрібно і вид використовуваної процентної ставки - фіксованої або плаваючої.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Формула простих відсотків застосовується, якщо проценти, що нараховуються на вклад, зараховуються до вкладу тільки в кінці строку депозиту або взагалі не зараховуються, а переводяться на окремий рахунок, тобто. Розрахунок простих відсотків не передбачає капіталізації процентів При виборі виду вкладу, на порядок нарахування відсотків варто звертати увагу: коли сума вкладу та термін розміщення значні, а банком застосовується формула простих відсотків, це призводить до заниження суми процентного доходу вкладника.

Формула простих відсотків за вкладами виглядає так:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">S | сума грошових коштів, що належать до повернення вкладнику після закінчення строку депозиту.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">t;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> - кількість днів нарахування відсотків за залученим вкладом.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">P | первісна сума залучених у депозит грошових коштів.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">

Якщо нараховані за вкладом відсотки, зараховуються до вкладу через рівні проміжки часу (щодня, щомісяця, щоквартально), то в цих випадках сума відсотків розраховується за формулою складних відсотків. Складні відсотки передбачають капіталізацію відсотків (нарахування відсотків на відсотки) Для розрахунку складних відсотків можна застосовувати дві формули складних відсотків за вкладами, які мають такий вигляд:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000>> I річна відсоткова ставка.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">t | кількість днів нарахування відсотків за залученим вкладом.

кількість днів у календарному році (365 або 366).

сума залучених у депозит грошових коштів.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Sp сума відсотків (доходів).

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">n | число періодів нарахування відсотків.

сума вкладу (депозиту) з відсотками.

Однак, при розрахунку відсотків простіше спочатку обчислити загальну суму вкладу з відсотками, і тільки потім обчислювати суму відсотків (доходів).;font-family:"Times New Roman"">
БІБЛІОРГРАФІЧНИЙ СПИСОК

Техніка фінансово-економічних розрахунків: Учеб. посібник. М.: Фінанси та математика, 2000. 80с.: іл.
Джон К. ХаллГлава 4. Відсоткові ставки // Опціони, ф'ючерси та інші похідні фінансові інструменти = Options, FuturesandOtherDerivatives. 6-е вид. М.:;font-family:"Times New Roman"">«Вільямс»; font-family: "Times New Roman"">, 2007. С. 133-165.
;font-family:"Times New Roman"">http://forexaw.com/Cont-Economy/
; font-family: "Times New Roman"">http://www.bibliotekar.ru/
; font-family: "Times New Roman"">http://ua.wikipedia.org/

;font-family:"Times New Roman"">
ВИСНОВОК

Нині в умовах стабілізації економіки ніша послуг банківського кредитування для російського ринку ще не заповнена, тобто можна виділити кредитування як найбільш перспективний засіб отримання доходів банками.

В умовах стабілізації економіки намітилася тенденція збільшення обсягу запозичень у промисловості та банкам для залучення потенційних позичальників. , отже, необхідно детальніше розглядати складові, формують величину відсоткової ставки, які впливають вартість кредитів.

Також в умовах стабілізації економіки стає можливим розширення такого перспективного напряму, що володіє величезним потенціалом кредитування споживчого сектора.

;font-family:"Times New Roman"">
ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

; font-family: "Times New Roman"">Завдання 1

Банк пропонує 17% річних за розміщення грошових коштів на депозитних рахунках, що відкриваються ним. Використовуючи формулу дисконтування, розрахуйте розмір початкового вкладу, щоб через 4 роки мати на рахунку 180 тис. руб.

;font-family:"Times New Roman"">Рішення

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S = P * (1+i);font-family:"Times New Roman";vertical-align:super" xml:lang="en-US" lang="en-US">n

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">180 000 = P * (1+0,17);font-family:"Times New Roman";vertical-align:super" xml:lang="en-US" lang="en-US">4

;font-family:"Times New Roman"">180;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">;font-family:"Times New Roman"">000 =;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P; font-family: "Times New Roman""> * 1,8738

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P;font-family:"Times New Roman""> = 96;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">; font-family: "Times New Roman"">061руб.

Відповідь: для того, щоб мати на вкладі через 4 роки 180 тис. руб., Необхідно, щоб розмір початкового вкладу становив 96 061 рубль.

;font-family:"Times New Roman"">Завдання 2

Громадянин отримав у банку іпотечну позику у розмірі 1,5 млн рублів терміном на 8 років на наступних умовах: для першого року відсоткова ставка складних відсотків дорівнює 14% річних;на наступні два роки встановлюється маржа в розмірі 0,5% і на наступні роки маржа дорівнює 0,7% Знайти суму, яку громадянин повинен повернути до банку після закінчення строку позики.

;font-family:"Times New Roman"">Рішення

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S = P×((1+i1)*n1 +(1+i2)*n2 + … +(1+ik)*nk)

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S;font-family:"Times New Roman""> = 1;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">;font-family:"Times New Roman"">500;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">;font-family:"Times New Roman"">000 × ((1+0,14) + (1+0,145)*2 + (1+0,152)*5)) = 1;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">;font-family:"Times New Roman"">500;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">; font-family: "Times New Roman"">000 * 9,19 = 13;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">;font-family:"Times New Roman"">785;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">; font-family: "Times New Roman" ">000 рублів.

Відповідь: громадянин після закінчення терміну позички повинен повернути в банк 13, 785 млн. рублів.

;font-family:"Times New Roman"">Завдання 3

Організація, маючи вільні кошти в розмірі 2-х млн руб., має намір інвестувати їх на строк 5 років. Можливі два варіанти вкладень, визначте більш вигідний з них:

а) кошти вносяться на депозитний рахунок у банку з нарахуванням відсотків кожні 6 місяців за ставкою 18% річних;

б) кошти передаються іншій організації як позичка з нарахуванням 24% щорічно.

;font-family:"Times New Roman"">Рішення

;font-family:"Times New Roman"">а);font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S;font-family:"Times New Roman""> = 2 000;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">; font-family: "Times New Roman"">000 * (1+0,18/2);font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">10;font-family:"Times New Roman"">= 2;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">;font-family:"Times New Roman"">000;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">; font-family: "Times New Roman" "> 000 * 2,37 = 4740000 руб.

;font-family:"Times New Roman"">б);font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S;font-family:"Times New Roman""> = 2;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">;font-family:"Times New Roman"">000;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">; font-family: "Times New Roman"">000 * (1+0,24);font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">5;font-family:"Times New Roman"">= 2;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">;font-family:"Times New Roman"">000;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">; font-family: "Times New Roman"">000 * 2,93 = 5;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">;font-family:"Times New Roman"">860;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">; font-family: "Times New Roman"">000 руб.

Відповідь: другий варіант більш вигідний.

;font-family:"Times New Roman"">Завдання 4

Визначте необхідну суму вкладу в цьому, щоб через два роки мати накопичення в розмірі 150 тис. руб. Річна ставка відсотка 11%, нарахування відсотків проводиться 1 раз на квартал за схемою складного відсотка.

;font-family:"Times New Roman"">Рішення

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S = P * (1+i/m);font-family:"Times New Roman";vertical-align:super" xml:lang="en-US" lang="en-US">m*n

;font-family:"Times New Roman"">150;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">;font-family:"Times New Roman"">000 =;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P;font-family:"Times New Roman"">*;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">;font-family:"Times New Roman"">(1+0,11/4);font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">4*2

;font-family:"Times New Roman"">150;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">;font-family:"Times New Roman"">000 =;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P;font-family:"Times New Roman"">* (1+0,0275);font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">8;font-family:"Times New Roman"">

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P;font-family:"Times New Roman""> = 120;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">;font-family:"Times New Roman"">968

Відповідь: необхідна сума вкладу - 120 968 рублів.

;font-family:"Times New Roman"">Завдання 5

Через півроку після укладання фінансової угоди про отримання кредиту боржник зобов'язаний заплатити 317 тис. руб. Яка первісна величина кредиту, якщо він виданий під 18% річних і нараховуються прості відсотки з наближеним числом днів?

;font-family:"Times New Roman"">Рішення

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S =P × (1+n×i)

;font-family:"Times New Roman"">де;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S;font-family:"Times New Roman""> - нарощена сума,

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P;font-family:"Times New Roman""> - сума боргу,

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">n; font-family: "Times New Roman""> - термін (частка від року)

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">i; font-family: "Times New Roman"" - ставка відсотка.

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P;font-family:"Times New Roman""> =;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S;font-family:"Times New Roman"">/ (1+;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">n;font-family:"Times New Roman"">×;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">i;font-family:"Times New Roman"">)

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">n; font-family: "Times New Roman""> = 180/360 = 0,5.

; font-family: "Times New Roman" "> Р = 317 000 / (1 + 0,5 × 0,18) = 317 000 / 1, 09 = 290 826 руб.

Відповідь: початкова величина кредиту склала 290 826 рублів.

Беспалова Катерина

Зміст роботи відповідає заявленій темі та викладається відповідно до успішно складеного плану. У розділі «Вступ» визначено тему, мету та завдання роботи, а також перераховано методи дослідження. Поставлені цілі та завдання роботи досить грамотно та переконливо підтверджуються матеріалами роботи. Автори успішно використали такі методи, як аналіз, синтез, порівняння. Матеріали роботи свідчать, що дослідники уважно вивчили теоретичний матеріал з цієї теми, провели розрахунки і зробили власні висновки. Прикладне значення цієї теми дуже велике і торкається фінансової, економічної, демографічної та інших сфер нашого життя. Розуміння відсотків та вміння виконувати процентні обчислення та розрахунки необхідне кожній людині, оскільки з відсотками ми стикаємося у повсякденному житті. У теоретичній частині проектної роботи представлено все, що необхідно знати про прості та складні відсотки: формули, пояснення та розрахунки за цими формулами. Хорошим доповненням роботи є дослідницька частина, присвячена порівняльному аналізу складних і простих відсотків, що показує придатність складних відсотків у банківській системі. Студентка самостійно провела дослідження з вкладів фізичних осіб у різних банках, зробивши обґрунтований висновок про те, що складні відсотки відіграють велику роль в економіці та банківській системі. Матеріал може бути корисним викладачам математики, економіки, які навчаються освітніх організацій.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Державна бюджетна професійна освітня установа Республіки Хакасія «Технікум комунального господарства та сервісу»

Тема проекту:

« Застосування складних відсотків у економічних розрахунках»

Науковий керівник: Чердинцева Л.А.

Студентка: Беспалова Катерина Андріївна

Група: ТТ-11

Абакан, 2016

Вступ

Щодня ми робимо те саме - ми живемо, працюємо, їмо і спимо, для нас це повсякденне життя. Ми навіть не помічаємо, що багато термінів пов'язані з повсякденним життям. Наприклад, економіка - це частина повсякденного життя. Люди беруть щоденну участь в економічній діяльності, живуть в економічному середовищі. У свою чергу, жодна економіка не обходиться без відсотків. Відсотки оточують нас скрізь.

Адже відсотки з'явилися ще в давнину у вавилонян. Грошові розрахунки з відсотками були поширені у Стародавньому Римі. Римляни називали відсотками гроші, які платив боржник позикодавцю за сотню. Від римлян відсотки перейшли до інших народів.

В даний час відсотки застосовуються у всіх економічних сферах діяльності: на підприємствах, у статистиці, у банківській системі тощо. Ми покажемо свою роботу на прикладі банків.

Чому саме банки? Банки знаходяться в центрі економічного життя, обслуговують інтереси виробників, пов'язуючи грошовим потоком промисловість та торгівлю, сільське господарство та населення. У всьому світі банки мають значну владу та вплив, вони розпоряджаються величезним грошовим капіталом, що стікається до них від підприємств та фірм, від торговців та фермерів, від держави та приватних осіб.

Навіщо людина несе свої заощадження до банку? Звичайно ж, щоб забезпечити їхню безпеку, і найголовніше - отримати доходи. І ось тут знання формули простих чи складних відсотків, а також уміння скласти попередній розрахунок відсотків за вкладом як ніколи стане в нагоді. Адже прогнозування відсотків за вкладами чи відсотків за кредитами належить до однієї зі складових розумного управління своїми фінансами.

У цьому полягає актуальність теми.

Мета роботи:

Дослідження простих та складних відсотків у економічних розрахунках.

Завдання:

Порівняти прості та складні відсотки за вкладами фізичних осіб.

Порівняти дохід за вкладами фізичних осіб із застосуванням формул складного відсотка залежно від часового проміжку.

Провести аналіз доходів за вкладами фізичних осіб у різних банках.

Відсотки

Відсоток-це сума, яку сплачують за користування грошима.

Відсотки поділяються на прості та складні

1) Прості відсотки – відсотки, які нараховуються на первісну суму.

S - сума коштів, належних до повернення вкладнику після закінчення терміну депозиту (тобто вкладу).

I – річна процентна ставка

t – кількість днів нарахування відсотків за залученим вкладом

K – кількість днів у календарному році (365 або 366)

P – первісна сума залучених у депозит коштів

Ми вигадали завдання, щоб ви побачили, як застосовуються прості відсотки в банківських розрахунках.

Завдання 1.

У банк зробили вклад сумою 100000 крб., а ще через 5 років у рахунку було 168000 крб. Визначте відсоткову ставку банку, використовуючи прості відсотки.

Рішення:

I = (168000-100000) * (365 * 100%) / 100000 * 1825 = 13, 6%

Відповідь: 13,6% ставка.

2) Складні відсотки – відсотки, одержані на нараховані відсотки.

I – річна відсоткова ставка;

j – кількість календарних днів у періоді, за підсумками якого банк здійснює капіталізацію нарахованих відсотків;

K – кількість днів у календарному році (365 чи 366);

P – первісна сума залучених у депозит коштів;

n - кількість операцій із капіталізації нарахованих відсотків протягом загального терміну залучення коштів;

S - сума коштів, що належать до повернення вкладнику після закінчення строку депозиту. Вона складається із суми вкладу з відсотками.

А тепер так само вирішимо завдання, але вже зі складними відсотками

Завдання 2.

У банк зробили внесок сумою 100000 руб. під 13,6%, на 5 років. Нарахування відсотків – щорічно. Яку суму грошей зніме вкладник із рахунку після закінчення 5 років?

Рішення:

S = 100000 * (1 + (13, 6% * 365) / 365 * 100%) 5 = 100000 * 1, 1365 = 189187, 2 руб.

Відповідь: 189187,2 руб.

Давайте порівняємо прості і складні відсотки, щоб все ж таки зрозуміти, яка є між ними різниця:

Завдання 3. У банк зробили внесок сумою 100000 руб. під 12% на 10 років. Визначити яка сума грошей буде за кожен рік, використовуючи прості та складні відсотки.

У таблиці бачимо, що вигідніше використовувати складні відсотки:

Графік зростання капіталу із застосуванням простих та складних відсотків:

А тепер давайте порівняємо складні відсотки за вкладом залежно від часового проміжку.

Завдання 4. У банк зробили внесок сумою 100000 руб. на рік під відсоткову ставку 12% річних. Порівняти суми, які будуть додаватися до повернення вкладнику при нарахуванні відсотків: щоденному, щотижневому, щомісячному, щоквартальному, за півріччями та щорічному.

У таблиці бачимо, що частіше проміжок нарахування відсотків, то більше вписувалося дохід ми отримуємо.

Вивчаючи прості та складні відсотки, ми провели аналіз у який банк на даний момент краще вкласти гроші та чому.

За основу ми взяли три банки – це «Бінбанк», «Альфа-банк» та «ВТБ 24».

ВТБ 24 – вклад «Вигідний»

Альфа-банк – вклад «Перемога»

Бінбанк – вклад «Максимальний дохід»

Завдання 5. Ми маємо 500 000 руб. і вибираємо який банк покласти цю суму щоб одержати найбільшого доходу за 1 рік.

На даний момент, найкраще робити внесок в «Альфа-банку»

Висновок:

Провели дослідження простих та складних відсотків у економічних розрахунках.

Порівняли прості та складні відсотки за вкладами фізичних осіб.

Порівняли дохід за вкладами фізичних осіб із застосуванням формул складного відсотка залежно від часового проміжку.

Провели аналіз доходів за вкладами фізичних осіб до різних банків

. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ ТА ІНТЕРНЕТ РЕСУРСІВ

1. Четиркін, Є. М. Фінансова математика / Є. М. Четиркін,

підручник. - 6-те вид., Випр. - М.: Справа, 2006. - 399 с.2. Самаров, К. Л. Фінансова математика: Практ. курс: навч. посібник / К. Л Самаров. - М.: Альфа-М; ІНФРА-М, 2006. – 78 с.

3. Фінансова математика: підручник для вузів/П. П. Бочаров. - 2-ге вид. – М.: Фізматліт, 2005. – 574 с.

4 Фінансова математика: учеб.-метод. комплекс / С. Г. Валєєв. -Ульяновськ: УлДТУ, 2005. – 106 с.

5. Фінансова математика. В. Малихін: http://www.finansmat.ru/.

6. Фінансова математика. А. Федоров (лекції): http://wdw2005.narod.ru/FM_lec.htm#_Toc179997391.

7. Математичне бюро: http://www.matburo.ru/index.php.

8. Фінансова математика (лекції):

http://treadwelltechnologies.com/index.html.

9. Фінансовий аналіз: http://www.finances-analysis.ru/financial-maths/.

10. Знання - у маси: http://www.finmath.ru/.