ცვლადი დიფერენციალური თანასწორობების სისტემის (SODE) მატრიცული აღნიშვნა მუდმივი კოეფიციენტებით

წრფივი ჰომოგენური SODE მუდმივი კოეფიციენტებით $\left\(\begin(მასივი)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_(2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(მასივი)\right.$,

de $y_(1)\left(x\მარჯვნივ),\; y_(2)\მარცხნივ(x\მარჯვნივ),\; \ldots,\; y_(n) \left(x\right)$ -- დამოუკიდებელი ცვლილების აუცილებელი ფუნქციები $x$, კოეფიციენტები $a_(jk) ,\; 1 \ le j, k \ le n $ - მოცემული ფაქტობრივი რიცხვები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მატრიცის აღნიშვნით:

1. ხმაურის მატრიცა $Y=\left(\begin(მასივი)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) \ მარცხენა (x \ მარჯვნივ)) \ ბოლოს (მასივი) \ მარჯვნივ) $;
2. ბოლო ამონახსნების მატრიცა $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(მასივი)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(მასივი)\right)$;
3. კოეფიციენტის მატრიცა $A=\left(\begin(მასივი)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_ (n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(მასივი)\მარჯვნივ)$.

ახლა, მატრიცის გამრავლების წესის საფუძველზე, მოცემული SODE შეიძლება დაიწეროს მატრიცის გასწორების თვალსაზრისით $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.

SODE-ს მიღწევის გლობალური მეთოდი მუდმივი კოეფიციენტებით

ვთქვათ ათობითი რიცხვების მატრიცა $\alpha =\left(\begin(მასივი)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\ ალფა _ (n) ) \end(მასივი)\მარჯვნივ)$.

SODE ამოხსნა ასე გამოიყურება: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots, $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. მატრიცის სახით: $Y=\left(\begin(მასივი)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(მაივი )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(მასივი)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots) \\ (\alpha _(n) ) \end(მასივი)\მარჯვნივ)$.

Გთხოვთ გაითვალისწინოთ:

ახლა მოცემული SODE-ის მატრიცული გასწორება შეიძლება მიღებულ იქნეს ნახვით:

ოტრიმანის გათანაბრება შეიძლება ასე გაკეთდეს:

დარჩენილი თანასწორობა აჩვენებს, რომ $A$ დამატებითი მატრიცის უკან $\alpha$ ვექტორი გარდაიქმნება პარალელურ ვექტორად $k\cdot\alpha$. Tse ნიშნავს, რომ ვექტორი $\alpha $ არის $A$ მატრიცის მოცემული ვექტორი, რომელიც ემთხვევა $k$ მოცემულ მნიშვნელობას.

რიცხვი $k$ შეიძლება აღებული იყოს $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(მასივი)\right|=0$.

ფასს დამახასიათებელი ჰქვია.

მიეცით დამახასიათებელი სხვაობის გათანაბრების $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) ფესვები. კანის ღირებულებისთვის $k_(i) $ іz სისტემა $\left(\begin(მასივი)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(მასივი)\მარჯვნივ)\cdot \left(\ დასაწყისი(მასივი)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(მასივი)\right)=0$ $\მარცხნივ(\ დასაწყისი (მასივი) (გ) (\ალფა _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i\right)) ) \\ (\ldots ) \\ (\ალფა _(n)^(\left(i\right)) ) \end(მასივი)\მარჯვნივ)$.

ამ მატრიცის ერთ-ერთი მნიშვნელობა საკმარისია ასარჩევად.

დანარჩენი, ამ სისტემის ამოხსნა მატრიცის სახით იწერება შემდეგნაირად:

$\left(\begin(მაივი)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(მაივი)\right)=\ მარცხენა (\ დასაწყისი (მასივი) (cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\მარჯვნივ)) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\მარჯვნივ)) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\მარჯვნივ)) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(მასივი)\right)\cdot \left(\begin(მასივი)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n ) \cdot x) ) \end(მასივი)\მარჯვნივ)$,

de $ C_ (i) $ - dovіlnі postіynі.

მენეჯერი

დაარღვიე RC სისტემა $\left\(\begin(მასივი)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_ ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(მასივი)\right.$.

დაწერეთ სისტემის მატრიცა: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(marix)\right)$.

მატრიცის ფორმას აქვს SODE დაწერილი შემდეგნაირად: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt)) \end (მასივი)\right)=\left(\begin(მაივი)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end (მაივი)\right)\cdot \left(\ დასაწყისი( მასივი)(გ) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(მასივი)\მარჯვნივ)$.

Otrimuёmo დამახასიათებელი თანაბარია:

$\left|\begin(მასივი)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(მასივი)\right|=0$ შემდეგ $k^(2) -10 cdot k + 9 = $0.

დამახასიათებელი გათანაბრების ფესვი: $ k_(1) = $1, $ k_(2) = $9.

ჩვენ ვქმნით სისტემას $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ ) მარჯვნივ)) ) \end(მასივი)\right)$ $k_(1) =1$:

\[\ მარცხენა (\ დასაწყისი (მასივი) (cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \ბოლო (მასივი)\მარჯვნივ)\cdot \ მარცხენა (\ დასაწყისი (მასივი) (გ) (\ალფა _(1)^(\მარცხნივ(1\მარჯვნივ)) \\ (\ალფა _(2)^(\left(1\მარჯვნივ)) ) \ დასასრული (მასივი)\მარჯვნივ)=0,\]

შემდეგ $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\მარჯვნივ)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\მარჯვნივ)) = $0.

თუ დააყენებთ $ \ alpha _ (1) ^ ( \ მარცხნივ (1 \ მარჯვნივ)) = 1 $, მაშინ $ \ alpha _ (2) ^ ( \ მარცხნივ (1 \ მარჯვნივ)) = -1 $.

ჩვენ ვქმნით სისტემას $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ ) მარჯვნივ)) ) \end(მასივი)\right)$ $k_(2) =9$-ისთვის:

\[\ მარცხენა (\ დასაწყისი (მასივი) (cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end (მაივი)\მარჯვნივ)\cdot \ მარცხენა (\ დასაწყისი (მასივი) (გ) (\ალფა _(1)^(\მარცხნივ(2\მარჯვნივ)) ) \\ (\ალფა _(2)^(\მარცხნივ(2\მარჯვნივ)) ) \ დასასრული (მასივი)\მარჯვნივ)=0,\]

შემდეგ $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\მარჯვნივ)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\მარჯვნივ)) = $0.

თუ დააყენებთ $ \ alpha _ (1) ^ ( \ მარცხნივ (2 \ მარჯვნივ)) = 1 $, მიიღებთ $ \ alpha _ (2) ^ ( \ მარცხნივ (2 \ მარჯვნივ)) = 1 $.

ჩვენ შეგვიძლია ამოხსნათ SODE მატრიცის სახით:

\[\left(\begin(მაივი)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(მაივი)\right)=\left(\begin(მაივი)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(მასივი)\მარჯვნივ)\cdot \left(\ დასაწყისი(მასივი)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(მასივი)\მარჯვნივ).\]

SODE ხსნარის პირველადი ფორმა შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს: $\left\(\begin(მასივი)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \ cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \ დასასრული (მასივი )\right.$.

................................ 1

1. შესავალი ..................................................... ..................................................... .. 2

2. 1-ლი რიგის დიფერენციალური ტოლობების სისტემები .............................. 3

3. I რიგის წრფივი დიფერენციალური ტოლობების სისტემები......... 2

4. წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური ტოლობების სისტემები მუდმივი კოეფიციენტებით ...................................... ...................................................... ..................................... 3

5. 1-ლი რიგის არაერთგვაროვანი დიფერენციალური ტოლობების სისტემები მუდმივი კოეფიციენტებით. ..................................................... ...... 2

ლაპლასის რეინკარნაცია................................................................................ 1

6. შესავალი ..................................................... ..................................................... .. 2

7. ლაპლასის ძლიერი რეინკარნაცია .............................................. .................. 3

8. ლაპლასის ტრანსფორმაციის პროგრამა .............................................. ............ 2

ინტეგრალური გასწორების შესავალი............................................................... 1

9. შესავალი ..................................................... ..................................................... .. 2

10. წრფივი ინტეგრალური ტოლობების ზოგადი თეორიის ელემენტები ............... 3

11. მე-2 სახის ფრედჰოლმის ინტეგრალის ტოლობების იტერაციული ვარიაციის გააზრება .................................. ..................................................... ................................................... 2

12. რივნიანია ვოლტერა................................................ ................................ 2

13. Razv'yazannya Volterra-ს rіvnyan rіvnicem core z vikoristannya-ს ლაპლასის ტრანსფორმაცია. ...................................... 2

ცვლადი დიფერენციალური თანასწორობების სისტემები

შესვლა

დიდი დიფერენციალური ტოლობების სისტემები შედგება რამდენიმე თანაბარი ტოლებისგან, რათა შურისძიება მოხდეს ერთი ცვლადის უცნობი უცნობი ფუნქციებისთვის. Zagalom ასეთი სისტემა შეიძლება გამოიყურებოდეს

დე - უცნობი ფუნქციები, ტ- დამოუკიდებელი ცვლილება; ასეთი სისტემის განადგურება ნიშნავს ყველა იმ ფუნქციის ცოდნას, რაც თქვენს სისტემას მოსწონს.

ნიუტონის კონდახის მსგავსად, რომელიც აღწერს სხეულის მასის მოძრაობას ძალის ძალის ქვეშ:

დე - ვექტორი, კოორდინატების კუბიდან სხეულის ამჟამინდელ მდგომარეობამდე დახატვა. დეკარტის კოორდინატთა სისტემას აქვს є ფუნქციები ამ თანმიმდევრობით, განტოლება (1.2) მცირდება სხვადასხვა რიგის სამ დიფერენციალურ განტოლებამდე

ნაცნობი ფუნქციებისთვის საათის კანის მომენტში, ცხადია, სხეულის კობის პოზიციის და საათის კობის მომენტის ცოდნის საჭიროება არის სულ 6 კობ გონება (რომლებიც დაფუძნებულია სხვადასხვა რიგის სამი ტოლის სისტემებზე) :

რივნიანია (1.3) ერთბაშად კობრის გონებით (1.4) აკმაყოფილებს კოშის დავალებას, ისევე როგორც, როგორც ფიზიკური მირკუვანიდან გაიგეს, ერთადერთი გამოსავალი, რომელიც აძლევს სხეულის მოძრაობას სპეციფიკურ ტრაექტორიას, თითქოს ძალა აკმაყოფილებს გონივრულ კრიტერიუმებს. სიგლუვის.

მნიშვნელოვანია, რომ პროექტი შეიძლება განახლდეს 6 პირველი რიგის მოთხოვნის სისტემაზე ახალი ფუნქციების განსახორციელებლად. მნიშვნელოვნად ფუნქციონირებს, რადგან ჩვენ შემოგთავაზებთ სამ ახალ ფუნქციას, რომლებიც დანიშნულია მომავალი რანგის მიხედვით

სისტემა (1.3) ახლა შეიძლება გადაიწეროს როგორც

ამ გზით, ჩვენ მივედით ფუნქციების პირველი რიგის ექვსი დიფერენციალური ტოლების სისტემამდე Pochatkovі გონება tsієї სისტემის mayut vglyad

პირველი სამი კობრის გონება იძლევა სხეულის კოორდინატებს, დანარჩენი სამი - კოორდინატების ღერძის კუბის სისწრაფის პროექციას.

კონდახი 1.1.შექმენით მე-2 რიგის ორი დიფერენციალური ტოლის სისტემა

სისტემას іz chotiriokh rivnyan 1-ლი რიგი.

გამოსავალი.მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი განმარტება:

როცა სისტემიდან გამოვალ, ვნახავ

აღნიშვნის შესავალად კიდევ ორი ​​ტოლია:

ნარჩენად ვკეცავთ 1-ლი რიგის დიფერენციალური ტოლობების სისტემას, რომელიც ექვივალენტურია მე-2 რიგის ტოლობების დიფერენციალურ სისტემას.

გამოიყენეთ ეს მაგალითები სიტუაციის საილუსტრაციოდ: დიფერენციალური გათანაბრების კანის სისტემა შეიძლება მიიყვანოთ პირველი რიგის გათანაბრების სისტემამდე. Otzhe, nadalі ჩვენ შეგვიძლია obmezhitsya vyvchennyam სისტემების დიფერენციალური ტოლია 1-ლი რიგის.

1-ლი რიგის დიფერენციალური ტოლობების სისტემები

სამარცხვინო გამოიყურება სისტემა ნ 1-ლი რიგის დიფერენციალური ტოლები შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

დე - დამოუკიდებელი ცვლილების უცნობი ფუნქციები ტ, - რეალური კომპლექტის ფუნქციები. სპილენის ხსნარისისტემა (2.1) შურისძიება ნმეტი მუდმივები, ძალიან. შეიძლება გამოიყურებოდეს:

როდესაც აღწერს რეალური ამოცანები დამატებითი სისტემების დიფერენციალური ტოლები, კონკრეტული გადაწყვეტა, ან პირადი გადაწყვეტალიდერების ველური გადაწყვეტილების გამოსვლის სისტემა კობ გონები. პოჩატკოვა უმოვა ჩაწერილია კანის ფუნქციისა და სისტემისთვის ნპირველი რიგის ტოლი ასე გამოიყურება:

გადაწყვეტილებები მიიღება სივრცეში ხაზი, როგორც მას უწოდებენ განუყოფელი ხაზისისტემები (2.1).

ჩვენ ვაყალიბებთ თეორემას დიფერენციალური განტოლების სისტემების ამონახსნის საფუძველზე და ერთიანობაზე.

კოშის თეორემა.პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებების სისტემას (2.1) ერთდროულად კობ გონებიდან (2.2) შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ ერთი ამონახსნი (ასე რომ, მუდმივთა ერთი ნაკრები მიღებულია გლობალური ამონახსნიდან), ასევე ფუნქციები და მათი პირადი მნიშვნელობები. ყველა არგუმენტისთვის ამ კობ გონების გარეუბანში.

მშვენიერია გამოსავალზე წასვლა yakіysk galluzі zminnyh-ში .

დიფერენციალური თანასწორობების Razvyazannya სისტემა ხედავთ როგორ ვექტორული ფუნქცია X, ნებისმიერი ფუნქციის კომპონენტები და ფუნქციების სიმრავლე ჰგავს ვექტორულ ფუნქციას ფ, მაშინ.

Vykoristovuyuchi ასე znachennya, შეგიძლიათ მოკლედ გადაწეროთ vihіdnu სისტემა (2.1) და pochatkovі გონება (2.2) ამ წოდებებისთვის ვექტორული ფორმა:

დიფერენციალური ტოლობების სისტემის შემუშავების ერთ-ერთი მეთოდია სისტემის ამაღლება უფრო მაღალი რიგის ტოლამდე. სამი ტოლი (2.1), ისევე როგორც ტოლები, რომლებსაც აქვთ მათი დიფერენციაციები, შეიძლება მივიღოთ ერთი ტოლი ნ th ბრძანება არის თუ არა ეს უცნობი ფუნქციებიდან იოგოს ინტეგრირება, უცნობი ფუნქციის ცოდნა სხვა უცნობი ფუნქციები მოდის თანაბარი გარე სისტემიდან და შუალედური ტოლები, ოტრიმანია გარედან დიფერენციაციის დროს.

კონდახი 2.1.შექმენით პირველი რიგის ორი დიფერენციალური სისტემა

გამოსავალი. სხვა ტოლებისგან განსხვავებით:

მოდით გავჩერდეთ პირველი ხაზით

სხვა მდინარიდან

მივიღეთ მე-2 რიგის წრფივი ერთიანი დიფერენციალური განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით. იოგა უფრო დამახასიათებელი თანაბარია

ვარსკვლავები მიიღება მძიმე გადაწყვეტილებებამდე, რომელთა დიფერენციალური გათანაბრება იქნება

ჩვენ გამოვავლინეთ თანასწორობის ვიზუალური სისტემის ერთ-ერთი უცნობი ფუნქცია. Koristuyuchisya virazom შეგიძლიათ იცოდეთ მე:

Virishimo zavdannya Kosh cob გონებისთვის

წარმოვიდგინოთ, რომ სისტემის გადაწყვეტა

და ჩვენ ვიცით ინტეგრაციის მუდმივები:

ასეთ რანგში კოშის ამოცანის ფუნქციები იქნება

ამ ფუნქციების გრაფიკები ასახავს პატარა 1-ს.

ბრინჯი. 1. სისტემის კონდახის პირადი გადაწყვეტა 2.1 ინტერვალებით

კონდახი 2.2.შეამოწმეთ სისტემა

იოგას დარეკვა მე-2 რიგის ერთ ტოლამდე.

გამოსავალი.დიფერენციაცია პირველი თანაბარი, otrimaemo

Koristuyuchisya სხვა ტოლები, ჩვენ მივდივართ თანაბარი სხვადასხვა მიზნით x:

არ აქვს მნიშვნელობა ამ გადაწყვეტილების წართმევას და შემდეგ ავიღოთ ფუნქცია, შევცვალოთ ცნობილი ტოლი. შედეგად, შესაძლოა სისტემის გადაწყვეტა:

პატივისცემა.ჩვენ ვიცოდით გათანაბრების ფუნქცია. ერთი შეხედვით, შესაძლებელია იგივე გადაწყვეტილებების მიღება, სხვისი სახლის მსგავსი სისტემით წარდგენა.

და იოგას ინტეგრირება. თუ თქვენ იცით ასეთი რანგში, მაშინ გამოსავალს აქვს მესამე, მუდმივი:

თუმცა, რაც არ უნდა არასწორი იყოს, ფუნქცია კმაყოფილდება სისტემით არა საკმარისი მნიშვნელობით, არამედ მხოლოდ ასეთი რანგის შემდეგ, ინტეგრაციის გარეშე სხვა ფუნქციას ანიჭებს შემდეგს.

ჩვენ ვამატებთ i ფუნქციების კვადრატებს:

ოტრიმანის გასწორება იძლევა კონცენტრული კელების ოჯახს სიბრტყის მახლობლად კოორდინატების კუბზე ცენტრით (დივ. სურათი 2). ოპტიმალური პარამეტრული მრუდები ეწოდება ფაზის მრუდები, და ბინა, roztashovanі yakіy სუნში ფაზის თვითმფრინავი.

დღის ბოლოს გონების მსგავსი კობების დასაბუთებით, თქვენ შეგიძლიათ წაართვათ ინტეგრაციის მუდმივების მნიშვნელობები და მიუთითოთ s-ების რაოდენობა პირველი რადიუსით ფაზის სიბრტყეზე. ამგვარად, კობის გონების დერმალური ნაკრები აჩვენებს ერთფაზიან მრუდს. Vіzmemo, მაგალითად, pochatkovі გონება . საბოლოო ხსნარში ჩანაცვლება იძლევა მუდმივების მნიშვნელობებს ასეთ რანგში შეიძლება პირადად ვიყურო. პარამეტრის ინტერვალზე შეცვლისას ჩვენ მივყვებით ფაზის მრუდს წლის ისრის შემდეგ: ცვლილების მნიშვნელობა არის ღერძის წერტილის წერტილი, მნიშვნელობა არის წერტილი ღერძზე, მნიშვნელობა არის წერტილი ღერძზე. , მნიშვნელობა არის წერტილი ღერძზე, როდესაც ჩვენ მივმართავთ cob წერტილს.

ამ მიზნის მთავარი გაგება დიფერენციალური სისტემის გათანაბრებამდე, კიდევ უფრო მარტივია წერტილის დინამიკის ამოცანის წარმართვა: მას ეძლევა ძალა, რომელიც უნდა განხორციელდეს მატერიალურ წერტილზე; დაადგინეთ კოლაფსის კანონი, ანუ განსაზღვრეთ x = x(t), y = y(t), z = z(t) ფუნქციები, რომლებიც ასახავს საათში კოლაფსირებული წერტილის კოორდინატების სიცრუეს. სისტემა, იაკ, როცა გარეთ გადიხარ, შეუძლია შეხედოს ველურ ადამიანს აქ x, y, z არის წერტილის კოორდინატები, რომელიც იშლება, t არის საათი, f, g, h არის მათი არგუმენტების ფუნქციები. (1) ფორმის სისტემას კანონიკური ეწოდება. მივმართოთ ველურად ჩაძირულ დიფერენციალურ სისტემას, რომელიც უტოლდება t არგუმენტის უცნობ ფუნქციებს, ჩვენ ვუწოდებთ კანონიკურ სისტემას და გონებას ნებადართულია მხოლოდ უფრო ძველი. პირველი რიგის ტოლთა სისტემას, რომელიც იძლევა ნებისმიერი სხვა ტიპის ფუნქციების საშუალებას, ნორმალური ეწოდება. თუ ახალ დამატებით ფუნქციებს მივიღებთ, მაშინ გლობალური კანონიკური სისტემა (2) შეიძლება შეიცვალოს ეკვივალენტური ნორმალური სისტემით, რომელიც ტოლია. ეს საკმარისია ნაკლებად ნორმალური სისტემების დასათვალიერებლად. მაგალითად, ერთი ტოლი, მოდი აღვნიშნოთ კანონიკური სისტემის ვიპადი. თაყვანს ვცემთ ^ = y, რივიანნნიას ძალით, მეწყვილე შედეგით, დიფერენციალური რივნიანების რივიანური სისტემების ნორმალური სისტემის მეთოდის მეთოდის ilniynaciy სისტემების Linіyni Rivniyan 1. -ის მსგავსი. დიფერენციაციის სისტემა ფუნქციონირებს ინტერვალზე, რომელიც ახვევს სისტემის (3) ტოლობას იგივეობაში t-ის მიმართ ინტერვალზე (a, b). სისტემები (3) ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: ვიცოდეთ სისტემის ამოხსნა (4), რომელიც აკმაყოფილებს t = cob გონებას. მშვიდი ტერიტორია D ცვლილება იცვლება t, X\, x 2, ..., xn. მაშინ არის ინტერვალი - L0 ცვლილება t, ნორმალური სისტემის (3) ერთი ამოხსნის საფუძველზე, რომელიც აკმაყოფილებს გონების გონებას ნებისმიერი დასაშვები მნიშვნელობებით, ფუნქციების სისტემა (6) ტოლია (3) მთლიანობაში, 2) ფუნქციების არეალში (6) არღვევს თუ არა კოშის ამოცანას. გადაწყვეტილებებს, რომლებიც ველურიდან გამოდიან კონკრეტული მნიშვნელობისთვის, კერძო გადაწყვეტილებებს უწოდებენ. სიზუსტისთვის დავუბრუნდეთ ორ თანასწორობის ნორმალურ სისტემას, განვიხილავთ t> X \, x2 მნიშვნელობების სისტემას, როგორც ტრივიალური სივრცის წერტილის მართკუთხა დეკარტის კოორდინატს, რომელიც შემოყვანილია კოორდინატთა სისტემაში Otx \ x2. სისტემის ამონახსნი (7), რომელიც იღებს მნიშვნელობას t-to-ზე, აღნიშნავს ხაზს სივრცეში, რომელიც გადის წერტილში) - ამ წრფეს ეწოდება ნორმალური სისტემის ინტეგრალური მრუდი (7). კოშის ამოცანა სისტემისთვის (7) მოითხოვს უფრო გეომეტრიულ ფორმულირებას: t> X \, x2 შეცვლის სივრცეში იპოვეთ ინტეგრალური მრუდი, რომელიც გადის მოცემულ Mo წერტილში (to, x1, x2) (ნახ. 1). . თეორემა 1 ადგენს ასეთი მრუდის საფუძველს და ერთიანობას. ნორმალურ სისტემას (7), რომელსაც її ვარიაცია შეიძლება მივცეთ ასეთი დაბინდვა: t-ის დამოუკიდებელი ცვლილება განიხილება პარამეტრად, ხოლო სისტემის ამოხსნა ჰგავს მრუდის პარამეტრულ გასწორებას x\Ox2 სიბრტყეზე. ცვალებად XX2-ის Qiu ფართობს ეწოდება ფაზის არე. ხსნარის ფაზურ სიბრტყეზე (სისტემის 0 (7), რომელიც იღებს t \u003d t0-ზე cob მნიშვნელობა x ° (, x2, გამოსახულია AB მრუდით, რომელიც გადის წერტილში). ეს მრუდი არის called the trajectory of the system (phase trajectory). The trajectory of the system (7) є проекція інтегральної кривої на фазову площину За інтегральною кривою фазова траєкторія визначається однозначно, але не навпаки § 2. Методи інтегрування систем диференціальних рівнянь 2.1 Метод виключення Один з ნებადართულია старшої похідної, Ввівши нові функції рівняння нормальною системою рівнянь : ჩაანაცვლეთ ერთი ტოლია ebo1-ის რიგის მე-1 ნაწილის ნორმალურად. მოკლედ, რივნიანია (3) ახალი დიფერენციალურად ტ. სისტემის მიღება (2 ), შესაძლებელია თუ არა პროცესის გაგრძელება, ვიცით, დავუშვათ, რომ აღმნიშვნელი (ფუნქციების სისტემის იაკობიანი მნიშვნელობების დათვალიერებისას ნულის ტოლია). განტოლებაში ცნობილი ვირაზი აღებულია ერთი n-ე რიგის ეკვივალენტობა. ანალოგიურად, თქვენ ხედავთ, რომ როგორც ამონახსნის სისტემა (2), მაშინ ფუნქცია X (t) იქნება (5) განტოლების ამონახსნი. ). უკან, გაუშვით - გამოსავალი ტოლია (5). დიფერენციაციის ამოცანები t-თან მიმართებაში, გამოთვლადი და წარმოუდგენლად ცნობილი მნიშვნელობები, როგორც სისტემის ფუნქცია. შეიძლება აჩვენოს, რომ ფუნქციების ასეთი სისტემა მოტივირებული იყო გამხდარიყო დიფერენციალური განტოლებების სისტემის ამონახსნი (2). კონდახი. აუცილებელია სისტემის დიფერენციალურად ინტეგრირება, სანამ სისტემა ტოლდება, შესაძლოა ვარსკვლავები, სხვა ტოლი, ან, სულ მცირე, წრფივი დიფერენციალური სხვა რიგის ტოლი მუდმივი კოეფიციენტებით ერთი უცნობი ფუნქციით. Yogo zagalne ხსნარი შეიძლება გამოიყურებოდეს. სისტემის პირველი დონიდან ჩვენ ვიცით ფუნქცია. ცნობილი ფუნქციები x(t), y(t), როგორც ადვილია მისი არასწორ ინტერპრეტაცია, ნებისმიერი მნიშვნელობის C| და C2 აკმაყოფილებს სისტემის ამოცანებს. ფუნქციები ჩანს ვარსკვლავებიდან, ცხადია, რომ სისტემის ინტეგრალური მრუდები (6) არის გრეხილი ხაზები ცენტრალური ხაზიდან x = y = 0, ასევე ინტეგრალური მრუდი (ნახ. 3). ფორმულებში (7) ჩათვლით, პარამეტრი თანაბარია, ისე, რომ მოცემული სისტემის ფაზური ტრაექტორიები წარმოადგენს ფსონის არსს, ცენტრით კოორდინატების ბორცვზე - ხვეული ხაზების პროგნოზები სიბრტყეზე. როდესაც L = 0, ფაზის ტრაექტორია იქმნება ერთი წერტილიდან, როგორც მას უწოდებენ მშვიდი სისტემის წერტილს. ". შეიძლება ჩანდეს, რომ ფუნქციების ჩვენება შეუძლებელია იმავე n-ე რიგით, გამომავალი სისტემის ექვივალენტური, ჩვენ არ ვიღებთ მას. ღერძი მარტივი მაგალითია. ტოლთა სისტემა არ შეიძლება შეიცვალოს სხვა რიგის ეკვივალენტური ტოლებით, არც x ან x2. Tsya სისტემა იკეცება 1-ლი რიგის ტოლების წყვილიდან, რომელიმე მათგანის კანი დამოუკიდებლად არის ინტეგრირებული, რაც იძლევა კომბინაციების ინტეგრირების საშუალებას. dXi დიფერენციალური განტოლებების ნორმალური სისტემების ინტეგრაცია შეიძლება განსხვავებულად მოხდეს ინტეგრაციის კომბინაციების მეთოდით. კომბინაციას, რომელიც შეიძლება ინტეგრირდეს, ეწოდება დიფერენციალური განტოლება, რომელიც არის ბოლო განტოლება (8), მაგრამ ასევე ადვილია ინტეგრირება. კონდახი. სისტემის ინტეგრირება დიფერენციალური განტოლებების სისტემები ინტეგრაციის მეთოდები აღმოფხვრის მეთოდი ინტეგრირებადი კომბინაციების მეთოდი წრფივი დიფერენციალური განტოლებების სისტემები მუდმივთა ცვალებადობის ფუნდამენტური მატრიცა მუდმივი კოეფიციენტებით წრფივი დიფერენციალური განტოლებების სისტემები. ინტეგრირებადი კომბინაცია: კიდევ ერთი ინტეგრირებული კომბინაცია: ვარსკვლავები ჩვენ ვიცოდით ორი ენდიური თანასწორობა, რომელიც ადვილად შეიძლება გამოირჩეოდეს სისტემის ძირითადი ამოხსნით: ამრიგად, ბოლო ხაზს სისტემის პირველი ინტეგრალი ეწოდება (8). წინააღმდეგ შემთხვევაში: დიფერენციალური თანასწორობების სისტემის პირველი ინტეგრალი (8) არის ფუნქცია, რომელიც განასხვავებს, არ არის იგივე მუდმივის ტოლი, მაგრამ იღებს მუდმივ მნიშვნელობას, არის თუ არა ის სისტემის ინტეგრალური მრუდი. ცნობილია, რომ სისტემის n პირველი ინტეგრალი (8) და ყველა მათგანი დამოუკიდებელია, ამიტომ ფუნქციათა სისტემის იაკობიანი ნულის ტოლია: პირველი რიგის ხაზოვანი გასწორების სისტემა იწერება ნორმალური ფორმით, რომელიც შეიძლება გამოიყურებოდეს, მატრიცის სახით, თეორემა 2. როგორც ყველა ფუნქციონირებს, შეფერხების გარეშე ზედა, შემდეგ კანის წერტილის მცირე არეალში. , хп), de), vykonnі იფიქრეთ თეორემაზე Koshії პრობლემის გადაწყვეტის საფუძველზე და ერთიანობით, ასევე ასეთი წერტილის კანის მეშვეობით არის სისტემის ერთი ინტეგრალური მრუდი (1). ფაქტობრივად, სისტემის (1) მარჯვენა ნაწილები უწყვეტია t)x\,x2 არგუმენტების თანმიმდევრობისთვის... თუ მატრიცა F არის ნული, ინტერვალზე (a, 6), მაშინ სისტემა (2). ) ეწოდება წრფივი ერთგვაროვანი და შეიძლება გამოიყურებოდეს. თეორემა 3. რამდენად არის X(t) წრფივი ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნებისთვის, de s საკმაოდ მუდმივია, ხოლო მსგავსი სისტემის ამონახსნებისთვის. თეორემა 4 შედეგი. წრფივი კომბინაცია საკმარისი მუდმივი კოეფიციენტებით, დიფერენციალური განტოლებების წრფივი ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნები და სისტემის ამონახსნები. თეორემა 5. თუ X(t) არის წრფივი არაერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნი - ორმაგი ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნი, მაშინ ჯამი იქნება არაერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნები. ვექტორებს შუალედზე წრფივი ფრაგმენტები ეწოდებათ, რათა დადგინდეს ისეთი მუდმივი რიცხვები, რომ თუ ერთ-ერთი აიღეთ ერთი რიცხვი, ის არ იყოს ნულის ტოლი. თუ (5)-ის იგივეობა ჭეშმარიტია, მაშინ მხოლოდ იმ ვექტორებს ეწოდება წრფივად დამოუკიდებელი (a, b). შესაბამისად, ერთი ვექტორის იდენტურობა (5) იდენტობაში ექვივალენტურია: . ლიდერს უწოდებენ ვრონსკის ვექტორული სისტემის ლიდერს. დანიშვნა. ნება მომეცით მქონდეს წრფივი ერთგვაროვანი სისტემის დემატრიცა ელემენტებით წრფივი ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნების სისტემას (6), ინტერვალზე წრფივად დამოუკიდებელი, ფუნდამენტური ეწოდება. თეორემა 6. წრფივი ერთგვაროვანი სისტემის (6) ფუნდამენტური ამოხსნის W(t) ფუნდამენტური W(t) სისტემის (6) ინტერვალზე a-ij(t) კოეფიციენტებით ზევით წყვეტების გარეშე. b კოეფიციენტები a-ij(t) და ნულის ტოლია ინტერვალის ყველა წერტილში (a, 6). თეორემა 7 (წრფივი ერთგვაროვანი სისტემის გლობალური ამოხსნის აგებულების შესახებ). წრფივი ჰომოგენური სისტემის გლობალური ამონახსნებისთვის ხაზზე შეუწყვეტელი კოეფიციენტებით და სისტემის ინტერვალური ამონახსნით წრფივი დამოუკიდებელი ხაზოვანი კომბინაციით: საკმარისი მუდმივი რიცხვები. კონდახი. MAH სისტემა, Yak Nevazhko Pereniti, Rishnnya eshnnya Lіnіniyno, Oskilki Voznikov Vronsky Vidmіnniy nil: "Zagalnu RISHENNA MAHIST - Dovilni post -Sadias. მთელი სისტემის ფუნდამენტური მატრიცა. არ აქვს მნიშვნელობა, თუ ფუნდამენტური მატრიცა აკმაყოფილებს მატრიცის გასწორებას Yakshcho X(t) არის სისტემის ფუნდამენტური მატრიცა (6), მაშინ სისტემის მთლიანი ამოხსნა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ვიზუალურად სტაბილურ მატრიცა-დასტაში საკმარისი ელემენტებით. , Матриця називається матрицею Коші.З її допомогою рішення системи (6) можна представити так: Загальне рішення в області лінійної неоднорідної системи диференціальних рівнянь з безперервними на відрізку коефіцієнтами і правими (t) дорівнює сумі загального рішення соот відповідної однорідної системи та якогось окремого рішення X (ტ) არაჰომოგენური სისტემა (2): 3.2. მუდმივთა ვარიაციების მეთოდი თუმცა, ზოგადად, წრფივი ერთგვაროვანი სისტემის ამოხსნა (6), არაჰომოგენური სისტემის კერძო ამონახსნის შესწავლა შესაძლებელია მუდმივთა ვარიაციის მეთოდით (ლაგრანჟის მეთოდი). მივიღოთ ერთგვაროვანი სისტემის ღრმა ამოხსნა (6), ასევე dXk, უფრო მეტიც, ამონახსნები წრფივად დამოუკიდებელია. Shukatimemo არის კერძო გადაწყვეტა დე - უცნობი ფუნქციების ჰეტეროგენული სისტემისთვის. დიფერენციაცია შესაძლებელია ჩანაცვლება otrimuєmo ასე რომ, რაც შეეხება აღნიშვნას, ვიღებთ სისტემას abo, დაკეცილი სახით, სისტემა (10) არის წრფივი ალგებრული სისტემა 4(0 ასე რომ სისტემა) ერთადერთი გამოსავალია, de MO - vіdomі უწყვეტი ფუნქციები . Інтегруючи останні співвідношення, знаходимо Підставляючи ці значення, знаходимо приватне рішення системи (2): (тут під символом розуміється одна з першорядних для функції § 4. Системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами Розглянемо лінійну систему диференціальних рівнянь у якій всі коефіцієнти - постійні. Загалом ტაკას სისტემა ilntegravni, ვიშკას ორდენის ერთ-ერთ რივნიანგამდე, რივიანნიას მღვდელი ჰგავს LINIMI KEEFITS-ს.პოლიაგას მეთოდი შეტევაში: ნეულერ ბუდომო სუკატის მეთოდი. არატრივიალური გადაწყვეტა, ის. აუცილებელი და საკმარისია ისე, რომ ცვლადის მნიშვნელობა ნულის ტოლია: განტოლებას (4) ეწოდება დამახასიათებელი. , რადგან დამახასიათებელი გათანაბრების ყველა ფესვი განსხვავებულია, შემდეგ წარმოგიდგენთ მათ მიხედვით rzі სისტემაში (3), ცნობილია, რომ ეს არის არატრივიალური ამონახსნები, სისტემა і, ასევე ცნობილია, რომ დიფერენციალური განტოლებების გარე სისტემის ამოხსნა (1) განსხვავებული ინდექსის შემთხვევაში მიუთითებს. ამოხსნის რიცხვი, ხოლო პირველი - უცნობი ფუნქციის რიცხვი. წრფივი ჰომოგენური სისტემის ასეთი რანჟირებითა და კერძო ამონახსნებით გამოწვეული (1) ადგენს, როგორც შესაძლებელია შეცვალოს, მთელი სისტემის ამოხსნის ფუნდამენტური სისტემა. Otzhe, zagalne გამოსავალი დიფერენციალური თანასწორობის ერთგვაროვანი სისტემის (1) შეიძლება გამოიყურებოდეს - საკმაოდ სწრაფად. ვიპადოკ, თუ დამახასიათებელი ტოლი შეიძლება იყოს ფესვის ჯერადი, ჩვენ ვერ შევხედავთ სამყაროს. М Шукаємо рішення у вигляді Характеристичне рівняння Система (3) для визначення 01,02 виглядає так: Підставляючи отримуємо звідки Отже, Вважаючи знаходимо тому Загальне рішення даної системи: СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯН Методи інтеграції Метод виключення Системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами Матричний метод Викладемо ще მატრიცული მეთოდი ერთგვაროვანი სისტემის ინტეგრაციისთვის (1). დავწეროთ სისტემა (1) როგორც მატრიცა მუდმივი რეალური ელემენტებით a, j. დეიაკის გამოცნობა წრფივი ალგებრის გაგება. ვექტორს g Ф ეწოდება A მატრიცის საკუთარ ვექტორს, ამიტომ A რიცხვს ეწოდება A მატრიცის საკუთარი მნიშვნელობები, რომელიც შეესაბამება g თავისუფალ ვექტორს, i - დამახასიათებელი განლაგების ფესვი de I არის a. ერთი მატრიცა. დავუშვათ, რომ A მატრიცის ყველა სიმძლავრის მნიშვნელობა განსხვავებულია. ამგვარად, ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელნი არიან და n x p-მატრიცა T, ასე რომ მატრიცა A შეიძლება დაიყვანოს დიაგონალამდე, ისე რომ T მატრიცის პარამეტრები იყოს წრფივი ვექტორების კოორდინატები. მოდით B(t) - n x n-მატრიცა, ელემენტები 6,; (0, რომლებიც არის t არგუმენტის ფუნქციები, მინიჭებული მულტიპლიკატორისთვის B(f) მატრიცას უწოდებენ P-ზე წყვეტის გარეშე, რადგან Q არის შეფერხების გარეშე. ყველა ელემენტს 6,j(f) B(*) მატრიცას უწოდებენ P-ზე წარმოებულს, ისევე როგორც მატრიცის ყველა ელემენტის Q-ზე. n-სამყარო ვექტორები-stovptsі ამონახსნები შეიძლება იყოს მოცემული ხედვის მიხედვით ასე რომ, ისევე როგორც stovtsі მატრიცები T є vlajnі ვექტორები და მატრიცები vlajnі ვექტორული მატრიცები A. ამიტომ, ჩანაცვლებით (13) (11), ჩვენ ვიღებთ ფორმულას (10): ეს რიგი, როგორც დიფერენციალური განტოლებათა სისტემის A მატრიცა (7) m aє diff vlasnі მნიშვნელობები otrimannya გლობალური ამოხსნის tsієї სისტემისთვის: 1) ცნობილი vlaznі წინადადება „მატრიცა, როგორც ალგებრული განტოლების ფესვი 2) ცნობილია ყველა ტალღის ვექტორი და 3) ფორმულისთვის დიფერენციალური განტოლებების სისტემის გლობალური ამოხსნა (7) ) ფორმულისთვის (7). მაგალითი 2. სისტემის დაშლა მატრიცის მეთოდი 4 სისტემის A მატრიცა ჩანს 1) ვამატებთ დამახასიათებელი გათანაბრების მახასიათებლის ტოლ ფესვს. 2) ჩვენ ვიცით სიმძლავრის ვექტორები A \u003d 4-ისთვის ვიღებთ ვარსკვლავების სისტემას \u003d 0 | 2, ასე რომ, ანალოგიურად A \u003d 1-ისთვის ვიცით I. Oskіlki for pripuschennyam koefіtsієnti ay სისტემა (7) dіysnі, ის დამახასიათებლად უდრის matima іyіsnі koefіtsієnti. მაშასადამე, A რთული ფესვის თანმიმდევრობა იგივეა, რაც ფესვი, კომპლექსურად A-სთან. არ აქვს მნიშვნელობა იმის ჩვენება, რომ g არის სიმძლავრის ვექტორი, რომ იგი მხარს უჭერს A-ს სიმძლავრის მნიშვნელობას, მაშინ A * არის იგივე მნიშვნელობა, რომელიც მოცემულია g * სიძლიერის ვექტორში, კომპლექსურ სახვევებში g. L (7) სისტემის რთული ამოხსნისთვის, taioKe რთული იქნება. ათობითი ნაწილი და ამ გადაწყვეტილების აშკარა ნაწილი არის სისტემის გადაწყვეტილებები (7). Vlasnyu ნიშნავს L * vіdpovіdatime რამდენიმე რეალური გადაწყვეტილებები. იგივე წყვილი, რომელსაც აქვს L. Otzhe-ს ზედა მნიშვნელობა, წყვილები A, A * კომპლექსურად დაკავშირებულია დიფერენციალური ტოლების სისტემის ეფექტური ამონახსნების წყვილის ზედა მნიშვნელობასთან. მოდი - diysnі vlasnі მნიშვნელობა, რთული vlasnі მნიშვნელობა. Todi be-yak dіysne სისტემის გადაწყვეტა (7) შეიძლება გამოიყურებოდეს de z - საკმაოდ postiyni. მაგალითი 3. გააფართოვეთ სისტემა -4 სისტემის მატრიცა 1) მატრიცის ვლასნის ვექტორების იოგო ფესვის სისტემის დამახასიათებელი გასწორება 3) სისტემის გადაწყვეტა დე-საკმაოდ რთული პოსტი. ჩვენ ვიცით სისტემის ეფექტური გადაწყვეტა. ეილერ ოტრიმუემო ოჟეს კორისტუუჩის ფორმულა, სისტემის ყოველი დღის ამოხსნას შეუძლია საკმარისად რეალური რიცხვების ნახვა. მარჯვნივ სისტემების ინტეგრირება ჩართვის მეთოდის გამოყენებით: სისტემების ინტეგრირება კომბინაციის მეთოდის გამოყენებით: სისტემების ინტეგრირება მატრიცული მეთოდის გამოყენებით:

როგორ გავხსნათ დიფერენციალური ტოლობების სისტემა?

გამოდის, რომ მკითხველი უკვე ცუდად არის ვირიშუვატი დიფერენციალური თანასწორობით, ზოკრემა, სხვა შეკვეთის მსგავსიі სხვა რიგის ტოლი ჰეტეროგენულიმუდმივი კოეფიციენტებიდან. დიფერენციალური გათანაბრების სისტემებში დასაკეცი არაფერია და მიუხედავად იმისა, რომ ისინი გასწორებულია სხვადასხვა ტიპის გათანაბრების საშუალებით, მაშინ სისტემების განვითარება არ არის განსაკუთრებული სირთულეების საწყობი.

დიფერენციალური გათანაბრების სისტემების ორი ძირითადი ტიპი არსებობს:

- დიფერენციალური განლაგების ხაზოვანი ერთგვაროვანი სისტემები
- დიფერენციალური განლაგების ხაზოვანი ჰეტეროგენული სისტემები

დიფერენციალური თანასწორობების სისტემის შემუშავების ორი ძირითადი გზა:

- გამორთვის მეთოდი. მეთოდის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ პირველად რეკრეაციული ცენტრების სისტემა იქმნება ერთი დიფერენციალური განლაგებით.

- დამახასიათებელი ეჭვიანობის დასახმარებლად(ეს არის ეილერის მეთოდის სახელი).

ყველაზე მნიშვნელოვანი განსხვავებისთვის, დიფერენციალური ტოლობების სისტემა პირველ რიგში უნდა დაირღვეს. ამოცანების გონებაში კიდევ ერთი გზა მნიშვნელოვნად უფრო სწრაფია, მთელი ჩემი პრაქტიკის განმავლობაში მე გადავლახე 10-20 სისტემა. ალე იოგას მოკლედ განხილვა შესაძლებელია ამ სტატიის დარჩენილ პუნქტში.

კიდევ ერთხელ ვითხოვ მასალის თეორიულ უზუსტობებს, მაგრამ შემდეგ გაკვეთილში ჩავრთე მხოლოდ ის ამოცანები, რომ რეალურად ვისწავლო პრაქტიკაში. ვინც მეტეორიტის დაფაზე ხუთჯერ დაეცემა, აქ ნაკლებად სავარაუდოა, რომ იპოვოთ და ასეთი სიურპრიზებით ისევ დიფურებზე სპეციალიზებულ წეღლინს დაუბრუნდებიან.

დიფერენციალური განლაგების ხაზოვანი ჰომოგენური სისტემები

დიფერენციალური თანასწორობის უმარტივესი ერთგვაროვანი სისტემა შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

ვლასნე, შეიძლება ყველა პრაქტიკულმა გამოიყენოს ასეთი სისტემა და დაქორწინდეს.

რა არის აქ?

- ცე რიცხვი (კოეფიციენტების რაოდენობა). უმარტივესი რიცხვები. Zokrema, ერთი, kіlka chi navit usі koefіtsієnti შეიძლება იყოს ნული. და მაინც, ასეთ საჩუქრებს იშვიათად აძლევენ, ამიტომ რიცხვები ყველაზე ხშირად არ არის ნულის ტოლი.

ფუნქციები არ მაქვს. როგორც დამოუკიდებელი ცვლილება, იცვლება სპიკერი - ცე „ნიბი იქს უდიდესი დიფერენციალური ტოლისთვის“.

І – პირველი pokhіdnі nevіdomih funktsіy i vіdpovіdno.

რას ნიშნავს დიფერენციალური თანასწორობების სისტემის გაყოფა?

ცე ნიშნავს იცოდე ისეფუნქციები, რომლებიც გთხოვთ პირველსაც და მეორესაცსისტემის გათანაბრება. იაკ ბაჩიტე, პრინციპი უკვე ზვიჩაინის მსგავსია ხაზოვანი ხაზების სისტემები. მხოლოდ იქ ფესვებია რიცხვები, მაგრამ აქ ფუნქციები.

მე ვიპოვე მტკიცებულებები, ჩაწერეთ დანახვაზე ველური rozv'yazannya სისტემა დიფერენციალური rivnyan:

ხვეულ ტაძრებში!ეს ფუნქციები "იგივე აღკაზმულობაშია".

DC სისტემისთვის შეგიძლიათ შეცვალოთ Kosh-ის დავალება, ასე რომ თქვენ იცით კერძო სისტემის ხედვა, რა უნდა ვკითხოთ კობ გონებას. სისტემის პირადი გადაწყვეტა ასევე შეიძლება ჩაიწეროს ხვეული მკლავებით.

უფრო კომპაქტურად, სისტემა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

ალე, ხსნარის ტრადიციულად ყველაზე ფართო ვერსიის მსვლელობისას გვიანდელებთან, დიფერენციალებში შეღებილი, ასე რომ, იყავით კეთილი, დაუყოვნებლივ დაურეკეთ შემდეგ ნიშანს:
ta - პირველი რიგის pokhіdnі;
რომ - სხვა შეკვეთის მსგავსი.

კონდახი 1

ამოიღეთ კოშის ამოცანა დიფერენციალური განტოლებათა სისტემისთვის კობის გონებით,.

გამოსავალი:ამოცანებში, უმეტესად, სისტემა მუშაობს გონებით, ასე რომ ყველა გაკვეთილი, რომლის გამოყენებაც შესაძლებელია, კოშის ამოცანებიდან იქნება. ალე, ეს არ არის მნიშვნელოვანი, ველური გადაწყვეტილების ნამსხვრევები, როგორ წავიდე, ყველაფერი გააკეთე სათითაოდ, რომ იცოდე.

ვირიშიმა სისტემა გამორთვის მეთოდი. ვხვდები, რა არის მეთოდის არსი სისტემის ერთ დიფერენციალურ დონეზე დაყვანა. და დიფერენციალური ეკვივალენტობა, დარწმუნებული ვარ, კარგს აკეთებ.

გადაწყვეტის ალგორითმი სტანდარტულია:

1) ბერემო სისტემის სხვა დონედა vislovlyuєmo z ახალი:

დანი, გადაწყვეტილების დასასრულს უნდა მივუახლოვდეთ და მე მას ვარსკვლავით ამოვიცნობ. ასისტენტებთან, ბუვაი, 500 ნიშანი იკეცება, შემდეგ კი ვითხოვთ: "ფორმულას (253)..." და მოძებნეთ ფორმულა აქ 50 მხრიდან უკანა მხარეს. ისე, მე შემოვიქცევი ერთი ნიშნით (*).

2) დიფერენცირება მოხსნილი ტოლის დამრღვევი ნაწილის მიხედვით:

"დარტყმებით" პროცესი ასე გამოიყურება:

მნიშვნელოვანია, გაგების ამ უბრალო მომენტისთვის, სხვას არ მოვატყუებ.

3) წარმოიდგინე სისტემის პირველ დონეზე:

ჩვენ განვახორციელებთ მაქსიმალურ მოთხოვნას:

Otrimane ყველაზე მნიშვნელოვანია ერთი-ერთზე ტოლია სხვა რიგისმუდმივი კოეფიციენტებიდან. "სვლებით" ასე წერია: .

- ოტრიმანო რაზნე დეისნე ფესვი, რომ:
.

ნაპოვნია ერთ-ერთი ფუნქცია, დაბრუნდი უკან.

ასე რომ, პატივისცემის გამოსახატავად, რომ უფრო დამახასიათებელი გავხდით „კარგ“ დისკრიმინატორთან გათანაბრებული და ასევე, დასაბუთებასა და პატიებაში არაფერი აგვირევიათ.

4) ფუნქციის იდეა. რომლის ფუნქცია უკვე ვიცი და იცოდე її pokhіdnu. დიფერენციაცია:

წარმოიდგინე i გათანაბრება (*):

აბო უფრო მოკლეა:

5) აღმოჩენილია შეურაცხმყოფელი ფუნქციები, ჩვენ ვწერთ სისტემის საერთო გადაწყვეტას:

წინადადება:პირადი გადაწყვეტა:

ოტრიმანისთვის ადვილია ამის გაკეთება, ადვილია გადახედვა, შეგვიძლია მისი გადახედვა სამ ნაბიჯში:

1) გადაამოწმეთ, რა არის კობის გონების ჭეშმარიტება:

კობებით განაწყენებული, გონება მოგება.

2) დაადასტურეთ, რომ მოხარული ვარ, რომ ვიცი სისტემის პირველი ხაზი.

Beremo z vіdpovіdі ფუნქცია და იცოდე її pokhіdnu:

წარმოიდგინე , і სისტემის პირველ დონეზე:

სწორი სისწორე წაერთვა, მოგვიანებით გაირკვა, რომ ის აკმაყოფილებს სისტემის პირველ დონეს.

3) გადახედე, ჩი, რომელიც ადასტურებს სისტემის ეკვივალენტობას სხვასთან

ჩვენ ვიღებთ სიცოცხლისუნარიან ფუნქციას და ვიცით, რომ უკეთესი იქნება:

წარმოიდგინე , і კიდევ ერთი თანაბარი სისტემა:

სწორი თანასწორობა ამოიღეს, მოგვიანებით გაირკვა, რომ სისტემის სხვა თანასწორობა დაკმაყოფილდა.

გადახედვა დასრულებულია. რა არის დამახინჯებული? შებრუნებული vykonannya cob გონება. І, რაც მთავარია, აჩვენებს იმ ფაქტს, რომ იპოვეს კერძო გამოსავალი კმაყოფილი კანიგარე სისტემის გათანაბრება .

ანალოგიურად, შესაძლებელია ამ რადიკალური გადაწყვეტის შეცვლა , ხელახალი გადამოწმება იქნება უფრო მოკლე, ნამსხვრევებს დასჭირდება ხელახლა გადამოწმება კობის გონებისთვის.

ახლა მოდით მივმართოთ სრულყოფილ სისტემას და დავაყენოთ კვების წყარო. გამოსავალი ასე დაიწყო: ავიღეთ სხვა სისტემა და გავთიშეთ. და როგორ შეიძლება ლაპარაკი არა იკსი, არამედ იგრეკი? რამდენადაც ჩვენ ვიცით, ჩვენ არაფერს მოგვცემთ - ამ ადამიანისთვის, მარჯვნივ არის є და „გრავეტები“ და „იკები“, ასე რომ, ჩვენ არ შეგვეშინდება სისტემის გადაწყვეტისა და შეცვლისა. ერთი დიფერენციალური განტოლების ბოლომდე.

კვების მეგობარი. როგორ შეიძლება გადაწყვეტილების მიღება არა სხვა, არამედ სისტემის პირველი დონიდან? შესაძლებელია, შესაძლებელია. ჩვენ შევხედეთ სისტემის პირველ დონეს: . ჩვენ გვაქვს ორი „იქსი“ და ერთი „საფლავები“ სხვისთვის, ამიტომ აუცილებელია „იქსის“ მეშვეობით ვთქვათ „იქსი“: . დალიმ იცის, რომ პირველი ცუდია: . მივყვეთ წინადადებას і კიდევ ერთი თანაბარი სისტემა. გადაწყვეტილება იქნება უფრო თანაბარი, იგივე უფლებამოსილებით, ამიტომ ჯერ ფუნქცია ვიცით და მერე გვეცოდინება.

მე, სხვა მხრივ, ვიქნები მაგალითი დამოუკიდებელი ხედვისთვის:

კონდახი 2

ვიცოდეთ დიფერენციალური თანასწორობების სისტემის კონკრეტული ამოხსნა, რომელიც ახარებს კობის გონებას.

გადაწყვეტილების დანახვაზე, რომელიც გაკვეთილმა გამოიწვია, თავიდანვე გამოითქვა და მთელი ცეკვა იწყება ვირაზუს შუქზე. შეეცადეთ დამოუკიდებლად განახორციელოთ სარკისებური ხსნარი წერტილებისთვის, წერტილების დათვალიერების გარეშე.

შეგიძლიათ დალიოთ კონდახის No1 ბილიკით - კიდევ ერთი თანაბარი ვრაზიტიდან (Zvernіt პატივისცემა, scho vrazit sіd თავად "iks"). მაგრამ ეს გზა ნაკლებად რაციონალურია, რადგან ჩვენ გვაქვს ბევრი სიბრძნე, რომელიც არ ვიცით როგორ გავაკეთოთ.

დიფერენციალური განლაგების ხაზოვანი ჰეტეროგენული სისტემები

პრაქტიკულად იგივე, მხოლოდ გამოსავალი იქნება იაფი.

დიფერენციალური გათანაბრების ჰეტეროგენული სისტემა, როგორც უმეტეს შემთხვევაში ის თქვენთვის ნაცნობია zavdannya-ზე, შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

ერთგვაროვან სისტემასთან დაწყვილებული, კანის დონეს ავსებს დუსის ფუნქცია, როგორიცაა "ის" სახით წოლა. ფუნქციები შეიძლება იყოს მუდმივები (რადგან ერთი მათგანი არ არის ნულის ტოლი), ექსპონენტები, სინუსები, კოსინუსები და ა.შ.

კონდახი 3

ვიცოდეთ წრფივი DC სისტემის პირადი ამოხსნა

გამოსავალი:დიფერენციალური თანასწორობების წრფივი არაერთგვაროვანი სისტემის გათვალისწინებით, მუდმივები მოქმედებენ როგორც "დამატებები". ვიკორისტოვემო მეთოდის გამორთვა, საკუთარი ალგორითმის მიხედვით, გადაწყვეტილება კვლავ მიიღება. მრავალფეროვნებისთვის საკუთარ თავს პირველი ტოლიდან დავიწყებ.

1) სისტემის პირველი დონიდან ჩანს:

ეს მნიშვნელოვანი ჩანაფიქრია, ისევ ვარსკვლავით აღვნიშნავ. მშვილდებს უკეთესად არ გაჭრა, რატომ არ შეავსო წილადები?

და კიდევ ერთხელ პატივი ვცეთ იმას, რომ თავად „საფლავები“ გამოიხატება პირველი ტოლიდან - ამ მუდმივის ორი „იქსის“ მეშვეობით.

2) დიფერენცირება შეურაცხმყოფელი ნაწილით:

გაჩნდა მუდმივი (სამი), რომლის მუდმივები ნულის ტოლია.

3) წარმოიდგინე і სხვა სისტემა თანაბარია :

ინსტალაციის დასრულების შემდეგ დაემატება კადრები, რომლის კანის ნაწილისთვის გათანაბრება მრავლდება 5-ზე:

ახლა ჩვენ ვამბობთ:

შედეგად მიიღეს წრფივი ჰეტეროგენული სხვა რიგის ტოლიმუდმივი კოეფიციენტებიდან. ღერძი, არსებითად, და ყველა vіdmіnіst vіd vіd vіrіshennya odnorodnoї სისტემა rivnyan, razіbrannogo წინა აბზაცში.

შენიშვნა: ჰეტეროგენულ სისტემაში პროტე ასევე შეიძლება იყოს თანაბარი..

ჩვენ ვიცით ერთგვაროვანი ერთგვაროვანი გათანაბრების უფრო ღრმა ამოხსნა:

ის იკეცება და ვირიშიმო დამახასიათებელი ტოლია:

- otrimano pov'yazane რთული ფესვი, რომ:
.

დამახასიათებელი გულმოდგინების ფესვი ისევ „კარგი“ გახდა, შემდეგ სწორ გზაზე ვართ.

ჰეტეროგენული ეკვივალენტობის კერძო გადაწყვეტა ჩურჩულებს დანახვაზე.
ვიცით, რომ მეგობარს მოვკლავ:

წარმოვიდგინოთ ჰეტეროგენული გათანაბრების მარცხენა ნაწილში:

Ამ გზით:

უნდა აღინიშნოს, რომ კერძო გადაწყვეტა ადვილად ირჩევა ზეპირად და მთლიანობაში დასაშვებია ძველი ჩანართების ჩანაცვლება დაწეროთ: „ცხადია, ჰეტეროგენული გათანაბრების კერძო ამოხსნა:“.

Როგორც შედეგი:

4) შეამოწმეთ ფუნქცია. ხელის უკანა მხარეს, ჩვენ ვიცით იგივე, რაც უკვე ცნობილი ფუნქცია:

ეს არ არის განსაკუთრებით მისასალმებელი, მაგრამ თქვენ ხშირად იცით ამის შესახებ დიფუზებში.

ქარიშხალი იფეთქებს და მაშინვე მეცხრე ტალღა იქნება. თოკით მიამაგრეთ გემბანზე.

წარმოიდგინე
i გათანაბრება (*):

5) სისტემის მთავარი გადაწყვეტა:

6) ჩვენ ვიცით პირადი გადაწყვეტა, რომელიც ეხმარება კობ გონებას :

დარჩენილი, პირადი გადაწყვეტილება:

Axis bachite, ისევე როგორც ბედნიერი კინცის ისტორია, ახლა თქვენ შეგიძლიათ უშიშრად გაცუროთ კატარღებით, ტურბო ზღვის გარეშე, მზრუნველი მზის ქვეშ.

წინადადება:პირადი გადაწყვეტა:

გამოსვლამდე, იმისათვის, რომ დაიწყოს სისტემის დარღვევა სხვა დონიდან, მაშინ გაანგარიშება შესამჩნევად გამარტივდება (შეგიძლიათ სცადოთ), მაგრამ მათ სთხოვეს საიტს დალაგებულიყო და შეადგინოს მეტყველება. როგორ ხედავ აქ? =) იყოს უფრო სერიოზული აპლიკაციები.

მაგალითი უფრო მარტივია, ვიდრე დამოუკიდებელი გადაწყვეტა:

კონდახი 4

მეტი იცოდე დიფერენციალური განტოლებათა წრფივი არაერთგვაროვანი სისტემის ამოხსნის შესახებ, რომელიც ადასტურებს კობ გონების ამოცანას

Tse zavdannya vyrishene ჩემ მიერ ერთი წუთით კონდახი No1, ანუ სხვა თანაბარი გამოთქმიდან "იქსი". გამოსავალი არის გაკვეთილის მაგალითის მიბაძვა.

ერთი შეხედვით კონდახებზე, მე უსათუოდ ვიკორისტოვავავ სხვადასხვა დანიშნულებას, ზასტოსოვუვავ სხვადასხვა გადაწყვეტის გზებს. ასე, მაგალითად, ერთი და იგივე თანმიმდევრობით მოგზაურობები დაფიქსირდა სამი გზით: . უფრო დიდი მათემატიკოსისთვის არ არის საჭირო რაიმე სახის ვაუჩერის შიში, უმჯობესია გაიგოთ ამოხსნის ალგორითმი.

დამახასიათებელი გასწორების მეთოდი(ეილერის მეთოდი)

როგორც განზრახული იყო სტატისტიკის კობზე ყოფნა, დიფერენციალური თანასწორობების სისტემის დამახასიათებელი გათანაბრების დახმარებით იშვიათია ქულის შევსება, ბოლო აბზაცში მხოლოდ ერთ კონდახს გადავხედავ.

კონდახი 5

მოცემულია დიფერენციალური თანასწორობის წრფივი ერთგვაროვანი სისტემა

იცოდე გათანაბრების სისტემის ფუნდამენტური ამოხსნა დამახასიათებელი გათანაბრების დახმარებით

გამოსავალი:გაოცებული ტოლების სისტემით, ჩვენ მას სხვა თანმიმდევრობით ვაყენებთ:

რაღაც პრინციპის მიღმა, ვიზნაჩნიკი დევს, ვფიქრობ, ყველას შეუძლია ნახოს.

ის იკეცება უფრო დამახასიათებლად თანაბარი, რომლის კანის ნომერი, როგორც დგას თავის დიაგონალიიხილეთ ფაქტობრივი პარამეტრი:

სუფთა ასლზე, ​​რა თქმა უნდა, მაშინვე დავწერე დამახასიათებელი ტოლი, დეტალურად აგიხსნით, ეტაპობრივად, ისე, რომ გაირკვა, რომ ვარსკვლავები მოვიდა.

მოდით ამოვიცნოთ განტევების ვაცი:

მე ვიცი კვადრატული გასწორების ფესვი:

იაკშჩო დამახასიათებელია მაის ორი განსხვავებული რეალური ფესვი, მაშინ დიფერენციალური თანასწორობების სისტემის საბოლოო ამოხსნა ჩანს:

ჩვენ უკვე ვიცით კოეფიციენტები გამოფენის გამოფენებში, ჩვენ დავკარგეთ ცოდნა კოეფიციენტების შესახებ.

1) მოდით შევხედოთ ფესვებს და წარმოვიდგინოთ ისინი დამახასიათებელი ტოლისთვის:

(სუფთა ასლზე ორი ვიზნაჩნიკი არ შეიძლება ჩაიწეროს, მაგრამ მე მარტივად შემიძლია სისტემის ჩამოგდება)

აღმნიშვნელის რიცხვებიდან ჩვენ ვადგენთ ორი წრფივი ტოლის სისტემას ორი უცნობისგან:

ორივე თანასწორობიდან ერთი და იგივე თანასწორობა გამოირჩევა:

ახლა საჭიროა აყვანა სულ მცირემნიშვნელობა იგივეა, ამიტომ მნიშვნელობა დიდი იყო. ცხადია, რა შემდეგი ამოცანაა. და იაკშო, მაშინ