Що характеризує математичне очікування випадкової величини. Математичне очікування – це розподіл імовірностей випадкової величини. Математичне очікування теорії азартних ігор

Обчислимо середнє значення вибірки та математичне очікування випадкової величини у MS EXCEL.

Вибіркове середнє

Середнє вибіркиабо вибіркове середнє(sample average, mean) є середняарифметичневсіх значень вибірки .

У MS EXCEL для обчислення середньої вибіркиможна використовувати функцію СРЗНАЧ() . Як аргументи функції потрібно вказати посилання на діапазон, що містить значення вибірки .

Вибіркове середнєє «хорошою» (незміщеною та ефективною) точковою оцінкою математичного очікуваннявипадкової величини (див.), тобто. середнього значеннявихідного розподілу, з якого взято вибірка .

Примітка: Про обчислення довірчих інтервалівпри оцінці математичного очікуванняможна прочитати, наприклад, у статті .

Деякі властивості середнього арифметичного :

• Сума всіх відхилень від середнього значеннядорівнює 0:

• Якщо до кожного з значень x i додати одну і ту ж константу з, то середнє арифметичнезбільшиться таку ж константу;
• Якщо кожне з значень x i помножити на одну і ту ж константу з, то середнє арифметичнепомножиться на таку саму константу.

Математичне очікування

Середнє значенняможна обчислити як для вибірки, але випадкової величини, якщо відомо її . В цьому випадку середнє значеннямає спеціальну назву - Математичне очікування.Математичне очікуванняхарактеризує «центральне» чи середнє значення випадкової величини.

Примітка: В англомовній літературі є безліч термінів для позначення математичного очікування: expectation, mathematical expectation, EV (Expected Value), average, mean value, mean, E[X] або перший момент M[X].

математичне очікуванняобчислюється за такою формулою:

де x i – значення, яке може набувати випадкова величина, а р(x i) – ймовірність, що випадкова величина прийме це значення.

Якщо випадкова величина має, то математичне очікуванняобчислюється за такою формулою.

Математичним очікуванням (середнім значенням) випадкової величини X , заданої на дискретному імовірнісному просторі, називається число m = M [X] = ∑x i p i якщо ряд сходиться абсолютно.

Призначення сервісу. За допомогою сервісу в онлайн-режимі обчислюються математичне очікування, дисперсія та середньоквадратичне відхилення(Див. приклад). Крім цього, будується графік функції розподілу F(X).

Властивості математичного очікування випадкової величини

1. Математичне очікування постійної величини дорівнює їй самій: M [C] = C, C - Постійна;
2. M=C M[X]
3. Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань: M=M[X]+M[Y]
4. Математичне очікування добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань: M = M [X] M [Y] якщо X і Y незалежні.

Властивості дисперсії

1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю: D(c)=0.
2. Постійний множник можна винести з-під символу дисперсії, звівши його в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Якщо випадкові величини X та Y незалежні, то дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Якщо випадкові величини X та Y залежні: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Для дисперсії справедлива обчислювальна формула:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Приклад. Відомі математичні очікування та дисперсії двох незалежних випадкових величин X і Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Знайти математичне очікування та дисперсію випадкове величини Z=9X-8Y+7.
Рішення. Виходячи з властивостей математичного очікування: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Виходячи з властивостей дисперсії: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345

Алгоритм обчислення математичного очікування

Властивості дискретних випадкових величин: їх значення можна перенумерувати натуральними числами; кожному значенню зіставити відмінну від нуля можливість.

1. По черзі множимо пари: x i на p i.
2. Складаємо добуток кожної пари x i p i .
   Наприклад, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Функція розподілу дискретної випадкової величиниступінчаста, вона зростає стрибком у тих точках, ймовірності яких позитивні.

Приклад №1.

x i	1	3	4	7	9
p i	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Математичне очікування знаходимо за формулою m = ∑x i p i.
Математичне очікування M[X].
M[x] = 1 * 0.1 + 3 * 0.2 + 4 * 0.1 + 7 * 0.3 + 9 * 0.3 = 5.9
Дисперсію знаходимо за формулою d = ∑x 2 i p i - M [x] 2 .
Дисперсія D[X].
D[X] = 1 2 * 0.1 + 3 2 * 0.2 + 4 2 * 0.1 + 7 2 * 0.3 + 9 2 * 0.3 - 5.9 2 = 7.69
Середнє квадратичне відхилення σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

Приклад №2. Дискретна випадкова величина має наступний ряд розподілу:

Х	-10	-5	0	5	10
р	а	0,32	2a	0,41	0,03

Знайти величину a, математичне очікування та середнє квадратичне відхилення цієї випадкової величини.

Рішення. Величину a знаходимо із співвідношення: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 або 0.24 = 3 a, звідки a = 0.08

Приклад №3. Визначити закон розподілу дискретної випадкової величини, якщо відома її дисперсія, причому х 1 x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = x; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p 2 = 0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96

Рішення.
Тут треба скласти формулу знаходження дисперсії d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
де маточіння m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших даних
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
або -9/100 (x 2 -20x +96) = 0
Відповідно треба знайти коріння рівняння, причому їх буде два.
x 3 = 8, x 3 = 12
Вибираємо той, який задовольняє умову х 1 x 3 = 12

Закон розподілу дискретної випадкової величини
x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = 12; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p 2 = 0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3

Кожна окремо взята величина повністю визначається своєю функцією розподілу. Також, для вирішення практичних завдань вистачає знати кілька числових характеристик, завдяки яким з'являється можливість уявити основні особливості випадкової величини в короткій формі.

До таких величин відносять насамперед математичне очікуванняі дисперсія .

Математичне очікування- Середнє значення випадкової величини в теорії ймовірностей. Позначається як .

Найпростішим способом математичне очікування випадкової величини Х(w), знаходять як інтегралЛебегастосовно ймовірнісної міри Р вихідному імовірнісному просторі

Ще знайти математичне очікування величини можна як інтеграл Лебегавід хщодо розподілу ймовірностей Р Хвеличини X:

де - безліч усіх можливих значень X.

Математичне очікування функцій від випадкової величини Xзнаходиться через розподіл Р Х. Наприклад, якщо X- випадкова величина зі значеннями і f(x)- однозначна борелівськафункція Х , то:

Якщо F(x)- функція розподілу X, то математичне очікування представимо інтеграломЛебега - Стілтьєса (або Рімана - Стілтьєса):

при цьому інтегрованість Xв сенсі ( * ) відповідає кінцівки інтегралу

У конкретних випадках, якщо Xмає дискретний розподіл із ймовірними значеннями х k, k = 1, 2, . і ймовірностями , то

якщо Xмає абсолютно безперервний розподіл із щільністю ймовірності р(х), то

при цьому існування математичного очікування рівносильне абсолютній збіжності відповідного ряду або інтеграла.

Властивості математичного очікування випадкової величини.

• Математичне очікування постійної величини дорівнює цій величині:

C- Постійна;

• M=C.M[X]

• Математичне очікування суми випадково взятих величин дорівнює сумі їх математичних очікувань:

• Математичне очікування твору незалежних випадково взятих величин = твору їх математичних очікувань:

M=M[X]+M[Y]

якщо Xі Yнезалежні.

якщо сходиться ряд:

Алгоритм обчислення математичного очікування.

Властивості дискретних випадкових величин: їх значення можна перенумерувати натуральними числами; кожному значення прирівняти відмінну від нуля ймовірність.

1. По черзі перемножуємо пари: x iна p i.

2. Складаємо твір кожної пари x i p i.

Наприклад, для n = 4 :

Функція розподілу дискретної випадкової величиниступінчаста, вона зростає стрибком у тих точках, ймовірності яких мають позитивний знак.

Приклад:Знайти математичне очікування за формулою.

Теорія ймовірності – особливий розділ математики, який вивчають лише студенти вищих навчальних закладів. Ви любите розрахунки та формули? Вас не лякають перспективи знайомства з нормальним розподілом, ентропією ансамблю, математичним очікуванням та дисперсією дискретної випадкової величини? Тоді цей предмет вам буде дуже цікавим. Познайомимося з кількома найважливішими базовими поняттями цього розділу науки.

Згадаймо основи

Навіть якщо ви пам'ятаєте найпростіші поняття теорії ймовірності, не зневажайте перших абзаців статті. Справа в тому, що без чіткого розуміння основ ви не зможете працювати з формулами, що розглядаються далі.

Отже, відбувається деяка випадкова подія, якийсь експеримент. Через війну вироблених дій ми можемо отримати кілька результатів - одні зустрічаються частіше, інші - рідше. Імовірність події - це відношення кількості реально отриманих наслідків одного типу до загального числа можливих. Тільки знаючи класичне визначення даного поняття, ви зможете розпочати вивчення математичного очікування та дисперсії безперервних випадкових величин.

Середнє арифметичне

Ще в школі на уроках математики ви починали працювати із середнім арифметичним. Це поняття широко використовується в теорії ймовірності, і тому його не можна обминути. Головним для нас зараз є те, що ми зіткнемося з ним у формулах математичного очікування та дисперсії випадкової величини.

Ми маємо послідовність чисел і хочемо знайти середнє арифметичне. Все, що від нас вимагається - підсумувати все існуюче та розділити на кількість елементів у послідовності. Нехай ми маємо числа від 1 до 9. Сума елементів дорівнюватиме 45, і це значення ми розділимо на 9. Відповідь: - 5.

Дисперсія

Говорячи науковою мовою, дисперсія – це середній квадрат відхилень отриманих значень ознаки від середньої арифметичної. Позначається одна заголовною латинською літерою D. Що потрібно, щоб її розрахувати? Для кожного елемента послідовності порахуємо різницю між наявним числом та середнім арифметичним і зведемо у квадрат. Значень вийде рівно стільки, скільки може бути результатів у події, що ми розглядаємо. Далі ми підсумовуємо все отримане та ділимо на кількість елементів у послідовності. Якщо у нас можливі п'ять наслідків, то ділимо на п'ять.

У дисперсії є й властивості, які потрібно запам'ятати, щоб застосовувати під час вирішення завдань. Наприклад, зі збільшенням випадкової величини у X разів, дисперсія збільшується у X у квадраті разів (т. е. X*X). Вона ніколи не буває менше нуля і не залежить від зсуву значень на рівне значення у більшу чи меншу сторону. Крім того, для незалежних випробувань дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій.

Тепер нам обов'язково слід розглянути приклади дисперсії дискретної випадкової величини та математичного очікування.

Припустимо, що ми провели 21 експеримент та отримали 7 різних результатів. Кожен із них ми спостерігали, відповідно, 1,2,2,3,4,4 та 5 разів. Чому дорівнюватиме дисперсія?

Спочатку порахуємо середнє арифметичне: сума елементів, зрозуміло, дорівнює 21. Ділимо її на 7, отримуючи 3. Тепер із кожного числа вихідної послідовності віднімемо 3, кожне значення зведемо в квадрат, а результати складемо разом. Вийде 12. Тепер нам залишається розділити число на кількість елементів, і, начебто, все. Але є проблема! Давайте її обговоримо.

Залежність кількості експериментів

Виявляється, при розрахунку дисперсії у знаменнику може стояти одне з двох чисел: або N або N-1. Тут N - це число проведених експериментів або число елементів у послідовності (що, по суті, те саме). Від чого це залежить?

Якщо кількість випробувань вимірюється сотнями, ми повинні ставити в знаменник N. Якщо одиницями, то N-1. Кордон вчені вирішили провести досить символічно: на сьогоднішній день вона проходить за цифрою 30. Якщо експериментів ми провели менше 30, то ділити суму будемо на N-1, а якщо більше – то на N.

Завдання

Давайте повернемося до нашого прикладу розв'язання задачі на дисперсію та математичне очікування. Ми отримали проміжне число 12, яке потрібно було поділити на N чи N-1. Оскільки експериментів ми провели 21, що менше 30 виберемо другий варіант. Отже, відповідь: дисперсія дорівнює 12/2 = 2.

Математичне очікування

Перейдемо до другого поняття, яке ми обов'язково маємо розглянути цій статті. Математичне очікування - це результат складання всіх можливих наслідків, помножених на відповідні ймовірності. Важливо розуміти, що отримане значення, як і результат розрахунку дисперсії, виходить лише один раз для цілої задачі, скільки б результатів у ній не розглядалося.

Формула математичного очікування досить проста: беремо результат, множимо з його ймовірність, додаємо те саме для другого, третього результату тощо. буд. Усе, що з цим поняттям, розраховується нескладно. Наприклад, сума матожиданий дорівнює маточку суми. Для твору актуально те саме. Такі прості операції дозволяє із собою виконувати далеко не кожна величина теорії ймовірності. Давайте візьмемо завдання і порахуємо значення одразу двох вивчених понять. Крім того, ми відволікалися на теорію - настав час попрактикуватися.

Ще один приклад

Ми провели 50 випробувань і отримали 10 видів результатів – цифри від 0 до 9 – які з'являються у різному відсотковому відношенні. Це відповідно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Нагадаємо, що для отримання ймовірностей потрібно розділити значення у відсотках на 100. Таким чином отримаємо 0,02; 0,1 і т.д. Представимо для дисперсії випадкової величини та математичного очікування приклад розв'язання задачі.

Середнє арифметичне розрахуємо за такою формулою, яку пам'ятаємо з молодшої школи: 50/10 = 5.

Тепер переведемо ймовірність у кількість наслідків «в штуках», щоб було зручніше рахувати. Отримаємо 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 і 9. З кожного отриманого значення віднімемо середнє арифметичне, після чого кожен із отриманих результатів зведемо в квадрат. Подивіться, як це зробити, з прикладу першого елемента: 1 - 5 = (-4). Далі: (-4) * (-4) = 16. Для решти значень проробіть ці операції самостійно. Якщо ви все зробили правильно, то після додавання всіх ви отримаєте 90.

Продовжимо розрахунок дисперсії та математичного очікування, розділивши 90 на N. Чому ми вибираємо N, а не N-1? Правильно тому, що кількість проведених експериментів перевищує 30. Отже: 90/10 = 9. Дисперсію ми отримали. Якщо у вас вийшло інше число, не засмучуйтесь. Швидше за все, ви припустилися банальної помилки при розрахунках. Перевірте ще раз написане, і напевно все встане на свої місця.

Зрештою, згадаємо формулу математичного очікування. Не будемо наводити всіх розрахунків, напишемо лише відповідь, з якою ви зможете звіритися, закінчивши всі необхідні процедури. Матоожидання дорівнюватиме 5,48. Нагадаємо лише, як здійснювати операції, з прикладу перших елементів: 0*0,02 + 1*0,1… тощо. Як бачите, ми просто множимо значення результату з його ймовірність.

Відхилення

Ще одне поняття, тісно пов'язане з дисперсією та математичним очікуванням – середнє квадратичне відхилення. Позначається воно або латинськими літерами sd, або грецькою «сигмою». Це поняття показує, наскільки у середньому відхиляються значення від центральної ознаки. Щоб знайти її значення, потрібно розрахувати квадратне коріння з дисперсії.

Якщо ви збудуєте графік нормального розподілу і захочете побачити безпосередньо на ньому квадратичного відхилення, це можна зробити в кілька етапів. Візьміть половину зображення зліва або праворуч від моди (центрального значення), проведіть перпендикуляр до горизонтальної осі так, щоб площі фігур були рівні. Величина відрізка між серединою розподілу і проекцією, що вийшла, на горизонтальну вісь і буде середнім квадратичним відхиленням.

Програмне забезпечення

Як видно з описів формул і наведених прикладів, розрахунки дисперсії та математичного очікування - не найпростіша процедура з арифметичної точки зору. Щоб не витрачати час, є сенс скористатися програмою, яка використовується у вищих навчальних закладах - вона називається «R». У ній є функції, що дозволяють розраховувати значення для багатьох понять із статистики та теорії ймовірності.

Наприклад, ви задаєте вектор значень. Робиться це так: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

На закінчення

Дисперсія та математичне очікування - це без яких складно надалі щось розрахувати. В основному курсі лекцій у вишах вони розглядаються вже у перші місяці вивчення предмета. Саме через нерозуміння цих найпростіших понять та невміння їх розрахувати багато студентів відразу починають відставати за програмою і пізніше отримують погані позначки за результатами сесії, що позбавляє їх стипендії.

Потренуйтесь хоча б один тиждень по півгодини на день, вирішуючи завдання, схожі на представлені в цій статті. Тоді на будь-якій контрольній теорії ймовірності ви впораєтеся з прикладами без сторонніх підказок і шпаргалок.

Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів всіх її можливих значень з їхньої ймовірності.

Нехай випадкова величина може приймати тільки значення ймовірності яких відповідно дорівнюють. Тоді математичне очікування випадкової величини визначається рівністю

Якщо дискретна випадкова величина приймає лічильну множину можливих значень, то

Причому математичне очікування існує, якщо ряд правої частини рівності сходиться абсолютно.

Зауваження. З визначення слідує, що математичне очікування дискретної випадкової величини є невипадковою (постійною) величиною.

Визначення математичного очікування у випадку

Визначимо математичне очікування випадкової величини, розподіл якої обов'язково дискретно. Почнемо з нагоди невід'ємних випадкових величин. Ідея полягатиме в тому, щоб апроксимувати такі випадкові величини за допомогою дискретних, для яких математичне очікування вже визначено, а математичне очікування покласти рівним межі математичних очікувань дискретних випадкових величин, що наближають її. До речі, це дуже корисна загальна ідея, яка полягає в тому, що деяка характеристика спочатку визначається для простих об'єктів, а потім для складніших об'єктів вона визначається за допомогою апроксимації їх більш простими.

Лемма 1. Нехай є довільна випадкова невід'ємна величина. Тоді існує послідовність дискретних випадкових величин, таких, що

Доведення. Розіб'ємо піввісь на рівні відрізки довжини і визначимо

Тоді властивості 1 і 2 легко випливають з визначення випадкової величини і

Лемма 2. Нехай -неотрицательная випадкова величина і дві послідовності дискретних випадкових величин, які мають властивості 1-3 з леми 1. Тоді

Доведення. Зазначимо, що для невід'ємних випадкових величин ми допускаємо

З огляду на властивості 3 легко бачити, що існує послідовність позитивних чисел, така що

Звідси слідує що

Використовуючи властивості математичних очікувань для дискретних випадкових величин, отримуємо

Переходячи до межі при одержуємо затвердження леми 2.

Визначення 1. Нехай - невід'ємна випадкова величина -послідовність дискретних випадкових величин, що володіють властивостями 1-3 з леми 1. Математичним очікуванням випадкової величини називається число

Лемма 2 гарантує, що не залежить від вибору послідовності, що апроксимує.

Нехай тепер – довільна випадкова величина. Визначимо

З визначення і легко випливає, що

Визначення 2. Математичним очікуванням довільної випадкової величини називається число

Якщо хоча б одне з чисел у правій частині цієї рівності, звичайно.

Властивості математичного очікування

Властивість 1. Математичне очікування постійної величини дорівнює самій постійній:

Доведення. Розглянемо постійну як дискретну випадкову величину, яка має одне можливе значення і приймає його з ймовірністю отже,

Зауваження 1. Визначимо добуток постійної величини на дискретну випадкову величину як дискретну випадкову можливі значення якої дорівнюють творам постійної на можливі значення; ймовірності можливих значень рівні ймовірностям відповідних можливих значень Наприклад, якщо ймовірність можливого значення дорівнює то ймовірність того, що величина прийме значення також дорівнює

2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування:

Доведення. Нехай випадкова величина задана законом розподілу ймовірностей:

Враховуючи зауваження 1, напишемо закон розподілу випадкової величини

Примітка 2. Перш ніж перейти до наступної властивості, зазначимо, що дві випадкові величини називають незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення набула інша величина. В іншому випадку випадкові величини залежать. Декілька випадкових величин називають взаємно незалежними, якщо закони розподілу будь-якого числа їх них не залежать від того, які можливі значення набули решти величин.

Зауваження 3. Визначимо добуток незалежних випадкових величин і як випадкову величину можливі значення якої дорівнюють творам кожного можливого значення на кожне можливе значення ймовірності можливих значень твору дорівнюють творам ймовірностей можливих значень співмножників. Наприклад, якщо ймовірність можливого значення дорівнює, ймовірність можливого значення дорівнює, то ймовірність можливого значення дорівнює

Властивість 3. Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань:

Доведення. Нехай незалежні випадкові величини та задані своїми законами розподілу ймовірностей:

Складемо всі значення, які може набувати випадкова величина Для цього перемножимо всі можливі значення на кожне можливе значення; в результаті отримаємо і з огляду на зауваження 3, напишемо закон розподілу припускаючи для простоти, що це можливі значення твори різні (якщо це негаразд, то підтвердження проводиться аналогічно):

Математичне очікування дорівнює сумі творів всіх можливих значень з їхньої ймовірності:

Слідство. Математичне очікування твору кількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань.

Властивість 4. Математичне очікування суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків:

Доведення. Нехай випадкові величини та задані такими законами розподілу:

Складемо всі можливі значення величини Для цього до кожного можливого значення додамо кожне можливе значення; Припустимо для простоти, що ці можливі значення різні (якщо це не так, то доказ проводиться аналогічно), і позначимо їх ймовірності відповідно через і

Математичне очікування величини дорівнює сумі творів можливих значень з їхньої ймовірності:

Доведемо, що Подія, яка полягає в тому, що набуде значення (імовірність цієї події дорівнює), тягне за собою подія, яка полягає в тому, що набуде значення або (ймовірність цієї події за теоремою складання дорівнює), і назад. Звідси й випливає, що Аналогічно доводяться рівність

Підставляючи праві частини цих рівностей у співвідношення (*), отримаємо

або остаточно

Дисперсія та середнє квадратичне відхилення

Насправді часто потрібно оцінити розсіювання можливих значень випадкової величини навколо її середнього значення. Наприклад, в артилерії важливо знати, наскільки купно ляжуть снаряди поблизу мети, яка має бути вражена.

На перший погляд може здатися, що для оцінки розсіювання найпростіше обчислити всі можливі значення відхилення випадкової величини і знайти їх середнє значення. Проте такий шлях нічого не дасть, оскільки середнє відхилення, тобто. для будь-якої випадкової величини дорівнює нулю. Це властивість пояснюється лише тим, що одні можливі відхилення позитивні, інші - негативні; внаслідок їх взаємного погашення середнє значення відхилення дорівнює нулю. Ці міркування свідчать про доцільність замінити можливі відхилення їх абсолютними значеннями чи його квадратами. Так і роблять на ділі. Щоправда, у разі, коли можливі відхилення замінюють їх абсолютними значеннями, доводиться оперувати з абсолютними величинами, що призводить іноді до серйозних труднощів. Тому найчастіше йдуть іншим шляхом, тобто. обчислюють середнє значення квадрата відхилення, яке називається дисперсією.