Slobodyanyuk O.I. O'rta maktabda jismoniy tajriba uchun eng kichik kvadratlar usuli // Fizika: muammo. ish kuni. - 1995. - VIP. 1. - S. 88-99.

Vimiryuvan natijalarini qayta ishlash usullari soni turli yo'llar bilan bo'lingan. Eng izchil va aniq usul bu eng kichik kvadratlar usuli (LSM).

Maqolada eng kichik kvadratlar usulining mohiyati ko'rsatilgan, fikringizni yuving. Mualliflar LSM usuliga eng yaxshi usulni qo'llashni targ'ib qilish.

Qoidaga ko'ra, barcha fizik tajribalar qo'shiq qiymati pasayguncha amalga oshiriladi u boshqa qiymatlarning bir yoki bir nechtasi bo'lsa z 1 , z 2 , …, z n.

Buzilgan erlarni olib tashlash zarurati (va parametrlar qiymatlarini belgilashda "nuqta" tadqiqotini o'tkazmaslik) quyidagi faktlar tufayli haqiqatdir:

• nazariy motivatsiyalarni qayta tekshirish imkoniyati;

• hisoblash qiyin bo'lgan parametrlarni kiritish imkoniyati;

• ba'zi hollarda, oddiy tarzda, o'g'irlashlarni baholash.

Vimiryuvan natijalarini qayta ishlash usullari soni turli yo'llar bilan bo'lingan. Yashashning eng yaxshi usuli - bu eng kichik kvadratlar usuli (LSM).

1. Eng kichik kvadratlar usulining mohiyati

Bu joizdir, biz jismoniy miqdorning funktsional tushishiga egamiz u boshqa jismoniy miqdorga ko'ra z, lekin depozitning parametrlarini bilmayman a, b, c,... . Tajribalar natijasida qiymatlar jadvali olindi u i haqiqiy qiymatlarda . Bunday parametr qiymatlarini bilish kerak a, b, c,... qaysi funksiya uchun eksperimental ma'lumotlarni eng yaxshi tasvirlab bering.

LSM eksperimental qiymatlarning bir necha kvadratlari yig'indisi uchun "eng yaxshi" egri chiziq shunday bo'lishini tasdiqlaydi u i funktsiya qiymatini kiriting minimal. Parametrlar maqsadida bu daraja a, b, c,... siz hech bo'lmaganda funktsiyani bilishingiz kerak

. (1)

Bu erda PH parametrlarning funktsiyasi sifatida ko'rinishi muhimdir a, b, c,..., miqdor masshtablari u i, z i Vidomi z eksperimental ma'lumotlari.

Kun oxirida funktsiyaning minimumini (1) o'zgartirish tush kabi ishlashda davom etadi. Shu sababli, MNClarni amaliy amalga oshirish uchun ko'pincha haqoratli hiyla-nayrangdan foydalanish kerak: qanday qilib funktsional o'zgartirishni bilish. , qanday qilib tushishni chiziqli ko'rinishga keltirish mumkin

MNClarning har qanday amalga oshirilishi uchun eng oddiy. Jadvalda keltirilgan ushbu turdagi almashtirishni qo'llang. 1. Qayta ixtiro qilish to'g'risidagi aktlar, maxsus arizalar berilgan kun oxirida quyida ko'rib chiqiladi.

Biz virazni (2) virazda (1) ifodalaymiz

(3)

bu parametrlarni belgilash uchun teng qabul qilinadi Aі b. Buning uchun biz shunga o'xshash funktsiyalarni P tomonidan hisoblashimiz mumkin Aі b va ularni nolga tenglashtiring,

(4)

Ushbu tizim chiziqli va o'zgartirish oson:

(5)

Biroq, tilning qoldirilishi amaliy rozrakhunkiv uchun juda foydali emas, shuning uchun biz uni boshqa shaklda qayta yozamiz. Kim uchun muhim

(6)

(burchak kamarlari eksperimental ma'lumotlar uchun o'rtacha arifmetikni bildiradi) va yozing

(7)

Boshqa tomondan, tizimni (4) ko'rish mumkin .

Virazi (6), (7) dasturlashtirilmagan kalkulyator yordamida chiziqli kuzgi (2) parametrlarini tez yechishga imkon beradi.

Har qanday otrimani uchun parametrlarning qiymatlari optimal (xolis, mumkin bo'lgan, samarali hisob-kitoblar) bo'ladigan tarzda o'ylab ko'ring.

1. Vimiriv natijalari mustaqildir.

2. Pohibki vimíriv pídryadkovuyutsya normal rozpodílu.

3. Qadriyatlar Xi, aniq bilasiz.

Amalda, vikladenyy shakllaridagi MNClar, go'yo vitiruvan o'limi kabi zastosovuyut. dai sezilarli darajada (kattalik tartibida pastroq) tafovutlarning yomonligini qaytaradi x i.

Umovi vikonanny tsikh umov parametrlari uchun A, b vimiriv natijalari orqali chiziqli egilib dai, (o'g'irlash orqali x i nekhtuemo), shuning uchun parametrlarni belgilash xatosini standart usul bilan bilvosita usulning xatosi sifatida topish mumkin. Dekilka og'ir hisob-kitoblar o'limni taxmin qilish uchun haqoratli formulalarga olib keladi:

(8)

de .

(9)

Shunday qilib, (6) - (9) formulalar chiziqli o'simliklarni tahlil qilish uchun eng kichik kvadratlarni hisoblash uchun ishlatiladi. Formulalar (7) - (8) o'limning vipadkovydan ko'proq o'g'irlanishini taxmin qiladi. Bu tanlov butunlay to'g'ri, qaysi turdagi o'g'irlash uchun muhimroq, qaysi biri eng amaliy. Bunday ortiqcha bahoga guvoh bo'lish uchun gul nuqtasini eslang ( dai, Xi) grafikda, agar nuqtalar to'g'ri chiziqda to'liq yotmasa. E'tiborlisi, tizimdan keyingi priladovaning xatosi parametr qiymatini o'z ichiga olmaydi Aí ê parametrga qo'shimcha b, keyin. yakscho priladova o'g'irlash dai teng, keyin .

Ayrim hollarda qadriyatlar balansini amalga oshirish zarurligi ham ahamiyatlidir u bir xil ma'no bilan z. Va bu erda MNClarni o'zgartirish kerak emas. Mustaqillik qadriyatlariga nazar tashlash kifoya, tobto. tikishni qayta tiklashdan oldin yoqing z i, u i Xuddi shu va bir xil qiymatlar bilan z i. Boshqacha aytganda, bitta ma'no z dekal qiymatini bera olasizmi u. Shubhasiz, hamma ham shunday bo'la olmaydi z xuddi shunday, aks holda (5) formula standartda nolni ko'rsatadi.

2. Dasturlashtirilmagan kalkulyatorda chiziqli yig‘ish uchun eng kichik kvadratlar usulini amaliy qo‘llash.

dalil ko'rsatish sifatida, u rozrakhunkív parametrív liniynoí̈ zalezhnosti va í̈x khibok skorystatatis uchun ancha oldinda tayyorlangan shakl (tab. 2) uchun yaxshiroqdir. 1-ustunda imtihonlar raqamlari qayd etiladi ( i = 1, 2, ..., Ν ); 2, 3-ustunlarda - vimiryuvan qiymatlari natijalari z i, u i.

MNCni amalga oshirish uchun shaklni tuzishning birinchi qatori 4, 5-ustunlarni to'ldirishdir. z, u qadar X, da, ular orasida chiziqli kuzgi

6-ustunda keltirilgan hisoblash formulalari oraliq natijalarni yozmasdan kalkulyatorda hisoblanishi mumkin. Be-yaky, eng oddiy kalkulyatorga o'ting, agar sizda bitta xotira xonangiz bo'lsa, unda siz summaning qiymatini to'plashingiz mumkin. Rozrahunki quyidagi ketma-ketlikda amalga oshirilishi kerak:

1) hisoblash - kim uchun, topishmoqdagi barcha qiymatlarni ketma-ket kiriting Xi, 4-ustunda qayd etilgan va undan keyin uni vimiryuvan juftlari soniga bo'linadi. N, 7-ustunda yozish natijasi;

2) hisoblash, ketma-ket qiymatlarni olish x i, xotiradan yx kvadratlar yig'indisini to'plang (qiymatni oling - "ko'paytirish" - "teng" - "topishmoq uchun +") va bo'linadi N, Natija olingandan so'ng o'rtachaning kvadrati ko'rinadi, natija 7-ustunga yoziladi;

3 - 4) xuddi shunday hisoblang;

5) xotirada ijod yig‘indisini to‘plash, bo‘lish N, twir o'rtasini oling va ulug'vor - parametr qiymatini sozlang A.

Uzoqda, atirgullar juda aniq.

3. Vikoristannya MNK ko't

menejer. Matematik mayatnikning yordami uchun erkin tushishning tez tushishi.

Hisob-kitob Kabina: ip, og'irlik, uch oyoq, o'lchagich, sekundomer.

Yechim. Matematik mayatnikning kichik kolivan davri T formulaga bog'liq. Qiu formulasini vizual tarzda qayta yozish mumkin.

Boshqacha qilib aytganda, sarkaçning kaptari o'rtasida l va davr kvadrati ísnuê liníyna zv'yazok, shuning uchun biz uni quyidagicha yozamiz: , de (chiziqli shaklga o'tkazish). Parametr kiritish b vaqtlarda emas ê obov'azkovim, nazariy jihatdan shards b= 0. Biroq, global ko'rinishdagi chiziqli o'tloqning rekordi belgilangan mayatnikning orqa tomonining tebranishini avtomatik ravishda o'zgartirishga imkon beradi, bundan tashqari, bu kuzda siz mayatnikning orqa qismini o'zgartira olmaysiz, faqat uning o'zgarishi. Agar hamma narsa to'g'ri bajarilgan bo'lsa, MNC natijaga olib kelishi kerak, kimlar haqida nima deyish kerak.

Vimiryuvan natijalari mayatnik D uzunligini o'zgartiradi l(to'xtatib turish joyidan ipning deako sobit nuqtasiga harakatlanardi) o'sha soat t yigirma kolivan (qo'lda yilnoma yordami uchun qishlangan) jadvalga joylashtirilgan. 3. Xuddi shu joyda rozraxunkiv natijalari taqdim etilgan metodologiyaga muvofiq induktsiya qilindi.

Koeffitsientni hisoblab chiqqandan keyin A, siz ushbu yoga tezlashtirilgan tushishning ma'nosini bilishingiz mumkin .

Qolgan natija Xonim.

Parametr qiymati b g'alaba qozonmadi (olib tashlangan qiymatning tuyg'usi ipning sobit nuqtasida massa ustunligining markaziga turishdir). Ushbu parametrni tanlash vaga markazining aniq pozitsiyasining aniqligiga to'g'ri keladi.

4. MMKlarni uzatuvchi eksperimental vazifalar

Oxir-oqibat, eksperimental topshiriqlarni targ'ib qilish, usul bo'yicha quyidagi g'alabali ishlarning bir qismini bajarish kerak. Teri tayinlash qarori qadar qisqa so'rovlar bo'lishi mumkin. Kasalliklarni baholash formulalari terining holatida aniq bo'lganligi sababli, hid paydo bo'lmaydi.

Bosh 1. Matematik mayatnikning qonunga muvofiq j 0 amplitudada yotish davri (radianlarda)

(10)

b parametrining qiymatini o'zgartiring.

Hisob-kitob Kabina: ip, ustun, shtat, transportyor, elektron sekundomer.

Vkazivki qarorga qadar. Kuchlanish davri amplituda jihatidan zaifdir. Aniqlash uchun vaqtni yuqori aniqlikda (-0,01 s) bajarish kerak, buning uchun elektron sekundomer kerak bo'ladi.

Fallow (10) ko'rinish bilan ifodalanishi mumkin, de y=T,b = T 0 . Chiziqli kuzov uchun OLS uchun siz parametrlarning qiymatlarini bilishingiz mumkin Aі b keyin hazil koeffitsienti formulaga tayinlanadi (sezilarli, bu nazariy jihatdan muhim).

Menejer 2. O'zingiz tanlagan linzaning fokus uzunligini tanlang.

Hisob-kitob Idish: dzherelo yorug'lik, ekran, ob'ektiv, chiziq.

Vkazivki qarorga qadar. Yupqa linza formulasi bilan tezlikni oshiring

de d- V_dstan v_d ob'ektivga bo'ysunadi, f- ob'ektivdan tasvirga o'ting, F- Fokusli linza.

Sezilarli darajada bir xil. Yakshcho vymyryati kilka nominal qiymati diі fi va nuqtalarni grafikda chizing , keyin qi aybdorlik nuqtalari o'qlardagi vídsíkaê kabi to'g'ri chiziqda yotadi. X, da vídrízki, son jihatdan teng. MNC depozitini qanday olish mumkin, siz ko'rishingiz va keyin bilishingiz mumkin.

Menejer 3. Sovutish suvi de D formulasi bilan tavsiflanadi T-Xonadagi suv va havo haroratining farqi, D T 0 - soat vaqtidagi narx farqi t\u003d 0. Rahmat, suv qaynaganidan beri necha soat o'tdi.

Hisob-kitob: idishdagi issiq suv, termometr, yilnoma.

Vkazivki qarorga qadar. Suvni qaynatib, pechka ustiga qo'yish kerak. Bir deyaky soatdan so'ng, bu idishlarni kunning yovuzligi uchun qo'yish mumkin. Xona onglari uchun bir shisha suvga yetib borish vaqti 40-asrga yaqin ekanligini eslashdan bir iz.

Belgilangan vazifani bajarish uchun suv haroratining turg'unligini hisobga olish kerak T soatda t. Keling, izlash uchun formulani qayta yozamiz, de T 0 - xona harorati, T kip - suvning qaynash harorati, t 0 - boshoqdagi qaynatilgandan keyin bir soat. Oskilki v. formula faqat harorat farqlarini o'z ichiga oladi, siz Tselsiy shkalasidan foydalanishingiz mumkin. Qolgan virusning prologarifmi

(12)

va ahamiyatli , x= t, biz chiziqli o'tloqni olib tashlaymiz

MNC uchun simulyatsiya natijalarini umumlashtirib, biz parametrlarning qiymatlarini bilamiz A, b, undan soatning kerakli qiymatini hisoblash mumkin t 0: .

Bosh ofis 4. Dosledzhuyte, qo'llab-quvvatlash kuchini yana qanday qilib yotqizish kerak, qanday qilib kichik qog'oz parchalarini qo'yish kerak, nima tushishi, qolgan nurda.

Hisob-kitob: qog'oz shmatochki, sekundomer.

Vkazivki qarorga qadar. Kichkina qog'oz parchalari kvadrat (taxminan sm) qilingan va "parashyutlar" ko'rinishida bir oz egilib, ularning tushishi barqaror edi. Vídmínno tsíêí̈ míti uchun bir martalik qog'oz yoki folgadan tayyorlangan bir martalik plitalarga mos keladi.

Qog'oz plitalarining (yoki parashutiklarning) qulashi doimiy shvedlik bilan ko'rinadi, go'yo tarqalishning kichik kobi bosqichida g'azablanadi. Qo'llab-quvvatlashning kuchi xavfsizlik holatida yotish va qonunni zgidno íz

(g ni tanlash kerak), o'rnidan turganda, kuch son jihatdan tortishish kuchidan kuchliroq bo'ladi, keyinchalik harakat tezligi, ko'tarilgan va balandlikdan tushgan soat. h:

(14)

Keling, bir xil tovoqdan bir spratni (1, 2, 3, ..., 5) olib, tushgan soatni kuzatamiz. t n bir vaqtning o'zida katlanmış n plastinka. Koeffitsient h formula (13) bir xil qiymatlarga ega bo'ladi (faqat plastinka shaklida yotish uchun), tushgan jismlarning massasi, de m 0 - bitta plastinkaning og'irligi. Vikoristovuemo (14): , logarifmik shaklda

(15)

Yak vyplyvaê z tsíêí formulalar, mizh í ísnuê liníyny zv'yazok, de, b uveshli o'tgan qadriyatlar, vimiryuvat yakí nemaê nebhídností.

Bu unvonda, kuz soatiga vymyryavshi eskirgan t n, bir vaqtning o'zida buklanganlar sonida n plitasi va kuzgi (15) sabab bo'lgan, MNCga ko'ra parametr qiymatini aniqlash mumkin. A bu shukanoí o'lchami.

Tajriba soati uchun shuni esda tutish kerakki, qog'oz divlarining balandlikdan tushish soati taxminan 1,5 s ni tashkil qiladi, 0,1 s tartibni yo'qotish bilan yiqilish soatini engib o'tish kerak. Otzhe, raqam teri ma'nosi uchun n sprat qiymatini olish kerak tn. Aytaylik, bu vaziyatda o'rtacha qiymatlarni ilgari surishning hojati yo'q, dunyodagi barcha natijalarni mustaqil ravishda, jumladan, hisob-kitob shaklidan oldin ko'rish mumkin (va zarur).

Xabar qilinishicha, bu turdagi yana bir vazifa Focus jurnalida ko'rib chiqilgan.

5. Visnovok

Ko'rib chiqilgan MMKlar bilan so'rovlar algoritmi Zubran lageridagi yozgi oromgohlarda sinovdan o'tkazildi. O'zaro almashish bilan o'tkazilgan bandlik olimpiadalari shuni ko'rsatdiki, bu usul yo'qolgan fizika maktablarining o'rta maktab o'quvchilari uchun to'liq foydalanish mumkin. Men bilganimdek, mikrokalkulyatorda ishlash taxminan 5-10 daqiqa davom etadi.

Natijalarni grafik qayta ishlash usullarini ishlab chiqish zarurati (MHK va boshqalar bo'yicha) respublika jamoalarining xalqaro musobaqalarda (olimpiadalar, yosh fiziklarning turnirlarida) ishtirok etishi bilan bog'liq, degrafik usullar ko'proq joy egallaydi va yuqori baholanadi.

1. Teylor J. Afv etish nazariyasiga kirish. - M: Nur, 1985 yil.

2. Bilshov L.M., Smirnov N.V. Matematik statistika jadvallari. - M.: Nauka, 1983 yil.

3. Timofeev A.. Stokesni teskari o'tkazish? - Diqqat. - 1995 yil - 2-son. - S. 44-49.

Chiziqli kuzovga keltirildi

Tuproq turi	Reenkarnasyon	Parametrlar

Chiziqli kuzda parametrlarni o'rganish uchun shakl

i	z	u	x	y	Rozrahunkov formulalari	Natijalar

Pastki qismda belgilangan parametrlar
mayatnikning davri víd yogo dovzhini

	Dl,				Rozrahunkov formulalari	Natijalar

Ilmiy va amaliy faoliyatning turli galereyalarida eng keng zastosuvannyani qanday bilish mumkin. Shuningdek, fizika, kimyo, biologiya, iqtisodiyot, sotsiologiya, psixologiya va hokazolardan foydalanishingiz mumkin. O'z ulushimning irodasiga ko'ra, men tez-tez onamni iqtisodning o'ng tomoniga olib kelaman va bugun men sizga nom ostida ajoyib mamlakatga chipta tayyorlayman. ekonometriya=) … Xohlamaysizmi?! U erda bundan ham yaxshiroq - siz shunchaki aqlli bo'lishingiz kerak! ... Lekin o'shalar o'qi, scho vie, singlingly, siz hohlagandek - shuning uchun qanday virishuvat avdannya o'rganish. eng kichik kvadratlar usuli. Va ayniqsa tirishqoq kitobxonlar ularni nafaqat rahm-shafqatsiz, balki SHVIDKO ;-) Ale spochatku virishuvate o'rganish uchun. muammoning ochiq bayoni+ hamroh dumba:

Faol mavzu sohasida ko'rsatkichlar bo'lsin, go'yo juda ko'p viraz bor edi. Have tsomu ê pídstavi vvazhati, scho pokaznik uchun kuzgi vyd pokaznik. Tse mozhe ilmiy farazga o'xshaydi va elementar sog'lom aqlga asoslanadi. Keling, ilm-fanni yo'ldan qo'yaylik va ishtahani ochadigan joylarni - zokrema, oziq-ovqat do'konlarini saqlaylik. Muhim:

– oziq-ovqat do‘konining savdo maydoni, kv.m.,
- Oziq-ovqat do'koniga tovarlar yetkazib berish, mln.

Do'konda qancha joy bo'lsa, vipadkív ko'proq tovarlarga ega bo'lishi yaxshi tushunilgan.

Ogohlantirishdan keyin / keyin / keyin / daf bilan raqsga tushgandan so'ng, buyurtmamiz raqamli ma'lumotlarni ko'rsatishi mumkin:

O'ylaymanki, oziq-ovqat do'konlarida hamma narsa aniq edi: - 1-do'konning maydoni, - 2-do'konning maydoni, - 2-do'konning maydoni va boshqalar. Nutqdan oldin, maxfiy materiallarga ona kirish obov'yazkovo emas zovsym - siz orqali tovar aylanishini to'g'ri baholash olishingiz mumkin. matematik statistika. Vim, ishonchim komil emas, tijorat josuslik kursi - vino allaqachon to'langan =)

Jadvalli ma'lumotlar vizual nuqtada ham yozilishi va biz uchun bir vaqtning o'zida ko'rsatilishi mumkin Dekart tizimi .

Muhim ovqatlanish haqida eslatma: Kislota xizmati uchun qancha nuqta kerak?

Qancha ko'p bo'lsa, shuncha yaxshi. Minimal ruxsat etilgan to'plam 5-6 piksel. Bundan tashqari, namunadagi ma'lumotlarning kichik soni bilan "anomal" natijalarni kiritish mumkin emas. Shunday qilib, masalan, kichik hashamatli do'kon "o'z hamkasblaridan" ko'proq buyurtmalarni bajarishi mumkin, ularni katta qonun bilan qo'llab-quvvatlaydi, buni bilish kerak!

Bu yanada sodda - biz funktsiyani tanlashimiz kerak, jadval yakomoga qanday qilib nuqtalarga yaqinroq o'tish kerak . Bunday funktsiya deyiladi yaqinlashtirish (taxminlash - yaqinlashish) yoki nazariy funktsiya . Ko'rinib turibdiki, bu erda aniq "abituriyent" - yuqori darajadagi boy atama, jadvali barcha nuqtalardan o'tish kerak. Ushbu parametr katlanabilen va ko'pincha noto'g'ri (chunki jadval butun soat davomida "aylanib turadi" va asosiy tendentsiyani yomon aks ettiradi).

Shu tarzda, rozshukuvana ish vaqtini to'xtatib turish va shu bilan birga eskirganlik haqida etarli darajada g'amxo'rlik qilish uchun javobgardir. Siz tasavvur qilganingizdek, bunday funktsiyalarni topish usullaridan biri deyiladi eng kichik kvadratlar usuli. Razberemo yogo - bu badnom ko'rinishning mohiyati. Funksiyani eksperimental ma'lumotlarga yaqin tuting:


Yaqinlikning to'g'riligini qanday baholash mumkin? Eksperimental va funktsional qiymatlarni hisoblang va farqlang (vydhilennya). (Tomosha stullari). Birinchi fikr, bu fikrga to'g'ri keladi - tse smeta, summa katta, ammo muammo chakana savdo salbiy bo'lishi mumkinligidadir. (masalan, ) deb vydhilennya bunday pídsumovuvannya keyin o'zaro bo'ladi. Shuning uchun, yaqinlashishning to'g'riligini baholash uchun sizdan summani qabul qilishingiz so'raladi. modullar o'yladi:

lekin qiyshiq nigohda: (Raptom kimdir bilmaydi: - tse sumi belgisi va - qo'shimcha o'zgartirish - "lichilnik", 1 dan qanday qilib qiymatni olish mumkin).

Turli funktsiyalarga ega bo'lgan eksperimental nuqtalarni yaqinlashtirish, garchi biz har xil qiymatlarni hisobga olsak ham, va aniqki, yig'indisi kamroq bo'lgan joyda - bu funktsiya aniqroq.

Bu usul ishlatiladi va sharob deb ataladi eng kam modul usuli. Biroq, amalda sezilarli darajada kattaroq kenglikka ega eng kichik kvadratlar usuli, Qaerda salbiy qiymatlar mumkin bo'lsa, ular modul tomonidan emas, balki kvadrat birliklar tomonidan yo'q qilinadi:

, shundan so'ng kvadratlarning yig'indisi aniqlanadi Bula eng kam edi. Vlasne, zvydsi th usuli nomidagi.

Shu bilan birga, biz yana bir muhim daqiqaga murojaat qilamiz: ko'proq rejalashtirilganidek, tanlangan funktsiya oddiygina bajarilishi kerak - lekin bunday funktsiyalar ham kam edi: chiziqli , giperbolik, eksponentsial, logarifmik, kvadratik va boshqalar. Va, shubhasiz, bu erda men "faoliyat maydonini tezlashtirishni" xohlayman. Kuzatuv uchun funksiyalarning qaysi sinfini tanlash kerak? Ibtidoiy, ammo samarali usul:

- Ballarni chizish osonroq kresloda va ularning roztashuvannya tahlil. Qanday qilib badbo'y hid to'g'ri chiziqda, shukati yonida tarqalish tendentsiyasiga ega bo'lishi mumkin to'g'ri chiziqlarni tekislash ta ning optimal qiymatlari bilan. Boshqacha qilib aytganda, BUNDAY koeffitsientlarni bilish menejeri - shuning uchun kvadratchalar yig'indisi eng kichik edi.

Ko'ra, masalan, chirish nuqtalari kabi giperbola, keyin chiziqli funktsiya yomon yaqinlik berishi aniq bo'ldi. O'ylaymanki, men giperbolani tenglashtirish uchun eng "hushyor" koeffitsientlarga egaman – Tі, kvadratlarning minimal summasini berish .

Va endi, hurmat keltirish uchun, har ikkala tilda ham Ide ikkita funksiya, kabi argumentlar kuzgi parametrlar, nima deyish kerak:

Va aslida, biz standart vazifani tekshirishimiz kerak - bilish kamida ikkita funktsiya.

Keling, dumbamiz haqida o'ylab ko'raylik: "do'kon" nuqtalari to'g'ri chiziqda kengayish tendentsiyasiga ega bo'lishi mumkin. chiziqli kuzgi savdo hududida tovar aylanishi eng kami edi. Barcha yak zavzhdi - orqaga orqaga 1-darajali shaxsiy bayramlar. Zgidno chiziqlilik qoidasi Siz to'g'ridan-to'g'ri sumi belgisi ostida farqlashingiz mumkin:

Agar siz ushbu ma'lumotni referat yoki kurs ishiga keltirmoqchi bo'lsangiz, men uni jurnallar ro'yxatiga yuborishdan xursand bo'laman, siz bunday hisobotlar haqida kam narsa bilasiz:

Biz standart tizimni yaratamiz:

Bu "dviyka" ga teng qisqa muddatli teri va bundan tashqari, sumi "tarqaladi":

Eslatma : nima uchun "a" va "be" ni sumi belgisi uchun ayblash mumkinligini mustaqil ravishda tahlil qiling

Keling, tizimni "qo'llaniladigan" usulda qayta yozamiz:

boshlaganingizdan so'ng, bizning vazifamizning rozvyazannya algoritmi:

Nuqtalarning koordinatalarini bilamizmi? Bilamiz. Sumi bilishimiz mumkinmi? Osonlik bilan. Biz buni oddiy qilamiz ikkita nevdomimidan ikkita chiziqli chiziqlar tizimi("a" va "bo'l"). Virishuemo tizimi, masalan, Kramer usuli, natija statsionar nuqtani oladi. Qayta ko'rish ekstremum uchun etarli aql qayta ko'rib chiqishingiz mumkin, bu nuqtada qanday funktsiya bor o'zingizga yeting eng kam. Qayta tekshirish qo'shimcha yorliqlar bilan bog'langan va buning uchun sahna ortida juda ko'p (agar kerak bo'lsa, rad etilgan ramkani ko'rishingiz mumkin). Robimo qoldiq mo'ylovlari:

Funktsiya eng yuqori daraja (Qabul qiling, boshqa har qanday chiziqli funktsiya bilan rozi bo'ling) tajriba nuqtalariga yaqinlashish . Taxminan kazhuchi, víd jadvali vídbuvaêtsya imkon qadar yaqin tsikh ochko. An'analar ekonometriya rimman yaqinlashuvchi funksiyasi ham deyiladi juft chiziqli regressiya tengdoshlari .

Katta amaliy ahamiyatga ega bo'lgan vazifani ko'rib chiqing. Bizning dumba bilan vaziyat, teng qaysi turdagi tovarni bashorat qilish imkonini beradi ("Igrek") muhimroq savdo maydoni bo'lgan do'kon bo'ladi (O'sha chi uchun "iks" ma'nosi). Shunday qilib, prognozni bekor qilish prognozdan ko'ra ko'proq bo'ladi, lekin ayni paytda u to'g'ri ko'rinadi.

Men faqat bitta vazifani "haqiqiy" raqamlar bilan tahlil qilaman, lekin u uchun kundalik qiyinchiliklarning hech qanday qismi yo'q - 7-8-sinflar uchun bir xil maktab dasturi uchun barcha hisob-kitoblar. 95 ta o'zgaruvchida sizdan juda chiziqli funktsiyani bilish talab qilinadi va oxirgi maqolada men optimal giperbola, ko'rsatkich va boshqa funktsiyalarning tengligini bilish oson emasligini ko'rsataman.

Aslini olib qaraganda, u obítsyaní bulochka berish uchun etarli emas edi - shuning uchun siz nafaqat bezmilkovo, balki shvidko amal virishuvate o'rgandim. Hurmat bilan standart vyvchaemo:

menejer

Natijada, ikkita ko'rsatkichning o'zaro bog'liqligi bunday raqamlar juftligidan olib tashlandi:

Empirikning eng yaxshi yaqinlashuvi sifatida chiziqli funktsiyani bilish uchun eng kichik kvadratlar usulidan foydalanish (oldindan) ma'lumotlar. Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimida eksperimental nuqtalarni va yaqinlashuvchi funktsiya grafigini induktsiya qilish uchun kafedraning vazifasi. . Empirik va nazariy qiymatlar orasidagi kvadratlar yig'indisini biling. Z'yasuvati, chi eng yaxshi funksiya bo'ladi (eng kichik kvadratlar usuliga qarashdan) tajriba nuqtalariga yaqinlashish.

"Iksov" ma'nolari tabiiy ekanligini va o'ziga xos o'zgarishlar bo'lishi mumkinligini hurmat qiling, buning uchun men omad tilayman; ale hidi, zrozumílo, ov miltig'i bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, u "iksoví" kabi chi ínshoy zavdannya nurida eskirgan, shuning uchun "igroí" ma'nolari ko'proq yoki kamroq salbiy bo'lishi mumkin. Xo'sh, biz "yuzsiz" vazifani berdik va biz yoga tuzatmoqdamiz Yechim:

Optimal funktsiya koeffitsienti tizimni ajratish deb nomlanadi:

Keyinchalik ixcham yozuv yordamida siz o'zgartirishni qoldirishingiz mumkin - "lichilnik", parchalar va shuning uchun yig'indi 1 dan yig'indisi aniq bo'ladi.

Jadval ko'rinishida kerakli summalarni qulayroq to'lang:


Hisoblash mikrokalkulyatorda amalga oshirilishi mumkin, ammo Exceldan foydalanish yaxshiroq - tezroq va kechirimsiz; qisqa videoklipga hayron bo'ling:

Men bu martabada kelaman tizimi:

Bu erda siz boshqa tenglikni 3 ga ko'paytirishingiz mumkin 1-qator. Ale tse vezinnya - amalda tizim ko'pincha qobiliyatli emas va bunday vaziyatlarda ryatuê Kramer usuli:
Shunga qaramay, tizim faqat bitta yechimdir.

Bizga qayta tekshirish kerak. Razumíyu, scho istamayman, lekin hozir u erda kechirim sog'indim, qaerda siz yuz yuz sog'indim mumkin emas? Taxminlarga ko'ra, tizimning dermal hizalanishining chap qismida yechim mavjud:

Vidpovidnyh tenglarning bir qismining huquqlari olib qo'yildi va tizim ham to'g'ri edi.

Shu tartibda shukana yaqinlashuvchi funksiya hisoblanadi: - h barcha chiziqli funktsiyalar Eksperimental ma'lumotlar eng yaxshisiga eng yaqin.

Vídmínu víd ustida Streyt shu hududdagi do'konga tovar zaxirasi, zahira topildi qaytariladigan ("Nima ko'p bo'lsa - kamroq" tamoyili), va bu haqiqat darhol salbiy bilan ko'rsatiladi kesish koeffitsienti. Funktsiya kuzgi ko'rsatkichning qiymatini 1 birlik qiymatiga o'zgartiradiganlar haqida eslatib o'tamiz o'rtasida 0,65 birlikka. Aftidan, grechkaning narxi qancha yuqori bo‘lsa, shuncha kam sotiladi.

Taxminlovchi funktsiyaning grafigini induktsiya qilish uchun biz ikkita її qiymatni bilamiz:

va vykonaemo kreslolar:


To'g'ridan-to'g'ri qo'ng'iroq qilish taklif qilindi trend chizig'i (va o'ziga - chiziqli tendentsiya chizig'i, keyin yovvoyi tabiatdagi tendentsiya to'g'ri chiziq emas). Hamma "trendda bo'lish" tilini biladi va menimcha, bu atama qo'shimcha izohlarni talab qilmaydi.

Vidhilen kvadratlari yig'indisini hisoblang empirik va nazariy qadriyatlar o'rtasida. Geometrik jihatdan - "qizil" vidrízkív dojinlari kvadratlari yig'indisi (Ushbu pollardan ikkitasi kichik, shuning uchun ularni ko'ra olmaysiz).

Jadval bo'yicha hisoblangan:


Siz buni hali ham qo'lda qilishingiz mumkin, har bir vipadokda men dumbani 1-bandga qarataman:

ale, yanada samaraliroq, uni allaqachon darajaga ko'taring:

Yana takrorlaymiz: nima uchun otrimanogo natija hissi bor? V barcha chiziqli funktsiyalar funksiyada pokaznik ê eng kam, shuning uchun uning vatani eng yaxshi yaqinlikka ega. Va bu erda, nutqdan oldin, ozuqaviy vazifaning zo'ravonliksiz xulosasi: va eksponentsial funktsiya raptom tomonidan ilgari suriladi. tajriba nuqtalariga yaqinroqmi?

Biz vidhilen kvadratlarining aniq yig'indisini bilamiz - ularni farqlash uchun men ularni "epsilon" harfi bilan belgilayman. Texnika bir xil:


I 1-band uchun har qanday keyingi hisob-kitoblarga qo'ng'iroq qilaman:

Excelda standart funksiyadan foydalanish EXP (Sintaksisni Excel hujjatida ko'rish mumkin).

Visnovok: , u holda eksponensial funktsiya tajriba nuqtalariga yuqoriroq, pastroq tekis yaqinlashadi .

Ale bu erda "Hirshe" ni belgilash uchun - tse hali degani emas, bu yomon. Darhol ko'rsatkichli funktsiyaning grafigini tuzib, nuqtalarga yaqin o'tish uchun tezh. - Demak, analitik kuzatuvsiz, funksiya aniqroq ekanligini aytish kerak.

Qaysi qaror tugadi va men bahsning tabiiy ahamiyati haqida ovqatlanishga murojaat qilaman. Turli xil hollarda oylarni, sanalarni va boshqa teng soatlarni aniq, iqtisodiy va sotsiologik, tabiiy "iks" raqamlari. Keling, masalan, bunday vazifani ko'rib chiqaylik.

Eng kichik kvadratlar usuli (LSM) vipadkovi kechirimlari uchun qasos olish uchun vimiryuvanni ko'paytirishning turli xil qiymatlarini, vicarious natijalarini baholashga imkon beradi.

Xarakterli MNC

Ushbu usulning asosiy g'oyasi shundan iboratki, masalani hal qilishning to'g'riligi mezoni sifatida, sonni minimal darajaga tushirish uchun kechirim kvadratlari yig'indisi hisobga olinadi. Kimga u raqamli, í analitik pídhíd sifatida zastosovuvaty mumkin.

Zokrema, eng ko'p sonli eksperimentlarni noma'lum kattalikka o'tkazishning eng kichik kvadratlar usulini raqamli amalga oshirish sifatida. Bundan tashqari, siz qanchalik ko'p hisoblasangiz, qaror qanchalik aniq bo'ladi. Shaxssiz hisob-kitoblar (bayramlar) kimdan olinadi, aks holda shaxsiy folbinlik qarorlari, shundan keyin biz eng yaxshisini tanlaymiz. Parametrlashtirishning shaxsiy bo'lmagan yechimi sifatida eng kichik kvadratlar usuli parametrlarning optimal qiymatini izlashga olib keladi.

Shaxssiz chiqish ma'lumotlari (vimiryuvan) bo'yicha MNCni amalga oshirishdan oldin tahliliy qadam sifatida va shaxssiz yechimni o'tkazish, deyak (funktsional) ko'rsatiladi, chunki siz vimagaê tasdiqlovchi deyak gipotezasini ushlab turish uchun formuladan foydalanishingiz mumkin. Shu tarzda, eng kichik kvadratlar usuli hafta oxiri ma'lumotlarini kechirishning bir nechta kvadratlarida ushbu funktsiyaning minimal qiymatiga tushiriladi.

Hurmat qiling, o'zingizda kechirimlar bor, kechirimning kvadratlari. Nega? O'ng tomonda, ko'pincha aniq ma'nodagi vimiriv ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin. O'rtacha oddiylik aniqlanganda, yig'indi baholash sifatining noto'g'ri vysnovkasiga olib kelishi mumkin, shaxssiz vimiryuvanning tebranish intensivligini kamaytirish uchun o'zaro kamayib boruvchi ijobiy va salbiy qiymatlarni masshtablash. Otzhe va baholashning aniqligi.

Biror narsa sodir bo'lmasligi uchun va o'lim kvadratlarini umumlashtiring. Navit ko'proq, schob virívnyat razmírniníniníníníníni vímíryuvanoíí qiymati va pídamkovoííííínínki, íẑ dan sumi squariíí khubok vityaguyut

Faol MNC dasturlari

MNClar turli galuzahlarda keng tarqalgan vikoristovuêtsya. Masalan, dinamika va matematik statistika nazariyasida diapazonning kengligini kattalik qiymatiga belgilaydigan o'rtacha kvadratik og'ish kabi kattalik kattaligining bunday xarakteristikasini belgilash uchun vikoristovuetsya usuli. kattaligi.

Eng kichik kvadratlar usuli

Eng kichik kvadratlar usuli ( MNK, OLS, oddiy eng kichik kvadratlar) - tebranish ma'lumotlari uchun regressiya modellarining noma'lum parametrlarini baholash uchun regressiya tahlilining asosiy usullaridan biri. Usul regressiyaning ortiqcha kvadratlari yig'indisini minimallashtirishga asoslangan.

Shuni ta'kidlash kerakki, eng kichik kvadratlar usulini har qanday sohadagi muammolarni hal qilish usuli, masalaning echimi sifatida yoki mavjud funktsiyalarning kvadratlari yig'indisini o'zgartirish shaklida minimallashtirish uchun ma'lum bir mezonni qondiradigan usul deb atash mumkin. hazillashadilar. Demak, eng kichik kvadratlar usuli berilgan funksiyani boshqa (oddiy) funksiyalar orqali taxminiy tasvirlash (yaqinlashtirish) uchun ham foydalanish mumkin, bunda ma’lum qiymatlar yig‘indisi daraja yoki chegarani qanoatlantiradi, ularning soni ularning sonidan ko‘proq bo‘ladi. bu qiymatlar soni va boshqalar.

MNKning mohiyati

(z'yasovanoy) o'rtasidagi imovirnísnoí (regressiv) erning kunlik (parametrik) modeli o'zgartirilsin. y va shaxsiy bo'lmagan omillar (o'zgarishlarni tushuntiruvchi) x

de - modeldagi noma'lum parametrlarning vektori

- Vipadkova kechirim modeli.

Ular ko'rsatilgan o'zgarishlarning ma'nosini ham tebranishlariga ruxsat bering. Keling - tomosha raqami (). Todi - hushyorlikdagi o'zgarishning ma'nosi. Keyin, b parametrlarining qiymatlarini hisobga olgan holda, o'zgarishning nazariy (model) qiymatlarini ishlab chiqish mumkin, bu y bilan izohlanadi:

Parametrlar qiymati bo'yicha ortiqcha konlarni kengaytirish b.

Bunday parametrlarni biladiganlar uchun MNCning mohiyati (a'lo, klassik) b, ortiqcha kvadratlarning ba'zi yig'indisi uchun (eng. Kvadratlarning qoldiq yig'indisi) minimal bo'ladi:

Oxir-oqibat, qaysi vazifani hal qilish optimallashtirishning raqamli usullari bilan amalga oshirilishi mumkin (minimallashtirish). Nima haqida gapiryapsiz chiziqli bo'lmagan eng kichik kvadratlar(NLS yoki NLLS - eng. Chiziqli bo'lmagan eng kichik kvadratlar). Boy vipadkada analitik yechimni olish mumkin. Minimallashtirish vazifasini bajarish uchun funktsiyaning statsionar nuqtalarini bilish kerak, noma'lum parametrlar b uchun prodifferensiyalash, o'xshash qiymatlarni nolga o'rnatish va tenglar otriman tizimini buzish:

Modelning o'zgaruvchan kechirilishi natijasida normal taqsimot bo'lishi mumkin, bir xil dispersiya va o'zaro bog'liq bo'lmagan bo'lishi mumkin, parametrlarning LSM baholari maksimal ehtimollik usuli (MLM) baholariga asoslanadi.

Turli chiziqli modellar uchun LSM

Regressiya xatosi chiziqli bo'lsin:

Qo'ysangchi; qani endi y- o'zgarishini tushuntirib qo'riqchi vektor-ustun, va - omillar qo'riqchisi matritsasi (matritsa satrlar vektorlar va bu qo'riqchi uchun omillar qiymati, ustunlar tomonidan - qiymat vektori. barcha qo'riqchilar uchun berilgan koeffitsient). Chiziqli modelning matritsa ko'rinishini ko'rish mumkin:

Keyin izohlangan o'zgarishlarni baholash vektori va regressiyadagi ortiqcha vektor ko'proq

aftidan, tannarxning regressiyasidagi ortiqchalar kvadratlari yig'indisi

Parametrlar vektori orqasidagi funktsiyani farqlash va qiymatlarni nolga tenglashtirish, biz tenglashtirish tizimini olib tashlaymiz (matritsa shaklida):

.

Virishennya tsíêí rivnyan tizimi va chiziqli model uchun LLS-baholovchilarning umumiy formulasini keltiring:

Analitik maqsadlar uchun formulaning ko'rsatilgan sonining qolgan qismining rangi ko'rsatilgan. Regressiya ma'lumotlar modeli qanday ishlaydi markazlashtirish, keyin birinchi matritsa chinniklarning sezgi tebranish kovariant matritsasining birinchi matritsasiga, ikkinchisi esa kuzgi zminnayadan chinniklarning kovariantlar vektori hisoblanadi. Qanday berish kerak ratsion Shimoliy Qozog'iston viloyatida (tobto standartlashtirilgan), keyin birinchi matritsa omillarning tebranish korrelyatsiyasi matritsasi sezgisi, boshqa vektor - qazib olingan karerning tebranish korrelyatsiya omillari vektorlari.

Modellar uchun OLS baholarining kuchining ahamiyati doimiy bilan- induktsiyalangan regressiya chizig'i tebranish ma'lumotlarining zo'ravonlik markazidan o'tadi, shunda muvozanat qozoniladi:

Zocrema, ekstremal nuqtada, agar yagona regressor doimiy bo'lsa, bitta parametrning LSM-bahosi (doimiy holatda) o'zgarishning o'rtacha qiymatiga yaqinroq bo'lishi taxmin qilinadi, bu tushuntiriladi. Ya'ni katta sonlar qonunlaridan o'zining yaxshi vakolati mavjud bo'lgan arifmetik o'rtacha, shuningdek, MNC-bahosi - undagi havo kvadratlari yig'indisining minimal mezonini qondiradi.

Misol: oddiy (parna) regressiya

Turli juft chiziqli regressiyada formulalarni soddalashtirish mumkin (siz matritsa algebrasisiz ham qilishingiz mumkin):

MNC baholarining kuchi

Ko'rib chiqilganda, LLS-baholashning chiziqli modellari uchun ê chiziqli baholovchilar olingan formuladan ajralib turishi muhimdir. MNC baholarining barqarorligi uchun regressiya tahlilining eng muhim sababini takomillashtirish zarur va etarli: regressiyani matematik baholash omillaridan tashqari nolga erishish mumkin. Tsya umova, zokrema, vikonana, yakshcho

1. matematik ochíkuvannya vipadkovy nolga kechiradi, bu
2. omil va vipadkovi afv - mustaqil vipadkoví qadriyatlar.

Aqlning do'sti - aqlning ekzogen omillari muhim ahamiyatga ega. Garchi rasmiylar g'alaba qozonmagan bo'lsa ham, siz hurmat qilishingiz mumkin, agar baholashlar juda qoniqarsiz bo'lsa: hid bo'lishi mumkin (hatto Demshevskiyning o'lponining katta majburiyatini ilhomlantirish turli mamlakatlardan bir xil baholarni olib tashlashga imkon bermaydi). Klassik kayfiyatda omillarning determinizmi, vipadkovo kechirimini ko'rib chiqish uchun kuchli imtiyoz mavjud, bu avtomatik ravishda ekzogenlik ongini yo'q qilishni anglatadi. Baholashni osonlashtirish uchun, bir vaqtning o'zida matritsadan bokira bo'lmagan matritsaga ekzogen aql va ekzogenlikka erishish uchun jonlilik majburiyatini noaniqlikka oshirish.

Jinoyatni targ'ib qilish va xolis bo'lishi uchun (yuqori) MNKlarni baholash samaraliroq bo'lishi uchun (chiziqli xolis baholashlar sinfidagi eng yaxshisi) vipadkovo avf etishning qo'shimcha vakolatlarini engib o'tish kerak:

Ushbu imtiyozlar vipadian pardons vektorining kovariatsiya matritsasi uchun shakllantirilishi mumkin

Sizni xursand qiladigan chiziqli model deyiladi klassik. Klassik chiziqli xolis regressiya uchun LLS baholari va barcha chiziqli xolis baholar sinfidagi eng samarali baholar. ko'k (Eng yaxshi chiziqli asossiz baholovchi) - eng chiziqli xolis baholash; Gauss-Markov teoremasi ko'pincha mahalliy adabiyotlarda induktsiya qilinadi). Xarajat koeffitsientlarini baholash vektorining kovariatsiya matritsasi quyidagicha ekanligini ko'rsatish muhim emas:

MNClarni yangilaydi

Eng kichik kvadratlar usuli keng qo'llaniladi. To'lib-toshganlar kvadratlari yig'indisini minimallashtirish o'rniga, to'lib toshganlar vektorida musbat tayinlangan kvadratik shaklning ikkilik qismini minimallashtirish mumkin. Yakuniy eng kichik kvadratlar usuli, agar matritsa bitta matritsaga proportsional bo'lsa, ushbu yondashuv turi deb ataladi. Bunday matritsalar uchun simmetrik matritsalar (yoki operatorlar) nazariyasidan ko'rinib turibdiki, asosiy tartib mavjud. Bundan tashqari, funktsional tayinlanishlar yaqinlashib kelayotgan daraja bilan aniqlanishi mumkin, shuning uchun butun funksionallik "ortiqchalik" ning bunday o'zgarishi kvadratlari yig'indisi kabi bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, biz eng kichik kvadratlar usullari sinfini nomlashimiz mumkin - LS-metodlar (Eng kichik kvadratlar).

Toraytirilgan chiziqli regressiya modeli uchun (Aitken teoremasi) eng samarali (chiziqli xolis baholar sinfi uchun) tomonidan isbotlangan (vipadkovy kechirimlarining kovariativ matritsasi uchun bir xil qiymatlar qo'shilmaydi) umumlashtirilgan eng kichik kvadratlar (OMNK, GLS - umumlashtirilgan eng kichik kvadratlar)- vipadkovy afvning sog'lom kovariat matritsasi bo'lgan vago matritsasi bilan LS-usuli: .

Chiziqli modeldagi GLS parametrlarini baholash formulasi ko'rinishi mumkinligini ko'rsatish mumkin

Kovarians matritsasi

Darhaqiqat, MLNC ning kunduzi kunduzgi ma'lumotlarning qo'shiq (chiziqli) transformatsiyasida (P) va yulduz MNCning stosuvannilarida ma'lumotlarning o'zgarishidan oldin ishlatiladi. Ushbu transformatsiyaning maqsadi - bu vipadkovy afvlarini o'zgartirish klassik avflar bilan allaqachon qanoatlantirishdir.

MNC nomlari

Diagonal diagonal vag matritsasida WLS (WLS - Weighted Least Squares) ning juda ko'p darajalari mavjud (va shuning uchun kovarious vipadkovy afv matritsasi). Minimallashtirish vaqtlarida ortiqcha modellarning kvadratlari yig'indisi chaqiriladi, shuning uchun teri "vaga" ni olib tashlash uchun ehtiyot bo'ladi, vipadkovo afvning vipadkovo proportsional dispersiyasi ehtiyotkorlik bilan: . Aslida, o'lponlar vasiylikka o'zgartiriladi (afv etish uchun standart nafaqaga mutanosib qiymatga bo'linadi) va ajoyib MNClar taqdirlanadi.

Deyakí okremi vipadki zastosuvannya MNK amalda

Chiziqli kuzgi hosilning yaqinlashishi

Agar deuce skalyar qiymatining delikansiyasining kamayishi natijasida decoy skalyar qiymati í̈m ma'nosiga ega bo'lsa, biz tushishni ko'rishimiz mumkin. Ma'lumotlar vimiryuvan jadvalda qayd etilishi mumkin.

stol. Vimiriv natijalari.

№ vimiru
1
2
3
4
5
6

G'oya shunday bo'lishi kerak: kuzda hosilni yaxshiroq tasvirlash uchun koeffitsientning qiymatini qanday tanlash mumkin? Zgidno z OLS ce qiymatlari shunday bo'lishi mumkinki, qiymatlar qiymatlari qiymatlari kvadratlari yig'indisi

bu minimal

Kvadratchalar yig'indisi faqat bitta ekstremumga ega bo'lishi mumkin - bu formulani engishimizga imkon beradigan minimal. Biz koeffitsientning qiymat formulasini bilamiz. Buning uchun biz oxirgi qismni quyidagicha qayta tuzamiz:

Formulaning qolgan qismi talab qilinadigan koeffitsientning qiymatini bilish imkonini beradi.

Tarix

XIX asrning boshoqlarida. vcheni tenglar sistemasining tepasida tiyin qoidalarining mavjudligi bor, ular uchun noma'lumlar soni kamroq, tenglar soni kamroq; shu soatgacha, xususiy priyomi g'alaba qozondi, qaysi rivnyan turiga qarab past yotardi va harorat darajasi tufayli, hisoblash va o'sha vaqtga qadar hisoblash, bu soqchilarning o'zlari tinchligidan chiqib, turli vysnovkiv keldi. Gauss (1795) bu usuldan oldinda bo'lishi kerak va Legendre (1805) mustaqil ravishda yoga kashf qildi va hozirgi nomi bilan nashr etdi (fr. Metode des moindres janjal ). Laplas bu usulni imovirnosti nazariyasiga kiritdi va amerikalik matematik Edrain (1808) uning nazariy-imovirnisni qo'shimchalarini ko'rib chiqdi. Jenke, Bessel, Xansen va boshqalarning keyingi tadqiqotlari bo'yicha kengaytmalar va kengaytmalar usuli.

Muqobil ko'pirtirish MNC

Eng kichik kvadratlar usuli g'oyasi boshqa usullarda ham qo'llanilishi mumkin, chunki u regressiya tahlili bilan bevosita bog'liq emas. O'ng tomonda, ya'ni kvadratlar yig'indisi vektorlar uchun eng keng yaqinlik diapazonlaridan biridir (cheklangan fazolarda Evklid metrikasi).

Zastosuvanlardan biri chiziqli tekislash tizimlarining "virishenyasi" bo'lib, unda tekislashlar soni almashtirishlar sonidan ko'pdir.

de matritsa kvadrat emas, balki o'lchami to'rtburchaklardir.

Bunday tizim tengdir, shaxs uchun hech qanday yechim yo'q (natijada, unvon aslida boshqalarining sonidan kattaroqdir). Ushbu tizim faqat vektorlar va vektorlar orasidagi "vydstan" ni minimallashtirish uchun bunday vektorni sensorli tanlashda "buzilishi" mumkin. Bunga teng tizimning chap va o'ng qismlari orasidagi farq kvadratlari yig'indisini minimallashtirish mezoni, tobto orqali erishish mumkin. Minimallashtirish vazifasining balandligi hujumkor tenglashtirish tizimining balandligiga olib kelishini ko'rsatish muhim emas.

Eng kichik kvadratlar usuli (OLS, inglizcha. Ordinary Least Squares, OLS)- matematik usul, vyryshennya ríznih zavdan bo'yicha zastosovuvanii, shukanih zminnyh ko'rinishida berilgan funktsiyalar kvadratlari yig'indisini minimallashtirish bo'yicha zastozovaniya. Vín tengliklarni "virishennya" qayta hisoblash tizimlari uchun (agar tenglar soni bo'lmagan uylar sonidan ko'p bo'lsa), turli xil (qayta tayinlanmagan) chiziqli bo'lmagan tenglik tizimlarini hal qilish uchun, nuqta qiymatlarini yaqinlashtirish uchun vikoristovuvatsya bo'lishi mumkin. kuylash funktsiyasidan. OLS - tebranish ma'lumotlari uchun regressiya modellarining noma'lum parametrlarini baholash uchun asosiy regressiya tahlil usullaridan biri.

Entsiklopedik YouTube

1 / 5

✪ Eng kichik kvadratlar usuli. Mavzu

✪ Eng kichik kvadratlar usuli, 1/2-dars. Chiziqli funksiya

✪ Ekonometrika. Ma’ruza 5. Eng kichik kvadratlar usuli

✪ Mitin I. V. - Obrobka natijalari fiz. tajriba - Eng kichik kvadratlar usuli (4-ma'ruza)

✪ Ekonometrika: №2 eng kichik kvadratlar usulining mohiyati

Subtitrlar

Tarix

XIX asrning boshoqlarida. vcheni tenglar tizimini amalga oshirish uchun kichik qoidalar emas, unda noma'lumlar soni kamroq, tenglar soni kamroq; shu soatgacha, xususiy priyomi g'alaba qozondi, qaysi rivnyan turiga qarab past yotardi va harorat darajasi tufayli, hisoblash va o'sha vaqtga qadar hisoblash, bu soqchilarning o'zlari tinchligidan chiqib, turli vysnovkiv keldi. Gauss (1795) bu usuldan oldinda bo'lishi kerak va Legendre (1805) mustaqil ravishda yoga kashf qildi va hozirgi nomi bilan nashr etdi (fr. Metode des moindres janjal). Laplas bu usulni imovirnosti nazariyasiga kiritdi va amerikalik matematik Edrain (1808) uning nazariy-imovirnisni qo'shimchalarini ko'rib chiqdi. Jenke, Bessel, Xansen va boshqalarning keyingi tadqiqotlari bo'yicha kengaytmalar va kengaytmalar usuli.

Eng kichik kvadratlar usulining mohiyati

Qo'ysangchi; qani endi x (\displaystyle x)- terish n (\displaystyle n) noma'lum o'zgarishlar (parametrlar), f i (x) (\displaystyle f_(i)(x)), , m > n (\displaystyle m>n)- Sukupnyst funktsyy vyd tsgogo o'rnating zminnyh. Bunday qadriyatlarni tanlash uchun soha rahbari javobgardir x (\displaystyle x), bu funksiyalarning qiymatlari mavjud qiymatlarga imkon qadar yaqin bo'lishi uchun y i (\displaystyle y_(i)). Darhaqiqat, teng huquqlarning qayta ko'rib chiqilgan tizimining "virishenni"si haqida gap bor f i (x) = y i (\displaystyle f_(i)(x)=y_(i)), i = 1, …, m (\displaystyle i=1,\ldots,m) belgilangan ma'no tizimning chap va o'ng qismlarining maksimal yaqinligiga ega. MNCning mohiyati chap va o'ng qismlar kvadratlarining "yaqin kelish" yig'indisi sifatida tanlanadi. | f i (x) - y i | (\displaystyle |f_(i)(x)-y_(i)|). Ushbu tartibda MNCning mohiyatini quyidagi tartibda ifodalash mumkin:

∑ i e i 2 = ∑ i (y i − fi (x)) 2 → min x (\displaystyle \sum _(i)e_(i)^(2)=\sum _(i)(y_(i)-f_() i)(x))^(2)\o‘ng strelka \min _(x)).

Agar tizim yechimga teng bo'lsa, kvadratchalarning minimal yig'indisi nolga teng bo'ladi va siz tenglashtirish tizimining aniq echimlarini analitik yoki, masalan, optimallashtirishning turli raqamli usullari bilan topishingiz mumkin. Agar tizim qayta aniqlangan bo'lsa, unda tasodifiy o'zgarishlar soni uchun mustaqil tenglar soni ko'proq bo'lsa, unda tizim aniq echimga ega emas va eng kichik kvadratlar usuli haqiqiy "optimal" ni bilishga imkon beradi. vektor x (\displaystyle x) tuyg'u vektorlarning maksimal yaqinligiga ega y (\displaystyle y)і f(x) (\displaystyle f(x)) yoki v_dkhilen vektorining maksimal yaqinligi e (\displaystyle e) nanovec (yaqinlik Sensi Evklid aqli tomonidan tushuniladi).

Butt - chiziqli chiziqlar tizimi

Zokrema, eng kichik kvadratlar usuli chiziqli tekislash tizimini takomillashtirish uchun ishlatilishi mumkin

A x = b (\displaystyle Ax = b),

de A (\displaystyle A) to'g'ri chiziqli matritsa kengaytirildi m × n , m > n (\displaystyle m\times n,m>n)(shuning uchun A matritsadagi qatorlar soni tasodifiy o'zgarishlar sonidan ko'p).

Bunday tenglashtirish tizimi uchun hech qanday yechim yo'q. Bunday vektorning sensorli tanlovi bilan bu tizim "buzilishi" mumkin. x (\displaystyle x), vektorlar orasidagi farqni minimallashtirish uchun A x (\displaystyle Axe)і b (\displaystyle b). Kim uchun tizimning chap va o'ng qismlari orasidagi farq kvadratlari yig'indisini minimallashtirish mezonini belgilashingiz mumkin, tobto (A x − b) T (A x − b) → min x (\displaystyle (Ax-b)^(T)(Ax-b)\o‘ng strelka \min _(x)). Minimallashtirish vazifasining balandligi hujumkor tenglashtirish tizimining balandligiga olib kelishini ko'rsatish muhim emas.

x = (A T A) − 1 A T b (\displaystyle A^(T)Ax=A^(T)b\O‘ng tomon x=(A^(T)A)^(-1)A^ (T)b).

Regressiya tahlilida OLS (ma'lumotlarning yaqinlashishi)

Kelinglar n (\displaystyle n) deakoning ma'nosi y (\displaystyle y)(ehtiyotkorlik natijalari, faqat tajribalar bo'lishi mumkin) va boshqa o'zgarishlar x (\displaystyle x). Soha yetakchisi tilni o‘zaro tushunishda y (\displaystyle y)і x (\displaystyle x) Ba'zi noma'lum parametrlarga to'g'ri keladigan ba'zi funktsiyalarni taxminiy b (\displaystyle b), keyin parametrlarning eng yaxshi qiymatlarini aniqlang b (\displaystyle b), bu qiymatlarga maksimal darajada yaqinlashadi f (x, b) (\displaystyle f(x,b)) haqiqiy qadriyatlarga y (\displaystyle y). Aslida, teng shodoning qayta ko'rib chiqilgan tizimini "virishennya" nuqtasiga qadar qurish kerak. b (\displaystyle b):

F (x t , b) = y t , t = 1 , … , n (\displaystyle f(x_(t),b)=y_(t),t=1,\ldots ,n).

Ekonometrikada ushbu zokremaning regression tahlilida o'zgarishlar orasidagi pasayishning turli modellari mavjud.

Y t = f (x t , b) + e t (\displaystyle y_(t)=f(x_(t),b)+\varepsilon _(t)),

de e t (\displaystyle \varepsilon _(t))- shunday deyiladi vipadkovi kechiradi modellar.

Vidpovidno, vydhilennya znachen, scho qo'riqchisi y (\displaystyle y) model turi f (x, b) (\displaystyle f(x,b)) allaqachon bir xil modelda uzatilgan. Bunday parametrlarni bilish uchun MNC (ajoyib, klassik) mohiyati b (\displaystyle b), Kvadratlarning har qanday yig'indisi uchun ular (kechirimlilik, regressiya modellari uchun ular ko'pincha regressiya ortiqcha deb ataladi) e t (\displaystyle e_(t)) minimal bo'ladi:

b ^ O S = arg ⁡ min b RS S (b) (\displaystyle (\shapka (b))_(OLS)=\arg \min _(b)RSS(b)),

de RS S (\displaystyle RSS)- Ingliz. Kvadratlarning qoldiq yig'indisi quyidagicha ko'rsatiladi:

RS (b) = e T e = ∑ t = 1 n e t 2 = ∑ t = 1 n (y t − f (x t , b)) 2 (\displaystyle RSS(b)=e^(T)e=\sum _ (t=1)^(n)e_(t)^(2)=\sum _(t=1)^(n)(y_(t)-f(x_(t),b))^(2) ).

Oxir-oqibat, qaysi vazifani hal qilish optimallashtirishning raqamli usullari bilan amalga oshirilishi mumkin (minimallashtirish). Nima haqida gapiryapsiz chiziqli bo'lmagan eng kichik kvadratlar(NLS yoki NLLS - eng kichik chiziqli bo'lmagan kvadratlar). Boy vipadkada analitik yechimni olish mumkin. Minimallashtirish vazifasini bajarish uchun funktsiyaning statsionar nuqtalarini bilish kerak RS S (b) (\displaystyle RSS(b)), noma'lum parametrlar uchun prodifferentiatsiyalovchi b (\displaystyle b), yo'qotishlarni nolga tenglashtirish va otriman tenglik tizimini buzish:

∑ t = 1 n (y t − f (x t , b)) ∂ f (x t , b) ∂ b = 0 (\displaystyle \sum _(t=1)^(n)(y_(t)-f(x_) (t),b))(\frac (\qisman f(x_(t),b))(\qisman b))=0).

Turli chiziqli regressiyada OLS

Regressiya xatosi chiziqli bo'lsin:

t = ∑ j = 1 k b j x t j + e = x t T b + e t (\displaystyle y_(t)=\sum _(j=1)^(k)b_(j)x_(tj)+\varepsilon =x_( t)^(T)b+\varepsilon _(t)).

Qo'ysangchi; qani endi y- o'zgarishni tushuntiruvchi qo'riqchining vektor-stovpetlari va X (\displaystyle X)- ce (n × k) (\displaystyle ((n\times k)))-mansabdor shaxslarning matritsali qo'riqchilari (matritsaning qatorlari - qo'riqlanadigan mansabdor shaxslarning vektori va qiymati, qadamlarga ko'ra - bu zobitning qiymatining vektori barcha qo'riqchilar uchun kattaroqdir). Chiziqli modelning matritsa ko'rinishi quyidagicha ko'rinishi mumkin:

y = X b + e (\displaystyle y=Xb+\varepsilon).

Keyin izohlangan o'zgarishlarni baholash vektori va regressiyadagi ortiqcha vektor ko'proq

y ^ = X b , e = y − y ^ = y − X b (\displaystyle (\hat(y))=Xb,\quad e=y-(\shapka(y))=y-Xb).

aftidan, tannarxning regressiyasidagi ortiqchalar kvadratlari yig'indisi

RS = e T e = (y - X b) T (y - X b) (\displaystyle RSS=e^(T)e=(y-Xb)^(T)(y-Xb)).

Parametrlar vektori ortidagi differentsiatsiya funksiyasi b (\displaystyle b) va qiymatlarni nolga tenglashtirib, biz tenglashtirish tizimini olib tashlaymiz (matritsa shaklida):

(X T X) b = X T y (\displaystyle (X^(T)X)b=X^(T)y).

Matritsa shakllarini dekodlashda tizim quyidagicha ko'rinadi:

(∑ x t 1 2 ∑ x t 1 x t 2 ∑ x t 1 x t 3 … ∑ x t 1 x t k ∑ x t 2 x t 1 ∑ x t 2 2 ∑ x t 2 x t 2 2 ∑ x t 2 x t 3 … ∑ x t 2 x t 3 … ∑ x ∋ t … x t k x t 1 ∑ x t k x t 2 ∑ x t k x t 3 … ∑ x t (2) y t ⋮ ∑ x t k y t) , (\displaystyle (\begin(pmatrix)\sum x_(t1)\t(2)(2) &\sum x_(t1)x_(t3)&\ldots &\sum x_(t1)x_(tk)\\\sum x_(t2)x_(t1)&\sum x_(t2)^(2) &\ yig'indisi x_(t2)x_(t3)&\ldots &\ yig'indisi x_(t2)x_(tk)\\\sum x_(t3)x_(t1)&\sum x_(t3)x_(t2)&\ yig'indisi x_ (t3)^(2)&\ldots &\sum x_ (t3)x_(tk)\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum x_(tk)x_(t1 )& \sum x_(tk)x_(t2)&\sum x_ (tk)x_(t3)&\ldots &\sum x_(tk)^(2)\\\end(pmatrix))(\begin(pmatrix)b_ (1)\\b_(2)\\b_(3 )\\\vdots \\b_(k)\\\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)\sum x_(t1)y_( t) \\\sum x_(t2)y_(t)\\ \sum x_(t3)y_(t)\\\vdots \\\sum x_(tk)y_(t)\\\end(pmatrix)) ,) de all sumi barcha ruxsat etilgan qiymatlar uchun olinadi t (\displaystyle t).

Agar model doimiy ravishda yoqilgan bo'lsa (har doimgidek), keyin x t 1 = 1 (\displaystyle x_(t1)=1) umuman t (\displaystyle t) teng tizim matritsasining chap yuqori burmasida bir hovuch qo'riqchilar bor n (\displaystyle n), va birinchi qator va birinchi ustunning boshqa elementlari - faqat o'zgarishlar qiymatlarini yig'ing: ∑ x t j (\displaystyle \sum x_(tj)) tizimning o'ng qismining birinchi elementi - ∑ y t (\displaystyle \sum y_(t)).

Virishennya tsíêí rivnyan tizimi va chiziqli model uchun LLS-baholovchilarning umumiy formulasini keltiring:

b ^ O L S = (X T X) − 1 X T y = (1 n X T X) − 1 1 n X T y = V x − 1 C x y (\displaystyle(\hat(b))_(OLS)=(X^(T) ) )X)^(-1)X^(T)y=\chap((\frac(1)(n))X^(T)X\o'ng)^(-1)(\frac(1)( n ))X^(T)y=V_(x)^(-1)C_(xy)).

Analitik maqsadlarda formulaning qolgan qiymati toʻgʻri koʻrsatilgan (tenglar tizimida n ga boʻlinganda yigʻindi oʻrtacha arifmetik hisoblanadi). Regressiya ma'lumotlar modeli qanday ishlaydi markazlashtirish, keyin birinchi matritsa chinniklarning sezgi tebranish kovariant matritsasining birinchi matritsasiga, ikkinchisi esa kuzgi zminnayadan chinniklarning kovariantlar vektori hisoblanadi. Qanday berish kerak ratsion Shimoliy Qozog'iston viloyatida (tobto standartlashtirilgan), keyin birinchi matritsa omillarning tebranish korrelyatsiyasi matritsasi sezgisi, boshqa vektor - qazib olingan karerning tebranish korrelyatsiya omillari vektorlari.

Modellar uchun OLS baholarining kuchining ahamiyati doimiy bilan- induktsiyalangan regressiya chizig'i tebranish ma'lumotlarining zo'ravonlik markazidan o'tadi, shunda muvozanat qozoniladi:

y? (\shapka(b))_(j)(\bar(x))_(j)).

Zocrema, ekstremal nuqtada, agar yagona regressor doimiy bo'lsa, bitta parametrning LSM-bahosi (doimiy holatda) o'zgarishning o'rtacha qiymatiga yaqinroq bo'lishi taxmin qilinadi, bu tushuntiriladi. Ya'ni katta sonlar qonunlaridan o'zining yaxshi vakolati mavjud bo'lgan arifmetik o'rtacha, shuningdek, MNC-bahosi - undagi havo kvadratlari yig'indisining minimal mezonini qondiradi.

Eng oddiy okremi vipadki

Turli juft chiziqli regressiyada y t = a + b x t + e t (\displaystyle y_(t)=a+bx_(t)+\varepsilon _(t)) Kelajakda bitta o'zgarishning chiziqli nobudligini baholasangiz, tahlil uchun formulani soddalashtirish mumkin (siz matritsa algebrasisiz ham qilishingiz mumkin). Tenglash tizimi quyidagicha ko'rinishi mumkin:

(1 x x x 2) (a b) = (y x x y) (displey uslubi (begin(pmatrix)1) (x^(2)))\\\end(pmatrix))(\begin(pmatrix)a\b\\end( pmatrix))=(\begin(pmatrix)(\bar (y))\\ (\overline (xy))\\\end(pmatrix))).

Koeffitsientlarning taxminlarini bilish qiyin:

( b ^ = Cov ⁡ (x , y) Var ⁡ (x) = x y − − x ¯ y ¯ x 2 − − x 2 , a ^ = y ¯ − b x ¯ . (\displaystyle (\begin(holatlar))) (\hat (b))=(\frac (\mathop (\textrm (Cov)) (x,y))(\mathop (\textrm (Var)) (x)))=(\frac ((\overline) (xy))-(\bar (x))(\bar (y))))((\overline (x^(2))))-(\overline (x))^(2))),\\( \hat(a))=(\bar(y))-b(\bar(x)).\end(holatlar)))

Turg'unlik bilan modelning umumiy ko'rinishida yaxshiroq bo'lganlardan qat'i nazar a (\displaystyle a) nolga yetganlikda aybdor. Masalan, fizikada oqimning kuchi va kuchi o'rtasidagi nosozlikni ko'rish mumkin U = I ⋅ R (\displaystyle U=I\cdot R); Strumaning Vimiryuyuchi kuchlanishi va mustahkamligi, opirni baholash kerak. Ayni paytda modelga ehtiyoj bor y = b x (\displaystyle y = bx). Shu tariqa tizim o‘rinbosari teng, balki bir teng

(∑ x t 2) b = ∑ x t y t (\displaystyle \left(\sum x_(t)^(2)\right)b=\sum x_(t)y_(t)).

Bundan tashqari, bitta koeffitsientni baholash formulasi ko'rinishi mumkin

B ^ = ∑ t = 1 n x t y t ∑ t = 1 n x t 2 = x y x 2 (displey uslubi (shlyapa (b))= )y_(t))(\sum _(t=1)^(n)x_(t)^ (2)))=(\frac (\overline (xy))(\overline (x^(2)) ))).

Polinom modelining o'zgarishi

Shunday qilib, ma'lumotlar bir o'zgaruvchining polinom regressiya funktsiyasi bilan yaqinlashadi f (x) = b 0 + ∑ i = 1 k b i x i (\displaystyle f(x)=b_(0)+\sum \chegaralar _(i=1)^(k)b_(i)x^(i)), keyin qadam tashlang x i (\displaystyle x^(i)) teri uchun mustaqil omil sifatida i (\displaystyle i) chiziqli modeldagi parametrlarni baholashning umumiy formulasiga asoslanib, modelning parametrlarini baholashingiz mumkin. Kim uchun formulani asosiyga aylantirish kifoya, bunday talqin nima uchun x t i x t j = x t i x t j = x t i + j (\displaystyle x_(ti)x_(tj)=x_(t)^(i)x_(t)^(j)=x_(t)^(i+j)і x t j y t = x t j y t (\displaystyle x_(tj)y_(t)=x_(t)^(j)y_(t)). Otzhe, hozirgi vaqtda matritsa teng, men qarayman:

(n ∑ n x t ... ∑ n x t k ∑ n x t ∑ n x t 2 ... ∑ n x t k + 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ∑ n x t k ∑ n x t k + 1 k [∑ n x t k + 1 ... b [∑ n x t k + 1 ... b] n y t ∑ n x t y t ⋮ n x t k y t k y t ]. (\displaystyle (\begin(pmatrix)n&\sum \limits _(n)x_(t)&\ldots &\sum \limits _(n)x_(t)^(k)\\\sum \limits _( n)x_(t)&\sum \limits _(n)x_(t)^(2)&\ldots &\sum \limits _(n)x_(t)^(k+1)\\vdots & \ vdots &\ddots &\vdots \\\sum \limits _(n)x_(t)^(k)&\sum \limits _(n)x_(t)^(k+1)&\ldots &\ sum \limits _(n)x_(t)^(2k)\end(pmatrix))(\begin(bmatrix)b_(0)\\b_(1)\\\vdots \\b_(k)\end( bmatrix ))=(\begin(bmatritsa)\sum \limits _(n)y_(t)\\\sum \limits _(n)x_(t)y_(t)\\\vdots \\\sum \limits _ (n)x_(t)^(k)y_(t)\end(bmatritsa)).

MNC baholarining statistik kuchi

Ko'rib chiqilganda, LLS-baholashning chiziqli modellari uchun ê chiziqli baholovchilar olingan formuladan ajralib turishi muhimdir. MNC baholarining barqarorligi uchun regressiya tahlilining eng muhim sababini takomillashtirish zarur va etarli: regressiya kechirilishining matematik bahosi omillardan tashqari nolga teng bo'lishi mumkin. Tsya umova, zokrema, vikonana, yakshcho

1. matematik ochíkuvannya vipadkovy nolga kechiradi, bu
2. omil va vipadkovi afv - mustaqil, vipadkoví, hajmi.

Aqlning do'sti - aqlning ekzogen omillari muhim ahamiyatga ega. Garchi rasmiylar g'alaba qozonmagan bo'lsa ham, siz hurmat qilishingiz mumkin, agar baholashlar juda qoniqarsiz bo'lsa: hid bo'lishi mumkin (hatto Demshevskiyning o'lponining katta majburiyatini ilhomlantirish turli mamlakatlardan bir xil baholarni olib tashlashga imkon bermaydi). Klassik kayfiyatda omillarning determinizmi, vipadkovo kechirimini ko'rib chiqish uchun kuchli imtiyoz mavjud, bu avtomatik ravishda ekzogenlik ongini yo'q qilishni anglatadi. Baholash qulayligi uchun matritsadan bir vaqtning o'zida ekzogenlikni tushunish kifoya V x (\displaystyle V_(x)) deyakoí nevirogennoj matritsasi zí zbílshennyam vybírki víbrki uchun neskíchenností uchun.

Jinoyatni targ'ib qilish va xolis bo'lishi uchun (yuqori) MNKlarni baholash samaraliroq bo'lishi uchun (chiziqli xolis baholashlar sinfidagi eng yaxshisi) vipadkovo avf etishning qo'shimcha vakolatlarini engib o'tish kerak:

Ushbu imtiyozlar vipadian pardons vektorining kovariatsiya matritsasi uchun shakllantirilishi mumkin V (e) = s 2 I (\displaystyle V(\varepsilon)=\sigma ^(2)I).

Sizni xursand qiladigan chiziqli model deyiladi klassik. Klassik chiziqli xolis regressiya uchun LLS baholari va barcha chiziqli xolis baholar sinfidagi eng samarali baholar. ko'k (Eng yaxshi chiziqli xolis baholovchi) - eng chiziqli xolis baholash; Mahalliy adabiyotlarda Gauss-Markov teoremasi ko'proq induktsiya qilinadi). Xarajat koeffitsientlarini baholash vektorining kovariatsiya matritsasi quyidagicha ekanligini ko'rsatish muhim emas:

V (b ^ O L S) = s 2 (X T X) - 1 (\displaystyle V((\shapka(b))_(OLS))=\sigma ^(2)(X^(T)X)^(-1) )).

Samaradorlik kovariatsiya matritsasi "minimal" ekanligini anglatadi (u koeffitsientlarning chiziqli birikmasi bo'ladimi va koeffitsientlarning chegaralari minimal dispersiyaga ega bo'lishi mumkin), ya'ni chiziqli tasavvurga ega bo'lmagan baholar sinfida. Matritsaning diagonal elementlari koeffitsientlar baholarining dispersiyalari - olib tashlangan baholar sifatining muhim parametrlari. Shu bilan birga, kovariatsiya matritsasi ni ochish mumkin emas; Vipadkovy afvning dispersiyasini xolis va mumkin bo'lgan (klassik chiziqli model uchun) baholash qiymati quyidagicha keltirilishi mumkin:

S 2 = R S S / (n - k) (\displaystyle s^(2)=RSS/(n-k)).

Kovariatsiya matritsasining qiymat formulasini almashtirib, biz kovariatsiya matritsasining taxminini olamiz. Baholarni bekor qilish ham xolis va aksincha. Shuningdek, modeldagi afv etish (shuningdek, koeffitsientlar dispersiyasi) va parametrlarni baholash mustaqil tebranishlar bo'lishi ham muhimdir, bu koeffitsientlar haqidagi gipotezalarni qayta tekshirish uchun test statistikasini tanlash imkonini beradi. modelidan.

Shuni ta'kidlash kerakki, klassik kamchiliklar g'alaba qozonmasa ham, MNC parametrlarini baholash eng samarali emas va W (\displaystyle W)- Deyak matritsasi nosimmetrik va ijobiy tayinlangan. Yakuniy eng kichik kvadratlar usuli, agar matritsa bitta matritsaga proportsional bo'lsa, ushbu yondashuv turi deb ataladi. Ma'lum bo'lishicha, nosimmetrik matritsalar (yoki operatorlar) uchun W = P T P (\displaystyle W=P^(T)P). Otzhe, funktsional ko'rsatkichlari quyidagicha taqdim etilishi mumkin e T P T P e = (P e) T P e = e ∗ T e ∗ (\displaystyle e^(T)P^(T)Pe=(Pe)^(T)Pe=e_(*)^(T)e_( *)), shuning uchun bu funksionallik "ortiqcha" ning ba'zi o'zgarishlar kvadratlari yig'indisi kabi mumkin. Bundan tashqari, biz eng kichik kvadratlar usullari sinfini nomlashimiz mumkin - LS-metodlar (Eng kichik kvadratlar).

Toraytirilgan chiziqli regressiya modeli uchun (Aitken teoremasi) eng samarali (chiziqli xolis baholar sinfi uchun) tomonidan isbotlangan (vipadkovy kechirimlarining kovariativ matritsasi uchun bir xil qiymatlar qo'shilmaydi) umumlashtirilgan eng kichik kvadratlar (OMNK, GLS - umumlashtirilgan eng kichik kvadratlar)- vipadkovy kechirimlarining sog'lom kovariat matritsasi bo'lgan vago matritsali LS-usuli: W = V e − 1 (\displaystyle W=V_(\varepsilon )^(-1)).

Chiziqli modeldagi GLS parametrlarini baholash formulasi ko'rinishi mumkinligini ko'rsatish mumkin

B ^ G L S = (X T V - 1 X) - 1 X T V - 1 y (\displaystyle (\hat(b))_(GLS)=(X^(T)V^(-1)X)^(-1) X^(T)V^(-1)y).

Kovarians matritsasi

V (b ^ G L S) = (X T V - 1 X) - 1 (\displaystyle V((\shapka(b))_(GLS))=(X^(T)V^(-1)X)^(- 1)).

Darhaqiqat, MLNC ning kunduzi kunduzgi ma'lumotlarning qo'shiq (chiziqli) transformatsiyasida (P) va yulduz MNCning stosuvannilarida ma'lumotlarning o'zgarishidan oldin ishlatiladi. Ushbu transformatsiyaning maqsadi - bu vipadkovy afvlarini o'zgartirish klassik avflar bilan allaqachon qanoatlantirishdir.

MNC nomlari

Diagonal diagonal vag matritsasida WLS (WLS - Weighted Least Squares) ning juda ko'p darajalari mavjud (va shuning uchun kovarious vipadkovy afv matritsasi). Modelning ortiqcha kvadratlari yig'indisi bu holda minimallashtiriladi, shuning uchun teri ehtiyotkorligi "vaga" ni olib tashlaydi, temperamentli kechirimning mutanosib o'zgarishi bu ehtiyotkorlik bilan o'ralgan: e T W e = ∑ t = 1 n e t 2 s t 2 (\displaystyle e^(T)We=\sum _(t=1)^(n)(\frac (e_(t)^(2))))( \sigma _(t)^(2)))). Aslida, o'lponlar vasiylikka o'zgartiriladi (afv etish uchun standart nafaqaga mutanosib qiymatga bo'linadi) va ajoyib MNClar taqdirlanadi.

ISBN 978-5-7749-0473-0.

Ekonometriya. Podruchnik/Qizil uchun. Єlisavoí I. I. - 2-ko'rinish. - M.: Moliyaviy statistika, 2006. - 576 b. - ISBN 5-279-02786-3.

Aleksandrova N.V. Matematik atamalar tarixi, tushunish, ma'nosi: lug'at-dovidnik. - 3-ko'rinish. - M.: LKI, 2008. - 248 b. - ISBN 978-5-382-00839-4. I.V.Mitin, Rusakov V.S. Eksperimental ma'lumotlarni tahlil qilish va tuzish - 5-nashr - 24s.