O'sha statistik imovirnist klassik. Statistik jihatdan aniqlangan imovirnosti

Imovirnist amalga oshirilishi kerak, agar bir xil vipadkovy tajribasi bir necha marta o'tkazilsa, bundan tashqari, allaqachon o'tkazilgan tajribalar natijalari qadamlarga qo'shilmaydi. Tsikh onglari uchun, o'ng imovirnosti bo'linmasida eksperimentlar sonining cheklanmagan ortishi bilan joriy bo'linmaning chastotasi.

Shag'al cho'tkasi tashlanganligini ko'rsatadigan vipadkovy tajribasi heterojen materialdan tayyorlanganligi aniq. Og'irlik markazi geometrik markazda joylashgan emas. Va bu erda biz natijalarni vvazhat mumkin (vipadanya odinitsi, dvyyki toshcho.) Teng harakat. Fizikadan ma'lumki, cho'tka tez-tez bu chiziqqa tushadi, chunki u tortishish markaziga yaqinroqdir. Imovirníst vipadannyani qanday belgilash mumkin, masalan, uchta nuqta? Siz qila oladigan yagona narsa - cho'tkangizni olish n marta (de n- Ko'p sonli dosit, aytaylik n=1000 yoki n\u003d 5000), vipadan miqdorini uch ball oshiring n 3 va natijaning to'g'riligiga e'tibor bering, bu uch ball uchun hisoblanadi, bu yaxshi n 3/n- Vídnosna chastotasi vipadannya uch ball. Shunga o'xshash daraja boshqa elementar natijalarning imovirnistini ajratish uchun ishlatilishi mumkin - yakkalik, ikkilik, to'rtlik va boshqalar.

Imovirnostning klassik dizayni shuni ko'rsatadiki, barcha elementar natijalar bir xil darajada mumkin. Natijalarning tengligi haqida ular simmetriya balansini to'playdi (xiral kub tangalari kabi). Simmetriya olamidan chiqib ketish mumkin bo'lgan boshlar kamdan-kam hollarda amaliydir. Boy vaziyatlarda kirishga ruxsat berilganligini, barcha elementar merosning teng darajada mumkinligini ko'rsatish muhimdir. Cym vinikla bilan bog'langan holda, statistik deb ataladigan yana bir imovirnosti belgisini ta'minlash kerak. Uchrashuvni berish uchun birinchi navbatda pastki tashqi chastotani tushunishni kiriting.

Uchrashuv 18.2.2. Vídnosnoy chastota podíí̈, lekin chastota deklanşör deb ataladi

doslidív soni, ba'zi vinicla tsya podíya uchun, barcha virobleny doslydív uchun. Sezilarli darajada subíí̈ A orqali chastotasi W(A), uchrashuvlar uchun ham xuddi shunday W(A)= m/n,

de m - doslidiv soni, unda podíya A paydo bo'ldi; n- Barcha viroblenih doslydív soni.

subíí̈ maê taki hukmronlik chastotasi.

1. Depressiyaning chastotasi nol orasiga qo'yilgan raqamga bo'linadi

bu yolg'iz:

0< W(A)< 1

2. Ishonchli dalillarning tez-tezligi Ω eski singl:

Vt(Ō)= 1

3. Imkonsiz darajada past Ø sog'lom chastotasi:

W(Ø)=0.

4. Ikki aqldan ozgan A va B yig'indisining chastotasi

chastotalar tsikh podiy:

V(A+ B) = W(A)+ W(B)

Ehtiyotkorlik bizga statistik barqarorlik kuchining chastotasi aniq ekanligini aniqlashga imkon berdi: boy ifodalangan testlarning turli seriyalarida (dermallarda, u paydo bo'lishi mumkin yoki ko'rinmasligi mumkin), u qiymatni oshiradi, doimiyga yaqinlashadi. tsyu postíynu, tashqi ko'rinishining ob'ektiv soni xarakteristikasi sifatida, vvazhayut imovirnistyu tsíêí̈ podíí̈.

Uchrashuv 18.2.3. ( Statistik) imovirnistyu podííí ko'p sonli testlarning turli seriyalarida test chastotasining qiymatini guruhlash uchun ishlatiladigan raqam nomlanadi.

Suvorish, statistik ravonlik P( w i) vynachaetsya natijasida paydo samarali chastota o'rtasidagi chegara sifatida w i fluktuatsion tajribalar sonining federallashtirilmagan ko'payishi jarayonida n, keyin

de m n(w i) - vipadkovyh tajribalar soni (umumiy sonidan n vipadkovyh tajribalari o'tkazildi), unda elementar natijaning ko'rinishi qayd etiladi w i.

Statistik ahamiyatga ega bo'lgan davrda imovirnist bir xil kuchga ega bo'lishi mumkin, ammo imovirnist klassik sxemaga tayinlangan:

hokimiyat: 1) ishonchli shaxs sifati;

2) imovirníst imkonsiz podíí̈ dorívnyuê nolga teng; 3) imovirnist

vipadkovo podííí nol va yolg'izlik o'rtasida qo'ydi; 4) imovirnist

ikki aqldan ozgan podíy dorívnyuê sumi ymovírnosti tsikh podíy.

dumba. Olingan 500 ta namunadan 10 ta nuqson aniqlangan. Buzuq qismlarning chastotasi qanday?

Vt = 10/500 = 1/50 = 0,2

Geometrik imovirnist

Imovirnostining klassik ma'nosi, elementar merosning soni ma'lum ekanligini anglatadi. Darhaqiqat, biz faktlarni eshitamiz, bunday natijalar yo'qligini son-sanoqsiz ko'ramiz.

Moslashuvchanlikning klassik dizayni yo'qligini bartaraf etish uchun, ya'ni cheksiz ko'p natijalar bilan harakat qilmaguningizcha u to'xtamaydi, geometrik moslashuvchanlikni - hududdagi nuqtaga tegish moslashuvchanligini kiriting.

Tajriba sizga deako hududidan nuqtalarni tanlashda yordam bersin. Vvazhaemo vybyr bo'lishi-har qanday nuqta teng darajada mumkin. Mintaqaning kengligida sezilarli darajada V ko'rsatilgan. Tajribada, V ning faqat bitta nuqtasini vipadkovy tanlash bilan bog'liq holda, shaxssiz W elementar podialarning kengligi hisoblanadi. Vipadkovy podíyami y razí vvazhat razny podídny z W. Aytaylik, vipadkovy podíya A keldi, chunki x nuqtasi podídny A yotish uchun tanlangan, keyin.

Uchrashuv 18.2.4.

W bo'lsin - qo'shiq vydryzok, L - yoga dozhina. A - vydryzok dozhini l, sho lay w . Podiya A pogaê hit nuqtalarida, katta nafas trubkasi A. Todi tashlangan

Shunga o'xshab, kuz tajribasining W elementar misollari mavjud bo'lmasa ham, S maydonining maydoni va A maydonining ko'rsatkichi mavjud, bu erda siz W nuqtasida nuqta sarflashingiz mumkin, ehtimol s maydoni,

Í, nareshti, raqamlarning hajmlari haqida qanday bilish mumkin, vydpovídno, W obyagu V i oblasti A obyaku v, undan oldin nima kiritish kerak.

Hurmat 18.2.3.. Qat'iy ko'rinib turibdiki, pidkhid, bu erda ko'rib chiqilayotgan narsa, ko'paytiruvchining umumiy xarakteristikalari (funksiyalari) kiritilganiga qaramay - kiring ( mes(A)), okremi vpadkami í̈ ê dovzhina, ploshcha deb obsyag, í ham ymovíríst podííí A bude stavlennâm íri í í dovzhina, í í í íííííííííííí A dunyoga mulíni W.

Butt 1. Kvadratda rang bor. Krapka vipadkovo maydonga tashlandi. Yaka buning ymovíríst, scho qoziqqa qadar sarflash uchun qo'lga kiritdi? Zgídno s induktsiya formulasi, vydpovídna ymovíríníst bude vydnoshnennya kol'shí ploschí uchun ploschí kvadrat.

Misol 2. Ikki kishi bir vaqtning o'zida va yiliga uch marta, 12 yoshdan 13 yoshgacha bo'lganligi sababli, dam olish kuni tushdan keyin kafeda ovqatlanishadi. Ulardan charm 10 kviling cho'zilgan bilan obídaê bir soat uchun ma'lum bir daqiqada kelish. í̈hnyoí̈ zustríchining imovirnisti nima?

Qo'ysangchi; qani endi x- soatiga men birinchi bo'lib kafega kelaman va y- Boshqasining kelishi vaqti keldi. Qahvaxonada haqoratlar qaytarilsa, badbo'y hid bundan kamroq bo'lishi mumkin.

Yakshcho boshqasi birinchisidan kech keldi ( x ³ y), keyin zustrich sizga 0 £ turadi x-y£1/6..

Bu martabada, birinchi vipadkada, biz aqldan mamnunmiz y£ x+ 1/6 va boshqasida

y ≥ x- 1/6. Ikkita fikrni qondiradigan maydon shaklda soyalangan. 2

Boshqacha qilib aytganda, geometrik imovirnosti nuqtai nazaridan, imovirnist zustríchí ê vídnoshennia ploschí shatirovani í̈ smugi mízh to'g'ri chiziqlar. y= x+ 1/6 t y=x- kvadratning 1/6 qismi kvadrat maydoniga.

Shukana imovirnist p soyali maydonning maydonini butun kvadrat maydoniga oshiring. Kvadratning maydoni birga teng va soyali maydonning maydoni bitta va ikkita trikoning umumiy maydoni o'rtasidagi farq sifatida aniqlanishi mumkin, har bir kichik 7 ta tasvir. Yulduzlar yorqin:

Shag'al cho'tkasi tashlanganligini ko'rsatadigan vipadkovy tajribasi heterojen materialdan tayyorlanganligi aniq. Og'irlik markazi geometrik markazda joylashgan emas. Va bu erda biz natijalarni vvazhat mumkin (vipadanya odinitsi, dvyyki toshcho.) Teng harakat. Fizikadan ma'lumki, cho'tka tez-tez bu chiziqqa tushadi, chunki u tortishish markaziga yaqinroqdir. Imovirníst vipadannyani qanday belgilash mumkin, masalan, uchta nuqta? Siz qila oladigan yagona narsa - cho'tkani n marta tashlash (de n-katta raqam berish uchun, aytaylik, n=1000 yoki n=5000), vipadan sonini uchta ball n 3 yaxshi n 3/n - ko'rinadigan chastotani yaxshilash. uch ochko tushishi. Xuddi shunday daraja bilan siz boshqa elementar natijalarning imovirnistini ko'rsatishingiz mumkin - yakkalik, ikkilik, to'rtlik. Nazariy jihatdan, noaniqlikni statistik chegaralash natijasida bunday usul to'g'ri bo'lishi mumkin.

Imovirnist P(w i) ko'ndalang eksperimentlar sonining n oraliqsiz ortishi jarayonida w i natijasida paydo bo'ladigan o'zaro seziladigan chastota sifatida aniqlanadi, keyin.

de m n (w i) - elementar natija w i qayd etilgan vipadik tajribalar soni (n ta hayotiy vipadik tajribalarning umumiy sonidan).

Shards bu erda kundalik dalillar tomonidan tarbiyalangan emas, biz faqat spodívatisya mumkin, formula qolgan o'rtasida scho aniq, hayot dalil va sezgi umid asoslangan.

Amalda, vazifa ko'pincha ayblanadi, ba'zilar uchun, agar statistik fidoyilik jinoyatini ifodalashning boshqa usuli mavjud bo'lsa, undan ham muhimroq narsani bilib bo'lmaydi.

Uzluksiz imovirnisny makon.

Ilgari sodir bo'lgani kabi, shaxssiz elementar natijalar, keyin, ehtimol, ko'proq, pastroq raxunkov (ajralmas). Mening eksperimentimning shaxssiz merosi shunchalik ajralmaski, bu pastga tushirishning kutilmagan oqibatlariga ishora qiladi. Tajriba shuni ko'rsatishingiz mumkinki, vazifalarda hozirda haroratga ta'sir qiladi, natijalar soni noma'lum bo'lishi mumkin, bunday tajribani amalga oshirish oxirgi natijalarni beradi). Elementar natijalarning sonli bo'lmagan ko'paytuvchisi W bilan tajriba o'tkazilganda, ko'paytuvchi Wning kichik ko'paytiruvchisi bo'linish yoki bo'linishini hisobga olish mumkin emas. Slid zaznachit, scho pídnyzhini W, yaki ê podíyami, ê matematik abstraktsiyalar va zustrichayutsya amaliy vazifalar. Shuning uchun, bizning kursimizda, bu paragraf neobov'yazkovim.

Vipadkovo podííí tayinlashni amalga oshirish uchun, elementar natijalar doirasiga kiritish uchun tizimni (yakuniy raqam) ko'rib chiqaylik V.

Vaqt ikki fikrga ega:

1) tizimning kuchi tufayli tizimning ishonchliligi aniq;

2) bu sistemaning mavjudligi tufayli A i A j ning sistemaga tegishliligi

bunday kichik to'plamlar tizimi algebra deb ataladi.

V elementar natijalarning dekani bo'lsin. Ikki tizim ko'paytirilishini o'zgartiring:

1) Vt, Æ; 2) W, A, , Æ (bu yerda W ning A-kichik to‘plami) algebralardir.

A 1 va A 2 ikkilik algebrasidan oldin yotsin. A 1 \ A 2 ekanligini ko'rsating va bu algebrada yotadi.

Biz Á sistemani W ning pastki ko'paytmalari s-algebra deb ataymiz, chunki u Umovning 1) va Umovning 2)¢ ni qanoatlantiradi:

2).

Submultiplier Elementar sledkív W ê subíêyu ko'paytiruvchisi, chunki deakíy s-algebrani yotqizish kerak.

Bo'linmalarning shaxsiy tizimini tanlash kerakligini isbotlash mumkin, siz haqiqiy s-algebraga ega bo'lishingiz va bu bo'linmalar bilan ko'paytiruvchi amallar nazariyasida qabul qilinadimi yoki yo'qmi (birlashtiring, o'zgartiring, farqni oling). va qo'shish), keyin natija shaxssiz yoki podíya bo'ladi, scho yolg'on íêí̈ w s-algebra.

Biz aksiomani shakllantiramiz, men uni O.M aksiomasi deb ataymiz. Kolmogorov.

Teri podíí̈ vídpovídaê nevíd'êmne í bitta P(A) sonidan oshmasligi, immovírístyu podííí A darajasidan oshmasligi, bundan tashqari, P(A) funktsiyasi juda kuchli bo'lishi mumkin:

2) agar A 1 , A 2 ,..., A n , ¼ absurd boʻlmasa, u holda

elementar merosi W ko'lami vazifalariga kelsak, bo'linish algebra va aksiomalarning aqlini qondirish P funktsiyasi, u imovirnysny kengliklari bor ko'rinadi.

Imovirnisnogo kenglik belgisini elementar natijalar W terminali kengliklariga o'tkazish mumkin. Xuddi algebra kabi, siz shaxssiz V ning barcha pastki ko'pliklari tizimini olishingiz mumkin.

Geometrik imovirnist

Bir maxsus rejimda, men noaniq natijalar bilan vypadkovy tajriba uchun rozrahunka ymovirnosti podííí qoidasini berdim.

Якщо між безліччю W елементарних результатів випадкового експерименту і безліччю точок деякої плоскої фігури S (сигма велика) можна встановити взаємно-однозначну відповідність, а також можна встановити взаємно-однозначну відповідність між множиною елементарних результатів, що сприяють події А, і безліччю точок плоскої фігури s (sigma kichik), u S figuraning bir qismidir

de s - s figurasining maydoni, S - S figurasining maydoni. Bu erda, tabiiyki, S va s figuralari maydon bo'lishi yoqasida. Zokrema, masalan, s raqami to'g'ri chiziqning uchburchagi bo'lishi mumkin, tekisligi nolga yaqinroq.

Yassi S figurasining tanlangan joyida S bo'shliqni va s ning bo'limlari o'rnini - bo'shliqni ko'rish muhim, shunda s bo'shliqni to'liq yotqizish mumkin va bu mumkin. uni er-xotin bo'shliqlarning ikkilamchi o'rnini bosuvchi sifatida ifodalaydi.

dumba. Ikki kishi 12 yoshdan 13 yoshgacha bo'lgan vidkrit kabi uzoq joyda uchrashishadi. Ulardan charm 10 kviling cho'zilgan bilan obídaê bir soat uchun ma'lum bir daqiqada kelish. í̈hnyoí̈ zustríchining imovirnisti nima?

X - birinchining uzoqqa kelish soati va y - ikkinchisining kelishi soati bo'lsin.

Koordinata tekisligida sonlar juftligi (x; y) (aks holda natijalar o'zgarmas) va tomoni 1 ga teng bo'lgan kvadratning o'zgarmas nuqtasi o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlikni o'rnatish mumkin, Bu erda koordinatalar boshi X o'qi bo'ylab 12 raqamiga va Y o'qi sifatida bir oz 6 da ko'rsatilgan. Bu erda, masalan, A nuqta natijani ko'rsatadi, ya'ni birinchisi 12:30 da kelgan va ikkinchisi - soat 13:00 da. Va bu erda, shubhasiz, zustrich ko'rmagan.

Agar birinchisi boshqasidan yaxshiroq bo'lmasa (y ³ x), unda oxirgisi aql uchun 0 £ y - x £ 1/6 (10 hvilin - yilning 1/6 qismi) bo'ladi.

Agar boshqasi birinchisidan (x³y) kechroq kelsa, keyingisi aql uchun bo'ladi 0 £ x – y £ 1/6 ..

Mízh shaxssiz natijalar, simpatik zustríchí, i soyali ko'rinishda kichik one7 tomonidan tasvirlangan maydon s shaxssiz nuqtalari, birma-bir yozishmalarda o'rnatilishi mumkin.

Shukana imovirníst p dorívnyuê vídshennyu hududi butun maydon maydoniga. Kvadratning maydoni bittaga teng va s hududining maydoni 7-rasmda ko'rsatilgan ikkita trikoning bitta va umumiy maydoni o'rtasidagi farq sifatida aniqlanishi mumkin. Ovozlar qichqiradi:

Qarorlarni qabul qilish tartibi.

Radiusi 1,5 sm bo'lgan tanga 5 sm kenglikdagi shahivnitsa ustiga tashlangan. Tangani hujayralar orasidagi yashash uchun sarflab bo'lmasligining samaradorligini bilish.

Direktor II.

Pardaning daryosi orqali 100 m shaharni tashlab. Ma’lum bir lahzada ko‘prikda ikki kishi almashib ketsa, yer yiqilib, badbo‘y hidning nafrati daryo bo‘yiga tushadi. Suzish uchun birinchi bo'lib burilish kerak. Ikkinchisi suzishni bilmaydi va orqaga buriladi, faqat yiqilish paytida ular qirg'oqdan 10 metrni bermadilar yoki bermadilar, birinchisidan 10 metrga pastga tushdilar. Yaka ymovírníst, scho boshqa odamlar vryatuêtsya?

Direktor III.

Tankga qarshi minilar 15 m dan keyin to'g'ri chiziqqa joylashtirildi.Bu to'g'ri chiziqqa 2 m kenglikdagi tank perpendikulyar edi. Imovirnist nima, scho vinolari menikiga tushmaydi?

Bosh VI.

Intervalda (0; 2) ikkita raqam vipadkovo vibrayutsya. Katta sonning kvadrati kichikroq bo'lish ehtimolini biling

Navmannya ikki ochko vydryzok tashlanadi. badbo'y hidi vídrízok vtrichini buzadi. Nima ê ymovíríst deb, scho z otrimanih vydrízkív trikutnik buklangan bo'lishi mumkin?

Bosh VI.

Vídryzok ustiga birin-ketin uchta nuqta tashlang. Rahunkadan keyingi uchinchisi birinchi ikkisi orasidagi kuzda zarra bo'lishining imovirnisti nima?

Vazifa I. Tanganing shahivnitsadagi holati to'liq geometrik markazning holatiga bog'liq. Barcha yuzsiz natijalar 5 tomoniga ega bo'lgan S kvadrat shaklida tasvirlanishi mumkin. Barcha yuzsiz natijalar, kichik 1 tasvirlanganidek, S kvadratning o'rtasida joylashgan kvadrat s sifatida tasvirlanishi mumkin.

Shukana imovirnist uchun kichik maydonning maydonini katta maydonning maydoniga o'zgartirish qimmatroq, tobto 4/25

Direktor II. E’tiborli jihati shundaki, daryoning chap qirg‘og‘i bo‘ylab oraliq orqali birinchi shaxs qulashigacha, y orqali esa chap qirg‘oq bo‘ylab boshqa odam qulashigacha. Shubhasiz, scho í x, í y bir-biriga mos keladi (0; 100). Shunday qilib, visnovoklarni yaratish mumkin, shunda barcha shaxsiy bo'lmagan natijalar kvadratda ko'rsatilishi mumkin, uning chap pastki cheti koordinatalar koordinatasida, yuqori o'ng tomoni esa - koordinatalar bilan nuqtada (100) ; 100). Ikki qator: 0 x, keyin ikkinchisi o'ng qirg'oqqa yaqinroq tushib, birinchisini, keyin esa tartibda pastga tushiring<х+10. Если уx-10. ZI aytilgan Walkivar, vsi boshqa xalq xalqi uchun obod bo'ladi natijalariga zestrich viloyatida Malyunka 2. maydonida nitige nitige pirkhuvati, vídnimychi ning chaqnash loy bo'lmagan tricus, pushas yilda. natija 36.

Direktor III.

Ruhiy tartibga ko'ra, ikkita mina orasidagi bo'shliq uchun tankning holati butunlay tankning yon tomonlaridan bir tekisda harakatlanadigan to'g'ri chiziqning holatiga bog'liq. Bu chiziq chiziqqa perpendikulyar bo'lib, uning orqasida mini o'rnatiladi va tank miniga suriladi, shuning uchun bu chiziq yaqinroq, bo'shliqning chetidan 1 metr pastroqqa tikiladi. Bu tartibda, barcha shaxssiz nasledkiv 15 yilligi oraliq paydo, va shaxssiz do'stona nasledkivs kichik 3 ko'rsatilgandek, 13 yilligi oralig'ida paydo, Shukana imovirnist 13/15.

Menejer IV.

X sonlaridan biri muhim, ikkinchisi esa y. Barcha shaxssiz mumkin bo'lgan izlar kvadrat OBCD ga aylantiriladi, uning ikki tomoni koordinatalar o'qlaridan zbígayutsya va kichik 4 da ko'rsatilganidek, 2 ga teng bo'lishi mumkin. Keling, y kichikroq raqam deb faraz qilaylik. Xuddi shu shaxsiy bo'lmagan natijalar 2 maydonga ega bo'lgan triko OKBda paydo bo'ladi. Tanlangan raqam ikkita tengsizlikni qondirish bilan bog'liq:

da<х, у>x 2

Ushbu qoidabuzarliklarni qondiradigan anonim raqamlar soyali maydonda kichik 4 da paydo bo'ladi. Mintaqaning maydoni triko OEG maydonidagi farq sifatida ko'rsatilgan, bu 1/2 va egri chiziqli triko OFEG maydoni. Egri chiziqli trikotajning maydoni formula bo'yicha aniqlanadi.

va dorivnyuê 1/3. E'tibor bering, OEF soyali figurasining maydoni 1/6 ni tashkil qiladi. Bu unvonda, shukana ymovírníst dorívnyuê 1/12.

Keling, dozhina vídrízka dorívnyuê l boraylik. Agar siz x ni va chap chekkaning chap tomonidagi nuqtalarga olib borsangiz, muammoning ongiga qanday borish kerakligi haqida, keyin shaxssiz natijalar l tomoni bilan kvadrat bilan ifodalanishi mumkin, uning bir tomoni koordinatada yotadi. o'qi x, boshqa tomoni esa koordinata o'qida yotadi y . Agar siz y\u003e x ni o'ylab ko'rsangiz, unda shaxsiy bo'lmagan izlar OBC trikosiga o'xshaydi, tasvirlar biroz 5. Trikutnikning maydoni yanada chiroyli l 2/2. Otrimaní vídrízki matimut dozhini: x, y-x va l-y. Endi geometriyani taxmin qilaylik. Uchta shamoldan trikotajni bir yoki bir nechta katlama mumkin, agar teri burmasining uzunligi boshqa ikkita o'rash uzunligining uzunligi yig'indisidan kamroq bo'lsa. Bizning fikrimizdagi Tsya umova uchta qoidabuzarlik tizimini qurish

Birinchi notekislik x ko'rinishiga aylanadi l / 2, va uchinchi notekislik - nuqtaga qadar<х+l/2. Множество пар чисел х, у, являющееся решением системы неравенств отображается в заштрихованный треугольник на рисунке 5. Площадь этого треугольника в 4 раза меньше площади треугольника OВС. Отсюда следует, что ответ задачи составляет 1/4.

Bosh VI.

Keling, l uchun ikki martalik vaucher olaylik. Chiziqning chap chetidan yo'lning birinchi nuqtasiga x, boshqa nuqtaga - y va uchinchi nuqtaga - z ga boramiz. Keyin barcha shaxssiz izlar kubga aylanadi, uning uchta qirrasi to'rtburchaklar koordinata tizimining x, y va z o'qlarida yotadi, í qirrasi l. Faraz qilaylik, y\u003e x. Keyin shaxsiy bo'lmagan ma'lumotlar ABCA 1 B 1 C 1 to'g'ri prizmada paydo bo'ladi, kichik 6 da ko'rsatilgan. Umova z>x barcha natijalar ko'rsatilgan AD 1 C 1 B tekisligidan yuqorida joylashgan maydonda ko'rsatilishini anglatadi. kichik 7. hammasi to'g'ri natijalar B 1 C 1 balandlikdagi stendda AA 1 B 1 B kvadratli piramidada ko'rsatiladi. Usí natijalari, yakí vídpovydat aql z

Mustaqil ko'rish uchun topshiriq.

1. Ikki paroxod bir xil to‘xtash joyiga borishi kerak. Ikkala paroxodning kelish vaqti mustaqil va dobining cho'zilishi bilan bir xil darajada kuchli. Shunisi muhimki, paroxodlardan biri tasodifan to'g'ri to'xtash joyida tekshiriladi, chunki birinchi paroxodning qolish soati bir yil, ikkinchisi esa ikki yil. ID: 139/1152.

2. Chorrahada avtomatik chiroq o'rnatildi, unda bitta chiroq yashil chiroq va pivxvilin chervonini yondiradi, keyin men bitta kvilingni yangilayman - yashil va pivxvilin chervoni ingichka. Chorraha oldidan vapadkovy daqiqada mashina o'tib ketadi. Sharobning xochdan tishsiz o'tishining imovirnisti nima? Javob: 2/3

3. Radiusi 1,5 sm bo'lgan tanga 5 sm kenglikdagi bitmas-tuganmas shaxivnitsaga tashlanadi. Ikki nazorat punktida tanganing ikki baravar kam bo'lmagan zarb qilinishi mumkinligini bilish. Sana: 16/25.

4. Navmannya yaqinida trikoutnik mos keladi. Yaka ymovíríst, scho vín gostrokutny? Taklif: 1/4.

5. Navmannya yaqinida trikoutnik mos keladi. Imovirnist nima, to'g'ri kesma nima? Javob: 0.

6. Dozhini va navmanyani kesish uch qismga bo'lingan. Teri qismining dojinasi a / 4 dan kattaroq ko'rinishining aniqligini aniqlang. Tekshirish: 1/16.

Imovirnist - hozirgi kunning kelishi qobiliyatining qadamlari (zahíd, kílkísna otsynka). Agar siz podia haqiqiy bo'lishi uchun taklif qilsangiz, protile podstavini qayta baholang, keyin ular podia imovirnaya, aks holda - neimovirnaya yoki kichik imovirnaya deb ataladi. Ijobiylarning salbiy ustidan g'alaba qozonishi va boshqa tomondan, dunyoda boshqacha bo'lishi mumkin, shundan keyin imovirnist (va neimovirnist) ko'proq yoki kamroq bo'ladi. Shuning uchun, imovirnist ko'pincha nordon darajada baholanadi, ayniqsa sokin ob-havoda, agar kamroq aniq baholash mumkin bo'lmasa yoki u juda tik bo'lsa. Ehtimol, "teng" kamtarlikning turli darajalari.

Imovirnostining klassik belgilanishi natijalarni tushunish va imkoniyatiga asoslanadi. Bir imovirníst vystupaê vídshennya kílkostí natijalari sifatida, scho priyat daníy podííí, teng darajada mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soniga qadar. Misol uchun, tanga o'zgarishi bilan "burgut" yoki "dumlar" ni ko'rish qobiliyati 1/2 dan ortiq, chunki u uzatiladi, shuning uchun ikkita imkoniyat joylashtirilishi va teng darajada qodir. Dana Classic "Voznoinna" vipado bo'yicha qonuniylashtirilishi mumkin oshkor etilmaydi Killyvikh, bilim, uni olish Yakshcho dalolatnomasi bir vaqtning o'zida barqaror bo'lishi mumkin, ruxsat etilgan hududning bir qismida, majburiy uzaytirish mumkin. (maydoni) qismning barcha mumkin bo'lgan nuqtalarning majburiy (maydon) maydoniga.

Zamonaviy fanda keng diapazondagi hodisalarning boshqa turlarini imovirnysnyy tavsifi, ekonometriyada zokrema, makroskopik (termodinamik) tizimlarning statistik fizikasi; Kvant fizikasida o'zini tavsiflovchi jarayonlarning o'zi xayoliy xususiyatga ega.

Viniknennya bu imovirnosti nazariyasini tushunadi

Imovirnist haqidagi vchennya haqidagi birinchi ishlar 17-asrgacha amalga oshirilgan. Fransuz olimlari B.Paskal, P.Ferma (1654) va golland olimi X.Gyuygens (1657)larning listingi imovirnostlarning yetakchi ilmiy talqinlari haqida shunday umumiy fikr berdi]. Aslida, Gyuygens allaqachon matematik mukammallik tushunchalaridan foydalangan. Shveytsariyalik matematik J. Bernulli ikkita natijaga ega bo'lgan mustaqil sinovlar sxemasi uchun katta sonlar qonunini o'rnatdi (o'limdan keyin, 1713). XVIII asrda. - O'n to'qqizinchi asrda. imovirnosti nazariyasi A. Moivre (Angliya) (1718), P. Laplas (Fransiya), Do robotlarida rivojlanmoqda. Gauss (Nimechchina) va Z. Puasson (Frantsiya). Geodeziya va astronomiya extiyojlari bilan bog'liq holda rivojlangan avf nazariyasi va otishma nazariyasida ko'chmaslik nazariyasi turg'unlasha boshlaydi. Shuni ta'kidlash kerakki, rozpodílu afv etish qonuni haqiqatan ham Laplasni belgisini (1774 rík) takomillashtirishsiz afv etishda eksponensial eskirish sifatida, so'ngra afv maydonining eksponentsial funktsiyasi sifatida (1778 roku) taklif qildi. Qonunning qolgan qismi Gauss bo'linmasi va oddiy bo'linma deb ataladi. Bernulli (1778) bir soatlik podiumlarni yaratish tamoyilini kiritdi. Adrian Mari Legendre (1805) eng kichik kvadratlar usulini ishlab chiqdi.

O'n to'qqizinchi asrning ikkinchi yarmida. rus matematiklari P. L. Chebishev, A. M. Lyapunov va A. A. Markov (katta) tomonidan robotlar bilan o'zaro ta'sirlar ko'rinishi nazariyasini ishlab chiqish, shuningdek, A. Quetelet (Belgiya) va F. Galton (Angliya) tomonidan matematik statistika ishlari. L. Boltsmanning statistik fizikasi (Avstriyada) xayoliy nazariya muammolarini ixcham kengaytirish uchun asos yaratdi. Imovirnosti nazariyasi asoslarini rag'batlantirishning mantiqiy (aksiomatik) sxemasi 1933 yilda aylanma matematik A. N. Kolmogorov tomonidan kengaytirildi.

Imovirnostining klassik dizayni:

Klassik belgilashga ko'ra, ijobiy bo'linish P(A) imkoniyati natijalar soni, do'stona A, natijalar soniga qadar, elementar bo'linmalarning saqlash joyi, tobto bo'yicha yanada rivojlangan.

imovirnistik statik klassik nazariya

Qudratlarni hisoblash elementar musht va boshqa ko'paytiruvchiga kelganda va ko'pincha kundalik kombinator vazifa sifatida ko'riladi, ba'zan hatto muhim.

Agar tajriba ko'rib chiqilayotgan aql simmetriyasi asosida imovirnostlarni o'tkazish va sinov natijalarining barcha simmetriyasidan so'ng, tushunishga olib kelish mumkin bo'lsa, u klassik tarzda ajralib turadi va haqiqatdir. "bir xil darajada mumkin" natijalar.

Masalan. Agar u bir hil materialdan maydalangan bo'lsa ham, geometrik jihatdan to'g'ri bo'lgan shag'al cho'tkasi uning oldida juda ko'p sonli o'rashga erisha oladigan tarzda tashlanadi, masalan, yiqilib tushishi, u yuzlardan bo'ladimi, yiqilishdir. teng darajada mumkin bo'lgan natija.

Simmetriyaning bir xil aks ettirilishidan bunday tajribaning oqibatlari bir xil darajada mumkin, chunki ular oq va qora qoplarning dotiklarida qat'iyat bilan aralashtiriladi va tan olinmaydi, shuning uchun teri qop rangi ro'yxatga olingandan so'ng idishga qaytariladi. , bosqichma-bosqich, o'zgartirishdan keyin.

Bunday simmetriya ko'pincha qimor o'yinlari kabi qismlarga ajratilgan tajribalarda kuzatiladi.

Ushbu darajadagi imovirnosti klassik belgilanishi tushunish va qobiliyat bilan bog'liq va tajriba uchun g'olib bo'lib, bu vipadkiv sxemasiga olib keladi. Kim uchun e1, e2, en belgilari aqldan ozgan bo'lishi kerak, shuning uchun ulardan biri bir vaqtning o'zida paydo bo'lolmaydi; shunday qilib, ular butun guruhni tashkil qiladilar, shuning uchun ular barcha mumkin bo'lgan natijalarni o'zlari tuzadilar (siz bunday bo'lolmaysiz, natijada siz ularni ko'rmaysiz); tajriba terining ix paydo bo'lishining bir xil imkoniyatini ta'minlaydi, deb aql uchun teng darajada mumkin.

Har bir tajriba reaksiyalar sxemasini qoniqtirmaydi. Go'yo aqliy simmetriya buzilgan, og'ish sxemalari yo'q.

Formula (1.1), "klassik formula" shaxsiyat hodisalari haqidagi fanning paydo bo'lishida paydo bo'lish hodisalarini hisoblash uchun o'rnatildi.

Tí qildim, yaki kichik simmetriya emas, vipadkív naqsh ostida "pídganyalis". Nini "klassik formula" dan, agar tajriba vipadkív sxemasiga olib kelmasa, imkoniyatlarni hisoblash usullarini o'rganishni buyurdi. Shuning uchun sifatning statistik ahamiyati g'alaba qozonadi.

Statistik moslashuvchanlik tushunchasi keyinroq kiritiladi, lekin biz darhol klassik formulaga murojaat qilamiz.

Keling, ko'rib chiqamiz va murojaat qilamiz.

Butt 1. Dosvíd polagaê kidanni ikki tanga. Bitta gerb paydo bo'lishi mumkinligini biling.

Yechim. Vipadkova podium A - bitta gerbning ko'rinishi.

Ushbu tajribada elementar yondashuvlarning kengayishi natijalar bilan aniqlanadi: E = (PP, PP, PP, PP), ular e1, e2, e3, e4 bilan aniq ko'rsatilgan. shunday tarzda,

E=e1, e2, e3, e4; n=4.

A. Tse e1, e2, e3 ko'rinishiga mos kelish uchun E dan izlar sonini belgilash kerak; yxnye soni m=3.

imovirnosti podíí̈ A maqsadida Vikoristovuyuchi klassik formula, ehtimol

Butt 2. 3-urnada ikkita va 4 ta qora kamar bor. Idishlardan bitta qop olinadi. Salqin bo'lgan kishining imovirnistini bilish.

Yechim. Vipadkova podia A - oq kulining ko'rinishi. E elementar dukkaklarning kengligi e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, de ei yozuvlarini o'z ichiga oladi - bitta kulining ko'rinishi (oq yoki qora);

E=(e1, e2, e3, e4, 5, e6, e7), n=7.

Vipadkovíy podííí A kosmosda E spryaê 3 natijalar; m=3. Otzhe,

Butt 3. Urn 3 oq va 4 qora kamarga ega. Qovoqdan ikkita kulcha chiqadi. Bilingki, haqoratlar katta bo'ladi.

Yechim. Vipadkova podia A - xafa bo'lgan kuli kuchli bo'ladi.

Butt 3 2 dumba deb hisoblanadi, bu 3 dumbada meros bo'lib, u elementar sledkív E maydoniga aylanadi, okremí kulí emas, balki 7 kulí kombinatsiyasi 2 bo'ladi. Shunday qilib, E hajmini belgilash uchun, kombinatsiyani belgilash kerak 2. Kim uchun "Kombinatorik usul" bo'limida topilishi kerak bo'lgan kombinatorika formulalarini yutish kerak. Bunday holda, 7 dan 2 gacha bo'lgan kombinatsiyalar soni uchun kunlar soni uchun formula yutib olinadi

Tanlangan parchalar burilishsiz amalga oshiriladi va qopning paydo bo'lish tartibi muhim emas. shunday tarzda,

A ostida paydo bo'ladigan do'stona kombinatsiyalar soni sifatida ko'rsatilgan

Ota,.

Mobillikning statistik ta'rifi

Sinovdan so'ng natijalarni ko'rib chiqayotganda, qonuniyatlar mavjudligini bilish muhimdir. Biroq, xuddi shu testlar ketma-ketligida, ba'zi o'rtacha xususiyatlarning barqarorligini bilish mumkin. Qisman, agar u bo'lsa, bu s n seriyasida test m / n deb ataladi, m raqamlari jimgina sinovdan o'tkaziladi, ba'zi podslarda A keldi, katta miqdordagi testlar n. Testlar ikkinchi qator tugatish uchun teri ichida Mayzhe, sub-A chastotasi sing qiymati qayta tiklanadi, chunki u sub-A imovirn_st uchun qabul qilinadi chastota qiymati barqarorligi tomonidan tasdiqlangan. maxsus tajribalar. Ushbu turdagi statistik qonuniyatlar ilgari qimor o'yinlaridan, ya'ni sokin sinovdan aniqlangan bo'lib, ular natijalarga erishish imkoniyati bilan tavsiflanadi. Bu, agar tajribaning aqliy simmetriyasi buzilgan bo'lsa, moslashuvchanlikni raqamli aniqlashga statistik yondashuv uchun yo'ldir. A bo'limining bir qismi ko'rsatilgan statistik imovirnistyu deb ataladi

de mA - podia A paydo bo'lgan tajribalar soni;

n - tajribalarning umumiy soni.

Movirnosti maqsadida formulalar (1.1) va (1.2) o'xshash bo'lishi mumkin, lekin ular har kuni hidlanadi. Formula (1.1) berilgan aqllar dosvídu uchun imovirnosti podííí nazariy hisoblash uchun xizmat qiladi. Formula (1.2) pastki chastotaning eksperimental belgisi sifatida xizmat qiladi. Formulani (1.2) tezlashtirish uchun qo'shimcha statistik materiallarga ehtiyoj.

vyznachennya imovírností qadar aksiyomatik pídkhíd

Uchinchi yondashuvga ko'ra, imovirnosti ta'rifi aksiomatik pidxid bo'lib, unda imovirnosti o'z vakolatlarini qayta tartibga solish talab qilinadi.

Imovirnostning aksiomatik ta'rifi 1933 yilda ishlab chiqilgan. A. N. Kolmogorov. Shu tariqa, imovirnist P(A) sonli funksiya sifatida barcha podslarning shaxssizligi bo‘yicha beriladi, bu tajriba orqali aniqlanadi, chunki u yaqinlashib kelayotgan aksiomalarni qondiradi:

P(A)=1, ya'ni A ishonchli manba.

Yakshcho Va bu In nesumísny.

Boqiylikning asosiy kuchlari

A ostida teri depressiya uchun, bundan tashqari, u ymovírníst tayinlangan edi.

Ishonchli bo'linish uchun U tenglikni P(U)=1 bo'lishi mumkin.

Go'yo A va B tasavvur qilib bo'lmaydigan bo'lsa, unda imovirnyst sumi imovirnosti yig'indisiga ko'proq bo'ysunadi. Tsya quvvati aqlli kayfiyatda ymovirnosti katlama formulasi deb ataladi (aqldan ozgan podyy uchun).

Ko'proq A va B bo'limlari uchun

Tsya vlastyst zvetsya formula zagalnomu vpadku yilda ymovyrnosti buklangan.

protilezhnyh podium A va maê mistse rívníst uchun.

Krym tsgogo, podiaga kirishning iloji yo'q, u tayinlangan, bu elementar podia kengligini tark etishga imkon bermaydi. Imovirníst imkonsiz podíí̈ dorívnyuê 0, P()=0.

dumba. Bir xil rangdagi, oq-qora yoki rangli va qora-oq televizorlar bilan tajriba o'tkazish natijasida tanlab olingan imovirnist bu yorqin 0,86; 0,35; 0,29. Yaka imovirnist, men rangli qora va oq televizor olsam bo'ladimi?

Yechim. Men rangli televizorga ega bo'lishim uchun Polshaga boraylik.

Podíya polagaê qanday sím'ya maê qora-oq televizorda.

Podíya polagaê qanday sím'ya rangli yoki oq-qora televizor bo'lishi mumkin. Podíya vyznaêtsya A í B orqali ko'rish, A í B spilní, uchun

kombinatsion usul

boy imovirnísnyh muammolar, u bu vaziyatda mumkin bo'lgani kabi, tajriba barcha mumkin bo'lgan izlari, yoki elementar podíí̈ qayta ko'rib chiqish, yoki ularning sonini hisoblash zarur. Kim uchun bunday qoidalarni yutib olishingiz mumkin.

1-qoida.Agar operatsiya ikki bosqichdan iborat bo'lsa, ular uchun birinchisini n1 usulda, ikkinchisini esa n2 usulda buzish mumkin bo'lsa, u holda butun amalni n1 n2 usulda buzish mumkin.

"Operatsiya" so'zi ostida u protsedura, jarayon yoki tanlov usuli bo'ladimi, degan fikrda bo'lishi mumkin.

Qoidani tasdiqlash uchun xi va yi, xi va yi dan tashkil topgan operatsiyani ko'rib chiqamiz, x n1 usulda bajarilishi mumkin, tobto. , Krok y ni n2 usulda yechish mumkin, shuning uchun. keyin n1n2 juftlarini oldinga siljitish orqali bir qancha barcha mumkin bo'lgan usullarni ko'rsatish mumkin:

dumba. Ikki asosiy cho'tka tomonidan berilganlarga o'xshash tajribalarda qancha mumkin bo'lgan natijalarni topish mumkin.

Yechim. Píd x í y u razí razí vadíêtsya vipadannya birinchi cho'tkasi va boshqa cho'tkaning yakoí̈ yoqasi bo'lsin. Birinchi cho'tkaning Vipadannya tomoni oltita usulda amalga oshirilishi mumkin xi, ; boshqa cho'tkaning vipadannya chekkasi ham olti yo'l bilan amalga oshirilishi mumkin xj, .

Eng yaxshi usullar 6,6=36.

2-qoida. Agar operatsiya k bosqichdan iborat bo'lsa, buning uchun birinchisini n1 usulda, ikkinchisini n2 usulda, uchinchisini va hokazo, k-chi usulda ajratish mumkin bo'lsa, u holda butun operatsiyani bajarish mumkin. n1 n2 da bo'linish ... .

dumba. Sifat inspektori terining bir qismini bir nechta idishlardan olib tashlashni xohlaydi, shunda 4, 3, 5 va 4 qismlarini olib tashlash mumkin. Qancha sharob olishingiz mumkin?

Yechim. Yo'llarning umumiy soni 4 3 5 4=240 deb aniqlanadi.

dumba. Talaba 20 ta ovqat uchun qancha testdan o'tishi mumkin, shuning uchun sharobning teri kuchiga qarab "shunday" chi "n_" deb ayta olasizmi?

Yechim. Eng yaxshi mumkin bo'lgan usullar 2 2 ... 2 = 220 = 1048576.

Ob'ektlarni tartibga solish mumkin bo'lsa, vaziyatni ayblash ko'pincha amaliydir.

Masalan: 6 kishi stolga necha xil usulda o'tirishi mumkin? Aylanishning o'zgarishi permutatsiyalar deyiladi.

dumba. a, b, c harflari uchun nechta almashtirish mumkin?

Yechim. Siz abc, acb, bac, bca, cab, cba ni o'zgartirishingiz mumkin. Mumkin bo'lgan taqsimotlar soni oltitagacha.

Masalan, jami n (n-1)(n-2)…3 2 1 xil yo‘l yoki n! bo‘lgan n ta ob’ekt uchun almashtirishlar soni n!=1 2 3... ( n-2)( n-1)n va 0!=1.

3-qoida. n ta turli ob'ektlarning almashtirishlar soni n ga teng!

dumba. Chotirox harflaridan o'rin almashishlar soni 4!=24, lekin keng o'rin almashishlar soni haqida nima deyish mumkin, shuning uchun chotiroxdan 2 ta harfni qanday tanlash mumkin?

Yechim. Biz to'rtta harfdan ikkita pozitsiyani eslay olamiz. Birinchi pozitsiya uchun - 4 yo'l, boshqa pozitsiya uchun - 3 yo'l. Bundan tashqari, vikorist qoida 1, ehtimol 43 = 12.

Bu dumbaning maqsadi n xil ob'ektda bo'lib, ulardan r ob'ekt r > 0 aylanmasdan tanlanadi, n(n-1)...(n-r+1) jami yo'llar mavjud. Bu raqam muhim va olib tashlangan kombinatsiyalar joylashtirish deb ataladi.

4-qoida

(r = 0,1,...,n uchun).

O'zgartirishlar, agar ob'ektlar qoziq orqasida aylantirilsa, aylana almashinishlar deyiladi. Ikki dumaloq almashtirish har xil (va faqat bitta muhim), shuning uchun ikkita doiradagi ob'ektlar o'zlari yomon va o'ng tomonda bo'lishi mumkin.

Misol uchun: go'yo chotiri odamlar ko'prikda o'ynashadi, biz boshqa prihilnostlarni olib ketmaymiz, go'yo barcha qabrlarni bitta o'ng qo'l uslubiga qo'yish kerak.

dumba. Qandaydir tarzda qancha dumaloq almashtirishni amalga oshirish mumkin, ko'prikda qanday o'ynash mumkin? Yechim. To'rtta qabrdan birining o'rnini mahkamlangan holda olish kifoya, siz yana uchta qabrni 3 qo'shishingiz mumkin! yo'llar, shunday qilib, olti xil dumaloq almashtirishlar bo'lishi mumkin.

Uzagalnyuyuchi tsey dumba, otrimu'yomo bunday qoida.

5-qoida. Ustalar bo'yicha saralangan n xil elementdan o'rin almashishlar soni ko'proq (n-1)!.

Dosi uzatiladi, scho n ob'ektlar, ular orasida biz r ob'ektlarni tanlaymiz va o'zgartirishlar hosil qilamiz, ê raznimi. Shunday qilib, formulalarni oldindan taxmin qilish "kitob" so'zidagi harflarni chop etish usullari sonini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin emas, lekin bitta romanning uchta nusxasini va boshqa bir romanning terisining bir nusxasini chop etish usullari soni yaratilgan. Politsiya haqida romanlar.

dumba. “Kitob” so‘zida harflarning necha xil almashinishi bor?

Yechim. O harflarini farqlash muhim bo'lgani uchun, biz í̈x ma'noli O1, O2 va shuningdek, O1, O2 va K harflarining matimemo 4!=24 xil almashinishi. bir o'rin almashish.

dumba. Bir romanning uchta nusxasini va qolgan to'rtta romanning bir nusxasini politsiyaga tarqatishning necha xil usullari mavjud?

Yechim. Agar siz a1, a2, a3 va boshqa ikkita roman kabi birinchi romanning uchta nusxasini tansangiz - b, c, d va e, unda bu holda, ehtimol 7! turli yo'llar va 3! a1, a2, a3 yoyish usuli.

Agar siz indekslarni o'tkazib yuborsangiz, nusxalarni saralashning turli usullari mavjud.

Uzagalnyuyuchi tsí mirkuvannya, otrimaemo bunday qoida.

6-qoida. n ta ob'ektning almashtirishlar soni, ular uchun n1 bir turdagi, n2 - boshqa turdagi, …, nk - k-turdagi va n1+n2+...+nk=n,

Bu juda katta vazifa, ba'zilar uchun turli xil ob'ektlardan ob'ektlarni tanlashning bir qator usullarini belgilash kerak, bunda hid tanlanadigan tartibni shafqatsiz hurmat qilmasdan. Bunday kombinatsiyalar bo'linmalar deb ataladi.

dumba. Jamiyat ta'limi uchun 20 ta nomzoddan nechta nomzodni tanlashingiz mumkin?

Yechim. Nomzodlarni tanlashda bizda muhim tartib borligi sababli, kombinatsiyalar soni va hatto uchta nomzodning qatori 3 bo'lishi mumkin! yo'llari; Agar tanlash tartibi muhim bo'lmasa, unda tanlash usullari mavjud.

Ob'ektlarning o'zlari tomonidan birlashtirilgan, lekin ularning tartibida n ta turli xil ob'ektlar bilan r ob'ektning aylanishisiz kombinatsiyalar alternativ deyiladi.

Qoida 7. n xil ob'ektdan r ob'ekt uchun kombinatsiyalar soni raqam bilan ko'rsatilgan, raqam raqam sifatida ko'rsatilishi mumkin.

dumba. Olti tanga bilan 2 ta gerb va 4 ta dumni necha xil usulda olishingiz mumkin?

Yechim. Gerb va qarorlarni tanlash tartibi muhim emasligi sababli, zastosovuyuchi 7-qoida olib tashlanadi.

dumba. 4 ta kimyo va 3 ta fizika bo'lgan kichik kollej fakultetida ikkita kimyogar va bitta fizikadan iborat qancha turli komissiyalar tuzilishi mumkin.

Yechim. Chotirioks kimyolarining 2 ga bo'lgan birikmalari soni (oltinchi) yo'l bilan qoldirilishi mumkin.

Uchta fizikdan biri yo'llar bilan aylantirilishi mumkin (trioma).

Qo'mitalar soni, 1-qoidaga qadar, 6 3 = 18 ni tashkil qiladi.

dumba. To'rt ob'ektdan iborat qatorni uchta qatorga necha usulda ajratish mumkin, ikkita, bitta va bitta ob'ektni qanday almashtirish mumkin?

Yechim. Ob'ektlarga a, b, c, d harflari bilan sezilarli darajada berilgan. Ikki, bir va bittaga bo'linish soni 12 bo'ladi:

Ikki ob'ektning mag'lubiyati bir necha usul bilan olinishi mumkin, bu 6 ta imkoniyatni beradi. Boshqa ziddiyatni shakllantirish usullari soni. Uchinchi o'yin uchun I, usullar soni 1 ta.

Jangning barcha usullarining 2-qoidasi uchun amal qiladi (6 2 1) = 12.

Uzagalnyuyuchi tsey dumba, otrimu'yomo bunday qoida.

qoida 8 yak

dumba. Mehmonxonadagi bir uch va ikkita ikki kishilik xonaga 7 nafar tadbirkorni necha xil usulda joylashtirish mumkin?

Yechim. 8-qoidagacha Vídpovídno, siz (ikki yuz o'n) usullarni robiti mumkin.

8-qoida Isbot

n1 ob'ektlarni bir necha usulda tanlash mumkinligi sababli, n2 ni tanlash mumkin

2-qoidaga muvofiq, ko'rish mumkin bo'lgan usullarning umumiy soni

Mustaqil ish uchun topshiriq

1. Bir politsiya uchastkasida o'nta kitob joyiga qo'yiladi. Kitobning uchta qo'shig'i buyurtma qilinganligining imovirnistini belgilang.

Qiymat: 0,066.

2. Kartochkalar to'plamidan (52 ta karta) uchta karta chiqariladi. Trio, ramz va ace nima bo'lishini imovirnist biling.

Qiymat: 0,0029.

3. 1 rubl uchun P'yat kvitkív vartistyu;

har xil 3 rubl uchun uchta vaucher;

har biri 5 rubllik variantga ikkita chipta.

Navmannya uchta chiptani tanlaydi. Nimaning harakatsizligini ko'rsating:

a) Men bu chiptalardan ikkitasi bir xil tafovut qilishini xohlayman.

Qiymat: 0,75;

b) uchta chiptaning narxi 7 rubl.

Amal qilish muddati: 0,29.

4. Hamantlarda 20 tiyinlik uchta tanga va bu 3 tiyinlik tangalar mavjud. Birinchidan, bitta tanga olinadi, keyin esa nominal qiymati 20 tiyin bo'lgan boshqa tanga olinadi.

Birinchi tanga 20 tiyinga teng ekanligining qiymatini ko'rsating.

Amal qilish muddati: 0,22.

• 5. Lotereya yutug'ining o'nta chiptasidan ê ikkitasi. Olingan navmannyalar orasida beshta chipta borligini ko'rsating:
  • a) bitta g'alaba;
  • b) ikkita g'alaba;
  • c) Men bitta g'alaba qozonishni xohlayman.

Qiymat: 0,55, 0,22, 0,78.

6. Mushukda 1 dan n gacha raqamlari bo'lgan ê n ta g'altak bor, g'altaklar burilmasdan birin-ketin oldinga siljiydi. Yaka imovírístki, birinchi tebranishlar davrida qahramonlar soniga qarab kult soni ortib boradi.

Taklif: (n – k)!/n!

Vikoriston adabiyoti

• 1. http://kurs.ido.tpu.ru/courses/theory_ver/tema2/tema2.html
• 2. http://free.megacampus.ru/xbookM0018/index.html?go=part-003*page.htm
• 3. http://www.testent.ru/publ/studenty/vysshaja_matematika/klassicheskoe_opredelenie_verojatnosti/35-1-0-1121
• 4. http://ua.wikipedia.org/
• 5. http://www.kolasc.net.ru/cdo/books/tv/page15.html

Kendal darajali korrelyatsiya ko'rsatkichi, bog'lanishning mohiyati haqidagi farazlarni qayta tekshirish.

2.Imovirnostining klassik dizayni. Imovirnosti kuchi.
Imovirnist - harakatsizlik nazariyasini tushunish uchun asosiylardan biri. Ísnuê kílka vznachen tsgogo tushunish. Keling, belgilaylik, ular buni klassik deb atashadi. Bu tayinlash aftidan zaif tomonlarini hisobga olib, u siz nedoliki klassik tayinlash podolat imkonini beradi, boshqa tayinlash tomonidan induktsiya qilinadi.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Idishga 6 ta bir xil, qat'iyat bilan aralashgan qop qo'ying, bundan tashqari, ulardan 2 tasi qizil, 3 tasi ko'k va 1 tasi oq. Shubhasiz, rangli urnadan navmannya yutish qobiliyati (ya'ni qizil yoki ko'k) yanada salqin, oq sumkani yutish qobiliyati pastroq. Qi raqam bilan tavsiflanishi mumkinmi? Ko'rinib turibdiki, bu mumkin. Bu raqam imovirnistyu podííí deyiladi (rangli kuli paydo bo'ladi). Bunday martabada imovirnist - bu ostida paydo bo'lish qobiliyatining bosqichlarini tavsiflovchi raqam.

Keling, o'z oldimizga Kolorovaning kul'orovasi olinganligining maqsadga muvofiqligini hisoblash bahosini berish vazifasini qo'yaylik. Rangli kulining paydo bo'lishi sinovning mumkin bo'lgan natijalaridan A. Kojenning belgisi sifatida qaraladi elementar natija (boshlang'ich podíêyu). Elementar natijalar w 1 w 2 w 3 va boshqalar nuqtai nazaridan mazmunli. Amalda 6 ta elementar natija mavjud: w 1 - oq to'p paydo bo'ladi; w 2, w 3 - qizil kul paydo bo'ldi; w 4, w 5, w 6 - ko'k xalta paydo bo'ldi. Bacheti qilish oson, buning natijasida juft jinni podiaslarning to'liq guruhi (obv'yazkovo z'faqat bitta qop paydo bo'ladi) va hidlar teng darajada qodir (viymayut navmannya qop, bir xil va nisbatan aralash).

Bu elementar natijalar, biz uchun bunday cikavada, u keladi, biz uni chaqiramiz do'stona tsíy podíí̈. Bizning dumbamizda A (rangli umurtqa pog'onasining ko'rinishi) boshlanishi 5 natija ostida otish kerak: w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 .

Bunday martabada A ni sinab ko'rishdan qo'rqish kerak, go'yo uni sinab ko'rmoqchi bo'lgandek, A ni olish kerak bo'lgan elementar natijalardan biri bo'ladi; bizning dumbamizda Va w 2 abo w 3 abo w 4 abo w 5 abo w 6 kelishidan ehtiyot bo'ling. Bu sensi podiada A elementar podialarning spratiga bo'linadi (w 2, w 3, w 4, w 5, w 6); elementar podia boshqa podialarga bo'linmaydi. Kimga polygaê raznitsa mizh subíêyu Va bu elementar subíêyu (elementar natija).

Elementar suksessiyalarning A do'stona bo'linmalari sonining ularning umumiy sonigacha o'zgarishi imovirnistyu A bo'linmasi deb ataladi va P (A) orqali belgilanadi. Tahlil qilinayotgan ilovada umumiy elementar natijalar 6; Ulardan 5 tasi A. Otzhe ostida olinishi kerak, shoulning rangli ko'rinishi uchun olinganligining imovirnisti, ko'proq P (A) \u003d 5/6. Bu raqam va biz bilmoqchi bo'lganimizdek, rang-barang gulning paydo bo'lish ehtimoli darajasini hisob-kitoblarni baholang. Damo endi imovirnosti uchun mo'ljallangan.

Imovirnistyu podííí A do'stona tsíy podíí̈ naslídkív sonini barcha teng mumkin bo'lgan aqldan ozgan elementar slídkív, scho utvoryuyut povnu guruhining umumiy sonigacha nomlash. Otzhe, imovirníst podííí A formula bilan aniqlanadi

de m - A qabul qilish uchun elementar natijalar soni; n - testning barcha mumkin bo'lgan elementar natijalari soni.

Bu erda elementar izlar aqldan ozgan, bir xil darajada kuchli va ular butun guruhni tashkil qiladi, deyiladi. Imovirnosti belgisidan bunday hokimiyat baqiradi:

Taxminan y bilan taxminan 1da t. ímovíríst ishonchli podíí̈ dorívnyuê odiní.

To'g'ri, xuddi dalil ishonchli bo'lsa, teri buzadigan amallar sinovining elementar natijasidir. Menda vipadku m = n, keyinroq,

P(A) = m/n = n/n = 1.

Taxminan y bilan t taxminan 2 da. Imovirnistni nolga qadar asoslab bo'lmaydi.

To'g'ri, agar podia imkonsiz bo'lsa, unda sinovning elementar natijalari muvaffaqiyatli bo'lmasligi mumkin. Mening vipadkuimda m = 0, keyin,

P(A) = m/n=0/n=0.

Taxminan y bilan t taxminan 3 da. ímovirníst vipadkovoí̈ podíí̱̱̱̰̈ nol va birlik o‘rtasida joylashgan musbat raqam.

Aslida, vipadkovogacha podíí̈ priyaê testning elementar natijalarining umumiy sonining faqat bir qismi. Wu tsomu vipadku 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,

0 < Р (А) < 1

Ozhe, ymovíríst be-yakoí̈ podíí̈ iltimos podvíynu nerívníst

Nazariy-ko'p asosda ilhomlangan o'lmaslik nazariyasining zamonaviy Suvori kurslari. Obmezhimosya vikladom mening nazariyam tushunish uchun jimgina ko'paytirildi, kaki razglyady vishche.

Sinov natijasida w i (i = 1, 2, ..., n) bitta va faqat bitta bo'linma mavjud bo'lsin. Podííí w i , nomi elementar podia (elementar meros). Allaqachon, tovushlar jaranglaydi, bu elementar bo'linmalar juftlik aqldan ozgan. Barcha elementar podiaslarning shaxssizligi, chunki ular namunada paydo bo'lishi mumkin elementar dukkaklarning kengligi W va boshlang'ich bo'linmalarning o'zlari - fazo nuqtalari V.

Podiya A submultiple (W bo'shliq) bilan ajralib turadi, uning elementlari elementar izlar bo'lib, A qabul qilinadi; podíya ê pídnizhina W, elementi ê kogo ê natijalari, scho priyat va boshqalar. Bu tartibda, barcha yondashuvlarning shaxssizligi, chunki ular sinovdan o'tishi mumkin, ê barcha hodisalarning shaxssizligi. W ning o'zi sinov natijasi yoki yo'qligini anglatadi, bu W - podiaga loyiq; Bo'sh joy W - imkonsiz podia (sinovning bir xil natijasi uchun imkoniyat yo'q).

Shunisi e'tiborga loyiqki, elementar bo'linmalar barcha bo'linmalardan ko'rinadi, ulardan faqat bitta W elementini olib tashlash mumkin.

Elementar natijani teriga w musbat raqam qo'yaman p i - natijani o'zgartirish qobiliyati, bundan tashqari

Uchrashuvga ko'ra, imovirníst P(A) bo'linmasi elementar natijalarning imovirníst ko'proq yig'indisi, A bilan mos kelishi mumkin. Ishonchli lívníuê birining imovírníst podíí̈, imkonsizligi - nolga teng ekanligini hisobga olish oson. etarli biri - nolga tenglashtiriladi.

Barcha natijalar teng mumkin bo'lsa, muhim okremy vipadok qarang. n yaxshilikdagi natijalar soni, yaxshi natijalardagi barcha natijalar sonlarining yig‘indisi; shuningdek, teri natijasini yaxshilash yanada qulay 1/n. Qo'yib yuboring va m natijalarni saqlang. Imovirníst podíí̈ Va dorovnyuê sumí ymovírnosti naslídkív scho priyat A:

P(A) = 1/n+1/n+..+1/n.

Vrahovuuchi, qancha dodankiv dorivnyu m, balki

P(A) = m/n.

Otrimano klassik imovirnosti dizayni.

Pobudov mantiqiy ravishda aksiomatik ajratilgan vipadkovo podííí va íí imovírnosti asoslanishi uchun imovirnosti nazariyasiga asoslanadi. A. N. Kolmogorov tomonidan ilgari surilgan aksiomalar tizimi elementar podia va imovirnistga ega bo'lib, ahamiyatsiz tushunchalarga ega. Keling, imovirnistni bildiruvchi aksiomalarni keltiramiz:

1. A teri bo'linmasi noma'lum raqam P (A) sifatida berilgan. U imovirnistyu podííí A deb ataladi.

2. Imovirníst haqiqiy podíí̈ dorívnyuê odiní:

3. Imovirnosti tsikh podíy summasidan ko'proq aqldan ozgan juft juftliklardan faqat bittasini xohlaydigan nastannya.

Vyhodyachi z tsikh aksiomalar, ymovirnosti kuchi va zalezhnosti mizh ularni teoremalar kabi vyvodyat.

3.Harakatning statik belgilanishi, ko'rish chastotasi.

Klassik uchrashuv tasdiqlashni talab qilmaydi. O'sha soatda, haqiqiy amaliy vazifa sifatida, tuganmas sonli natijalar bo'lishi mumkin va bu holatda uni klassik tarzda isbotlash mumkin emas. Shunday ekan, bunday vazifalarda biz g'alaba qozonamiz statik jihatdan aniqlangan kayfiyatlar, tajriba o'tkazilgandan so'ng yake qo'llab-quvvatlash

Statik imovirnistyu w (A) yoki yaxshi chastota - bu haqiqatda o'tkazilgan testlarning umumiy soniga qadar qulay berilgan pastki natijalarning nisbiy soni.

w(A)=nm

Vídnosna chastotasi podíí̈ maê chidamlilikdagi kuch:

lim n→∞P(∣ ∣ nm−p∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)

4. Geometrik imovirnosti.

Da geometrik pidhid uchrashuvdan oldin imovirnosti elementar ko'zalarning kengligi kabi, odam juda shaxssiz ko'rinadi lebegue oxiri to'g'ri chiziq, ochiq joylar bo'ylab borish. Podiya deb ataladi dunyoning barcha kuchlari ko'paytirmoq.

Imovirnist podííí A vyznaetsya formula

de ma'nosi Lebegning yuzsizlar dunyosi A. Bunday tayinlangan podíy va ymovírnosti usí bilan A.N.Kolmogorovning aksiomalari g'alaba qozondi.

Muayyan vazifalarda, belgilangan joyga qanday borish kerak imovirnisnoy sxemasi, viprobuvannya tebranish sifatida talqin qilinadi A- deakka teskari nuqtani qanday urish kerak hududning A subdomeni. Zarur bo'lganda, mintaqaning mo'ylov nuqtalari kichik bo'lishi uchun ammo, keling, imkoniyatdan foydalanaylik. Tsya vimoga so'zlarni ifodalash uchun qo'ng'iroq qiladi "navdacha", "vipadkovy rank" va boshqalar.

Bir-biri bilan teng qobiliyatga ega bo'lish uchun, shubhasiz, teri ostidagi terining sonini, masalan, mumkin bo'lgandan ko'ra ko'proq oshirish kerak. Bunday miqdorni biz imovirnistyu podííí deymiz. shunday tarzda, imovirníst podíííê raqamli kirish - bo'ysunishning ob'ektiv imkoniyati bosqichi.

Bir soatdan keyin birinchi marta, imovirnosti tayinlashlari klassik tarzda ko'rib chiqilishi kerak, bu qimor o'yinlarining tahlilini oqladi va boshning orqa qismi intuitiv edi.

Bir xil darajada mumkin bo'lgan va aqldan ozgan gipotezalarni tushunish uchun asoslarning harakatsizligini ifodalashning klassik usuli, go'yo ushbu dalillarning izlari bilan va aqldan ozgan farazlarning butun guruhini o'rnatish.

Butun guruhni tashkil etuvchi teng kuchli va aqldan ozgan podiaslarning eng oddiy dumbasi va o'sha chi ínshoí̈ kulí z urn, scho ko'rinishi rozmírom, vaga va cullning boshqa muhim belgilari uchun bir xil sprat qasos olish uchun, ulardan qat'iy mahrum bo'lganlar.

Buning uchun, natijalari aqldan ozgan va teng darajada mumkin bo'lgan podiaslar guruhini to'liq o'rnatadigan testlar haqida, uni urnalar sxemasiga yoki vipadkiv sxemalariga qisqartirish yoki klassik sxemaga moslashtirish mumkinligini aytish mumkin.

Shu bilan birga, yangi guruh yaratish uchun aqldan ozgan imkoniyat shunchaki tebranishlar va imkoniyatlar deb ataladi. Bu bilan, terining holatida, tushkunlikka qarab, qo'ltiq ostidagi burmalar paydo bo'lishi mumkin.

Butt: Katta cho'tkani tushirganda, 3 balldan iborat bo'lgan tartibni A i - yuzning yuqori qismidagi i-ko'zoynaklar tushishi xuddi shunday ko'rinadi, masalan B - yigitlar ochkolarining tushishi, C - ochkolar sonining pasayishi, uchga karrali...

Teri ostidagi terining etukligiga ko'ra, bu tajribada bo'lgani kabi, dalgalanmalar quyidagilarga bo'linadi. do'stona, ularning ba'zilarida podia bor va do'stona bo'lmagan, ba'zilarida podia yo'q. Old dumba qismida, B ostida, spriyat vpads A2, A4, A6; podíí̈ C - vypadki A3, A6.

Klassik kayfiyat Tashqi ko'rinishi deyakoí̈ podíí̈ nomlash vipadkív sonini, scho priyatíví tsíêí podíí̈, vípadkív rivenmozlivyh umumiy soniga qadar, aqldan emas, scho bu dosvídí Shu guruhni tashkil etish:

de P(A)- subííí A ning ymovírnist ko'rinishi; m- vipadkív, shcho priyat podííí A soni; n- zagalna kílkíst vipadkív.

Qo'llash:

1) (dumba kattaroq bo'lganiga hayron bo'ling) P(B)= , P(C) =.

2) Urun ichida 9 ta qizil va 6 ta ko‘k qop bor. Vinyati navmannya bitta bo'lgan narsaning imovirnistini bilish uchun ikki kuli chervonimdan mahrumdir.

A- Viynyata navmannya kulya chervona:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- viynyati navmannya ikki kuli qizil:

Klassik imovirnosti belgisidan ular bunday hokimiyatni chaqirishadi (mustaqil ravishda ko'rsatish):

1) Imovirnist imkonsiz podíí̈ dorívnyuê 0;

2) Imovirníst ishonchli podíí̈ dorívnyuê 1;

3) Imovirnist 0 dan 1 gacha yotqizilganmi yoki yo'qmi;

4) Imovirnist podííí, protilezhní podííí A,

Klassik tarzda, sifatning ahamiyati, sinov natijalarining soni ajoyib ekanligi aytiladi. Darhaqiqat, sud jarayonlari tez-tez eshitiladi, mumkin bo'lgan sud jarayonlari son-sanoqsiz. Bundan tashqari, klassik ma'noning zaif tomoni shundaki, test natijalarini elementar podiaslar to'plami sifatida ko'pincha ochib bo'lmaydi. Elementar merosdan foydalanishni teng imkoniyatlar bilan sinab ko'rishga ruxsat berish mumkinligini ko'rsatish yanada muhimroqdir. Dunyo simmetriyasiga mosligini tekshirishda elementar natijalarning tengligi haqida gapiring. Prote shunday zavdannya amaliy zustrychnayutsya kamdan-kam hollarda. Shu sabablarga ko'ra, kamtarlikning klassik belgilari kamtarlikning boshqa kamchiliklariga asoslangan.

Statistik imovirnistyu podííí A o'tkazilgan testlarda tsíêíí podííí ko'rinishining aniq chastotasi deb ataladi:

de – A bo‘limining imovirnist ko‘rinishi;

subíí̈ A paydo bo'lishining Vídnosna chastotasi;

Sinovlar soni, ba'zilar uchun podia A paydo bo'ldi;

Zagalna kilkíst viprobuvan.

Vídmínu víd klasichnoí̈ ymovírností, statisticaníy ymovíríst ê xarakterli svídchenoí̈, eksperimental bo'yicha.

Butt: Partiyadagi namunalar sifatini nazorat qilish uchun 100 ta namuna tanlandi, o'rtacha 3 ta namuna nuqsonli bo'lib chiqdi. Tush ko'rish imkoniyatini belgilang.

Imovirnosti zastosuyomni baholashning statistik usuli faqat sokin podyy uchun, yaky mayut bunday hokimiyat:

Podííí, scho razglyadyutsya, faqat sokin sinovlar natijalari tufayli, yakí bir xil va bir xil aqllar majmuasi bilan bir xil miqdorda amalga oshirilishi mumkin.

Onaga statistik barqarorlikni (yoki tashqi chastotalarning barqarorligini) topshiring. Tse shuni anglatadiki, turli sinovlar seriyasida chastota ahamiyatsiz darajada farq qilishi aniq.

A podiasiga ega bo'lgan sinovlar soni ko'proq bajarilishi mumkin.

Klassik belgi kabi imovirnosti kuchi imovirnosti statistik belgilanishi uchun ham olinganligini noto'g'ri tushunish oson.