Doimiy koeffitsientli o'zgaruvchan differensial tengliklar tizimining (SODE) matritsali yozuvi

Doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli SODE $\left\(\begin(massiv)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_(2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(massiv)\o‘ng.$,

de $y_(1)\chap(x\o'ng),\; y_(2)\chap(x\o'ng),\; \ldots,\; y_(n) \left(x\right)$ -- mustaqil o'zgarishning zarur funktsiyalari $x$, koeffitsientlar $a_(jk) ,\; 1 \ le j, k \ le n $ - berilgan haqiqiy sonlarni matritsa yozuvida ifodalash mumkin:

1. shovqin matritsasi $Y=\left(\begin(massiv)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\o'ng)) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) \ chap (x \ o'ng)) \ end (massiv) \ o'ng) $;
2. oxirgi yechimlar matritsasi $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(massiv)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(massiv)\o'ng)$;
3. koeffitsient matritsasi $A=\left(\begin(massiv)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_ (n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(massiv)\o'ng)$.

Endi matritsani ko‘paytirish qoidasi asosida berilgan SODE ni $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$ matritsalarni tekislash ko‘rinishida yozish mumkin.

Doimiy koeffitsientlar bilan SODE ga erishishning global usuli

Aytaylik, o'nlik sonlar matritsasi $\alpha =\left(\begin(massiv)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\ alfa _ (n) ) \end(massiv)\o'ng)$.

SODE yechimi quyidagicha ko‘rinadi: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. Matritsa shaklida: $Y=\left(\begin(massiv)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(massiv )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(massiv)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(massiv)\o'ng)$.

Esda tuting:

Endi berilgan SODE ning matritsani tekislash quyidagiga qarab berilishi mumkin:

Otrimanni tenglashtirish quyidagicha amalga oshirilishi mumkin:

Qolgan tenglik shuni ko'rsatadiki, qo'shimcha $A$ matritsasi orqasidagi $\alpha$ vektori $k\cdot\alpha$ parallel vektoriga aylanadi. Tse $\alpha $ vektori $A$ matritsasining berilgan vektori boʻlib, berilgan $k$ qiymatiga mos kelishini bildiradi.

$k$ raqamini $\left|\begin(massiv)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ dan olish mumkin. ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(massiv)\right|=0$.

Narx xarakterli deb ataladi.

Xarakteristik farqni tenglashtirishning barcha ildizlarini $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) bering. Teri qiymati uchun $k_(i) $ íz tizimi $\left(\begin(massiv)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(massiv)\o'ng)\cdot \left(\begin(massiv)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(massiv)\o'ng)=0$ $\left(\ start(massiv)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\o'ng)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i\o'ng)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\o'ng)) ) \end(massiv)\o'ng)$.

Ushbu matritsadagi qiymatlardan birini tanlash kifoya.

Qolgan holda, ushbu tizimning matritsa ko'rinishidagi yechimi quyidagicha yoziladi:

$\left(\begin(massiv)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(massiv)\o'ng)=\ left(\begin(massiv)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\o'ng)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\o'ng)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\o'ng)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\o'ng)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\o'ng)) ) \end(massiv)\o'ng)\cdot \left(\begin(massiv)(c) (C_(1) \cdot e^(k_) (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x) ) \end(massiv)\right)$,

de $ C_ (i) $ - dovílni postíyí.

menejer

RC tizimini sindirish $\left\(\begin(massiv)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac( dy_) ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(massiv)\o‘ng.$.

Tizim matritsasini yozing: $A=\left(\begin(massiv)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(massiv)\right)$.

Matritsa formasi quyidagicha yozilgan SODEga ega: $\left(\begin(massiv)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (massiv)\o'ng)=\left(\begin(massiv)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(massiv)\o'ng)\cdot \left(\ start( massiv)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(massiv)\o'ng)$.

Otrimuyomo xarakterli ravishda teng:

$\left|\begin(massiv)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(massiv)\right|=0$ keyin $k^( 2 ) -10 cdot k + 9 = $0.

Xarakteristik tenglashtirishning ildizi: $ k_(1) = $1, $ k_(2) = $9.

Biz $\left(\begin(massiv)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left() ni hisoblash tizimini yaratamiz. 1\ ) o'ng)) ) \end(massiv)\right)$ uchun $k_(1) =1$:

\[\left(\begin(massiv)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(massiv)\o'ng)\cdot \ left(\begin(massiv)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (massiv)\o'ng)=0,\]

keyin $\left(5-1\o'ng)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\o'ng)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\o'ng)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\o'ng)) +\left(5-1\o'ng)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\o'ng) ) = $0.

Agar siz $ \ alfa _ (1) ^ ( \ chap (1 \ o'ng)) = 1 $ qo'ysangiz, $ \ alfa _ (2) ^ ( \ chap (1 \ o'ng)) = -1 $.

Biz $\left(\begin(massiv)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left() ni hisoblash tizimini yaratamiz. 2\ ) o'ng)) ) \end(massiv)\right)$ uchun $k_(2) =9$:

\[\left(\begin(massiv)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(massiv)\o'ng)\cdot \ left(\begin(massiv)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (massiv)\o'ng)=0,\]

keyin $\left(5-9\o'ng)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\o'ng)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\o'ng)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\o'ng)) +\left(5-9\o'ng)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\o'ng) ) = $0.

Agar siz $ \ alfa _ (1) ^ ( \ chap (2 \ o'ng)) = 1 $ qo'ysangiz, siz $ \ alfa _ (2) ^ ( \ chap (2 \ o'ng)) = 1 $ olasiz.

SODE ni matritsa shaklida yechishimiz mumkin:

\[\left(\begin(massiv)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(massiv)\o'ng)=\left(\begin(massiv)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(massiv)\o'ng)\cdot \left(\begin(massiv)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(massiv)\o'ng).\]

SODE yechimining asosiy shakli quyidagicha ko‘rinishi mumkin: $\left\(\begin(massiv)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \ cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \ end(massiv)\right.$.

................................ 1

1.Kirish ............................................... ................................................ . .. 2

2. 1-tartibli differensial tenglik sistemalari ................................ 3

3. 1-tartibli chiziqli differensial tenglik sistemalari......... 2

4. Doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli differensial tenglik sistemalari ....................................... ................................................................ ............................ .... 3

5. Doimiy koeffitsientli 1-tartibli bir jinsli bo'lmagan differensial tengliklar sistemalari. ................................................ . ...... 2

Laplasning reenkarnatsiyasi................................................................................ 1

6. Kirish ................................................. ................................................ . .. 2

7. Laplasning kuchli reenkarnatsiyasi ...................................... .. ............ 3

8. Laplasning transformatsiya dasturi ...................................... .. ...... 2

Integral tekislash bilan tanishtirish............................................................... 1

9. Kirish ................................................. ................................................ . .. 2

10. Chiziqli integral tengliklarning umumiy nazariyasi elementlari ............... 3

11. 2-turdagi Fredgolm integrali tenglarining iterativ dispersiyasi haqida tushuncha ................................. ............. ................................................ ...................... ................................... 2

12. Rivnyannia Volterra................................................. ................................ 2

13. Laplasning rívnicem yadrosi z vikoristannya ning o'zgarishi bilan Razv'yazannya Volterra ning rívnyan. ...................................... 2

O'zgaruvchan differentsial tenglik tizimlari

Kirish

Bitta o'zgaruvchining noma'lum funktsiyalari uchun qasos olish uchun katta differentsial tenglik tizimlari bir nechta teng tengliklardan iborat. Zagalom bunday tizim ko'rinishi mumkin

de - noma'lum funktsiyalar, t- mustaqil o'zgartirish; Bunday tizimni yo'q qilish sizning tizimingizga yoqadigan barcha funktsiyalarni bilishni anglatadi.

Kuch kuchi ta'sirida tana massasining harakatini tasvirlaydigan Nyutonning dumbasi kabi:

de - Vektor, koordinatalar kobidan tananing hozirgi holatiga chizish. Dekart koordinata tizimi ê funksiyalariga ega Bu tartibda (1.2) tenglama boshqa tartibdagi uchta differentsial tenglamaga keltiriladi

Tanish funksiyalar uchun Soatning teri momentida, aniqki, tananing kob holatini va soatning bosh momentini bilish zarurati jami 6 ta bosh aqlini (ular turli xil tartibdagi uchta teng tizimga asoslangan) :

Rivnyannia (1.3) bir vaqtning o'zida kob aqllari bilan (1.4) Koshning vazifasini qondiradi, chunki u jismoniy mirkuvandan tushunilganidek, tananing harakatiga o'ziga xos traektoriyani beradigan yagona yechim, go'yo kuch oqilona mezonlarga javob beradi. silliqlikdan.

Loyihaning yangi funktsiyalarni amalga oshirish uchun 6 ta birinchi darajali talablar tizimiga ko'tarilishi muhim ahamiyatga ega. Kelgusi darajaga ko'ra belgilangan uchta yangi funktsiyani joriy qilganimiz sababli sezilarli darajada ishlaydi

Tizim (1.3) endi shunday qayta yozilishi mumkin

Shu tariqa, biz funksiyalar uchun birinchi tartibli olti differensial teng sistemaga keldik tsíêíy tizimi mayut vglyad uchun Pochatkoví aql

Dastlabki uchta kob aqli tananing kob koordinatalarini, qolgan uchtasi - koordinatalar o'qining kob tezligining proektsiyalarini beradi.

dumba 1.1. 2-tartibdagi ikkita differentsial teng sistemani tuzing

tizimiga íz chotiriokh rivnyan 1-tartib.

Yechim. Keling, quyidagi ta'rifni kiritamiz:

Tizimdan chiqsam, ko'raman

Belgilanishni kiritish uchun yana ikkita teng:

Qoldiqda biz 2-tartibli differensial tengliklar tizimiga ekvivalent bo'lgan 1-darajali differensial tengliklar tizimini katlaymiz.

Vaziyatni tasvirlash uchun ushbu misollarni qo'llang: differensial tenglashtirishning teri tizimini birinchi tartibli tenglashtirish tizimiga keltirish mumkin. Otzhe, nadaly biz 1-tartibli differentsial teng tizimlari vyvchennyam obmezhitsya mumkin.

1-tartibli differensial tenglik sistemalari

Tizimga yomon ko'ring n 1-tartibdagi differentsial tenglar quyidagicha yozilishi mumkin:

de - mustaqil o'zgarishlarning noma'lum funktsiyalari t, - Haqiqiy o'rnatilgan funktsiyalar. Spylne eritmasi tizimi (2.1) qasos n ko'proq konstantalar, tobto. ko'rinishi mumkin:

Differensial tenglarning qo'shimcha tizimlari uchun haqiqiy vazifalarni tavsiflashda, aniq bir yechim yoki shaxsiy yechim rahbarlarning yovvoyi qaroridan chiqish tizimi aqllar. Pochatkova umova teri funktsiyasi va tizimi uchun qayd etilgan n 1-tartibga teng quyidagicha ko'rinadi:

Kosmosda qarorlar qabul qilinadi chiziq, deyilganidek integral chiziq Tizimlar (2.1).

Differensial tenglamalar sistemasi uchun yechimning asosi va birligi haqida teorema tuzamiz.

Koshi teoremasi. 1-darajali (2.1) differensial tenglamalar tizimi (2.2) bir vaqtning o'zida faqat bitta yechimga ega bo'lishi mumkin (shuning uchun global yechimdan yagona doimiylar to'plami olinadi), shuningdek funktsiyalar va ularning shaxsiy qiymatlari barcha argumentlar uchun bu kob aqllarining chekkasida.

Yakíysk galluzí zminnyhdagi yechim haqida borish ajoyib .

Razvyazannya differentsial tenglik tizimi qandayligini ko'rishingiz mumkin X vektor funktsiyasi, har qanday funktsiyaning komponentlari va funktsiyalar to'plami vektor funksiyaga o'xshaydi F, keyin.

Vykoristovuyuchi shunday znachennya, siz qisqacha shunday martabalar uchun vihídnu tizimi (2.1) va pochatkoví aqli (2.2) qayta yozishingiz mumkin. vektor shakli:

Differensial tenglar tizimini ishlab chiqish usullaridan biri bu tizimni yuqori tartibli birga tenglashtirishdir. Uchta teng (2.1), shuningdek, ularning farqlanishiga ega bo'lgan tenglar bir teng qabul qilinishi mumkin. n Noma'lum funktsiyalardan bo'lishi uchun th tartibi Integratsiyalash yogo, noma'lum funktsiyani bilish Boshqa noma'lum funktsiyalar teng tashqi tizimdan va oraliq tenglardan kelib chiqadi, tashqi bo'lganlarni farqlashda otrimanih.

dumba 2.1. Birinchi tartibli ikkita differentsial sistemasini tuzing

Yechim. Boshqa tenglardan farqli ravishda:

Keling, birinchi qatordan o'taylik

Boshqa daryodan

Biz doimiy koeffitsientli 2-tartibli chiziqli bir xil differensial tenglamani oldik. Yoga ko'proq xarakterli tengdir

Yulduzlar differensial tenglashtirish bo'yicha dahshatli qarorlar qabul qilinadi

Biz tengliklarning vizual tizimining noma'lum funktsiyalaridan birini ochib berdik. Koristuyuchisya virazom siz bilishingiz mumkin:

Kob aqllari uchun Virishimo zavdannya Kosh

Tasavvur qilaylik, tizimning yechimi

va biz integratsiya konstantalarini bilamiz:

Bunday martabada Koshning vazifasi vazifalari bo'ladi

Ushbu funktsiyalarning grafiklarida ozgina 1 tasvirlangan.

Guruch. 1. Vaqt oralig'ida tizim ko't 2.1 xususiy yechim

dumba 2.2. Tizimni tekshiring

2-tartibning biriga teng bo'lgan yoga chaqirish.

Yechim. Farqlash birinchi teng, otrimaemo

Koristuyuchisya boshqa teng, biz boshqa tartib teng keladi x:

Bu qarorni olib tashlashning ahamiyati yo'q, keyin ma'lumni teng qilib almashtirib, funktsiyani olaylik. Natijada, ehtimol tizimning yechimi:

Hurmat. Biz tenglashtirish funksiyasini bilardik. Bir qarashda, xuddi shunday qarorlarni qabul qilish, boshqasining uyini o'xshash tizim bilan taqdim etish mumkin.

va yoga integratsiyasi. Agar siz bunday darajani bilsangiz, unda yechim uchinchi, doimiyga ega:

Biroq, qanchalik noto'g'ri bo'lishidan qat'i nazar, funktsiya tizimdan etarli qiymatda emas, balki faqat shunday martabadan keyin, integratsiyasiz boshqa funktsiyani keyingisiga tayinlaydi.

Funktsiyalarning kvadratlarini qo'shamiz i:

Otrimanning hizalanishi markazda tekislik yaqinidagi koordinatalar bo'limiga ega bo'lgan konsentrik keellar oilasini beradi (bo'lim 2-rasm). Optimal parametrik egri chiziqlar deyiladi faza egri chiziqlari, Va yassi, roztashovani ning yakiyy hidida faza tekisligi.

Kun oxirida ongga o'xshash fikrlarni asoslab, siz integratsiya konstantalarining qiymatlarini olib tashlashingiz va fazalar tekisligida birinchi radiusli s sonini bildirishingiz mumkin. Shu tarzda, kob aqllarining dermal to'plami bir fazali egri chiziqni ko'rsatadi. Vízmemo, masalan, pochatkoví aql . Yakuniy yechimdagi almashtirish doimiylarning qiymatlarini beradi Bunday martabada men shaxsiy qarashim mumkin. Intervaldagi parametrni o'zgartirganda, biz yil o'qidan keyin faza egri chizig'iga amal qilamiz: o'zgarish qiymati - o'qdagi kob nuqtasi, qiymat - o'qdagi nuqta, qiymat - o'qdagi nuqta. , qiymat o'qdagi nuqta, biz kob nuqtasiga o'girilganimizda.

Ushbu maqsadning asosiy tushunchasi Differensial tenglar tizimidan oldin nuqta dinamikasi vazifasini boshqarish yanada soddaroq: unga moddiy nuqtaga ta'sir qiladigan kuch beriladi; qulash qonunini aniqlang, ya'ni soatda yiqilib tushadigan nuqta koordinatalarining noto'g'riligini aks ettiruvchi x = x(t), y = y(t), z = z(t) funktsiyalarini aniqlang. Tizim, yak tashqariga chiqqach, yovvoyi odamga qaray oladi Bu yerda x, y, z - qulab tushayotgan nuqtaning koordinatalari, t - soat, f, g, h - ularning argumentlarining funksiyalari. (1) shakl tizimi kanonik deyiladi. T argumentining noma'lum funktsiyalariga ega bo'lgan differensial tenglarning vahshiyona sho'ng'igan tizimiga o'tsak, biz kanonik tizim deb ataymiz va aqlga faqat eskilariga ruxsat beriladi. Har qanday boshqa turdagi funktsiyalarga ruxsat beruvchi birinchi tartibli tenglar tizimi normal deyiladi. Agar biz yangi qo'shimcha funktsiyalarni qabul qilsak, u holda global kanonik tizim (2) teng bo'lgan ekvivalent normal tizim bilan almashtirilishi mumkin. Bu kamroq oddiy tizimlarni ko'rish uchun etarli. Misol uchun, bitta teng, keling, kanonik tizimning vipadini belgilaymiz. ^ = y ga sig'inib, rivyannnya fazilatiga ko'ra, natijada turmush o'rtog'i, Liníyni Rivniyanning ilniynatsiy tizimlari usuli usuli differensial rivnyanlarning rivnyan tizimlarining normal tizimi 1. -kabi a. (3) sistemaning tengligini (a, b) oraliqdagi t ga nisbatan bir xillikka o'rab turuvchi oraliqdagi differentsial funksiyalar tizimi. sistemalar (3) quyidagicha ifodalanadi: t = da qanoatlantiradigan tizimning yechimini (4) bilish. tinch hudud D o'zgarishi o'zgaruvchan t, X\, x 2, ..., xn. u holda - L0 o'zgarishi t oralig'i mavjud bo'lib, normal tizimning yagona yechimi (3) asosida, har qanday ruxsat etilgan qiymatlarning ongini qondiradi, funktsiyalar tizimi (6) teng (3) jami, 2) P funktsiyalari sohasida (6) Kosh vazifasini buzadimi yoki yo'qmi. Muayyan ma'nolar uchun tabiatdan kelib chiqadigan qarorlar xususiy qarorlar deb ataladi. Aniqlik uchun ikkita tenglikning oddiy tizimiga qaytaylik, biz t> X \, x2 qiymatlar tizimini Otx \ x2 koordinata tizimiga kiritilgan trivial fazo nuqtasining to'rtburchaklar dekart koordinatasi sifatida ko'rib chiqamiz. t - to da qiymat qabul qiluvchi sistemaning (7) yechimi nuqtadan o tgan fazodagi chiziqni belgilaydi) - Bu chiziq normal sistemaning (7) integral egri chizig i deyiladi. (7) sistema uchun Koshi vazifasi ko'proq geometrik formulani talab qiladi: t> X \, x2 o'zgaruvchan fazoda berilgan Mo (to, x1, x2) nuqtasidan o'tuvchi integral egri chiziqni toping (1-rasm). . 1-teorema bunday egri chiziqning asosini va birligini o'rnatadi. Oddiy sistema (7) y dispersiyaga shunday loyqalik berilishi mumkin: t ning mustaqil o zgarishi parametr sifatida qaraladi va sistemaning yechimi x\Ox2 tekisligidagi egri chiziqning parametrik tekislanishiga o xshaydi. O'zgaruvchan XX2 ning Qiu maydoni faza tekisligi deb ataladi. Eritmaning faza tekisligida (t \u003d t0 da x ° (, x2) kob qiymatini qabul qiladigan tizimning (7) 0 nuqtasi nuqtadan o'tuvchi AB egri chizig'i bilan tasvirlangan). sistemaning traektoriyasi (fazali traektoriya) deb ataladi.Tizimning traektoriyasi (7) ê proektsiya integralnoí̈ krivoí̈ na fazovu ploshchinu Za integralnoyu krivoyu fazova traêktoríya viznachaêtsya odnoznachno, ale ne yanginnya fermanniya zímíní divnítí § 2. metodív integruvannya - metod viklyuchennya. dozvolene schodo schodo schoí poxídnoyí, Vvívshi noví functioníї rívyannya nastupnoyu normalnoyu rívyan : n-tartibga teng birini almashtiring oddiy tizimga (1-ning oʻng qismini) oʻzgartirish mumkin. qisqaroq, Rivnyannia (3) yangi differensial ravishda t. Tizimni qabul qilish (2 ), mumkinmi yoki yo'q. Jarayonni davom ettirsak, bilamizki, belgilovchi (qiymatlarga qaralganda funksiyalar tizimining yakobiyi nolga teng) deb faraz qilaylik. Tenglamada ma'lum bo'lgan virazi n-tartibli ekvivalent olinadi.Xuddi shunday, siz (2) sistemaning yechimi sifatida X (t) funksiyasi (5) tenglamaning yechimi bo'lishini ko'rishingiz mumkin. ). Orqaga, qo'yib yuboring - yechim teng (5). Tizim funktsiyasi sifatida hisoblab chiqiladigan va taxmin qilinadigan ma'lum qiymatlarga nisbatan farqlash vazifalari. Ko'rsatish mumkinki, bunday funktsiyalar tizimi differentsial tenglamalar (2) tizimining echimiga aylanish uchun turtki bo'lgan. dumba. Tizim teng bo'lishidan oldin tizimni differentsial tarzda integratsiyalash kerak, ehtimol yulduzlar, boshqasi teng bo'lishi mumkin yoki hech bo'lmaganda - bitta noma'lum funktsiyaga ega bo'lgan doimiy koeffitsientli boshqa tartibga teng chiziqli differentsial. Yogo zagalne yechim ko'rinishi mumkin. Tizimning birinchi darajasidan boshlab biz funktsiyani bilamiz. Ma'lum bo'lgan x(t), y(t) funktsiyalari, chunki uni noto'g'ri talqin qilish oson, har qanday qiymat uchun C| va C2 ​​tizimning vazifalarini qondiradi. Funksiyalarni yulduzlardan ko'rish mumkin, sistemaning integral egri chiziqlari (6) markaziy chiziqdan x = y = 0 dan burilish bilan o'ralgan chiziqlar, shuningdek, integral egri chiziq ekanligi aniq (3-rasm). Formulalar (7) ga kiritilsa, parametr teng bo'ladi, shuning uchun berilgan tizimning fazali traektoriyalari koordinatalar kobidagi markazi bilan qoziqning mohiyati - tekislikdagi spiral chiziqlarning proyeksiyalari L = 0 bo'lganda, fazali traektoriya bir nuqtadan hosil bo'ladi, chunki u tinch tizimning nuqtasi deb ataladi. ". Ko'rinib turibdiki, funktsiyalarni chiqish tizimiga ekvivalent bo'lgan bir xil n-tartib orqali ko'rsatib bo'lmaydi, biz uni qabul qilmaymiz. Eksa oddiy misoldir. Tenglar tizimini boshqa tartibdagi ekvivalent tenglar bilan almashtirib bo'lmaydi, x yoki x2. Tsya tizimi 1-darajali teng juftlikdan buklangan, ularning har qandayining terisi mustaqil ravishda birlashtirilgan bo'lib, bu kombinatsiyalarni birlashtirishga yo'l beradi. dXi differensial tenglamalarning normal sistemalarini integrallash integrasiya birikmalari usulida turlicha amalga oshirilishi mumkin. Integratsiyalash mumkin bo'lgan birikma differensial tenglama deb ataladi, bu oxirgi tenglama (8), lekin uni integrallash ham oson. dumba. Tizimni integrallash DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR TIZIMLARI Integrallash usullari Integrallash usuli Yoʻq qilish usuli Chiziqli differentsial tenglamalar tizimlari Asosiy matritsa Konstantalarni oʻzgartirish usuli Oʻzgarmas koeffitsientli chiziqli differensial tenglamalar tizimlari. integrallashgan birikma: boshqa integral kombinatsiya: yulduzlar Biz ikkita endian tenglikni bilar edik, ularni tizimning asosiy yechimi bilan osongina ajratish mumkin: Shunday qilib, oxirgi qator tizimning birinchi integrali deb ataladi (8). Aks holda: differensial tengliklar sistemasining birinchi integrali (8) differensiallovchi, bir xil konstantaga teng bo‘lmagan, lekin tizimning integral egri chizig‘i ekanligiga qarab doimiy qiymat oladigan funksiyadir. Ma'lumki, (8) sistemaning n ta birinchi integrali va ularning barchasi mustaqil, shuning uchun funksiyalar sistemasining yakobiyi nolga teng: Birinchi tartibli chiziqli hizalanishlar tizimi oddiy shaklda yozilgan bo'lib, unga o'xshash bo'lishi mumkin, matritsa shaklida, teorema 2. Barcha funktsiyalar kabi, uzilishlarsiz tepada, keyin esa teri nuqtasining kichik maydonida. , xp), de), vykonny masala yechimining asosi va birligi bo'yicha teoremani o'ylab ko'ring Koshíí̈ , shuningdek, bunday nuqta terisi orqali sistemaning yagona integral egri chizig'i mavjud (1). Darhaqiqat, (1) argumentlar ketma-ketligi uchun sistemaning o'ng qismlari (1) uzluksizdir... Agar F matritsasi (a, 6) oraliqda nolga teng bo'lsa, u holda sistema (2) ) chiziqli bir jinsli deyiladi va shunga o'xshash bo'lishi mumkin. Teorema 3. Chiziqli bir jinsli sistemaning yechimlari uchun X(t) qanday, de s esa o‘zgarmas va o‘xshash sistemaning yechimlari uchun. Teorema 4 Natija. Etarli doimiy koeffitsientli chiziqli birikma, differensial tenglamalarning chiziqli bir jinsli sistemasi yechimi va sistemaning yechimlari. Teorema 5. Agar X(t) chiziqli bir jinsli bo'lmagan sistemaning yechimi - ikki jinsli sistemaning yechimi bo'lsa, yig'indisi bir jinsli bo'lmagan sistemaning yechimlari bo'ladi. Vektorlar oraliqdagi chiziqli o'simtalar deb ataladi, shuning uchun doimiy sonlarni o'rnatish uchun, agar a sonlaridan birini olsa, u nolga teng bo'lmaydi. Agar (5) ning bir xilligi to'g'ri bo'lsa, u holda faqat o'sha vektorlar (a, b) da chiziqli mustaqil deyiladi. Hurmat bilan, bitta vektor identifikatori (5) identifikatsiyada ekvivalentdir: . Rahbar Vronsk vektor tizimining rahbari deb ataladi. Uchrashuv. Elementli chiziqli bir jinsli sistema de-matritsaga ega bo'lsin. Intervalda chiziqli mustaqil bo'lgan chiziqli bir jinsli sistemaning (6) yechimlar tizimi fundamental deyiladi. Teorema 6. a-ij(t) koeffitsientli (6) oraliqdagi chiziqli bir jinsli sistemaning (6) fundamental yechimining asosiy W(t) ning W(t) tepasida uzilishlarsiz. b koeffitsientlari a-ij(t) va intervalning barcha nuqtalarida (a, 6) nolga teng. 7-teorema (chiziqli bir jinsli sistemaning global yechimining tuzilishi haqida). Chiziqdagi uzluksiz koeffitsientli chiziqli bir hil tizim sohasidagi global echimlar va tizimning intervalli yechimiga (6) chiziqli mustaqil chiziqli birikmasi uchun: etarli doimiy sonlar. dumba. MAH tizimi, Yak Nevazhko Pereniti, Rishnnya eshnnya Líniniyno, Oskilki Voznikov Vronskiy Vidmínniy nil: "Zagalnu RISHENNA MAHIST - Dovilni post -Sadias. butun tizimning asosiy matritsasi. Fundamental matritsaning Yakshcho X(t) matritsaning tekislanishini qanoatlantirishi muhim emas, tizimning asosiy matritsasi (6), u holda tizimning umumiy yechimi etarli elementlarga ega vizual barqaror matritsa-stekda ifodalanishi mumkin. , Матриця називається матрицею Коші.З її допомогою рішення системи (6) можна представити так: Загальне рішення в області лінійної неоднорідної системи диференціальних рівнянь з безперервними на відрізку коефіцієнтами і правими (t) дорівнює сумі загального рішення соот відповідної однорідної системи та якогось окремого рішення X (t) bir jinsli sistema (2): 3.2. Konstantalarni o'zgartirish usuli Umuman, chiziqli bir jinsli sistemaning (6) yechimi bo'lsa ham, bir jinsli bo'lmagan tizimning xususiy yechimini konstantalarni o'zgartirish usuli (Lagranj usuli) bilan o'rganish mumkin. Keling, bir jinsli sistemaning (6) chuqur yechimiga ega bo'lsin, shuningdek, dXk, bundan tashqari, echimlar chiziqli mustaqildir. Shukatimemo - t-da de - noma'lum funktsiyalarning geterogen tizimiga xususiy yechim. Farqlash mumkin otrimuêmo almashtirish Shunday qilib, belgilashga kelsak, biz tizimni abo olamiz, buklangan ko'rinishda, Tizim (10) chiziqli algebraik tizim 4(0 shuning uchun tizim) yagona yechim, de MO - vídomí uzluksiz funktsiyalari . Інтегруючи останні співвідношення, знаходимо Підставляючи ці значення, знаходимо приватне рішення системи (2): (тут під символом розуміється одна з першорядних для функції § 4. Системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами Розглянемо лінійну систему диференціальних рівнянь у якій всі коефіцієнти - постійні. Загалом Ilntegravni taka tizimi, Vishka ordenining rivnyanglaridan biriga qadar, rivyannnya ruhoniysi LINIMI KEEFITSga o'xshaydi.Hujumdagi Polyaga usuli: Neuler Budomo Sukati usuli.arzimas yechim, u o'zgaruvchining qiymati nolga teng bo'lishi uchun zarur va etarli bo'ladi: (4) tenglama xarakterli deb ataladi. rzí sistemada (3), ma'lumki, u noan'anaviy yechim, sistema í, shuningdek, ma'lumki, differensial tenglamalar tashqi tizimining yechimi (1) boshqa indeks holatida. yechimning raqami, birinchisi esa - noma'lum funktsiyaning raqami. Chiziqli bir jinsli tizimning shunday darajali va xususiy yechimlari bilan qo'zg'atilgan (1) teskari bo'lishi mumkin bo'lgan butun tizim yechimining asosiy tizimini o'rnatadi. Otzhe, differensial tengliklarning bir hil tizimining zagalne yechimi (1) ko'rinishi mumkin - juda tez. Vipadok, agar xarakteristikaning tengligi ildizning karrali bo'lishi mumkin bo'lsa, biz dunyoga qaray olmaymiz. М Шукаємо рішення у вигляді Характеристичне рівняння Система (3) для визначення 01,02 виглядає так: Підставляючи отримуємо звідки Отже, Вважаючи знаходимо тому Загальне рішення даної системи: СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯН Методи інтеграції Метод виключення Системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами Матричний метод Викладемо ще bir jinsli tizimni integrallashning matritsa usuli (1). (1) sistemani a, j doimiy real elementlari bo'lgan matritsa shaklida yozamiz. Guessing deyaki chiziqli algebrani tushunish. g F vektori A matritsaning o'z vektori deb ataladi, shuning uchun A soni A matritsasining o'z qiymatlari deb ataladi, bu g erkin vektoriga mos keladi, i - xarakteristikaning ildizi de I a. yagona matritsa. Faraz qilaylik, A matritsasining barcha quvvat qiymatlari boshqacha. Shu tarzda vektorlar chiziqli mustaqil va n x p-matritsa T, shuning uchun A matritsani diagonal ko'rinishga keltirish mumkin, shuning uchun T matritsaning parametrlari chiziqli vektorlarning koordinatalari bo'ladi. B(t) - n x n-matritsa, elementlar 6,; (0 ular t argumentining funksiyalari bo‘lib, B(f) ko‘paytuvchiga tayinlangan matritsasi P da uzilishlarsiz deyiladi, chunki Q uchun uzilishlarsiz bo‘ladi. barcha elementlar 6,j(f) B(*) matritsasi P bo‘yicha hosilalash, shuningdek, matritsaning barcha elementlarining Q bo‘yicha hosilalash deyiladi.-de T formulasi ortida A matritsasini diagonal ko‘rinishga keltiruvchi matritsa joylashgan. n-jahon vektorlari-stovptsy yechimlari ko'rinishida berilishi mumkin. Shunday qilib, stovtsi matritsalari T ê vlajni vektorlari va matritsalari vlajni vektor matritsalari kabi A. Shuning uchun (13) (11) ni almashtirib, (10) formulani olib tashlaymiz: bu tartib, differensial tenglamalar tizimining A matritsasi sifatida (7) m aê diff vlasní qiymatlari otrimannya global yechim tsíêí tizimi uchun: 1) ma'lum vlazní jumla "matritsa algebraik tenglamaning ildizi sifatida 2) ma'lum barcha to'lqin vektorlari va 3) formula (7) uchun differentsial tenglamalar tizimining global miqyosda yozilgan yechimi ) formula (7) uchun. Misol 2. Tizimni parchalash Matritsa usuli 4 Tizimning A matritsasini ko'rish mumkin 1) Xarakteristik tenglashtirishning xarakterli ildizini qo'shamiz. 2) Biz quvvat vektorlarini bilamiz A \u003d 4 uchun biz yulduzlar tizimini olamiz \u003d 0 | 2, xuddi shunday A \u003d 1 uchun ham men bilamiz. Pripuschennyam koefítsíênti ay tizimi (7) díysní uchun Oskílki, u xarakterli matima íyísní koefítsíênti tengdir. Shuning uchun, kompleks ildiz A bilan tartib ildiz bilan bir xil, A bilan kompleks tarzda. g quvvat vektori ekanligini ko'rsatish muhim emas, u A ning quvvat qiymatini qo'llab-quvvatlaydi, keyin A * g * quvvat vektori berilgan bir xil qiymat, murakkab kiyinishlarda g. L (7) tizimining kompleks yechimi uchun taioKe murakkab bo'ladi. Ushbu qarorning kasr qismi va aniq qismi tizimning qarorlari (7). Vlasnyu ma'nosi L * vydpovídatime bir necha haqiqiy echimlar. L. Otzhe ning yuqori qiymatiga ega bo'lgan bir xil juftlik, differensial tenglar tizimining (7) samarali echimlari juftligining yuqori qiymati bilan murakkab bog'liq A, A * juftliklari. Keling - diysni vlasny ma'nosi, murakkab vlasny ma'nosi. Todi be-yak dyysne yechimi sistema (7) mumkin de z - ancha postiyni. Misol 3. Tizimni kengaytiring -4 Tizimning matritsasi 1) Matritsaning Vlasn vektorlarining Iogo ildiz tizimining xarakteristik tekislashi 3) Tizimning qarori juda murakkab post. Biz tizimning samarali yechimini bilamiz. Eyler otrimuemo Ozhe ning Koristuyuchis formulasi, tizimning har kuni yechimi yetarlicha real sonlarga qarash mumkin. To'g'ri O'chirish usuli yordamida tizimlarni integratsiyalash: Kombinatsiya usuli yordamida tizimlarni integratsiyalash: Matritsa usuli yordamida tizimlarni integratsiyalash:

Differensial tenglar tizimini qanday yechish mumkin?

Ma'lum bo'lishicha, o'quvchi virishuvati differensial tenglik, zokrema, allaqachon yomon, boshqa buyurtmaga o'xshashі boshqa tartib bilan teng heterojen doimiy koeffitsientlardan. Differensial tenglashtirish tizimlarida buzilmaydigan narsa yo'q va ular har xil turdagi tenglashtirishlar bilan to'g'rilangan bo'lsa ham, tizimlarning rivojlanishi alohida qiyinchiliklar ombori emas.

Differensial tenglashtirish tizimlarining ikkita asosiy turi mavjud:

- Differensial tekislashning chiziqli bir jinsli tizimlari
- Differensial tekislashning chiziqli geterogen tizimlari

I Differensial tenglik tizimini ishlab chiqishning ikkita asosiy usuli:

- O'chirish usuli. Usulning mohiyati shundan iboratki, birinchi marta dam olish markazlari tizimi bitta differentsial moslama yaratilgan.

- Xarakterli hasadning yordami uchun(Bu Eyler usulining nomi).

Eng muhim farqlar uchun differentsial tenglar tizimini birinchi usulda buzish kerak. Vazifalar ongida yana bir usul sezilarli darajada tezroq, men butun amaliyotim uchun 10-20 tizimni yengib chiqdim. Ale yoga ushbu maqolaning qolgan xatboshida qisqacha ko'rib chiqilishi mumkin.

Men materialning nazariy noto'g'riligini yana bir bor so'rayman, lekin keyin men haqiqatan ham amalda o'rganishim uchun darsga faqat shu vazifalarni kiritdim. Meteorit taxtasi bilan besh marta yiqilganlarni bu erda topa olmaysiz va bunday kutilmagan hodisalar bilan ular difurlarda ixtisoslashgan tsegliniga qaytadilar.

Differensial tekislashning chiziqli bir jinsli tizimlari

Differensial tengliklarning eng oddiy bir jinsli tizimi quyidagicha ko'rinishi mumkin:

Vlasne, barcha amaliy bo'lganlar shunday tizimni qo'llashlari va o'zaro turmush qurishlari mumkin.

Bu yerda nima bor?

- Tse raqami (koeffitsientlar soni). Eng oddiy raqamlar. Zokrema, bir, kílka chi navit usí koefítsíênti nolga teng bo'lishi mumkin. Va shunga qaramay, bunday sovg'alar kamdan-kam hollarda beriladi, shuning uchun raqamlar ko'pincha nolga teng emas.

Menda funktsiyalar yo'q. Mustaqil o'zgarish sifatida ma'ruzachi o'zgartiriladi - tse "eng katta farqli tenglik uchun nibi iks".

I – birinchi pokhídny nevydomih funktsyy i vydpovídno.

Differensial tengliklar tizimini bo'lish nimani anglatadi?

Tse bilishni anglatadi shunday yoqadigan funksiyalar birinchisiga va ikkinchisiga tizimni tenglashtirish. Yak bachite, printsip allaqachon zvichaynga o'xshaydi chiziqli chiziqlar tizimlari. Faqat ildizlar raqamlar, lekin bu erda funktsiyalar mavjud.

Men dalillarni topdim, ko'rganimda yozing differensial rivnyanning yovvoyi rozv'yazannya tizimi:

Jingalak ibodatxonalarda! Bu funktsiyalar "bir xil jabduqda".

DC tizimi uchun siz Koshning vazifasini o'zgartirishingiz mumkin, shuning uchun siz bilasiz shaxsiy tizimni ko'rish, Kob aqllaridan nima so'rashimiz kerak. Tizimning shaxsiy yechimi jingalak qo'llar bilan ham yozilishi mumkin.

Keyinchalik ixchamroq, tizimni quyidagicha qayta yozish mumkin:

Ale, differensial bo'lib bo'yalgan keyingilar bilan yechimning an'anaviy eng keng versiyasi davomida, shuning uchun mehribon bo'ling, darhol keyingi belgiga qo'ng'iroq qiling:
ta - birinchi tartibli pokhídí;
bu - boshqa buyurtmaga o'xshash.

dumba 1

Differensial tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasini yeching boshoq aqllari bilan, .

Yechim: Vazifalarda, ko'pincha, tizim kob aqllari bilan ishlaydi, shuning uchun qo'llanilishi mumkin bo'lgan barcha darslar Kosh topshiriqlaridan bo'ladi. Ale, bu muhim emas, yovvoyi qarorning parchalari, qanday borish kerak, bilish uchun hamma narsani birma-bir bajaring.

Virishima tizimi o'chirish usuli. O'ylaymanki, usulning mohiyati tizimni bitta differentsial darajaga qisqartirishdir. Va differensial ekvivalent, men ishonamanki, siz yaxshi ish qilyapsiz.

Yechim algoritmi standart:

1) Beremo tizimning boshqa darajasi va vislovlyuemo z yangi:

Dane, biz qarorning oxiriga yaqinlashishimiz kerak va men uni yulduz bilan taniyman. Yordamchilarda, buvay, 500 ta belgi tiqilib turibdi, keyin biz so'raymiz: "formula (253) uchun ..." va bu erda formulani 50 tomondan orqaga qarab qidiring. Xo'sh, meni bitta belgi (*) o'rab oladi.

2) Olib tashlanganning huquqbuzar qismiga ko'ra farqlash:

"Zarmlar" bilan jarayon quyidagicha ko'rinadi:

Muhimi, tushunishning ushbu oddiy lahzasi uchun men boshqa hech narsaga aldanmayman.

3) Tasavvur qiling tizimning birinchi darajasida:

I biz maksimal so'rovni bajaramiz:

Otrimane eng muhimi birma-bir boshqa tartibga teng doimiy koeffitsientlardan. "Zarbalar" bilan shunday yoziladi: .

- otrimano razne deisne root, bunga:
.

Funktsiyalardan biri topildi, orqaga qayting.

Shunday qilib, biz "yaxshi" diskriminant bilan xarakterli darajada teng bo'lganimizni hurmat qilish uchun, shuningdek, biz asoslash va kechirim bilan hech narsani aralashtirmadik.

4) Funktsiya uchun Idemo. Qaysi biri uchun funktsiyani allaqachon bilaman va її pokhídnu bilish. Farqlash:

Tasavvur qiling i tenglashtirish (*):

Abo qisqaroq:

5) Buzg'unchi funktsiyalar topildi, biz tizimning umumiy yechimini yozamiz:

Taklif: shaxsiy yechim:

Otriman uchun buni qilish oson, uni qayta ko'rib chiqish oson, biz uni uch bosqichda qayta ko'rib chiqishimiz mumkin:

1) Kob ongining haqiqatlari nima ekanligini tekshiring:

Qo'ziqorinlardan xafa bo'lib, g'alaba qozonishni o'ylang.

2) Tizimning birinchi qatorini bilishdan mamnun ekanligimni tasdiqlang.

Beremo z vídpovídí funktsiyasi va vv pokhídnu biling:

Tasavvur qiling , і tizimning birinchi darajasida:

To'g'ri to'g'rilik olib tashlandi, keyinchalik u tizimning birinchi darajasini qondirishi aniqlandi.

3) Qayta ko'rib chiqing, chi tizimning boshqasiga ekvivalentligini isbotlang

Biz hayotiy funktsiyani qabul qilamiz va bu yaxshiroq bo'lishini bilamiz:

Tasavvur qiling , і boshqa teng tizim:

To'g'ri tenglik olib tashlandi, keyinchalik tizimning boshqa tengligi qondirilganligi aniqlandi.

Tekshirish tugallandi. Nima buziladi? Teskari vykonannya cob aqllari. I, eng muhimi, shaxsiy yechim topilganligini ko'rsatadi mamnun teri tashqi tizimni tenglashtirish .

Xuddi shunday, bu radikal yechimni bekor qilish mumkin , qayta tekshirish qisqaroq bo'ladi, shardlar kob aqllarini qayta tekshirish kerak bo'ladi.

Keling, mukammal tizimga murojaat qilaylik va quvvat manbai qo'ying. Yechim shunday boshlandi: biz boshqa tizimni oldik va uni osib qo'ydik. Va qanday qilib iks emas, balki igrek gapirish mumkin? Bizga ma'lumki, biz hech narsa bermaymiz - bu odam uchun o'ng tomonda ê va "gravets" va "iks" bor, shuning uchun biz tizimning echimini o'zgartirishdan va olib kelishdan qo'rqmaymiz. bitta differentsial tenglamaning oxirigacha.

Oziq-ovqat do'sti. Qanday qilib boshqasidan emas, balki tizimning birinchi darajasidan qaror qabul qilish mumkin? Bu mumkin, mumkin. Biz tizimning birinchi darajasini ko'rib chiqdik: . Bizda ikkita “iksi” va birovning “qabri” bor, shuning uchun “iksi” orqali “qabr” deyish kerak: . Dali birinchi narsa yomon ekanligini biladi: . Keling, taklifga amal qilaylik і boshqa teng tizim. Qaror ko'proq teng bo'ladi, bir xil vakolatga ega, shuning uchun biz birinchi navbatda funktsiyani bilamiz, keyin esa bilamiz.

Men o'zim, boshqa yo'l bilan, mustaqil qarash uchun namuna bo'laman:

dumba 2

Differensial tengliklar tizimining alohida yechimini bilish, bu ongni quvontiradi.

Dars sabab bo'lgan qarorni ko'rib, birinchi kundan boshlab ifoda etildi Va butun raqs virazu nurida boshlanadi. Nuqtalarga qaramasdan, nuqtalar uchun oyna echimini mustaqil ravishda bajarishga harakat qiling.

Boshqa teng vrazity dan - Siz Butt No 1 yo'li bilan ichish mumkin (Zvernyt hurmat, scho vrazit síd o'zini "iks"). Ammo bu yo'l unchalik oqilona emas, chunki bizda juda ko'p donolik bor, biz buni qanday qilishni bilmaymiz.

Differensial tekislashning chiziqli geterogen tizimlari

Amalda bir xil, faqat yechim arzon bo'ladi.

Differensial tenglashtirishning heterojen tizimi, chunki ko'p hollarda u sizga zavdannyada tanish bo'lishi mumkin, quyidagicha ko'rinishi mumkin:

Bir hil tizim bilan bog'langan teri darajasi "o'sha" shaklida yolg'on gapirishni yoqtiradigan deuce funktsiyasi bilan to'ldiriladi. Funktsiyalar konstantalar (chunki ulardan biri nolga teng emas), darajalar, sinuslar, kosinuslar va boshqalar bo'lishi mumkin.

dumba 3

Chiziqli doimiy oqim tizimining xususiy yechimini bilish

Yechim: Differensial tengliklarning chiziqli bir hil bo'lmagan tizimi berilganda, konstantalar "qo'shimchalar" vazifasini bajaradi. Vikoristovuemo o'chirish usuli, o'z algoritmi bo'yicha qaror yana qabul qilinadi. Turli xillik uchun men o'zimni birinchi tengdan boshlayman.

1) Tizimning birinchi darajasidan buni ko'rish mumkin:

Muhim qarama-qarshilik, men uni yana yulduz bilan belgilayman. Kamonlarni yaxshiroq kesmang, nega fraksiyalarni to'ldirmaysiz?

Va yana bir bor hurmat qiling, "qabrlar" ning o'zi birinchi tenglikdan - ikkita "ixi" doimiysi orqali ifodalanadi.

2) buzuvchi qism bo'yicha farqlash:

Doimiy (uchta) paydo bo'ldi, unga doimiylar nolga teng.

3) Tasavvur qiling і boshqa tizim teng :

O'rnatish tugallangach, kadrlar qo'shiladi, qaysi teri qismi uchun tenglashtirish 5 ga ko'paytiriladi:

Endi biz aytamiz:

Natijada, u olindi chiziqli heterojen boshqa tartibga teng doimiy koeffitsientlardan. Eksa, mohiyatiga ko'ra va barcha vídmíníst víd víd víríshennya odnorodnoí̈ tizimi rivnyan, oldingi xatboshida razíbrannogo.

Eslatma: Geterogen sistemadagi oqsil ham bir xilda teng bo'lishi mumkin..

Biz yagona bir hil tenglashtirishning chuqurroq yechimini bilamiz:

U katlanmış va virishimo xarakterli ravishda teng:

- otrimano pov'yazane murakkab ildiz, bunga:
.

Xarakterli g'ayratning ildizi yana "yaxshi" bo'ldi, demak, biz to'g'ri yo'ldamiz.

Ko'rinishda heterojen ekvivalentlikning shaxsiy yechimi shivirlanadi.
Biz do'stimni o'ldirishimni bilamiz:

Keling, heterojen tenglashtirishning chap qismida tasavvur qilaylik:

Shu tarzda:

Shuni ta'kidlash kerakki, shaxsiy yechim og'zaki ravishda osongina tanlanadi va umuman olganda, eski yorliqlarni almashtirishga ruxsat beriladi: "Shubhasiz, heterojen tenglashtirishning shaxsiy yechimi:".

Natijada:

4) Funktsiyani tekshiring. Qo'lning orqa tomonida biz allaqachon ma'lum bo'lgan funktsiyani bilamiz:

Bu unchalik ma'qul emas, lekin siz ko'pincha difurlarda bu haqda bilasiz.

Bo'ron kuchaydi va darhol to'qqizinchi to'lqin paydo bo'ladi. O'zingizni kemaga arqon bilan bog'lang.

Tasavvur qiling
i tenglashtirish (*):

5) Tizimning asosiy yechimi:

6) Biz aqlni rivojlantirishga yordam beradigan shaxsiy yechimni bilamiz :

Qolgan shaxsiy qaror:

Baxit oqi, baxtli kints tarixi kabi, endi siz erkalayotgan quyosh ostida qalqonsiz dengizsiz qayiqlarda qo'rqmasdan suzishingiz mumkin.

Taklif: shaxsiy yechim:

Nutqdan oldin, tizimni boshqa darajadan buzishni boshlash uchun, keyin hisoblash sezilarli darajada sodda bo'ladi (siz buni sinab ko'rishingiz mumkin), lekin ular saytdan nutqni tartibga solish va yozishni so'rashdi. Buni qanday ko'rasiz? =) Yana jiddiy ilovalar bo'lsin.

Misol mustaqil yechimga qaraganda oddiyroq:

dumba 4

Differensial tenglamalarning chiziqli bir xil bo'lmagan tizimini echish haqida ko'proq ma'lumotga ega bo'ling, bu esa ongning vazifasini tasdiqlaydi.

Tse zavdannya vyrishene men tomonidan bir lahza Butt No 1, ya'ni "iks" ning yana bir teng ifodasidan. Buning yechimi dars misoliga amal qilishdir.

Ko'zdan kechirilgan dumbalarda men har xil belgilarni, hal qilishning turli usullarini zastosovuvavga ishontiraman. Shunday qilib, masalan, bir xil tartibda sayohatlar uchta usulda qayd etilgan: . Kattaroq matematik uchun qandaydir vaucherlardan qo'rqishning hojati yo'q, yechim algoritmini tushunish yaxshiroqdir.

Xarakterli tekislash usuli(Eyler usuli)

Statistikaga ko'ra, differensial tengliklar tizimini xarakterli tenglashtirish yordamida hisobni to'ldirish kamdan-kam hollarda bo'ladi, oxirgi xatboshida men faqat bitta dumbani ko'rib chiqaman.

dumba 5

Differensial tengliklarning chiziqli bir jinsli tizimi berilgan

Xarakterli tenglashtirish yordamida tenglashtirish tizimining fundamental yechimini bilib oling

Yechim: Tenglar tizimiga hayron bo'lib, biz uni boshqacha tartibda joylashtirdik:

Qandaydir printsip ortida vyznachnik qo'yilgan, menimcha, hamma ko'rishi mumkin.

Bu ko'proq xarakterli teng katlanmış bo'lib, qaysi teri raqami, u ustida turadi bosh diagonali, haqiqiy parametrga qarang:

Toza nusxada, albatta, men darhol xarakterli tenglikni yozdim, yulduzlar kelganligi aniq bo'lishi uchun bosqichma-bosqich batafsil tushuntiraman.

Keling, ayyorlikni ochamiz:

Kvadrat tekislashning ildizini bilaman:

Yakshcho xarakterli teng may ikki xil haqiqiy ildiz, keyin differentsial tengliklar tizimining yakuniy yechimini ko'rish mumkin:

Biz ko'rgazma ishtirokchilarining ko'rgazmalarida koeffitsientlarni allaqachon bilamiz, biz koeffitsientlar haqidagi bilimimizni yo'qotdik.

1) Keling, ildizlarni ko'rib chiqamiz va ularni xarakteristikaga teng deb tasavvur qilamiz:

(Toza nusxadagi ikkita vyznachnikni yozib bo'lmaydi, lekin men tizimni osongina o'chirib qo'yaman)

Belgilovchi raqamlaridan ikkita noma'lumdan ikkita chiziqli tenglar tizimini tuzamiz:

Ikkala tenglikdan bitta va bir xil tenglik ajralib turadi:

Endi olish kerak kamida ma'nosi bir xil, shuning uchun ma'no katta edi. Shubhasiz, keyingi vazifa nima. Va yakscho, keyin