Додавання негативних чисел правило. Віднімання негативного числа, як правило, приклади. Правила поділу негативних чисел

Якщо говорити просто, це овочі, приготовлені у воді за спеціальним рецептом. Я розглядатиму два вихідні компоненти (овочевий салат і воду) і готовий результат – борщ. Геометрично це можна як прямокутник, у якому одна сторона позначає салат, друга сторона позначає воду. Сума цих двох сторін позначатиме борщ. Діагональ і площа такого борщового прямокутника є суто математичними поняттями і ніколи не використовуються в рецептах приготування борщу.


Як салат і вода перетворюються на борщ з погляду математики? Як сума двох відрізків може перетворитися на тригонометрію? Щоб зрозуміти це, нам знадобляться лінійні кутові функції.


У підручниках математики ви нічого не знайдете про лінійні кутові функції. Адже без них не може бути математики. Закони математики, як і закони природи, працюють незалежно від того, знаємо ми про їхнє існування чи ні.

Лінійні кутові функції – це закони складання.Подивіться, як алгебра перетворюється на геометрію, а геометрія перетворюється на тригонометрію.

Чи можна обійтись без лінійних кутових функцій? Можна, адже математики досі без них обходяться. Хитрість математиків полягає в тому, що вони завжди розповідають нам тільки про ті завдання, які вони самі вміють вирішувати, і ніколи не розповідають про ті завдання, які вони не вміють вирішувати. Дивіться. Якщо нам відомий результат додавання та один доданок, для пошуку іншого доданку ми використовуємо віднімання. Всі. Інших завдань ми не знаємо і вирішувати не вміємо. Що робити в тому випадку, якщо нам відомий тільки результат додавання і не відомі обидва доданки? У цьому випадку результат додавання потрібно розкласти на два складові за допомогою лінійних кутових функцій. Далі ми вже самі вибираємо, яким може бути один доданок, а лінійні кутові функції показують, яким має бути другий доданок, щоб результат додавання був саме таким, який нам потрібен. Таких пар доданків може бути безліч. У повсякденному житті ми чудово обходимося без розкладання суми, нам достатньо віднімання. А ось при наукових дослідженнях законів природи розкладання суми на доданки може стати в нагоді.

Ще один закон додавання, про який математики не люблять говорити (ще одна їхня хитрість), вимагає, щоб доданки мали однакові одиниці виміру. Для салату, води та борщу це можуть бути одиниці виміру ваги, обсягу, вартості або одиниці виміру.

На малюнку показано два рівні відмінностей для математичних. Перший рівень - це відмінності в області чисел, які позначені a, b, c. Це те, чим займаються математики. Другий рівень - це відмінності в області одиниць виміру, які показані у квадратних дужках та позначені буквою U. Цим займаються фізики. Ми можемо розуміти третій рівень - розбіжності у сфері описуваних об'єктів. Різні об'єкти можуть мати однакову кількість однакових одиниць виміру. Наскільки це важливо, ми можемо побачити з прикладу тригонометрії борщу. Якщо ми додамо нижні індекси до однакового позначення одиниць вимірювання різних об'єктів, то зможемо точно говорити, яка математична величина описує конкретний об'єкт і як вона змінюється з часом або у зв'язку з нашими діями. Літерою Wя позначу воду, буквою Sпозначу салат і буквою B- Борщ. Ось як виглядатимуть лінійні кутові функції для борщу.

Якщо ми візьмемо якусь частину води та якусь частину салату, разом вони перетворяться на одну порцію борщу. Тут я пропоную вам трохи відволіктися від борщу та згадати далеке дитинство. Пам'ятаєте, як нас вчили складати разом зайчиків та качечок? Потрібно було знайти, скільки всього звірят вийде. Що ж тоді нас вчили робити? Нас вчили відривати одиниці виміру від чисел і складати числа. Так, будь-яке число можна скласти з іншим будь-яким числом. Це прямий шлях до аутизму сучасної математики - ми робимо незрозуміло, що, незрозуміло навіщо і дуже погано розуміємо, як це стосується реальності, адже з трьох рівнів відмінності математики оперують лише одним. Правильніше буде навчитися переходити від одних одиниць виміру до інших.

І зайчиків, і качечок, і звірят можна порахувати в штуках. Одна загальна одиниця виміру для різних об'єктів дозволяє нам скласти їх разом. Це дитячий варіант завдання. Погляньмо на схоже завдання для дорослих. Що вийде, якщо скласти зайчиків та гроші? Тут можна запропонувати два варіанти рішення.

Перший варіант. Визначаємо ринкову вартість зайчиків і складаємо її з наявною грошовою сумою. Ми отримали загальну вартість нашого багатства у грошовому еквіваленті.

Другий варіант. Можна кількість кроликів скласти з кількістю наявних у нас грошових купюр. Ми отримаємо кількість рухомого майна у штуках.

Як бачите, той самий закон додавання дозволяє отримати різні результати. Все залежить від того, що ми хочемо знати.

Але повернемось до нашого борщу. Тепер ми можемо подивитися, що відбуватиметься за різних значень кута лінійних кутових функцій.

Кут дорівнює нулю. Ми маємо салат, але немає води. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу також дорівнює нулю. Це зовсім не означає, що нуль борщу дорівнює нулю води. Нуль борщу може бути при нулі салату (прямий кут).


Особисто для мене це основний математичний доказ того факту, що . Нуль не змінює число під час додавання. Це відбувається тому, що саме додавання неможливе, якщо є тільки один доданок і відсутній другий доданок. Ви до цього можете ставитися як завгодно, але пам'ятайте - всі математичні операції з нулем придумали самі математики, тому відкидайте свою логіку і тупо зубріть визначення, придумані математиками: "поділ на нуль неможливий", "будь-яке число, помножене на нуль, дорівнює нулю" , "за виколом точки нуль" та інше марення. Достатньо один раз запам'ятати, що нуль не є числом, і у вас вже ніколи не виникне питання, чи є нуль натуральним числом чи ні, тому що таке питання взагалі позбавляється всякого сенсу: як можна вважати числом те, що числом не є. Це все одно, що питати, до якого кольору віднести невидимий колір. Додавати нуль до числа - це те саме, що фарбувати фарбою, якої немає. Сухим пензликом помахали і говоримо всім, що "ми пофарбували". Але я трохи відволікся.

Кут більший за нуль, але менше сорока п'яти градусів. В нас багато салату, але мало води. В результаті ми отримаємо густий борщ.

Кут дорівнює сорок п'ять градусів. Ми маємо в рівних кількостях воду та салат. Це ідеальний борщ (хай вибачать мені кухарі, це просто математика).

Кут більше сорока п'яти градусів, але менше дев'яноста градусів. У нас багато води та мало салату. Вийде рідкий борщ.

Прямий кут. Ми маємо воду. Від салату залишилися лише спогади, оскільки кут ми продовжуємо вимірювати від лінії, яка колись означала салат. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу дорівнює нулю. У такому разі, тримайтеся та пийте воду, поки вона є)))

Ось. Якось так. Я можу тут розповісти й інші історії, які будуть більш доречними.

Двоє друзів мали свої частки у спільному бізнесі. Після вбивства одного з них все дісталося іншому.

Поява математики на планеті.

Всі ці історії мовою математики розказані за допомогою лінійних кутових функцій. Якось іншим разом я покажу вам реальне місце цих функцій у структурі математики. А поки що, повернемося до тригонометрії борщу та розглянемо проекції.

субота, 26 жовтня 2019 р.

середа, 7 серпня 2019 р.

Завершуючи розмову про , потрібно розглянути безліч. Дало в тому, що поняття "нескінченність" діє на математиків, як удав на кролика. Тремтливий жах перед нескінченністю позбавляє математиків здорового глузду. Ось приклад:

Першоджерело знаходиться. Альфа означає дійсне число. Знак рівності в наведених виразах свідчить про те, що якщо до нескінченності додати число або нескінченність, нічого не зміниться, в результаті вийде така сама нескінченність. Якщо в якості прикладу взяти безліч натуральних чисел, то розглянуті приклади можна представити в такому вигляді:

Для наочного доказу своєї правоти математики вигадали багато різних методів. Особисто я дивлюся на всі ці методи, як на танці шаманів із бубнами. По суті, всі вони зводяться до того, що або частина номерів не зайнята і в них заселяються нові гості, або частину відвідувачів викидають у коридор, щоб звільнити місце для гостей (дуже навіть по-людськи). Свій погляд на подібні рішення я виклав у формі фантастичного оповідання про Блондинку. На чому ґрунтуються мої міркування? Переселення нескінченної кількості відвідувачів потребує багато часу. Після того, як ми звільнили першу кімнату для гостя, один із відвідувачів завжди буде йти коридором зі свого номера до сусіднього до кінця століття. Звичайно, фактор часу можна тупо ігнорувати, але це вже буде з розряду "дурням закон не писаний". Все залежить від того, чим ми займаємося: підганяємо реальність під математичні теорії чи навпаки.

Що ж таке "нескінченний готель"? Нескінченний готель - це готель, де завжди є будь-яка кількість вільних місць, незалежно від того, скільки номерів зайнято. Якщо всі номери в нескінченному коридорі для відвідувачів зайняті, є інший нескінченний коридор з номерами для гостей. Таких коридорів буде безліч. При цьому у "нескінченного готелю" нескінченна кількість поверхів у нескінченній кількості корпусів на нескінченній кількості планет у нескінченній кількості всесвітів, створених нескінченною кількістю Богів. Математики ж не здатні відсторонитися від банальних побутових проблем: Бог-Аллах-Будда – завжди лише один, готель – він один, коридор – лише один. Ось математики й намагаються підтасовувати порядкові номери готельних номерів, переконуючи нас у тому, що можна "впхнути непохитне".

Логіку своїх міркувань я вам продемонструю на прикладі нескінченної множини натуральних чисел. Для початку потрібно відповісти на дуже просте запитання: скільки множин натуральних чисел існує одне чи багато? Правильного відповіді це питання немає, оскільки числа придумали ми самі, у Природі чисел немає. Так, Природа чудово вміє рахувати, але для цього вона використовує інші математичні інструменти, не звичні для нас. Як природа вважає, я вам розповім в інший раз. Оскільки числа придумали ми, ми самі вирішуватимемо, скільки множин натуральних чисел існує. Розглянемо обидва варіанти, як і належить справжнім ученим.

Варіант перший. "Нехай нам дано" одне-єдине безліч натуральних чисел, яке безтурботно лежить на поличці. Беремо з полички це безліч. Все, інших натуральних чисел на поличці не залишилося і взяти їх нема де. Ми не можемо до цієї множини додати одиницю, оскільки вона в нас уже є. А якщо дуже хочеться? Без проблем. Ми можемо взяти одиницю з уже взятої нами множини і повернути її на поличку. Після цього ми можемо взяти з полички одиницю і додати її до того, що залишилося. В результаті ми знову отримаємо безліч натуральних чисел. Записати всі наші маніпуляції можна так:

Я записав дії в системі алгебри позначень і в системі позначень, прийнятої в теорії множин, з детальним перерахуванням елементів множини. Нижній індекс вказує на те, що багато натуральних чисел у нас одне і єдине. Виходить, що безліч натуральних чисел залишиться незмінним тільки в тому випадку, якщо відняти одиницю і додати цю ж одиницю.

Варіант другий. У нас на поличці лежить багато різних нескінченних множин натуральних чисел. Наголошую - РІЗНИХ, не дивлячись на те, що вони практично не відрізняються. Беремо одну з цих множин. Потім з іншої множини натуральних чисел беремо одиницю і додаємо до вже взятої нами множини. Ми можемо навіть скласти дві множини натуральних чисел. Ось що в нас вийде:

Нижні індекси "один" і "два" вказують на те, що ці елементи належали різним множинам. Так, якщо до нескінченної множини додати одиницю, в результаті вийде теж нескінченна множина, але вона не буде такою ж, як початкова множина. Якщо до однієї нескінченної множини додати іншу нескінченну множину, в результаті вийде нова нескінченна множина, що складається з елементів перших двох множин.

Багато натуральних чисел використовується для рахунку так само, як лінійка для вимірювань. Тепер уявіть, що до лінійки ви додали один сантиметр. Це вже буде інша лінійка, яка не дорівнює початковій.

Ви можете приймати чи не приймати мої міркування – це ваша особиста справа. Але якщо колись ви зіткнетеся з математичними проблемами, подумайте, чи не йдете ви стежкою хибних міркувань, протоптаною поколіннями математиків. Адже заняття математикою передусім формують у нас стійкий стереотип мислення, а вже потім додають нам розумових здібностей (або навпаки, позбавляють нас вільнодумства).

pozg.ru

неділя, 4 серпня 2019 р.

Дописував постскриптум до статті про і побачив у Вікіпедії цей чудовий текст:

Читаємо: "...багата теоретична основа математики Вавилону у відсутності цілісного характеру і зводилася до набору розрізнених прийомів, позбавлених загальної системи та доказової бази."

Вау! Які ми розумні та як добре можемо бачити недоліки інших. А чи слабко нам подивитися на сучасну математику в такому ж розрізі? Злегка перефразовуючи наведений текст, особисто мені вийшло таке:

Багата теоретична основа сучасної математики немає цілісного характеру і зводиться до набору розрізнених розділів, позбавлених загальної системи та доказової бази.

За підтвердженням своїх слів я далеко ходити не буду - має мову та умовні позначення, відмінні від мови та умовних позначень багатьох інших розділів математики. Одні й самі назви у різних розділах математики можуть мати різний сенс. Найбільш очевидним ляпам сучасної математики хочу присвятити цілий цикл публікацій. До скорої зустрічі.

субота, 3 серпня 2019 р.

Як поділити множину на підмножини? Для цього необхідно ввести нову одиницю виміру, присутню в частині елементів обраної множини. Розглянемо приклад.

Нехай у нас є безліч А, Що складається з чотирьох людей. Сформовано цю множину за ознакою "люди" Позначимо елементи цієї множини через букву а, нижній індекс з цифрою вказуватиме на порядковий номер кожної людини у цій множині. Введемо нову одиницю виміру "статевий ознака" і позначимо її літерою b. Оскільки статеві ознаки властиві всім людям, множимо кожен елемент множини Ана статеву ознаку b. Зверніть увагу, що тепер наша безліч "люди" перетворилася на безліч "люди зі статевими ознаками". Після цього ми можемо розділити статеві ознаки на чоловічі bmта жіночі bwстатеві ознаки. Ось тепер ми можемо застосувати математичний фільтр: вибираємо один із цих статевих ознак, байдуже який - чоловічий чи жіночий. Якщо вона присутня у людини, тоді множимо її на одиницю, якщо такої ознаки немає – множимо її на нуль. А далі застосовуємо звичайну шкільну математику. Дивіться, що вийшло.

Після множення, скорочень і перегрупувань, ми отримали дві підмножини: підмножина чоловіків Bmі підмножина жінок Bw. Приблизно так само міркують математики, коли застосовують теорію множин на практиці. Але в деталі вони нас не присвячують, а видають готовий результат - "безліч людей складається з підмножини чоловіків і підмножини жінок". Природно, у вас може виникнути питання, наскільки правильно застосовано математику у викладених вище перетвореннях? Смію вас запевнити, по суті перетворень зроблено все правильно, достатньо знати математичне обґрунтування арифметики, булевої алгебри та інших розділів математики. Що це таке? Якось іншим разом я вам про це розповім.

Що стосується надмножин, то об'єднати дві множини в одну надмножину можна, підібравши одиницю виміру, що є у елементів цих двох множин.

Як бачите, одиниці виміру та звичайна математика перетворюють теорію множин на пережиток минулого. Ознакою те, що з теорією множин не все гаразд, і те, що з теорії множин математики придумали власну мову і позначення. Математики вчинили так, як колись робили шамани. Тільки шамани знають, як "правильно" застосовувати їх "знання". Цим "знанням" вони навчають нас.

На закінчення, я хочу показати вам, як математики маніпулюють з .

понеділок, 7 січня 2019 р.

У п'ятому столітті до нашої ери давньогрецький філософ Зенон Елейський сформулював свої знамениті апорії, найвідомішою з яких є апорія "Ахілес і черепаха". Ось як вона звучить:

Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахілес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.

У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі та дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.
Покажу процес на прикладі. Відбираємо "червоне тверде в пухирцю" - це наше "ціле". При цьому ми бачимо, що ці штучки є з бантиком, а без бантика. Після цього ми відбираємо частину "цілого" і формуємо безліч "з бантиком". Ось так шамани добувають собі корм, прив'язуючи свою теорію множин до реальності.

А тепер зробимо маленьку пакість. Візьмемо "тверде в пухирцю з бантиком" і об'єднаємо ці "цілі" за колірною ознакою, відібравши червоні елементи. Ми отримали безліч "червоних". Тепер питання на засипку: отримані множини "з бантиком" і "червоне" - це одна й та сама множина чи дві різні множини? Відповідь знають лише шамани. Точніше самі вони нічого не знають, але як скажуть, так і буде.

Цей простий приклад показує, що теорія множин абсолютно марна, коли йдеться про реальність. У чому секрет? Ми сформували безліч "червоне тверде в пухирцю з бантиком". Формування відбувалося за чотирма різними одиницями виміру: колір (червоне), міцність (тверде), шорсткість (у пухирцю), прикраси (з бантиком). Тільки сукупність одиниць виміру дозволяє адекватно описувати реальні об'єкти мовою математики.. Ось як це виглядає.

Літера "а" з різними індексами позначає різні одиниці виміру. У дужках виділено одиниці виміру, якими виділяється " ціле " попередньому етапі. За дужки винесена одиниця виміру, якою формується безліч. Останній рядок показує остаточний результат - елемент множини. Як бачите, якщо застосовувати одиниці виміру для формування множини, то результат не залежить від порядку наших дій. А це вже математика, а не танці шаманів із бубнами. Шамани можуть "інтуїтивно" прийти до такого ж результату, аргументуючи його "очевидністю", адже одиниці виміру не входять до їхнього "наукового" арсеналу.

За допомогою одиниць виміру дуже легко розбити одну або об'єднати кілька множин в одну надмножину. Давайте уважніше розглянемо алгебру цього процесу.

Як відомо віднімання - це дія, протилежна додавання.

Якщо "a" і "b" - позитивні числа, то відняти від числа "a" число "b", значить знайти таке число "c", яке при додаванні "з" числом "b" дає число "a".

Визначення віднімання зберігається всім раціональних чисел. Тобто віднімання позитивних та негативних чиселможна замінити додаванням.

Щоб з одного числа відняти інше, потрібно до зменшуваного додати протилежне число віднімається.

Або інакше можна сказати, що віднімання числа "b" - це теж саме додавання, але з числом протилежним числу "b".

Варто запам'ятати вирази нижче.

Правила віднімання негативних чисел

Як видно з прикладів вище віднімання числа "b" - це додавання з числом протилежним числу "b".

Це правило зберігається не тільки при відніманні з більшого числа меншого, але й дозволяє від меншого числа відняти більше, тобто завжди можна знайти різницю двох чисел.

Різниця може бути позитивним числом, негативним чи числом нуль.

Приклади віднімання негативних та позитивних чисел.

Зручно запам'ятати правило знаківщо дозволяє зменшити кількість дужок.

Знак «плюс» не змінює знак числа, тому, якщо перед дужкою стоїть плюс, то знак у дужках не змінюється.

Знак мінус перед дужками змінює знак числа в дужках на протилежний.

З рівностей видно, якщо перед і всередині дужок стоять однакові знаки, то отримуємо « + », і якщо знаки різні, то отримуємо « − ».

Правило знаків зберігається у тому разі, якщо у дужках не одне число, а алгебраїчна сума чисел.

Зверніть увагу, якщо в дужках стоїть кілька чисел і перед дужками стоїть знак мінус, то повинні змінюватися знаки перед усіма числами в цих дужках.

Щоб запам'ятати правило знаків, можна скласти таблицю визначення знаків числа.

Розподіл негативних чисел

Як виконувати розподіл негативних чиселлегко зрозуміти, згадавши, що розподіл - це дія, зворотна до множення.

Якщо "a" і "b" позитивні числа, то розділити число "a" на число "b", значить знайти таке число "с", яке при множенні на "b" дає число "a".

Дане визначення поділу діє будь-яких раціональних чисел, якщо дільники відмінні від нуля.

Тому, наприклад, поділити число «−15» на число 5 - отже, знайти таке число, яке при множенні на число 5 дає число «-15». Таким числом буде «−3», оскільки

Приклади поділу раціональних чисел.

  1. 10: 5 = 2, так як 12 · 5 = 10
  2. (−4) : (−2) = 2 , оскільки 2 · (−2) = −4
  3. (−18) : 3 = −6 , оскільки (−6) · 3 = −18
  4. 12: (−4) = −3 , оскільки (−3) · (−4) = 12

З прикладів видно, що час двох чисел з однаковими знаками - число позитивне (приклади 1, 2), а приватне двох чисел з різними знаками - число негативне (приклади 3, 4).

Правила поділу негативних чисел

Щоб знайти приватний модуль, потрібно розділити модуль діленого на модуль дільника.

Отже, щоб розділити два числа з однаковими знаками, Треба:

  • модуль поділеного розділити на модуль дільника;
  • перед результатом поставити знак "+".
  • Приклади розподілу чисел з однаковими знаками:

    Щоб розділити два числа з різними знаками, Треба:

  • перед результатом поставити знак "−".
  • Приклади поділу чисел із різними знаками:

    Для визначення приватного знака можна також користуватися наступною таблицею.

    Правило знаків при розподілі

    При обчисленні «довгих» виразів, у яких фігурують лише множення та розподіл, користуватися правилом знаків дуже зручно. Наприклад, для обчислення дробу

    Можна звернути увагу, що в чисельнику два знаки мінус, які при множенні дадуть плюс. Також у знаменнику три знаки "мінус", які при множенні дадуть "мінус". Тому наприкінці результат вийде зі знаком мінус.

    Скорочення дробу (подальші дії з модулями чисел) виконується так само, як і раніше:

    Приватне від розподілу нуля на число, відмінне від нуля, дорівнює нулю.

    Ділити на нуль НЕ МОЖНА!

    Усі відомі раніше правила розподілу на одиницю діють і безліч раціональних чисел.

  • а: 1 = a
  • а: (−1) = −a
  • а: a = 1
  • Де «а» - будь-яке раціональне число.

    Залежності між результатами множення та поділу, відомі для позитивних чисел, зберігаються і для всіх раціональних чисел (крім числа нуль):

  • якщо a · b = с; a = с: b; b = с: a;
  • якщо a: b = с; a = с · b; b = a: c
  • Дані залежності використовуються для знаходження невідомого множника, діленого та дільника (при вирішенні рівнянь), а також для перевірки результатів множення та поділу.

    Приклад знаходження невідомого.

    Знак «мінус» у дробах

    Розділимо число "-5" на "6" і число "5" на "-6".

    Нагадуємо, що риса в записі звичайного дробу - це той самий знак поділу, тому можна записати приватну кожну з цих дій у вигляді негативного дробу.

    Таким чином знак «мінус» у дробі може бути:

    • перед дробом;
    • у чисельнику;
    • у знаменнику.
    • При записі негативних дробів знак "мінус" можна ставити перед дробом, переносити його з чисельника в знаменник або з знаменника в чисельник.

      Це часто використовується при виконанні дій з дробами, полегшуючи обчислення.

      приклад. Зверніть увагу, що після винесення знака мінуса перед дужкою ми з більшого модуля віднімаємо менший за правилами складання чисел з різними знаками.

      Використовуючи описану властивість перенесення знака в дроби, можна діяти, не з'ясовуючи, модуль якого з цих дробових чисел більше.

      Частки, прості дроби, визначення, позначення, приклади, події з дробами.

      Ця стаття про звичайні дроби. Тут ми познайомимося з поняттям частки цілого, яке приведе нас до визначення звичайного дробу. Далі зупинимося на прийнятих позначеннях для звичайних дробів і наведемо приклади дробів, скажімо про чисельник та знаменник дробу. Після цього дамо визначення правильних та неправильних, позитивних та негативних дробів, а також розглянемо положення дробових чисел на координатному промені. На закінчення перерахуємо основні події з дробами.

      Навігація на сторінці.

      Частки цілого

      Спочатку введемо поняття частки.

      Припустимо, що ми маємо певний предмет, складений із кількох абсолютно однакових (тобто, рівних) частин. Для наочності можна, наприклад, яблуко, розрізане кілька рівних частин, чи апельсин, що з кількох рівних часточок. Кожну з цих рівних частин, що становлять цілий предмет, називають часткою цілогоабо просто часткою.

      Зауважимо, що частки бувають різні. Пояснимо це. Нехай у нас є два яблука. Розріжемо перше яблуко на дві рівні частини, а друге – на шість рівних частин. Зрозуміло, частка першого яблука відрізнятиметься від частки другого яблука.

      Залежно від кількості часток, що становлять цілий предмет, ці частки мають свої назви. Розберемо назви часток. Якщо предмет становлять дві частки, кожна їх називається одна друга частка цілого предмета; якщо предмет становлять три частки, то кожна з них називається одна третя частка, і таке інше.

      Одна друга частка має спеціальну назву – половина. Одна третя частка називається третю, а одна четверна частка – чвертю.

      Для стислості запису було введено такі позначення часток. Одну другу частку позначають як або 1/2, одну третю частку – як або 1/3; одну четверту частку - як або 1/4 і так далі. Зазначимо, що запис із горизонтальною характеристикою використовується частіше. Для закріплення матеріалу наведемо ще один приклад: запис означає одну сто шістдесят сьому частку цілого.

      Поняття частки природно поширюється з предметів на величини. Наприклад, одним із заходів вимірювання довжини є метр. Для вимірювання довжин менших за метр можна використовувати частки метра. Так можна скористатися, наприклад, половиною метра або десятою або тисячною часткою метра. Аналогічно застосовуються частки інших величин.

      Звичайні дроби, визначення та приклади дробів

      Для опису кількості часток використовуються звичайні дроби. Наведемо приклад, який дозволить нам підійти до визначення звичайних дробів.

      Нехай апельсин складається з 12 часток. Кожна частка у разі представляє одну дванадцяту частку цілого апельсина, тобто, . Дві частки позначимо як , три частки - як , і так далі, 12 часток позначимо як . Кожен із наведених записів називають звичайним дробом.

      Тепер дамо спільне визначення звичайних дробів.

      Звичайні дроби– це записи виду (або m/n), де m та n – будь-які натуральні числа.

      Озвучене визначення звичайних дробів дозволяє навести приклади звичайних дробів: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . А ось записи не підходять під озвучене визначення звичайних дробів, тобто не є звичайними дробами.

      Чисельник і знаменник

      Для зручності у звичайному дробі розрізняють чисельник та знаменник.

      Чисельникзвичайного дробу (m/n) – це натуральне число m.

      Знаменникзвичайного дробу (m/n) – це натуральне число n .

      Отже, чисельник розташований зверху над межею дробу (ліворуч від похилої межі), а знаменник – знизу під межею дробу (праворуч від похилої межі). Для прикладу наведемо звичайний дріб 17/29, чисельником цього дробу є число 17, а знаменником - число 29.

      Залишилося обговорити зміст, укладений у чисельнику і знаменнику звичайного дробу. Знаменник дробу показує, з скільки частин складається один предмет, чисельник у свою чергу вказує кількість таких часток. Наприклад, знаменник 5 дробу 12/5 означає, що один предмет складається з п'яти часток, а чисельник 12 означає, що взято 12 таких часток.

      Натуральне число як дріб із знаменником 1

      Знаменник звичайного дробу може дорівнювати одиниці. У цьому випадку можна вважати, що предмет неподільний, іншими словами, є чимось цілим. Чисельник такого дробу вказує, скільки цілих предметів взято. Таким чином, звичайний дріб виду m/1 має сенс натурального числа m. Так ми довели справедливість рівності m/1=m .

      Перепишемо останню рівність так: m=m/1. Ця рівність дає нам можливість будь-яке натуральне число m представляти у вигляді звичайного дробу. Наприклад, число 4 – це дріб 4/1, а число 103498 дорівнює дробу 103498/1.

      Отже, будь-яке натуральне число m можна представити у вигляді звичайного дробу зі знаменником 1 як m/1, а будь-який звичайний дріб виду m/1 можна замінити натуральним числом m.

      Чорта дробу як знак розподілу

      Уявлення вихідного предмета як n часток є нічим іншим як поділ на n рівних частин. Після того, як предмет розділений на n частиною, ми можемо розділити порівну між n людьми – кожен отримає по одній частці.

      Якщо ж у нас є спочатку m однакових предметів, кожен з яких розділений на n частиною, то ці m предметів ми можемо порівну поділити між n людьми, роздавши кожній людині по одній частці кожного з m предметів. При цьому у кожної людини буде m часткою 1/n, а m часткою 1/n дає звичайний дріб m/n. Таким чином, звичайний дріб m/n можна застосовувати для позначення розподілу предметів m між n людьми.

      Так ми отримали явний зв'язок між звичайними дробами та поділом (дивіться загальне уявлення про розподіл натуральних чисел). Цей зв'язок виражається в наступному: рису дробу можна розуміти як знак розподілу, тобто m/n=m:n .

      За допомогою звичайного дробу можна записати результат поділу двох натуральних чисел, для яких не виконується поділ націло. Наприклад, результат розподілу 5 яблук на 8 чоловік можна записати як 5/8, тобто, кожному дістанеться п'ять восьмих часток яблука: 5:8 = 5/8.

      Рівні та нерівні звичайні дроби, порівняння дробів

      Досить природною дією є порівняння звичайних дробів, адже зрозуміло, що 1/12 апельсина відрізняється від 5/12, а 1/6 частка яблука така сама, як інша 1/6 частка цього яблука.

      В результаті порівняння двох звичайних дробів виходить один із результатів: дроби або рівні, або не рівні. У першому випадку ми маємо рівні звичайні дроби, а у другому – нерівні звичайні дроби. Дамо визначення рівних та нерівних звичайних дробів.

      Два звичайні дроби a/b та c/d рівні, якщо справедлива рівність a d = b c .

      www.cleverstudents.ru

      Урок 3. Як працює комп'ютер

      Для успішного «спілкування» з комп'ютером шкідливо сприймати його як чорну скриньку, яка ось-ось видасть щось несподіване. Щоб розуміти реакцію комп'ютера на Ваші дії, потрібно знати як він влаштований і як працює.

      В цьому IT-уроці дізнаємося, як працює більшість обчислювальних пристроїв (до яких належать не лише персональні комп'ютери).

      У другому уроці ми розібралися, що комп'ютер необхідний обробки інформації, її зберігання та передачі. Подивімося, як відбувається обробка інформації.

      Як зберігається інформація на комп'ютері

      Комп'ютер зберігає, передає та обробляє інформацію у вигляді нулів «0»і одиниць «1», тобто використовується двійковий кодта двійкова система числення.

      Наприклад, десяткове число « 9 він бачить як двійкове число 1001 ».

      У вигляді нулів та одиниць зберігаються і всі данні, які необхідно обробити, і все програми, що керують процесом обробки.

      Наприклад, фотографію комп'ютер бачить так (тільки перші два рядки файлу з 527 рядків):

      Так людина бачить зображення:

      Комп'ютер бачить набір «0» та «1»

      (перші два рядки файлу):

      А текст для комп'ютера виглядає так:

      Людина бачить текст:

      Комп'ютер знову бачить набір «0» та «1»:

      Сьогодні ми не розбиратимемося в тонкощах обчислень і перетворень, подивимося на процес загалом.

      Де зберігається інформація

      Коли інформація занесена в комп'ютер (записана), вона зберігається на спеціальному пристрої – накопичувачі даних. Зазвичай накопичувач даних – це жорсткий диск (вінчестер).

      Жорстким диском цей пристрій називається через конструкцію. Усередині його корпусу знаходиться один або кілька твердих млинців (металевих або скляних), на яких і зберігаються всі дані(текстові документи, фотографії, фільми тощо) та встановлені програми(Операційна система, прикладні програми, як Word, Excel, та ін).

      Жорсткий диск (накопичувач даних) зберігає програми та дані

      Інформація на жорсткому диску зберігається після вимкнення комп'ютера.

      Докладніше про пристрій жорсткого диска ми дізнаємося в одному з наступних IT-уроків.

      Що обробляє всю інформацію у комп'ютері

      Основне завдання комп'ютера – обробляти інформаціютобто виконувати обчислення. Більшість обчислень виконує спеціальний пристрій – процесор. Це складна мікросхема, що містить сотні мільйонів елементів (транзисторів).

      Процесор – обробляє інформацію

      Що в даний момент часу робити процесору говорить програма, вона вказує, які дані потрібно обробити і що з ними необхідно зробити.

      Схема обробки даних

      Програми та дані завантажуються з накопичувача (жорсткого диска).

      Але жорсткий дискщодо повільний пристрій, і якби процесор чекав, доки зчитуватиметься інформація, та був записуватися після обробки назад, він би довго залишався без діла.

      Не залишимо процесор без діла

      Тому між процесором і жорстким диском встановили більш швидкий пристрій - оперативну пам'ять(Оперативний пристрій, ОЗУ). Це невелика друкована плата, де знаходяться швидкі мікросхеми пам'яті.

      Оперативна пам'ять – прискорює доступ процесора до програм та даних

      В оперативну пам'ять заздалегідь зчитуються з жорсткого диска всі необхідні програми та дані. Під час роботи процесор звертається до оперативної пам'яті, зчитує команди програми, яка каже, які дані потрібно взяти і як саме їх обробити.

      При вимкненні комп'ютера вміст оперативної пам'яті не зберігається у ній (на відміну жорсткого диска).

      Процес обробки інформації

      Отже, тепер ми знаємо, які пристрої беруть участь у обробці інформації. Подивимося тепер весь процес обчислень.

      Анімація процесу обробки інформації комп'ютером (IT-uroki.ru)

      Коли комп'ютер вимкнено, всі програми та дані зберігаються на жорсткому диску. При включенні комп'ютера та запуску програми, відбувається таке:

      1. Програма з жорсткого диска заноситься до оперативної пам'яті та повідомляє процесору, які завантажити дані до оперативної пам'яті.

      2. Процесор по черзі виконує команди програми, порціями обробляючи дані, взявши їх із оперативної пам'яті.

      3. Коли дані оброблені, результат обчислень процесор повертає оперативну пам'ять і бере наступну порцію даних.

      4. Результат роботи програми повертається на жорсткий диск та зберігається.

      Описані кроки зображені червоними стрілками на анімації (ексклюзивно від сайту IT-uroki.ru).

      Введення та виведення інформації

      Щоб комп'ютер отримав інформацію для обробки, потрібно ввести її. Для цього використовуються пристрої введення даних:

    • Клавіатура(за допомогою неї ми вводимо текст та керуємо комп'ютером);
    • Миша(за допомогою миші ми керуємо комп'ютером);
    • Сканер(Заносимо зображення до комп'ютера);
    • Мікрофон(Записуємо звук) і т.д.
    • Для виведення результату обробки інформації використовуються пристрої виведення даних:

    • Монітор(виводимо зображення на екран);
    • Принтер(виводимо текст та зображення на папір);
    • акустичні системиабо «колонки» (слухаємо звуки та музику);
    • Крім того, ми можемо вводити та виводити дані на інші пристрої за допомогою:

      • Зовнішні накопичувачі(З них ми копіюємо вже наявні дані в комп'ютер):
        • флешка,
        • компакт-диск (CD або DVD),
        • переносний жорсткий диск,
        • дискета;
        • Комп'ютерної мережі(отримуємо дані з інших комп'ютерів через Інтернетчи міську мережу).
        • Якщо в нашу схему додати пристрої введення-виводу, то вийде така діаграма:

          Введення, обробка та виведення даних

          Тобто комп'ютер працює з нуліками та одиничками, а коли інформація надходить на пристрій виведення, вона перекладається у звичні нам образи(Зображення, звук).

          Підбиваємо підсумок

          Отже, сьогодні ми разом із сайтом IT-uroki.ru дізналися, як працює комп'ютер. Якщо стисло, то комп'ютер отримує дані з пристроїв введення (клавіатура, миша і т.д.), заносить їх на жорсткий диск, потім передає в оперативну пам'ять і обробляє процесор. Результат обробки повертається спочатку в оперативну пам'ять, потім або на жорсткий диск, або відразу пристрої виведення (наприклад, монітор).

          Якщо виникли питання, можна поставити їх у коментарях до цієї статті.

          Про всі перераховані у сьогоднішньому уроці пристрої Ви можете дізнатися докладніше з наступних уроків на сайті IT-уроки. Щоб не пропустити нові уроки, підпишіться на новини сайту.

          Копіювання заборонено

          Нагадаю, що на сайті IT-уроки є довідники, що постійно оновлюються:

          Відео-доповнення

          Сьогодні невелике пізнавальне відео про виробництво процесорів.


          it-uroki.ru

          КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ

          Контрольні роботи - 1 клас, Моро

          Теми: «Цифри: 5, 6, 7, 8, 9, 0», «Порівняння чисел», «Складання чисел», «Віднімання чисел».

          Контрольні роботи у 2 класі, Петерсон

          Що мають уміти учні 1 класу з математики до кінця навчального року. Підсумкова контрольна робота з математики призначена для перевірки знань, умінь та навичок, отриманих учнями до кінця першого року навчання.

          Контрольні роботи для 3 класу, Моро

          Теми: «Відрізок, кути», «Множення та поділ», «Рішення текстових завдань», «Множення та поділ чисел на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9», «Обчислення значень виразів», «Порядок виконання дій», «Правила розкриття дужок», «Поза табличним множенням і поділом з числами до 100», «Кількість, коло, радіус і діаметр».

          Контрольні за 4 клас з математики, Моро

          Контрольні роботи за всі чверті на теми: «Множення та розподіл чисел», «Рівняння», «Рішення текстових завдань на множення та розподіл», «Периметр і площа фігур»

          Контрольні з математики - 5 клас, Віленкін

          Контрольні роботи з підручника Н.Я. Віленкіна за темами: «Долі та дроби звичайні, правильні та неправильні», «Складання та віднімання звичайних дробів», «Складання та віднімання десяткових дробів», «Вирази, рівняння та розв'язання рівнянь», «Квадрат і куб числа», «Площа, обсяг, формули вимірювання площі та обсягу».

          Контрольна для 6 класу, Віленкін

          Контрольні роботи на теми: "Пропорції", "Масштаб", "Довжина кола та площа кола", "Координати на прямій", "Протилежні числа", "Модуль числа", "Порівняння чисел".

          Контрольні роботи - 7 клас, з алгебри

          Контрольні роботи на теми: «Математична мова та математична модель», «Лінійна функція», «Системи двох лінійних рівнянь (метод постановки та метод складання)», «Ступінь з натуральним показником та її властивості», «Одночлени», «Многочлени» , «Розкладання многочлена на множники», «Функція $y=x^2$».

          Контрольні роботи для 8 класу з алгебри по Мордковичу

          Контрольні роботи на теми: "Алгебраїчні дроби", "Функція $у=\sqrt", "Квадратична функція", "Квадратні рівняння", "Нерівності".

          Контрольні роботи для 9 класу з алгебри, Мордкович

          Контрольні роботи на теми: «Нерівності з однією змінною», «Системи нерівностей», «Нерівності з модулями. Ірраціональні нерівності», «Рівняння та нерівності з двома змінними», «Системи рівнянь: ірраціональні, однорідні, симетричні».

          САМОСТІЙНІ РОБОТИ

          Завдання та приклади для самостійної роботи з математики для 1 класу за 3 та 4 чверті

          Теми: «Числа від 0 до 20», «Порівняння чисел», «Складання та віднімання чисел».

          Завдання та приклади для 2 класу за підручниками М.І. Моро та Л.Г. Петерсона для самостійної роботи

          Теми: «Множення та розподіл», «Складання та віднімання чисел від 1 до 100», «Купки, порядок виконання дій», «Відрізок, кут, прямокутник».

          Завдання та приклади для самостійних робіт з математики за підручником М. І. Моро для 3 класу, 3 та 4 чверті

          Теми: «Відрізок, кути», «Множення та розподіл», «Рішення текстових завдань».

          Завдання з математики за 4 клас, приклади за 3 та 4 чверті

          Теми: «Множення та розподіл чисел», «Рівняння», «Рішення текстових завдань на множення та розподіл», «Периметр і площа фігур».

          Завдання з математики – 5 клас, приклади за 3 чверть за підручником Н.Я. Віленкіна

          Теми: «Кількість і коло», «Дроби звичайні, десяткові та змішані», «Порівняння дробів», «Складання та віднімання звичайних і змішаних дробів».

          Завдання для 6 класу для самостійних робіт за 3 чверть

          Теми: "Пропорції", "Масштаб", "Довжина і площа кола", "Координати", "Протилежні числа", "Модуль числа", "Порівняння чисел".

          Алгебра - 7 клас, самостійні роботи за підручником Мордковича за 1, 2, 3, 4 чверті

          Теми: «Числові та алгебраїчні вирази», «Математична мова та математична модель», «Лінійне рівняння з однією змінною», «Координатна пряма та площина», «Лінійні рівняння з двома змінними», «Лінійна функція та її графік».

          ЗАВДАННЯ ДЛЯ ДОМАШНІХ РОБОТ

          Домашні завдання з математики для 1 класу, 3 та 4 чверті

          Теми: «Числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10», «Порівняння», «Складання та віднімання», «Рішення текстових завдань».

          Домашні завдання з математики для 2 класу за 3 та 4 чверті

          Теми: «Складання та віднімання», «Рішення текстових завдань», «Множення та поділ».

          Домашні завдання з математики за підручником М. І. Моро для 3 класу за 3 та 4 чверті

          Теми: «Множення та розподіл чисел від 0 до 100», «Рішення текстових завдань».

          Завдання з математики для 4 клас за 3 та 4 чверті

          Завдання за підручником Моро на теми: «Множення та розподіл чисел», «Рівняння», «Рішення текстових завдань на множення та розподіл», «Периметр і площа фігур».

          Завдання з математики - 5 клас, за 3 чверть за підручником М. Я. Віленкіна

          Теми: «Кількість і коло. Звичайні дроби», «Порівняння дробів», «Складання та віднімання десяткових дробів», «Округлення чисел».

          Завдання з математики для 6 класу за 3 чверть

          Теми: «Дільники та кратні», «Ознаки ділимості», «Найбільший спільний дільник», «Найбільше загальне кратне», «Властивість дробів», «Скорочення дробів», «Дії з дробами: додавання, віднімання, порівняння».

          Завдання з алгебри для 7 класу за підручником Мордковича за 1, 2, 3, 4 чверті

          Теми: «Числові та алгебраїчні вирази», «Математична мова та математична модель», «Системи двох лінійних рівнянь з двома змінними», «Ступінь з натуральним показником та її властивості», «Одночлени, операції над одночленами – додавання, віднімання, множення, зведення в ступінь», «Умноження одночленів», «Зведення одночлена в натуральний ступінь», «Ділення одночлена на одночлен».

          Вироблення обчислювальних навичок - найважливіша мета, яка переслідується програмами з математики з 1 по 6 клас. Від того, наскільки швидко і правильно дитина навчиться виконувати арифметичні дії, залежатиме швидкість виконання нею логічних (смислових) операцій у старших класах та рівень розуміння предмета загалом. Репетитор з математики часто стикається з обчислювальними проблемами учнів, що заважають домагатися високих результатів.

          З якими лише учнями не доводиться працювати репетитору. Батькам потрібна підготовка до ЄДІ з математики, які чадо неспроможна розібратися у звичайних дробах чи плутається в негативних числах. Які дії повинні робити репетитор з математики в таких випадках? Як допомогти учневі? Часу на неспішне і послідовне вивчення правил у репетитора немає, тому традиційні методи часто доводиться замінювати штучними «напівфабрикатами-прискорювачами», якщо можна так висловитися. У цій статті я опишу один із можливих шляхів формування навички виконання дій з негативними числами, а саме віднімання таких.

          Припустимо, що репетитор з математики має задоволення працювати з дуже слабким учнем, знання якого далі за найпростіші обчислення з позитивними числами не поширюються. Припустимо також, що репетитору вдалося пояснити закони додавання і впритул підійти до правила a-b=a+(-b). Які моменти має врахувати репетитор з математики?

          Відомості віднімання до складання не є простим і очевидним перетворенням. Підручники пропонують суворі і точні математичні формулювання: «Щоб від «а» відняти число «b» треба до «а» додати число, протилежне до «b». Формально до тексту не причепишся, але щойно він починає застосовуватися репетитором з математики як інструкція до виконання конкретних обчислень — виникають проблеми. Одна тільки фраза чого варта: «Щоб відняти – треба додати». Без виразного коментаря репетитора учень не розбереться. Справді, що робити: віднімати чи складати?

          Якщо працювати з правилом згідно з задумом авторів підручника, то окрім відпрацювання поняття «протилежне число», потрібно навчити школяра співвідносити позначення «а» та «b» із реальними числами в прикладі. А на це потрібен час. Враховуючи ще й той факт, що учень думає і пише одночасно, завдання репетитора з математики ще більше ускладнюється. Хорошої зорової, смислової та рухової пам'яті слабкий учень не має, а тому краще запропонувати альтернативний текст правила:

          Щоб від першого числа відняти друге, потрібно
          А) Перше число переписати
          Б) Поставити плюс
          B) Замінити знак другого числа на протилежний
          Г) Скласти отримані числа

          Тут етапи алгоритму чітко поділяються за пунктами і прив'язуються до буквеним позначенням.

          Під час вирішення практичного завдання на переклади, репетитор з математики перечитує цей текст учневі кілька разів (для запам'ятовування). Я раджу записати його в теоретичний зошит. Тільки після відпрацювання правила переходу до додавання можна записати загальну форму a-b=a+(-b)

          Рух знаків «мінус» і «плюс» у голові дитини (як маленької, так і слабкої дорослої) у чомусь нагадує броунівський. Навести лад у цьому хаосі репетитору з математики потрібно якнайшвидше. У процесі рішення прикладів застосовуються опорні підказки (словесні та візуальні), які у поєднанні акуратним та докладним офофрмленням роблять свою справу. Потрібно пам'ятати, що кожне слово, вимовлене репетитором з математики в момент вирішення будь-якого завдання несе підказку або перешкоду. Кожна фраза аналізується дитиною щодо встановлення зв'язку з тими чи іншим математичним об'єктом (явою) та її чином папері.

          Типова проблема слабких школярів - відокремлення знака дії від знака числа, що у ньому бере участь. Одинаковий візуальний образ заважає розпізнавати зменшуване «a» і віднімається «b» у різниці a-b. Коли у процесі пояснень репетитор з математики читає вираз, потрібно стежити, щоб замість «-» вживалося слово «відняти». Це обов'язково! Наприклад, запис слід читати так: «З мінус п'яти віднятимінус три». Не можна забувати і про правило перекладу до складу: «Щоб із числа «а» віднятичисло «b» треба…».

          Якщо у репетитора з математики постійно злетить з мови мінус 5 мінус мінус 3, то зрозуміло, що учневі буде важче уявити структуру прикладу. Однозначна відповідність між словом та арифметичним дією допомагає репетитору з математики точно транслювати інформацію.

          Як репетитору пояснити перехід до додавання?

          Звичайно, можна звернутися до визначення поняття «відняти» та шукати число, яке треба додати до «b» для отримання «а». Проте, слабкий учень мислить далекий від суворої математики та репетитору у роботі з ним будуть потрібні деякі аналогії з простими діями. Я часто говорю своїм шестиклашкам: «В математиці немає такої арифметичної дії, як «різниця». Запис 5 – 3 є простим позначенням результату додавання 5+(-3). Знак «плюс» просто опускають та не пишуть».

          Діти дивуються словами репетитора і мимоволі запам'ятовують, що не можна віднімати числа прямо. Репетитор з математики оголошує 5 та -3 доданками, і для більшої збуджуваності своїх слів порівнює результати дій 5-3 та 5+(-3). Після цього записується тотожність a-b=a+(-b)

          Яким би не був учень, і скільки часу не відводилося репетитору з математики на заняття з ним, потрібно вчасно відпрацювати поняття «протилежне число». На окрему увагу репетитора з математики заслуговує запис «-х». Учень 6 класу має засвоїти, що вона відображає не від'ємне число, а протилежне до ікса.

          Необхідно окремо зупинитися на обчисленнях із двома знаками «мінус», розташованими поруч. Виникає проблема розуміння операції їхнього одночасного видалення. Потрібно акуратно пройти всіма пунктами викладеного алгоритму початку складання. Буде краще, якщо в роботі з різницею -5-(-3) до будь-яких коментарів репетитор з математики виділить числа -5 та -3 у рамочку або підкреслить їх. Це допоможе учню виділити компоненти дії.

          Націленість репетитора з математики на запам'ятовування

          Надійне запам'ятовування – результат практичного застосування математичних правил, тому репетитору важливо забезпечити хорошу густину самостійно вирішених прикладів. Для покращення стійкості запам'ятовування можна закликати на допомогу візуальні підказки – фішечки. Наприклад, цікавий спосіб переведення віднімання негативного числа до додавання. Репетитор з математики поєднує два мінуси однією лінією (як показано на малюнку), і погляду учня відкривається знак «плюс» (у перетині з дужкою).

          Для запобігання розсіюванню уваги я рекомендую репетиторам з математики виділяти зменшуване та віднімається рамками. Якщо репетитор з математики використовує рамки чи кружечки виділення компонентів арифметичного дії, то учень легше і швидше бачиться структуру прикладу і співвідносити її з відповідним правилом. Не слід розташовувати шматочки цілого об'єкта при оформленні рішень на різних рядках зошитового листа, а також приступати до додавання до тих пір, поки воно не буде записано. Усі дії та переходи обов'язково показуються (принаймні на старті вивчення теми).

          Деякі репетитори з математики прагнуть 100% точного обґрунтування правил перекладу, вважаючи цю стратегію єдино правильною та корисною для формування обчислювальних навичок. Однак, практика показує, що цей шлях не завжди приносить добрі дивіденди. Потреба в усвідомленні того, що людина робить, найчастіше з'являється після запам'ятовування етапів алгоритму та практичного закріплення обчислювальних операцій.

          Вкрай важливо відпрацювати перехід до суми у довгому числовому вираженні з кількома відніманнями, наприклад . Перед тим, як приступити до підрахунку чи перетворення, я змушую учня обвести в кружечки числа разом із їхніми знаками, розташованими ліворуч. Для дуже слабких шестикласників можна додатково підфарбовувати кружечки. Для позитивних доданків використовувати один колір, а для негативних інший. В особливих випадках беру в руки ножиці та ріжу вираз на шматочки. Їх можна довільно перекладати, імітуючи в такий спосіб перестановку доданків. Дитина побачить, що знаки переміщаються разом із самими доданками. Тобто якщо знак мінус стояв ліворуч від числа 5, то куди б ми не перекладали відповідну картку, він від п'ятірки не відірветься.

          Ковпаков О.М. Репетитор з математики 5-6 клас. Москва. Строгіно.

          Правило складання негативних чисел

          Якщо згадати урок математики та тему «Складання та віднімання чисел з різними знаками», то для складання двох негативних чисел необхідно:

          • виконати складання їх модулів;
          • дописати до отриманої суми знак "-".

          Відповідно до правила додавання можна записати:

          $(−a)+(−b)=−(a+b)$.

          Правило складання негативних чисел застосовується до негативних цілих, раціональних та дійсних чисел.

          Приклад 1

          Скласти негативні числа $−185$ та $−23 \ 789.$

          Рішення.

          Скористаємося правилом складання негативних чисел.

          Знайдемо модулі даних чисел:

          $|-23 \ 789|=23 \ 789$.

          Виконаємо складання отриманих чисел:

          $185+23 \ 789=23 \ 974$.

          Поставимо знак $«–»$ перед знайденим числом і отримаємо $−23\974$.

          Короткий запис рішення: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.

          Відповідь: $−23 \ 974$.

          При додаванні негативних раціональних чисел їх необхідно перетворити на вигляд натуральних чисел, звичайних чи десяткових дробів.

          Приклад 2

          Скласти негативні числа $-\frac(1)(4)$ і $−7,15$.

          Рішення.

          Відповідно до правила складання негативних чисел, спочатку необхідно знайти суму модулів:

          $|-\frac(1)(4)|=\frac(1)(4)$;

          Отримані значення зручно звести до десяткових дробів та виконати їх додавання:

          $ \ frac (1) (4) = 0,25 $;

          $0,25+7,15=7,40$.

          Поставимо перед отриманим значенням знак $«-»$ і отримаємо $-7,4 $.

          Короткий запис рішення:

          $(-\frac(1)(4))+(−7,15)=−(\frac(1)(4)+7,15)=–(0,25+7,15)=−7, 4 $.

          Для складання позитивного та негативного числа необхідно:

          1. обчислити модулі чисел;
          2. виконати порівняння отриманих чисел:

            • якщо вони рівні, то вихідні числа є протилежними та їх сума дорівнює нулю;
            • якщо вони не рівні, то слід запам'ятати знак числа, у якого модуль більший;
          3. від більшого модуля відняти менший;

          4. перед отриманим значенням поставити знак того числа, у якого модуль більший.

          Додавання чисел із протилежними знаками зводиться до віднімання з більшого позитивного числа меншого негативного числа.

          Правило складання чисел із протилежними знаками виконується для цілих, раціональних та дійсних чисел.

          Приклад 3

          Скласти числа $4$ та $−8$.

          Рішення.

          Потрібно виконати складання чисел із протилежними знаками. Скористаємося відповідним правилом додавання.

          Знайдемо модулі даних чисел:

          Модуль числа $−8$ більше від модуля числа $4$, тобто. запам'ятаємо знак $«–»$.

          Поставимо знак $«–»$, який запам'ятовували, перед отриманим числом, і отримаємо $−4.$

          Короткий запис рішення:

          $4+(–8) = –(8–4) = –4$.

          Відповідь: $4+(−8)=−4$.

          Для складання раціональних чисел із протилежними знаками їх зручно подати у вигляді звичайних або десяткових дробів.

          Віднімання чисел з різними та негативними знаками

          Правило віднімання негативних чисел:

          Для віднімання від $a$ негативного числа $b$ необхідно до зменшуваного $a$ додати число $−b$, яке є протилежним віднімається $b$.

          Відповідно до правила віднімання можна записати:

          $a−b=a+(−b)$.

          Це правило справедливе для цілих, раціональних і дійсних чисел. Правило можна використовувати при відніманні негативного числа з позитивного числа, з негативного числа та з нуля.

          Приклад 4

          Відняти від негативного числа $−28$ негативне число $−5$.

          Рішення.

          Протилежне число для $-5$ - це $5$.

          Відповідно до правила віднімання негативних чисел отримаємо:

          $(−28)−(−5)=(−28)+5$.

          Виконаємо складання чисел із протилежними знаками:

          $(−28)+5=−(28−5)=−23$.

          Відповідь: $(−28)−(−5)=−23$.

          При відніманні негативних дробових чисел необхідно виконати перетворення чисел на вигляд звичайних дробів, змішаних чисел або десяткових дробів.

          Додавання та віднімання чисел з різними знаками

          Правило віднімання чисел із протилежними знаками збігається з правилом віднімання негативних чисел.

          Приклад 5

          Відняти позитивне число $7$ із негативного числа $−11$.

          Рішення.

          Протилежне число для $7$ – це число $–7$.

          Відповідно до правила віднімання чисел із протилежними знаками отримаємо:

          $(−11)−7=(–11)+(−7)$.

          Виконаємо складання негативних чисел:

          $(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.

          Короткий запис рішення: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.

          Відповідь: $(−11)−7=−18$.

          При відніманні дробових чисел з різними знаками необхідно виконати перетворення чисел на вигляд звичайних чи десяткових дробів.




















          Назад вперед

          Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

          Цілі та завдання уроку:

          • Узагальнити та систематизувати знань учнів з цієї теми.
          • Розвивати предметні та загальнонавчальні навички та вміння, вміння використовувати отримані знання для досягнення поставленої мети; встановлювати закономірності різноманіття зв'язків задля досягнення рівня системності знань.
          • Виховання навичок самоконтролю та взаємоконтролю; виробляти бажання та потреби узагальнювати отримані факти; розвивати самостійність, інтерес до предмета.

          План уроку:

          I. Вступне слово вчителя.

          ІІ. Перевірка домашнього завдання.

          ІІІ. Повторення правил складання та віднімання чисел з різними знаками. Актуалізація знань.

          IV. Розв'язання завдань за картками

          V. Самостійна робота за варіантами.

          VI. Підбиття підсумків уроку. Постановка домашнього завдання.

          Хід уроку

          I. Організаційний момент

          Учні під керівництвом вчителя перевіряють наявність щоденника, робочого зошита, інструментів, зазначаються відсутні, перевіряється готовність класу до уроку, вчитель психологічно налаштовує дітей працювати на уроці.

          Народна мудрість свідчить про “повторення – мати вчення”.

          Сьогодні ми з вами проведемо заключний урок на тему складання та віднімання позитивних і негативних чисел.

          Мета нашого уроку – повторити матеріал з цієї теми та підготуватися до контрольної роботи.

          І девізом нашого уроку, я думаю, має стати висловлювання: "Складати та віднімати ми навчимося на "5"!"

          ІІ. Перевірка домашнього завдання

          №1114. Заповніть порожні місця таблиці:

          №1116. В альбомі 1105 марок, кількість іноземних марок становило 30% від числа російських марок. Скільки іноземних та скільки російських марок було в альбомі?

          ІІІ. Повторення правил складання та віднімання чисел з різними знаками. Актуалізація знань.

          Учні повторюють: правило додавання негативних чисел, правило додавання чисел з різними знаками, правило віднімання чисел з різними знаками. Потім вирішують приклади застосування кожного з цих правил. (Слайди 4-10)

          Актуалізація знань учнів щодо знаходження довжини відрізка на координатній прямій за відомими координатами його кінців:

          4)Завдання “Відгадай слово”

          На земній кулі живуть птахи - безпомилкові "упорядники" прогнозу погоди на літо. Назва цих птахів зашифрована у картці.

          Виконавши всі завдання, учень отримує ключове слово, а відповіді перевіряються проектором.

          Ключ ФЛАМІНГО будують гнізда у вигляді конуса: високі – до дощового літа; низькі – до сухого. (Показується учням модель Слайди 14-16)

          IV. Розв'язання завдань за картками.

          V. Самостійна робота за варіантами.

          У кожного учня індивідуальна картка.

          Варіант 1.

          Обов'язкова частина.

          1. Порівняйте числа:

          а) -24 і 15;

          б) -2 та -6.

          2. Запишіть число, протилежне числу:

          3. Виконайте дії:

          4. Знайдіть значення виразу:

          VI. Підбиття підсумків уроку. Постановка домашнього завдання.

          Запитання спроектовано на екран.

          1. Число, якому відповідає точка на координатній прямій...
          2. З двох чисел на координатній прямій більше те число, яке розташоване на...
          3. Число, яке не є ні негативним, ні позитивним.
          4. Відстань від числа до початку відліку на числовій прямій...
          5. Натуральні числа, їм протилежні і нульові.

          Постановка домашнього завдання:

          • підготуватися до контрольної роботи:
          • повторити правила складання та віднімання позитивних і негативних чисел;
          • вирішити № 1096 (к,л,м) №1117

          Підсумки уроку.

          Ішов мудрець, а назустріч йому троє людей, які везли під гарячим сонцем візки з камінням для будівництва. Мудрець зупинився і кожному поставив питання. У першого запитав: Що ти робив цілий день? І той з усмішкою відповів, що цілий день возив прокляте каміння. У другого мудрець запитав: "А що ти робив цілий день?" А той відповів: "А я сумлінно виконував свою роботу". А третій усміхнувся, його обличчя засвітилося радістю та задоволенням: "А я брав участь у будівництві храму"

          Хлопці! Давайте спробуємо оцінити кожен свою роботу за урок.

          Хтось працював так, як перша людина, піднімає сині квадратики.

          Хто працював сумлінно, піднімає зелені квадратики.

          Хто брав участь у будівництві храму "Знання", піднімає червоні квадратики.

          Рефлексія- Чи відповідають ваші знання та вміння девізу уроку?

          Які знання вам сьогодні були потрібні?

    gastroguru 2017