Креслення піраміди у розгорнутому вигляді. Піраміда з паперу власноруч. Схеми та способи виготовлення. Як виконується розгортка правильної піраміди

Піраміда є символьним предметом. Здавна вважалося, що вона здатна гармонізувати навколишній світ людини, якій вона подарована, а також є найбільш правильною формою буття. Недарма єгипетські піраміди збереглися досі незмінному вигляді.

Картонні піраміди: як склеїти піраміду з картону?

Піраміда з картону своїми руками може бути створена за такою схемою:

1. На білому аркуші паперу малюємо квадрат та чотири трикутники.
2. Наприклад, висота трикутника може становити 26,5 см, а ширина, як і грань квадрата 14,5 см.
3. Беремо ножиці та вирізаємо всі частини піраміди, залишаючи при цьому невеликий відступ для нахльосту.
4. Складаємо всі деталі разом та промазуємо клеєм. Даємо висохнути.
5. Після того, як піраміда висохла, можна взяти акрилові фарби або кольорові олівці і розфарбувати пірамідку, що вийшла.

Піраміда у пропорціях «золотого перерізу»

Можна спробувати створити піраміду, ґрунтуючись на математичних знаннях:

1. Величина піраміди відповідно до «золотого перерізу» становить 7, 23 см. З геометрії ми пам'ятаємо, що коефіцієнт золотого перерізу становить 1,618.
2. Помножуємо коефіцієнт на наявну величину 723 мм, отримуємо 117 мм. Такою має бути довжина основи біля самої піраміди. Висота становить 72 мм.
3. Відповідно до теореми Піфагора вважаємо розмір граней трикутників піраміди. В результаті піраміда повинна мати довжину 117 мм.
4. Якщо помножити 117 на 117, можна отримати квадрат підстави, який потрібен у тому, щоб піраміда була порожньою.
5. Рисуємо на картоні всі деталі, вирізаємо.
6. З'єднуємо грані трикутників.
7. При приєднанні останнього трикутника необхідно попередньо підняти конструкцію у вертикальній площині, після чого приклеїти трикутник, що залишився.
8. Кути піраміди повинні бути проклеєні рівно та акуратно, так як це забезпечить її стійкість.

Якщо у піраміди заплановано наявність дна, воно приклеюються в самому кінці після того, як всі грані трикутників з'єднані між собою і висохли.

Можна спробувати зробити велику піраміду, використовуючи для створення коробку від холодильника.

Як зробити піраміду з картону для подарунка?

Ми вже пропонували деякі варіанти, тепер пропонуємо вам зробити і у вигляді піраміди. Для того, щоб зробити піраміду в домашніх умовах, необхідно підготувати такі матеріали:

• ножиці;
• степлер;
• 4 квадрати картону невеликого розміру;
• скотч;
• тонка стрічка;
• Звичайний олівець.

1. Беремо 4 квадратні картони, один відкладаємо відразу убік, на решті квадратів малюємо простим олівцем трикутники, потім вирізаємо їх.
2. Необхідно вирізати чотири трикутники.
3. Прикладаємо до кожної сторони квадрата по одному трикутнику найкоротшою частиною.
4. Приклеюємо скотчем трикутник до основи квадрата.
5. Беремо до рук три трикутники, і склеюємо їхні сторони між собою таким чином, щоб усередині вийшов «будиночок». При цьому один із трикутників не приклеюємо. Його необхідно спеціально залишити відкритим, щоб можна було щось покласти всередину піраміди.

Простіше легко зробити піраміду маленького розміру, якщо попередньо роздрукувати на папері розгортку піраміди.

Потім за допомогою лінійки необхідно зігнути піраміду по краях. Лінійка дозволить зберегти межі рівними.

Інший варіант створення піраміди представлений на наступному малюнку: роздрукувавши шаблон, потрібно зігнути по лініях піраміду, потім намастивши клеєм поверхню склеювання. Створення такої піраміди займе буквально кілька хвилин.

Якщо розташувати піраміду в кімнаті в певній зоні, то вона здатна позитивно впливати на життя людини, яка проживає в кімнаті. Так, наприклад, якщо піраміду розташувати у східній частині кімнати, то це допоможе покращити здоров'я, на півдні та південному сході – набути фінансового благополуччя, на заході – служить оберегом для дітей, на південному заході – покращить.

Вважається, що цивілізація та культура людства з'явилася в Єгипті, а там досі символом збереження енергії є піраміда. Називають її сакральною фігурою, яка може містити великий потік заряджених частинок, тому багато людей роблять невеликі пірамідки зі звичайного паперу, всередині які є порожніми. Туди можна покласти леза та ножі, які затупилися, щоб вони знову стали придатними для різання.

Піраміда з паперу: схеми

Піраміда своїми руками: способи виготовлення паперу

Зробити піраміду з паперу під силу навіть новачкові, потрібно лише правильно дотримуватися інструкції.

Спосіб 1.Потрібен аркуш паперу 40 на 40 см. Для початку його слід скласти від кута до кута, тобто з'єднати 2 протилежні сторони. Виконати ці маніпуляції слід 2 рази, вийде в результаті подвійний трикутник – це і є основа, кути її потрібно скласти до центру. Після перевернути фігуру і на звороті зробити те саме. Тут же слід розігнути ромб з одного боку 2 рази і загнути всередину папір, також з іншого боку. Тепер кінці піраміди вигинаються, таким чином має вийти зірка з 4 кінцями. А для надання обсягу піраміду потрібно просто потягнути за протилежні кінці.

Спосіб 2.У першу чергу необхідно намітити лінії квадрата по діагоналі, для цього слід зігнути і розігнути протилежні кінці. Потім кути кожної сторони треба підняти нагору і закласти таким чином, щоб вийшов квадрат. Кути верхнього квадрата з бокових ліній потрібно перегнути всередину. Потім верхній трикутник потрібно обережно відігнути вниз, а потім, притримуючи рукою деталь, перевернути на іншу сторону.

На звороті робиться те саме: кути перегинаються і відгинаються вниз. Піраміда вже майже готова, потрібно лише підняти куточки, розташовані внизу – нагору. Розправляти кути слід доти, доки внизу не буде видно квадрата - це дно піраміди. Тупим кінцем ножиць слід відгладити кожну зі сторін піраміди, кожне її ребро.

Як зробити піраміду з картону?

Піраміда – символічний предмет. Ще наші предки вважали, що вона здатна принести у світ гармонію. Вдома можна самостійно зробити її не лише з паперу, а й із картону.

Спосіб 1.На білому аркуші паперу слід намалювати квадрат та 4 трикутники. Наприклад: трикутник висотою 26,5 см, а ширина його (рівна стороні квадрата) - 14,5 см. Тепер за допомогою ножиць необхідно вирізати всі деталі піраміди, залишаючи при цьому невеликий відступ для нахлеста. Всі елементи скласти разом і змастити ділянки з'єднання клеєм, а потім дати висохнути. Після цього можна фарбами (бажано акриловими) або олівцями прикрасити готову фігуру.

Спосіб 2.Можна склеїти піраміду, застосовуючи математичні навички. Називається такий виріб «Піраміда із золотим перетином». Розмір її становитиме 7,23 див. Тепер треба згадати геометрію: коефіцієнт золотого перерізу дорівнює 1,618. Тепер цей коефіцієнт слід помножити на 723 мм виходить 117 мм. Такою буде довжина основи біля самої піраміди, висота при цьому дорівнюватиме 72 мм.

Тепер за теоремою Піфагора потрібно вирахувати розмір граней трикутника. Довжина піраміди має бути 117 мм. Якщо помножити 117 на 117, то вийде квадрат основи, яка необхідна для того, щоб піраміда не вийшла порожньою. На картоні необхідно накреслити всі деталі та вирізати. Після цього з'єднати грані трикутників. При з'єднанні останнього з них потрібно попередньо підняти вертикально каркас, а потім приклеїти його.

Кути потрібно проклеювати акуратно та максимально рівно, це буде впливати на стійкість виробу. Якщо у фігури заплановано дно, то його приклеювати потрібно в останню чергу, коли всі грані були склеєні і вже висохли.

Спосіб 3.Можна створити велику піраміду зі старої коробки, наприклад, від холодильника.

Довжина основи дорівнюватиме приблизно 50 см. Для початку потрібно розкреслити схему фігури на картоні, беручи за основу правило золотого перерізу, як у попередньому прикладі.

Повинні вийти в результаті рівнобедрені трикутники. Між собою їх потрібно з'єднати збоку і склеїти скотчем так, щоб сторона картону з написами була всередині фігури.

Тепер має вийти піраміда безпідставно. Потрібно вирізати ще квадрат, довжина сторони якого дорівнює 50 см. Він буде необхідний стійкості.

Спосіб 4.Піраміда з картону подарункова. Її можна використовувати як упаковку для основного подарунка. Для її виготовлення знадобляться: степлер, ножиці, 4 невеликі квадрати з картону, скотч, нетовста стрічка, олівець. Потрібно взяти 4 квадрати з картону, 1 з них потрібно відразу відкласти убік, на ін. намалювати олівцем трикутники, а після їх вирізати, причому робити це потрібно з усіма 4 трикутниками. До кожної сторони квадрата слід прикласти по 1 трикутнику найкоротшою частиною. Після цього трикутник необхідно приклеїти до основи квадрата скотчем.

Далі необхідно взяти в руки три трикутники і склеїти їх між собою так, щоб усередині вийшов «будиночок». При цьому жоден трикутник не потрібно приклеювати. Його потрібно залишити відкритим, щоб усередину фігури можна було щось покласти.

Простіше зробити піраміду невеликого розміру, якщо роздрукувати попередньо розгортку фігури.

Після за допомогою лінійки потрібно зігнути по краях фігуру. Лінійка потрібна для того, щоб грані залишилися рівними. Після цього потрібно стик розгортки проклеїти за допомогою «моменту», за бажання можна ще зробити підставу, щоб фігура була стійкою.

Якщо поставити піраміду з паперу або картону в приміщенні в певному місці, то вона позитивно впливатиме на життя людини. Наприклад, якщо вона розташована у східній частині кімнати, то це позитивно впливатиме на здоров'я, на південному сході та півдні – допоможе набути фінансової стабільності, на заході – служить оберегом для дітей, а на південному заході – покращує відносини в сім'ї. Прикрашайте свій будинок та даруйте такі сховища позитивній енергії своїм рідним та близьким!

Спочатку будують розгортку невсіченої піраміди, всі грані якої, що мають форму трикутника, однакові. На площині планують точку S 1 (вершину піраміди) і з неї, як із центру, проводять дугу кола радіусом R, рівним дійсної довжини бічного ребра піраміди. Дійсну довжину ребра можна визначити за профільною проекцією піраміди, наприклад відрізки s" e" або s" b" , так як ці ребра паралельні площині W і зображуються у ньому справжньої довжиною. Далі по дузі кола від будь-якої точки, наприклад а 1 відкладають шість однакових відрізків, рівних дійсній довжині сторони шестикутника - основи піраміди. Дійсну довжину сторони основи піраміди отримуємо на горизонтальній проекції (відрізок ab). Крапки a 1 - f 1 з'єднують прямими з вершиною s 1 . Потім від вершини а 1 цих прямих відкладають дійсні довжини відрізків ребер до січної площини.

На профільній проекції зрізаної піраміди є дійсні довжини лише двох відрізків - s"5" і s"2". Дійсні довжини інших відрізків визначають способом обертання їх навколо осі, перпендикулярної до площини. Ні проходить через вершину s. Наприклад, повернувши відрізок s"6" навколоосі до положення, паралельного площині W, отримаємо на цій площині його справжню довжину. Для цього достатньо через точку 6" провести горизонтальну пряму до перетину з дійсною довжиною ребра SE (або SB). Відрізок s // 6 0 // є дійсною довжиною відрізка S6 .

Отримані точки l 1 , 2 1 , 3 1 і т. д. з'єднують прямими і пристосовують фігури основи та перерізу, користуючись методом тріангуляції. Лінії згину на розгортці проводять штрихпунктирною лінією з двома точками.

Розгортка усіченого конуса

Побудова розгортки поверхні конуса починають з проведення дуги кола радіусом, що дорівнює довжині утворює конуса з точки s 0 . Довжина дуги визначається кутом α:

α=
,

де d - діаметр кола основи конуса в мм;

l- Довжина утворює конуса в мм.

Дугу ділять на 12 частин та отримані точки з'єднують з вершиною sпро . Від вершини s 0 відкладають дійсні довжини відрізків, що утворюють від вершини конуса до січної площини. Р.

Дійсні довжини цих відрізків знаходять, як і в прикладі з пірамідою, способом обертання біля вертикальної осі, яка проходить через вершину конуса. Так, наприклад, щоб отримати дійсну довжину S2, треба з 2" провести горизонтальну пряму до перетину в точці b / з контурною утворює конуса, що є дійсною її довжиною.

До розгортки конічної поверхні пристосовують фігури перерізу та основи конуса.

Запитання для самоперевірки

Як побудувати розгортку призми?

Як побудувати розгортку піраміди?

Як побудувати розгортку циліндра?

Як побудувати розгортку конуса?

Тема: аксонометричні Проекції

Аксонометричні проекції є наочне зображення предмета на площині, при якому зображуються всі три вимірювання.

Аксонометричне проектування - це паралельне проектування предмета разом з координатною системою на деяку площину.

Якщо проєкуючий промінь перпендикулярний площині проекцій - прямокутна аксонометрія.

Якщо не перпендикулярний – косокутна.

Ставлення довжини аксонометрической проекції відрізка, // аксонометрической осі, для її справжньої довжини – коефіцієнт спотворення.

k-коефіцієнт спотворення по осі ОХ

m-коефіцієнт спотворення по осі ОУ

n-коефіцієнт спотворення по осі ОZ

Якщо k = m = n-аксонометрія називається ізометрією

Якщо рівні лише два коефіцієнти (k=m≠n) – диметрія

Необхідно побудувати розгортки гранних тіл та нанесення на розгортку лінії перетину призми та піраміди.

Для вирішення цього завдання з накреслювальної геометрії необхідно знати:

- Відомості про розгортки поверхонь, способи їх побудови і, зокрема, побудова розгорток гранних тіл;

- взаємно-однозначні властивості між поверхнею та її розгорткою та способи перенесення точок, що належать поверхні, на розгортку;

- Методи визначення натуральних величин геометричних образів (лінії, площини та ін).

Порядок рішення Завдання

Розгорткою називаєтьсяплоска фігура, яка виходить при розрізанні та розгинанні поверхні до повного поєднання з площиною. Усі розгортки поверхонь ( заготівлі, викрійки) будуються лише з натуральних величин.

1. Оскільки розгортки будуються з натуральних величин, приступаємо до їх визначення, навіщо па кальку (міліметрівку або інший папір) формату A3, переноситься завдання № з усіма точками та лініями перетинів багатогранників.

2. Для визначення натуральних величин ребер та основи піраміди використовуємо метод прямокутного трикутника. Безумовно, можна й інші, але, як на мене, цей метод більш дохідливий для студентів. Суть його полягає в тому, що «на побудованому прямому куті відкладається одному катете проекційна величина відрізка прямий, але в іншому — різницю координат кінців даного відрізка, взята з сполученої площині проекцій. Тоді гіпотенуза одержаного прямого кута дає натуральну величину даного відрізка прямої».

Рис.4.1

Рис.4.2

Рис.4.3

3. Отже, на вільному місці креслення (Рис.4.1.а)будуємо прямий кут.

По горизонтальній лінії цього кута відкладаємо проекційну величину ребра піраміди DAвзяту з горизонтальної площини проекцій l DA. По вертикальній лінії прямого кута відкладаємо різницю координат точок D’ іA’ , взятих з фронтальної площини проекцій (по осі zвниз) - . Поєднавши отримані точки гіпотенузою, отримаємо натуральну величину ребра піраміди | DA| .

У такий спосіб визначаємо натуральні величини інших ребер піраміди DBі DC, а також основи піраміди АВ, НД, АС (Рис.4.2), Для яких будуємо другий прямий кут. Зауважимо, що визначення натуральної величини ребра DCпровадиться у тих випадках, коли на вихідному кресленні він дано проекційно. Це легко визначається, якщо згадаємо правило: « якщо пряма па будь-якої площині проекцій паралельна осі координат, то на сполученій площині вона проектується в натуральну величину».

Зокрема, у прикладі нашого завдання фронтальна проекція ребра D’ C’ паралельна осі х, отже, у горизонтальній площині DCвідразу виражена у натуральній величині | DC| (Рис.4.1).

Рис.4.4

4. Визначивши натуральні величини ребер та основи піраміди, приступаємо до побудови розгортки ( рис.4.4). Для цього на аркуші формату паперу ближче до лівої сторони рамки беремо довільну точку Dвважаючи, що це є вершина піраміди. Проводимо з точки Dдовільну пряму та відкладаємо на ній натуральну величину ребра | DA| отримуючи точку А. Тоді з точки А, Взявши на розчин циркуля натуральну величину основи піраміди R= | АВ |і помістивши ніжку циркуля в крапку Аробимо дугову засічку. Далі беремо на розчин циркуля натуральну величину ребра піраміди R=| DB| і, помістивши ніжку циркуля в крапку Dробимо другу дугову засічку. У перетині дуг отримуємо крапку У, з'єднавши її з точками А й Dотримуємо грань піраміди DАВ. Аналогічно прилаштовуємо до ребра DBгрань DBC, а до ребра DC- Грань DCА.

До однієї зі сторін основи, наприклад УC, прибудовуємо основу піраміди також методом геометричних засічок, беручи на розчин циркуля величини сторін АBіAЗі роблячи дугові засічки з крапок BіCотримуючи точку A(Рис.4.4).

5. Побудова розгорткипризми спрощується тим, що на вихідному кресленні у горизонтальній площині проекцій основою, а у фронтальній – заввишки 85мм, вона задана відразу в натуральну величину

Для побудови розгортки подумки розріжемо призму з якогось ребра, наприклад по E, Закріпивши його на площині, розгорнемо інші грані призми до повного поєднання з площиною. Цілком очевидно, що отримаємо прямокутник, у якого довжиною є сума довжин сторін основи, а висотою – висота призми. 85мм.

Отже, для побудови розгортки призми надаємо:

- На тому ж форматі, де побудована розгортка піраміди, з правого боку проводимо горизонтальну пряму лінію і від довільно взятої точки на ній, наприклад E, послідовно відкладаємо відрізки основи призми EK, KG, GU, UE, взяті із горизонтальної площини проекцій;

- З точок E, K, G, U, Eвідновлюємо перпендикуляри, на яких відкладаємо висоту призми, взяту з передньої площини проекцій (85мм);

- з'єднуючи отримані точки прямої, отримуємо розгортку бічної поверхні призми і до однієї зі сторін основи, наприклад, GUприбудовуємо верхню та нижню основу методом геометричних засічок, як виконували при побудові основи піраміди.

Рис.4.5

6. Для побудови лінії перетину на розгортці використовуємо правило, що говорить про те, що «будь-якій точці на поверхні відповідає точка на розгортці». Візьмемо, наприклад, грань призми GUде проходить лінія перетину з точками 1-2-3 ; . Відкладемо на розгортці основи GUкрапки 1,2,3 за відстанями, взятими з горизонтальної площини проекції. Відновимо з цих точок перпендикуляри та відкладемо на них висоти крапок 1’ , 2’, 3’ , взяті з передньої площини проекції – z 1 , z 2 іz 3 . Таким чином, на розгортці отримали точки 1, 2, 3, з'єднавши які отримуємо першу гілка лінії перетину.

Аналогічно переносяться всі інші точки. Побудовані точки з'єднуються, отримуючи другу гілку перетину лінії. Виділяємо червоним кольором - лінія, що шукається. Додамо, що при неповному перетині гранних тіл на розгортці призми буде одна замкнута гілка лінії перетину.

7. Побудова (перенесення) лінії перетину на розгортці піраміди проводиться так само, але з урахуванням наступного:

- оскільки розгортки будуються з натуральних величин, необхідно перенести положення точок 1-8 лінії перетину проекцій лінії ребер натуральних величин піраміди. Для цього візьмемо, наприклад, крапки 2 та 5у фронтальній проекції ребра DAперенесемо їх на проекційну величину цього ребра прямого кута (Рис.4.1)по лініях зв'язку паралельним осі х, отримаємо шукані відрізки | D2| та |D5| ребра DAу натуральних величинах, які й відкладаємо (переносимо) на розгорнення піраміди;

— аналогічно переносяться всі інші точки лінії перетину, у тому числі й точки 6 та 8, що лежать на утворюють Dmі Dnнавіщо на прямому куті (Рис.4.3)визначаються натуральні величини цих утворюючих, а потім на них переносяться точки 6 та 8;

— на другому прямому вугіллі, де визначено натуральні величини основи піраміди, переносяться крапки mіnперетинів утворюють із основою, які згодом переносяться на розгортку.

Таким чином, отримані на натуральних величинах точки 1-8 і перенесені на розгортку, послідовно з'єднуємо прямими лініями і остаточно отримуємо лінію перетину піраміди на її розгортці.

Розгортка бічної поверхні піраміди (рис. 16.3) складається з трьох трикутників, що представляють у справжньому вигляді бічні грані піраміди.

Для побудови розгортки необхідно заздалегідь визначити справжні довжини бічних ребер піраміди. Повернувши ці ребра навколо висоти піраміди до положення паралельного площині p 2 на фронтальній площині проекцій отримаємо їх справжні довжини у вигляді відрізків і .

Побудувавши по трьох сторонах і грань піраміди ASB (рис. 16.4) прилаштовуємо до неї суміжну грань – трикутник BSC, а до останнього – грань CSA. Отримана фігура уявляє собою розгорнення бічної поверхні цієї піраміди.

Для отримання повної розгортки до однієї зі сторін основи прилаштовуємо основу піраміди – трикутник АВС.

Для побудови на розгортці лінії, по якій поверхня піраміди перетнеться площиною a (рис. 16.3), слід нанести на ребра SA, SB і SC, відповідно, точки 1, 2 і 3, в яких ця площина перетинає ребра, визначивши справжні довжини відрізків S1 , S2 та S3.

Рис. 16.3	Рис. 16.4

Контрольні питання на тему лекції:

1. Що називається розгорткою поверхні?

2. Які поверхні називаються такими, що розгортаються або нерозгортаються. Наведіть приклади.

3. Загальні правила побудови розгорток поверхні призми, піраміди.