Зазвичай рівняння системи записують у стовпчик одне під одним і об'єднують фігурною дужкою

Система рівнянь такого виду, де a, b, c- Числа, а x, y- Змінні, називається системою лінійних рівнянь.

При вирішенні системи рівнянь використовують властивості, справедливі на вирішення рівнянь .

Вирішення системи лінійних рівнянь способом підстановки

Розглянемо приклад

1) Виразити в одному з рівнянь змінну. Наприклад, висловимо yу першому рівнянні, отримаємо систему:

2) Підставляємо у друге рівняння системи замість yвираз 3х-7:

3) Вирішуємо отримане друге рівняння:

4) Отримане рішення підставляємо у перше рівняння системи:

Система рівнянь має єдине рішення: кілька чисел x=1, y=-4. Відповідь: (1; -4) , записується в дужках, на першій позиції значення x, на другий - y.

Розв'язання системи лінійних рівнянь способом складання

Розв'яжемо систему рівнянь з попереднього прикладу шляхом складання.

1) Перетворити систему таким чином, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними. Помножимо перше рівняння системи на "3".

2) Складаємо почленно рівняння системи. Друге рівняння системи (будь-яке) переписуємо без змін.

3) Отримане рішення підставляємо у перше рівняння системи:

Розв'язання системи лінійних рівнянь графічним способом

Графічне рішення системи рівнянь із двома змінними зводиться до пошуку координат загальних точок графіків рівнянь.

Графік лінійної функції є пряма. Дві прямі на площині можуть перетинатися в одній точці, бути паралельними або збігатися. Відповідно, система рівнянь може: а) мати єдине рішення; б) не мати рішень; в) мати безліч рішень.

2) Рішенням системи рівнянь є точка (якщо рівняння є лінійними) перетину графіків.

Графічний розв'язок системи

Метод запровадження нових змінних

Заміна змінних може призвести до вирішення простішої системи рівнянь, ніж вихідна.

Розглянемо рішення системи

Введемо заміну, тоді

Переходимо до початкових змінних

Особливі випадки

Не вирішуючи системи лінійних рівнянь, можна визначити кількість її рішень за коефіцієнтами за відповідних змінних.

Лінійне рівняння – рівняння виду a x = b , де x – змінна, a та b деякі числа, причому a ≠ 0 .

Приклади лінійних рівнянь:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = − 5

Лінійними рівняннями називають як рівняння виду a x = b , а й будь-які рівняння, які з допомогою перетворень і спрощень зводяться до цього виду.

Як же розв'язувати рівняння, які наведені до виду a x = b? Достатньо поділити ліву та праву частину рівняння на величину a . В результаті отримаємо відповідь: x = b a.

Як розпізнати, чи є довільне рівняння лінійним чи ні? Треба звернути увагу на змінну, яка є у ньому. Якщо старший ступінь, у якому стоїть змінна, дорівнює одиниці, то таке рівняння є лінійним рівнянням.

Для того, щоб розв'язати лінійне рівняння , необхідно розкрити дужки (якщо вони є), перенести «ікси» в ліву частину, числа – у праву, навести подібні доданки. Вийде рівняння виду a x = b. Розв'язання даного лінійного рівняння: x = b a.

Приклади розв'язання лінійних рівнянь:

1. 2 x + 1 = 2 (x − 3) + 8

Це лінійне рівняння, оскільки змінна стоїть у першому ступені.

Спробуємо перетворити його на вигляд a x = b:

Для початку розкриємо дужки:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

У ліву частину переносяться всі доданки з x , у праву – числа:

2 x − 4 x = 2 − 1

Тепер поділимо ліву та праву частину на число (-2) :

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Відповідь: x = − 0,5

1. x 2 − 1 = 0

Це рівняння не є лінійним рівнянням, тому що старший ступінь, в якому стоїть змінна x дорівнює двом.

1. x (x + 3) − 8 = x − 1

Це рівняння виглядає лінійним на перший погляд, але після розкриття дужок старший ступінь дорівнюватиме двом:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Це рівняння перестав бути лінійним рівнянням.

Особливі випадки(У 4 завданні ОДЕ вони не зустрічалися, але знати їх корисно)

Приклади:

1. 2 x − 4 = 2 (x − 2)

2 x − 4 = 2 x − 4

2 x − 2 x = − 4 + 4

І як тут шукати x , якщо його немає? Після виконання перетворень ми здобули правильну рівність (тотожність), яка не залежить від значення змінної x . Яке значення x ми не підставляли б у вихідне рівняння, в результаті завжди виходить вірна рівність (тотожність). Значить, x може бути будь-яким числом. Запишемо відповідь до даного лінійного рівняння.

Відповідь: x ∈ (− ∞ ;   + ∞)

1. 2 x − 4 = 2 (x − 8)

Це лінійне рівняння. Розкриємо дужки, перенесемо ікси вліво, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

В результаті перетворень x скоротився, але в результаті вийшла неправильна рівність, оскільки. Яке значення x ми не підставляли б у вихідне рівняння, в результаті завжди буде неправильна рівність. І це означає, що немає таких значень x , у яких рівність ставало б правильним. Запишемо відповідь до даного лінійного рівняння.

Відповідь: x ∈ ∅

Квадратні рівняння

Квадратне рівняння – рівняння виду a x 2 + b x + c = 0, де x – змінна, a, b та c – деякі числа, причому a ≠ 0 .

Алгоритм розв'язання квадратного рівняння:

1. Розкрити дужки, перенести всі складові в ліву частину, щоб рівняння набуло вигляду: a x 2 + b x + c = 0
2. Виписати, чому рівні в числах коефіцієнти: a = … b = … c = …
3. Обчислити дискримінант за формулою: D = b 2 − 4 a c
4. Якщо D > 0 , буде два різні корені, що знаходяться за формулою: x 1,2 = − b ± D 2 a
5. Якщо D = 0, то буде один корінь, який знаходиться за формулою: x = − b 2 a
6. Якщо D< 0, решений нет: x ∈ ∅

Приклади розв'язання квадратного рівняння:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

a = − 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – буде два різні корені:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ (−1) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

Відповідь: x 1 = − 1, x 2 = 7

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0

a = − 1, b = 4, c = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅(−1) ⋅(−4) = 16 − 16 = 0

D = 0 – буде один корінь:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ (− 1) = − 4 − 2 = 2

Відповідь: x = 2

1. 2 x 2 − 7 x + 10 = 0

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = (− 7) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

D< 0 – решений нет.

Відповідь: x ∈ ∅

Також існують неповні квадратні рівняння (Це квадратні рівняння, у яких або b = 0 або с = 0, або b = с = 0). Дивіться відео, як розв'язувати такі квадратні рівняння!

Розкладання квадратного тричлена на множники

Квадратний тричлен можна розкласти на множники так:

A x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2)

де a - Число, коефіцієнт перед старшим коефіцієнтом,

x – змінна (тобто буква),

x 1 і x 2 – числа, коріння квадратного рівняння a x 2 + b x + c = 0 , знайдені через дискримінант.

Якщо квадратне рівняння має лише один корінь, то розкладання має такий вигляд:

a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 0) 2

Приклади розкладання квадратного тричлена на множники:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1,   x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = (− 1) ⋅ (x − 2) 2 = − (x − 2) 2

Якщо квадратний тричлен є неповним, ((b = 0 або c = 0) його можна розкласти на множники наступними способами:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)

• b = 0 ⇒ застосувати для різниці квадратів.

Дробно раціональні рівняння

Нехай f (x) та g (x) – деякі функції, що залежать від змінної x .

Дробно раціональне рівняння – це рівняння виду f(x) g(x) = 0 .

Щоб вирішити дробово раціональне рівняння, треба згадати, що таке ОДЗ і коли воно виникає.

ОДЗ- Область допустимих значень змінної.

У виразі виду f(x) g(x) = 0

ОДЗ: g(x) ≠ 0 (знаменник дробу не може дорівнювати нулю).

Алгоритм розв'язання дрібно раціонального рівняння:

1. Виписати ОДЗ: g(x) ≠ 0.
2. Прирівняти чисельник дробу до нуля f(x) = 0 і знайти коріння.

Приклад розв'язання дробового раціонального рівняння:

Розв'язати дробово раціональне рівняння x 2 − 4 2 − x = 1.

Рішення:

Діятимемо відповідно до алгоритму.

1. Навести вираз до виду f(x) g(x) = 0 .

Переносимо одиницю в ліву частину, записуємо до неї додатковий множник, щоб привести обидва доданки до одного спільного знаменника:

x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − (2 − x) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

Перший крок алгоритму виконано успішно.

1. Виписати ОДЗ:

Обводимо до рамочки ОДЗ, не забуваємо про нього: x ≠ 2

1. Прирівняти чисельник дробу до нуля f(x) = 0 і знайти коріння:

x 2 + x − 6 = 0 – Квадратне рівняння. Вирішуємо через дискримінант.

a = 1, b = 1, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 6) = 1 + 24 = 25

D > 0 – буде два різні корені.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

[ x 1 = 2 x 2 = − 3

1. Вказати у відповіді коріння з чисельника, виключивши те коріння, яке потрапило до ОДЗ.

Коріння, отримане на попередньому кроці:

[ x 1 = 2 x 2 = − 3

Отже, у відповідь іде лише один корінь, x = − 3.

Відповідь: x = − 3.

Системи рівнянь

Системою рівнянь називають два рівняння з двома невідомими (як правило, невідомі позначаються x та y), які об'єднані в загальну систему фігурною дужкою.

Приклад системи рівнянь

( x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

Розв'язати систему рівнянь - Визначити пару чисел x і y , які при підстановці в систему рівнянь утворюють правильну рівність в обох рівняннях системи.

Існує два методи розв'язування систем лінійних рівнянь:

1. Метод підстановки.
2. Метод складання.

Алгоритм розв'язання системи рівнянь методом підстановки:

1. Знайти невідому.

Приклад:

Розв'язати систему рівнянь методом підстановки

( x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

Рішення:

1. Виразити з будь-якого рівняння одну змінну через іншу.

( x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

1. Підставити в інше рівняння замість вираженої змінної отримане значення.

( x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

( x = 8 − 2 y 3 (8 − 2 y) − y = − 4

1. Вирішити рівняння з однією невідомою.

3 (8 − 2 y) − y = − 4

24 − 6 y − y = − 4

− 7 y = − 4 − 24

− 7 y = − 28

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

1. Знайти невідому.

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Відповідь можна записати одним із трьох способів:

1. x = 0, y = 4
2. (x = 0 y = 4
3. (0 ;   4)

Рішення системи рівнянь шляхом складання.

Метод складання ґрунтується на наступній властивості:

(a + c) = (b + d)

Ідея методу складання полягає в тому, щоб позбавитися однієї зі змінних, склавши рівняння.

Приклад:

Розв'язати систему рівнянь шляхом складання

( x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

Давайте позбудемося в даному прикладі змінної x . Суть методу полягає в тому, щоб у першому та у другому рівнянні перед змінною x стояли протилежні коефіцієнти. У другому рівнянні перед x стоїть коефіцієнт 3 . Для того, щоб метод додавання спрацював, треба щоб перед змінною x виявився коефіцієнт (−3) . Для цього домножимо ліву та праву частину першого рівняння на (−3) .

Матеріал цієї статті призначений для першого знайомства із системами рівнянь. Тут ми введемо визначення системи рівнянь та її рішень, а також розглянемо найпоширеніші види систем рівнянь. Зазвичай наводитимемо пояснювальні приклади.

Навігація на сторінці.

Що таке система рівнянь?

До визначення системи рівнянь підбиратимемося поступово. Спочатку лише скажемо, що його зручно дати, вказавши два моменти: по-перше, вид запису, і, по-друге, вкладений у цей запис зміст. Зупинимося ними по черзі, та був узагальним міркування визначення систем рівнянь.

Нехай перед нами кілька якихось . Наприклад візьмемо два рівняння 2 x + y = -3 і x = 5 . Запишемо їх одне під одним і об'єднаємо зліва фігурною дужкою:

Записи подібного виду, що є кілька розташованих у стовпчик рівнянь і об'єднаних зліва фігурною дужкою, є записами систем рівнянь.

Що ж означає такі записи? Вони задають безліч таких рішень рівнянь системи, які є рішенням кожного рівняння.

Чи не завадить описати це іншими словами. Припустимо, якісь рішення першого рівняння є рішеннями та решти рівнянь системи. Так ось запис системи якраз їх і означає.

Тепер ми готові гідно сприйняти визначення системи рівнянь.

Визначення.

Системами рівняньназивають записи, що є розташовані один під одним рівняння, об'єднані зліва фігурною дужкою, які позначають безліч всіх рішень рівнянь, що одночасно є рішеннями кожного рівняння системи.

Аналогічне визначення наведено у підручнику, проте там воно дано не для загального випадку, а для двох раціональних рівнянь із двома змінними.

Основні види

Зрозуміло, що різноманітних рівнянь дуже багато. Звичайно, і складених з їх використанням систем рівнянь також дуже багато. Тому для зручності вивчення та роботи з системами рівнянь є сенс їх розділити на групи за схожими характеристиками, а далі перейти до розгляду систем рівнянь окремих видів.

Перший підрозділ напрошується за кількістю рівнянь, що входять до системи. Якщо рівнянь два, можна сказати, що з нами система двох рівнянь, якщо три – то система трьох рівнянь, тощо. Зрозуміло, що немає сенсу говорити про систему одного рівняння, оскільки у разі по суті ми маємо справу із самим рівнянням, а чи не з системою.

Наступний поділ базується на числі змінних, що беруть участь у записі рівнянь системи. Якщо змінна одна, то маємо справу з системою рівнянь з однією змінною (ще говорять з однією невідомою), якщо дві – то із системою рівнянь із двома змінними (з двома невідомими), і т.д. Наприклад, - це система рівнянь із двома змінними x та y .

У цьому мають на увазі число всіх різних змінних, що у записи. Вони не обов'язково повинні все відразу входити до запису кожного рівняння, достатньо їх наявності хоча б в одному рівнянні. Наприклад, - Це система рівнянь з трьома змінними x, y і z. У першому рівняння змінна x є явно, а y і z – неявно (можна вважати, що ці змінні мають нуль), а в другому рівнянні є x і z , а змінна y явно не представлена. Іншими словами, перше рівняння можна розглядати як , а друге – як x+0·y−3·z=0 .

Третій момент, у якому розрізняються системи рівнянь, це вид самих рівнянь.

У школі вивчення систем рівнянь починається з систем двох лінійних рівнянь із двома змінними. Тобто такі системи складають два лінійні рівняння. Ось кілька прикладів: і . Там і пізнаються ази роботи з системами рівнянь.

При вирішенні складніших завдань можна зіткнутися і з системами трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими.

Далі в 9 класі до системи двох рівнянь із двома змінними додаються нелінійні рівняння, здебільшого цілі рівняння другого ступеня, рідше – вищих ступенів. Ці системи називають системами нелінійних рівнянь, у разі потреби уточнюють кількість рівнянь і невідомих. Покажемо приклади таких систем нелінійних рівнянь: та .

А далі в системах зустрічаються і, наприклад, . Їх зазвичай називають просто системами рівнянь, не уточнюючи яких саме рівнянь. Тут варто зауважити, що найчастіше про систему рівнянь говорять просто «система рівнянь», а уточнення додають лише за необхідності.

У старших класах у міру вивчення матеріалу в системи проникають ірраціональні, тригонометричні, логарифмічні та показові рівняння: , , .

Якщо заглянути ще далі в програму перших курсів ВНЗ, то основний наголос зроблено на дослідження та вирішення систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ), тобто, рівнянь, у лівих частинах яких багаточлени першого ступеня, а в правих – деякі числа. Але там, на відміну від школи, вже беруться не два лінійні рівняння з двома змінними, а довільна кількість рівнянь з довільним числом змінних, що часто не збігаються з числом рівнянь.

Що називається розв'язком системи рівнянь?

До систем рівнянь безпосередньо належить термін «вирішення системи рівнянь». У школі дається визначення рішення системи рівнянь із двома змінними :

Визначення.

Розв'язанням системи рівнянь із двома змінниминазивається пара значень цих змінних, що обертає кожне рівняння системи у вірне , тобто є рішенням кожного рівняння системи.

Наприклад, пара значень змінних x=5 , y=2 (її можна записати як (5, 2) ) є рішенням системи рівнянь за визначенням, так як рівняння системи при підстановці в них x=5 , y=2 звертаються у вірні числові рівності 5+2=7 та 5−2=3 відповідно. А ось пара значень x=3 , y=0 не є рішенням цієї системи, так як при підстановці цих значень рівняння, перше з них звернеться в неправильну рівність 3+0=7 .

Аналогічні визначення можна сформулювати й у систем із однією змінною, і навіть для систем із трьома, чотирма тощо. змінними.

Визначення.

Розв'язанням системи рівнянь з однією змінноюбуде значення змінної, що є коренем всіх рівнянь системи, тобто, що обертає всі рівняння у вірні числові рівності.

Наведемо приклад. Розглянемо систему рівнянь із однією змінною t виду . Число −2 є її рішенням, оскільки і (−2) 2 =4 , і 5·(−2+2)=0 – вірні числові рівності. А t = 1 - не є рішенням системи, так як підстановка цього значення дасть дві неправильні рівності 1 2 = 4 і 5 · (1 +2) = 0 .

Визначення.

Рішенням системи з трьома, чотирма тощо. змінниминазивається трійка, четвірка і т.д. значень змінних відповідно, що перетворює на вірні рівності всі рівняння системи.

Так щодо визначення трійка значень змінних x=1 , y=2 , z=0 – рішення системи , Так як 2 · 1 = 2, 5 · 2 = 10 і 1 +2 +0 = 3 - вірні числові рівності. А (1, 0, 5) не є рішенням цієї системи, так як при підстановці цих значень змінних рівняння системи друге з них звертається в неправильну рівність 5 · 0 = 10, та і третє теж 1 + 0 + 5 = 3 .

Зауважимо, що системи рівнянь можуть мати рішень, можуть мати кінцеве число рішень, наприклад, одне, два, …, а можуть мати нескінченно багато рішень. У цьому Ви переконаєтесь у міру поглиблення теми.

Враховуючи визначення системи рівнянь та їх рішень можна зробити висновок, що розв'язання системи рівнянь є перетином множини рішень всіх її рівнянь.

На закінчення наведемо кілька пов'язаних визначень:

Визначення.

несуміснийякщо вона не має рішень, інакше система називається спільної.

Визначення.

Система рівнянь називається невизначеною, якщо вона має нескінченно багато рішень, та певноюякщо має кінцеве число рішень, або не має їх взагалі.

Ці терміни вводяться, наприклад, у підручнику, проте у школі застосовуються досить рідко, частіше їх можна почути у вищих навчальних закладах.

Список літератури.

1. Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 17-те вид., Дод. – К.: Мнемозіна, 2013. – 175 с.: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Мордковіч А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2011. – 222 с.: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Мордковіч А. Г.Алгебра та початку математичного аналізу. 11 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ге вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2008. – 287 с.: іл. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
7. А. Г. Курош. Курс найвищої алгебри.
8. Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Аналітична геометрія:Навч.: Для вузів. - 5-те вид. - М.: Наука. Фізматліт, 1999. - 224 с. – (Курс вищої математики та мат. фізики). – ISBN 5-02-015234 – X (Вип. 3)

На цьому уроці ми розглянемо способи розв'язання системи лінійних рівнянь. У курсі вищої математики системи лінійних рівнянь потрібно вирішувати як окремих завдань, наприклад, «Вирішити систему за формулами Крамера», і під час вирішення інших завдань. З системами лінійних рівнянь доводиться мати справу майже переважають у всіх розділах вищої математики.

Спочатку трохи теорії. Що в даному випадку означає математичне слово "лінійних"? Це означає, що у рівняння системи всізмінні входять у першому ступені: без усяких химерних речей начебто і т.п., яких у захваті бувають лише учасники математичних олімпіад.

У вищій математиці для позначення змінних використовуються як знайомі з дитинства букви .
Досить популярний варіант – змінні з індексами: .
Або початкові літери латинського алфавіту, маленькі та великі:
Не так вже й рідко можна зустріти грецькі літери: – відомі багатьом «альфа, бета, гама». А також набір з індексами, скажімо, з буквою мю:

Використання тієї чи іншої набору букв залежить від розділу вищої математики, у якому зіштовхуємося з системою лінійних рівнянь. Так, наприклад, у системах лінійних рівнянь, що зустрічаються при вирішенні інтегралів, диференціальних рівнянь традиційно прийнято використовувати позначення

Але як би не позначалися змінні, принципи, методи та способи розв'язання системи лінійних рівнянь від цього не змінюються. Таким чином, якщо Вам зустрінеться щось страшне типу, не поспішайте в страху закривати задачник, зрештою, замість можна намалювати сонце, замість - пташку, а замість - пику (викладача). І, як не смішно, систему лінійних рівнянь із цими позначеннями також можна вирішити.

Щось у мене є таке передчуття, що стаття вийде досить довгою, тому невеликий зміст. Отже, послідовний «розбір польотів» буде таким:

– Вирішення системи лінійних рівнянь методом підстановки («шкільний метод»);
– Рішення системи методом почленного складання (віднімання) рівнянь системи;
– Рішення системи за формулами Крамера;
– Рішення системи за допомогою зворотної матриці;
– Рішення системи методом Гауса.

Із системами лінійних рівнянь усі знайомі зі шкільного курсу математики. По суті, починаємо з повторення.

Вирішення системи лінійних рівнянь методом підстановки

Цей метод можна назвати «шкільним методом» чи методом виключення невідомих. Образно кажучи, його можна назвати «недоробленим методом Гаусса».

Приклад 1

Тут у нас дана система із двох рівнянь із двома невідомими. Зверніть увагу, що вільні члени (числа 5 та 7) розташовані у лівій частині рівняння. Взагалі кажучи, все одно, де вони знаходяться, ліворуч або праворуч, просто в завданнях з вищої математики нерідко вони розташовані саме так. І такий запис не повинен бентежити, при необхідності систему завжди можна записати «як зазвичай»: . Не забуваймо, що при перенесенні доданку з частини в частину у нього необхідно змінити символ.

Що означає розв'язати систему лінійних рівнянь? Вирішити систему рівнянь – це знайти безліч її рішень. Рішення системи є набір значень всіх змінних, що входять до неї, який звертає КОЖНЕ рівняння системи у правильну рівність. Крім того, система може бути несумісний (не мати рішень).Не тушуйтесь, це загальне визначення =) А в нас буде лише одне значення «ікс» і одне значення «гравець», які задовольняють кожному рівнянню с-мы.

Існує графічний метод вирішення системи, з яким можна ознайомитись на уроці Найпростіші завдання з прямою. Там же я розповів про геометричному сенсісистеми двох лінійних рівнянь із двома невідомими. Але зараз на подвір'ї ера алгебри, і числа-числа, дії-дії.

Вирішуємо: з першого рівняння виразимо:
Отримане вираз підставляємо на друге рівняння:

Розкриваємо дужки, наводимо подібні доданки і знаходимо значення:

Далі згадуємо про те, від чого танцювали:
Значення нам уже відоме, залишилося знайти:

Відповідь:

Після того, як вирішена будь-яка система рівнянь будь-яким способом, настійно рекомендую виконати перевірку (Усно, на чернетці або калькуляторі). Добре, що це робиться легко і швидко.

1) Підставляємо знайдену відповідь у перше рівняння:

- Отримано правильну рівність.

2) Підставляємо знайдену відповідь у друге рівняння:

- Отримано правильну рівність.

Або, якщо говорити простіше, «все зійшлося»

Розглянутий спосіб рішення є єдиним, з першого рівняння можна було висловити , а чи не .
Можна навпаки – щось висловити з другого рівняння та підставити перше рівняння. До речі, зауважте, найневигідніший із чотирьох способів – висловити з другого рівняння:

Виходять дроби, а воно навіщо? Є раціональне рішення.

Тим не менш, у ряді випадків без дробів все-таки не обійтися. У зв'язку з цим звертаю Вашу увагу на те, ЯК я записав вираз. Не так: , і в жодному разі не так: .

Якщо у вищій математиці Ви маєте справу з дробовими числами, всі обчислення намагайтеся проводити у звичайних неправильних дробах .

Саме, а не чи!

Кому можна використовувати лише іноді, зокрема, якщо – це остаточна відповідь якогось завдання, і з цим числом більше не потрібно виконувати жодних дій.

Багато читачів, напевно, подумали «та навіщо таке докладне пояснення, як для класу корекції, і так все зрозуміло». Нічого подібного, начебто такий простий шкільний приклад, а скільки ДУЖЕ важливих висновків! Ось ще один:

Будь-яке завдання слід прагнути виконати найраціональнішим способом. Хоча б тому, що це економить час і нерви, а також знижує ймовірність припуститися помилки.

Якщо в задачі з вищої математики Вам зустрілася система двох лінійних рівнянь із двома невідомими, то завжди можна використовувати метод підстановки (якщо не вказано, що систему потрібно вирішити іншим методом) Жоден викладач не подумає, що ти лох знизить оцінку за використання «шкільного методу ».
Більше того, у ряді випадків метод підстановки доцільно використовувати і за більшої кількості змінних.

Приклад 2

Вирішити систему лінійних рівнянь із трьома невідомими

Схожа система рівнянь часто виникає при використанні так званого методу невизначених коефіцієнтів, коли ми знаходимо інтеграл від дробової раціональної функції. Ця система взята мною якраз звідти.

При знаходженні інтегралу – ціль швидковизначити значення коефіцієнтів , а чи не витончуватися формулами Крамера, шляхом зворотної матриці тощо. Тому в даному випадку доречний саме метод підстановки.

Коли дана будь-яка система рівнянь, насамперед бажано з'ясувати, а чи не можна її якось ВІДРАЗУ спростити? Аналізуючи рівняння системи, зауважуємо, що друге рівняння системи можна поділити на 2, що ми і робимо:

Довідка:математичний знак означає «з цього випливає це», він часто використовується в ході вирішення завдань.

Тепер аналізуємо рівняння, нам потрібно висловити якусь змінну через решту. Яке рівняння вибрати? Напевно, Ви вже здогадалися, що найпростіше для цієї мети взяти перше рівняння системи:

Тут все одно, яку змінну висловлювати, можна було з таким самим успіхом висловити або .

Далі, вираз для підставляємо у друге та третє рівняння системи:

Розкриваємо дужки та наводимо подібні доданки:

Третє рівняння ділимо на 2:

З другого рівняння виразимо і підставимо у третій рівняння:

Практично все готово, з третього рівняння знаходимо:
З другого рівняння:
З першого рівняння:

Перевірка: Підставимо знайдені значення змінних у ліву частину кожного рівняння системи:

1)
2)
3)

Отримано відповідні праві частини рівнянь, таким чином, рішення знайдено правильно.

Приклад 3

Розв'язати систему лінійних рівнянь із 4 невідомими

Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку).

Рішення системи методом почленного складання (віднімання) рівнянь системи

У результаті рішення систем лінійних рівнянь потрібно намагатися використовувати не «шкільний метод», а метод почленного складання (віднімання) рівнянь системи. Чому? Це заощаджує час і спрощує обчислення, проте зараз стане все зрозуміліше.

Приклад 4

Розв'язати систему лінійних рівнянь:

Я взяв ту саму систему, що й на першому прикладі.
Аналізуючи систему рівнянь, зауважуємо, що коефіцієнти при змінній однакові за модулем і протилежні за знаком (–1 та 1). У такій ситуації рівняння можна скласти почленно:

Дії, обведені червоним кольором, виконуються ДУМКОВО.
Як бачите, в результаті почленного додавання у нас зникла змінна . У цьому, власне, і полягає суть методу – позбутися однієї зі змінних.

Розв'язати систему рівнянь- це означає знайти загальні рішення для всіх рівнянь системи або переконатися, що рішення немає.

Щоб вирішити систему рівнянь, потрібно виключити одне невідоме, тобто із двох рівнянь із двома невідомими скласти одне рівняння з одним невідомим. Виключити одне з невідомих можна трьома способами: підстановкою, порівнянням, додаванням або відніманням.

Спосіб підстановки

Щоб вирішити систему рівнянь способом підстановки, потрібно в одному з рівнянь висловити одне невідоме через інше і результат підставити в інше рівняння, яке буде містити тільки одне невідоме. Потім знаходимо значення цього невідомого і підставляємо його на перше рівняння, після цього знаходимо значення другого невідомого.

Розглянемо розв'язання системи рівнянь:

Вирішуємо отримане рівняння, щоб знайти, чому дорівнює y. Як вирішувати рівняння з одним невідомим, ви можете подивитися у відповідній темі.

3(2 + 4y) - 2y = 16

6 + 12y - 2y = 16

6 + 10y = 16

10y = 16 - 6

10y = 10

y = 10: 10

y = 1

Ми визначили що y= 1. Тепер, знаходження чисельного значення x, підставимо значення yу перетворене перше рівняння, де ми раніше знайшли, до якого виразу дорівнює x:

x = 2 + 4y= 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6

Відповідь: x = 6, y = 1.

Спосіб порівняння

Спосіб порівняння - це окремий випадок підстановки. Щоб вирішити систему рівнянь способом порівняння, потрібно в обох рівняннях знайти, якому виразу буде одно і те ж невідоме і прирівняти отримані вирази один до одного. Урівняння, що вийшло в результаті, дозволяє дізнатися значення одного невідомого. За допомогою цього значення обчислюється значення другого невідомого.

Наприклад, для вирішення системи:

Складаємо з отриманих виразів рівняння:

2 - x = 32 - 6x 2 - x + 6x = 32 - 2 5x = 30 x = 30: 5 x = 6

Тепер підставляємо значення xу перше чи друге рівняння системи та знаходимо значення y:

Відповідь: x = 6, y = 1.

Спосіб складання або віднімання

Щоб вирішити систему рівнянь способом додавання, потрібно скласти з двох рівнянь одне, склавши ліві та праві частини, при цьому одне з невідомих повинно бути виключено з отриманого рівняння. Невідоме можна виключити, зрівнявши при ньому коефіцієнти обох рівняннях.

Розглянемо систему:

Тепер складемо частинами обидва рівняння, щоб отримати рівняння з одним невідомим:

Тепер віднімемо частинами друге рівняння з першого, щоб отримати рівняння з одним невідомим:

Відповідь: x = 6, y = 1.

Для вирішення системи рівнянь, розглянутої вище, був використаний спосіб додавання, який заснований на наступній властивості:

Будь-яке рівняння системи можна замінити рівняння, одержуване шляхом складання (чи віднімання) рівнянь, які входять у систему. У цьому виходить система рівнянь, має ті самі рішення, як і вихідна.