Формули арксінусів та арккосінусів арктангенсів арккотангенсів. Тригонометрія. Зворотні тригонометричні функції. Арктанген. Графік функції y = arctg x

У цій статті розглядаються питання знаходження значень арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу заданого числа. Для початку вводяться поняття арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу. Розглядаємо основні їх значення, за таблицями, зокрема й Брадіса, знаходження цих функцій.

Значення арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу

Необхідно розібратися в поняттях «значення арксинусу, арккосинусу, арктангенсу, арккотангенсу».

Визначення арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу числа допоможуть розібратися у обчисленні заданих функцій. Значення тригонометричних функцій кута дорівнює числу a тоді автоматично вважається величиною цього кута. Якщо a – число, тоді це значення функції.

Для чіткого розуміння розглянемо приклад.

Якщо маємо арккосинус кута рівного π 3 то значення косинуса звідси дорівнює 1 2 по таблиці косінусів. Даний кут розташований у проміжку від нуля до пі, отже, значення арккосинусу 1 2 отримаємо π на 3 . Такий тригонометричний вираз записується як a r cos (12) = π3.

Завбільшки кута може бути як градус, так і радіан. Значення кута π 3 дорівнює куту в 60 градусів (детальніше розбирається у темі переведення градусів у радіани і назад). Даний приклад з арккосинусом 12 має значення 60 градусів. Такий тригонометричний запис має вигляд a r c cos 1 2 = 60 °

Основні значення arcsin, arccos, arctg та arctg

Завдяки таблиці синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів,ми маємо точні значення кута при 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 градусів. Таблиця досить зручна і з неї можна отримувати деякі значення для аркфункцій, які мають назву як основні значення арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу.

Таблиця синусів основних кутів пропонує такі результати значень кутів:

sin (- π 2) = - 1 , sin (- π 3) = - 3 2 , sin (- π 4) = - 2 2 , sin (- π 6) = - 1 2 , sin 0 = 0 , sin π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1

Враховуючи їх, можна легко вирахувати арксинус числа всіх стандартних значень, починаючи від - 1 і закінчуючи 1, також значення від - π 2 до + π 2 радіанів, дотримуючись його основного значення визначення. Це є основними значеннями арксинуса.

Для зручного застосування значень арксинусу занесемо до таблиці. Згодом доведеться вивчити ці значення, оскільки практично доводиться часто до них звертатися. Нижче наведено таблицю арксинусу з радіанним та градусним значенням кутів.

Для отримання основних значень арккосинусу необхідно звернутися до таблиці косинусів основних кутів. Тоді маємо:

cos 0 = 1 , cos π 6 = 3 2 , cos π 4 = 2 2 , cos π 3 = 1 2 , cos π 2 = 0 , cos 2 π 3 = - 1 2 , cos 3 π 4 = - 2 2 , cos 5 π 6 = - 3 2 , cos π = - 1

Виходячи з таблиці, знаходимо значення арккосинусу:

a r c cos (-1) = π, arccos (- 3 2) = 5 π 6 , arcocos (- 2 2) = 3 π 4 , arccos - 1 2 = 2 π 3 , arccos 0 = π 2 , arccos 1 2 = π 3 , arccos 2 2 = π 4 , arccos 3 2 = π 6 , arccos 1 = 0

Таблиця арккосинусов.

Таким же чином, виходячи з визначення та стандартних таблиць, знаходяться значення арктангенсу та арккотангенсу, які зображені в таблиці арктангенсів та арккотангенсів нижче.

a r c sin , a r c cos , a r c t g та a r c c t g

Для точного значення a r c sin , a r c cos , a r c t g та a r c c t g числа необхідно знати величину кута. Про це йдеться у попередньому пункті. Проте, точне значення функції нам невідоме. Якщо необхідно знайти числове наближене значення аркфункцій, застосовують таблицю синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів Брадіса.

Така таблиця дозволяє виконувати досить точні обчислення, оскільки значення надаються з чотирма знаками після коми. Завдяки цьому номеру виходять точними до хвилини. Значення a r c sin , a r c cos , a r c t g та a r c c t g негативних і позитивних чисел зводиться до знаходження формул a r c sin , a r c cos , a r c t g та a r c c t g протилежних чисел виду a r c sin (- α) - a r c cos α , a r c t g (- α) = - a r c t g α, a r c t g (- α) = π - a r c c t g α.

Розглянемо рішення знаходження значень a r c sin , a r c cos , a r c t g та a r c c t g за допомогою таблиці Брадіса.

Якщо нам необхідно знайти значення арксинуса 0, 2857, шукаємо значення, знайшовши таблицю синусів. Бачимо, що даному числу відповідає значення кута sin 16 градусів та 36 хвилин. Значить, арксинус числа 0, 2857 - це кут, що шукається, в 16 градусів і 36 хвилин. Розглянемо малюнку нижче.

Правіше за градуси є стовпці звані поправки. При шуканому арксинусі 0,2863 використовується та сама поправка в 0,0006, так як найближчим числом буде 0,2857. Отже, отримаємо синус 16 градусів 38 хвилин і 2 хвилини завдяки поправці. Розглянемо малюнок із зображенням таблиці Брадіса.

Бувають ситуації, коли шуканого числа немає в таблиці і навіть з поправками його не визначити, тоді знаходиться два найближчі значення синусів. Якщо число 0,2861573, то число 0,2860 і 0,2863 є найближчими його значеннями. Цим числам відповідають значення синуса 16 градусів 37 хвилин та 16 градусів та 38 хвилин. Тоді наближене значення цього числа можна визначити з точністю до хвилини.

Таким чином, знаходяться значення a r c sin , a r c cos , a r c t g і a r c c t g .

Щоб знайти арксинус через відомий арккосинус даного числа, потрібно застосувати тригонометричні формули a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α + a r c c t g α = π 2 (необхідно переглянути тему формул сумыарккосинусу та арксинусу, суми арктангенсу та арккотангенсу).

При відомому a r c sin α = - π 12 необхідно знайти значення a r c cos α тоді необхідно обчислити арккосинус за формулою:

a r c cos α = π 2 − a rc sin α = π 2 − (− π 12) = 7 π 12 .

Якщо необхідно знайти значення арктангенсу або арккотангенса числа a за допомогою відомого арксинусу або арккосинусу, необхідно проводити довгі обчислення, оскільки стандартних формул немає. Розглянемо з прикладу.

Якщо дано арккосинус числа а дорівнює 10 , а обчислити арктангенс даного числа допоможе таблиця тангенсів. Кут ?

При пошуку значення арктангенса 0 9511 визначаємо, що значення кута має 43 градуси і 34 хвилини. Розглянемо за таблицею нижче.

Фактично таблиця Брадіса допомагає в знаходженні необхідного значення кута і при значенні кута дозволяє визначити кількість градусів.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Якщо говорити просто, це овочі, приготовлені у воді за спеціальним рецептом. Я розглядатиму два вихідні компоненти (овочевий салат і воду) і готовий результат – борщ. Геометрично це можна як прямокутник, у якому одна сторона позначає салат, друга сторона позначає воду. Сума цих двох сторін позначатиме борщ. Діагональ і площа такого борщового прямокутника є суто математичними поняттями і ніколи не використовуються в рецептах приготування борщу.

Як салат і вода перетворюються на борщ з погляду математики? Як сума двох відрізків може перетворитися на тригонометрію? Щоб зрозуміти це, нам знадобляться лінійні кутові функції.

У підручниках математики ви нічого не знайдете про лінійні кутові функції. Адже без них не може бути математики. Закони математики, як і закони природи, працюють незалежно від того, знаємо ми про їхнє існування чи ні.

Лінійні кутові функції – це закони складання.Подивіться, як алгебра перетворюється на геометрію, а геометрія перетворюється на тригонометрію.

Чи можна обійтись без лінійних кутових функцій? Можна, адже математики досі без них обходяться. Хитрість математиків полягає в тому, що вони завжди розповідають нам тільки про ті завдання, які вони самі вміють вирішувати, і ніколи не розповідають про ті завдання, які вони не вміють вирішувати. Дивіться. Якщо нам відомий результат додавання та один доданок, для пошуку іншого доданку ми використовуємо віднімання. Всі. Інших завдань ми не знаємо і вирішувати не вміємо. Що робити в тому випадку, якщо нам відомий тільки результат додавання і не відомі обидва доданки? У цьому випадку результат додавання потрібно розкласти на два складові за допомогою лінійних кутових функцій. Далі ми вже самі вибираємо, яким може бути один доданок, а лінійні кутові функції показують, яким має бути другий доданок, щоб результат додавання був саме таким, який нам потрібен. Таких пар доданків може бути безліч. У повсякденному житті ми чудово обходимося без розкладання суми, нам достатньо віднімання. А ось при наукових дослідженнях законів природи розкладання суми на доданки може стати в нагоді.

Ще один закон додавання, про який математики не люблять говорити (ще одна їхня хитрість), вимагає, щоб доданки мали однакові одиниці виміру. Для салату, води та борщу це можуть бути одиниці виміру ваги, обсягу, вартості або одиниці виміру.

На малюнку показано два рівні відмінностей для математичних. Перший рівень - це відмінності в області чисел, які позначені a, b, c. Це те, чим займаються математики. Другий рівень - це відмінності в області одиниць виміру, які показані у квадратних дужках та позначені буквою U. Цим займаються фізики. Ми можемо розуміти третій рівень - розбіжності у сфері описуваних об'єктів. Різні об'єкти можуть мати однакову кількість однакових одиниць виміру. Наскільки це важливо, ми можемо побачити з прикладу тригонометрії борщу. Якщо ми додамо нижні індекси до однакового позначення одиниць вимірювання різних об'єктів, то зможемо точно говорити, яка математична величина описує конкретний об'єкт і як вона змінюється з часом або у зв'язку з нашими діями. Літерою Wя позначу воду, буквою Sпозначу салат і буквою B- Борщ. Ось як виглядатимуть лінійні кутові функції для борщу.

Якщо ми візьмемо якусь частину води та якусь частину салату, разом вони перетворяться на одну порцію борщу. Тут я пропоную вам трохи відволіктися від борщу та згадати далеке дитинство. Пам'ятаєте, як нас вчили складати разом зайчиків та качечок? Потрібно було знайти, скільки всього звірят вийде. Що ж тоді нас вчили робити? Нас вчили відривати одиниці виміру від чисел і складати числа. Так, будь-яке число можна скласти з іншим будь-яким числом. Це прямий шлях до аутизму сучасної математики - ми робимо незрозуміло, що, незрозуміло навіщо і дуже погано розуміємо, як це стосується реальності, адже з трьох рівнів відмінності математики оперують лише одним. Правильніше буде навчитися переходити від одних одиниць виміру до інших.

І зайчиків, і качечок, і звірят можна порахувати в штуках. Одна загальна одиниця виміру для різних об'єктів дозволяє нам скласти їх разом. Це дитячий варіант завдання. Погляньмо на схоже завдання для дорослих. Що вийде, якщо скласти зайчиків та гроші? Тут можна запропонувати два варіанти рішення.

Перший варіант. Визначаємо ринкову вартість зайчиків і складаємо її з наявною грошовою сумою. Ми отримали загальну вартість нашого багатства у грошовому еквіваленті.

Другий варіант. Можна кількість кроликів скласти з кількістю наявних у нас грошових купюр. Ми отримаємо кількість рухомого майна у штуках.

Як бачите, той самий закон додавання дозволяє отримати різні результати. Все залежить від того, що ми хочемо знати.

Але повернемось до нашого борщу. Тепер ми можемо подивитися, що відбуватиметься за різних значень кута лінійних кутових функцій.

Кут дорівнює нулю. Ми маємо салат, але немає води. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу також дорівнює нулю. Це зовсім не означає, що нуль борщу дорівнює нулю води. Нуль борщу може бути при нулі салату (прямий кут).

Особисто для мене це основний математичний доказ того факту, що . Нуль не змінює число під час додавання. Це відбувається тому, що саме додавання неможливе, якщо є тільки один доданок і відсутній другий доданок. Ви до цього можете ставитися як завгодно, але пам'ятайте - всі математичні операції з нулем придумали самі математики, тому відкидайте свою логіку і тупо зубріть визначення, придумані математиками: "поділ на нуль неможливий", "будь-яке число, помножене на нуль, дорівнює нулю" , "за виколом точки нуль" та інше марення. Достатньо один раз запам'ятати, що нуль не є числом, і у вас вже ніколи не виникне питання, чи є нуль натуральним числом чи ні, тому що таке питання взагалі позбавляється всякого сенсу: як можна вважати числом те, що числом не є. Це все одно, що питати, до якого кольору віднести невидимий колір. Додавати нуль до числа - це те саме, що фарбувати фарбою, якої немає. Сухим пензликом помахали і говоримо всім, що "ми пофарбували". Але я трохи відволікся.

Кут більший за нуль, але менше сорока п'яти градусів. В нас багато салату, але мало води. В результаті ми отримаємо густий борщ.

Кут дорівнює сорок п'ять градусів. Ми маємо в рівних кількостях воду та салат. Це ідеальний борщ (хай вибачать мені кухарі, це просто математика).

Кут більше сорока п'яти градусів, але менше дев'яноста градусів. У нас багато води та мало салату. Вийде рідкий борщ.

Прямий кут. Ми маємо воду. Від салату залишилися лише спогади, оскільки кут ми продовжуємо вимірювати від лінії, яка колись означала салат. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу дорівнює нулю. У такому разі, тримайтеся та пийте воду, поки вона є)))

Ось. Якось так. Я можу тут розповісти й інші історії, які будуть більш доречними.

Двоє друзів мали свої частки у спільному бізнесі. Після вбивства одного з них все дісталося іншому.

Поява математики на планеті.

Всі ці історії мовою математики розказані за допомогою лінійних кутових функцій. Якось іншим разом я покажу вам реальне місце цих функцій у структурі математики. А поки що, повернемося до тригонометрії борщу та розглянемо проекції.

субота, 26 жовтня 2019 р.

середа, 7 серпня 2019 р.

Завершуючи розмову про , потрібно розглянути безліч. Дало в тому, що поняття "нескінченність" діє на математиків, як удав на кролика. Тремтливий жах перед нескінченністю позбавляє математиків здорового глузду. Ось приклад:

Першоджерело знаходиться. Альфа означає дійсне число. Знак рівності в наведених виразах свідчить про те, що якщо до нескінченності додати число або нескінченність, нічого не зміниться, в результаті вийде така сама нескінченність. Якщо в якості прикладу взяти безліч натуральних чисел, то розглянуті приклади можна представити в такому вигляді:

Для наочного доказу своєї правоти математики вигадали багато різних методів. Особисто я дивлюся на всі ці методи, як на танці шаманів із бубнами. По суті, всі вони зводяться до того, що або частина номерів не зайнята і в них заселяються нові гості, або частину відвідувачів викидають у коридор, щоб звільнити місце для гостей (дуже навіть по-людськи). Свій погляд на подібні рішення я виклав у формі фантастичного оповідання про Блондинку. На чому ґрунтуються мої міркування? Переселення нескінченної кількості відвідувачів потребує багато часу. Після того, як ми звільнили першу кімнату для гостя, один із відвідувачів завжди буде йти коридором зі свого номера до сусіднього до кінця століття. Звичайно, фактор часу можна тупо ігнорувати, але це вже буде з розряду "дурням закон не писаний". Все залежить від того, чим ми займаємося: підганяємо реальність під математичні теорії чи навпаки.

Що ж таке "нескінченний готель"? Нескінченний готель - це готель, де завжди є будь-яка кількість вільних місць, незалежно від того, скільки номерів зайнято. Якщо всі номери в нескінченному коридорі для відвідувачів зайняті, є інший нескінченний коридор з номерами для гостей. Таких коридорів буде безліч. При цьому у "нескінченного готелю" нескінченна кількість поверхів у нескінченній кількості корпусів на нескінченній кількості планет у нескінченній кількості всесвітів, створених нескінченною кількістю Богів. Математики ж не здатні відсторонитися від банальних побутових проблем: Бог-Аллах-Будда – завжди лише один, готель – він один, коридор – лише один. Ось математики й намагаються підтасовувати порядкові номери готельних номерів, переконуючи нас у тому, що можна "впхнути непохитне".

Логіку своїх міркувань я вам продемонструю на прикладі нескінченної множини натуральних чисел. Для початку потрібно відповісти на дуже просте запитання: скільки множин натуральних чисел існує одне чи багато? Правильного відповіді це питання немає, оскільки числа придумали ми самі, у Природі чисел немає. Так, Природа чудово вміє рахувати, але для цього вона використовує інші математичні інструменти, не звичні для нас. Як природа вважає, я вам розповім в інший раз. Оскільки числа придумали ми, ми самі вирішуватимемо, скільки множин натуральних чисел існує. Розглянемо обидва варіанти, як і належить справжнім ученим.

Варіант перший. "Нехай нам дано" одне-єдине безліч натуральних чисел, яке безтурботно лежить на поличці. Беремо з полички це безліч. Все, інших натуральних чисел на поличці не залишилося і взяти їх нема де. Ми не можемо до цієї множини додати одиницю, оскільки вона в нас уже є. А якщо дуже хочеться? Без проблем. Ми можемо взяти одиницю з уже взятої нами множини і повернути її на поличку. Після цього ми можемо взяти з полички одиницю і додати її до того, що залишилося. В результаті ми знову отримаємо безліч натуральних чисел. Записати всі наші маніпуляції можна так:

Я записав дії в системі алгебри позначень і в системі позначень, прийнятої в теорії множин, з детальним перерахуванням елементів множини. Нижній індекс вказує на те, що багато натуральних чисел у нас одне і єдине. Виходить, що безліч натуральних чисел залишиться незмінним тільки в тому випадку, якщо відняти одиницю і додати цю ж одиницю.

Варіант другий. У нас на поличці лежить багато різних нескінченних множин натуральних чисел. Наголошую - РІЗНИХ, не дивлячись на те, що вони практично не відрізняються. Беремо одну з цих множин. Потім з іншої множини натуральних чисел беремо одиницю і додаємо до вже взятої нами множини. Ми можемо навіть скласти дві множини натуральних чисел. Ось що в нас вийде:

Нижні індекси "один" і "два" вказують на те, що ці елементи належали різним множинам. Так, якщо до нескінченної множини додати одиницю, в результаті вийде теж нескінченна множина, але вона не буде такою ж, як початкова множина. Якщо до однієї нескінченної множини додати іншу нескінченну множину, в результаті вийде нова нескінченна множина, що складається з елементів перших двох множин.

Багато натуральних чисел використовується для рахунку так само, як лінійка для вимірювань. Тепер уявіть, що до лінійки ви додали один сантиметр. Це вже буде інша лінійка, яка не дорівнює початковій.

Ви можете приймати чи не приймати мої міркування – це ваша особиста справа. Але якщо колись ви зіткнетеся з математичними проблемами, подумайте, чи не йдете ви стежкою хибних міркувань, протоптаною поколіннями математиків. Адже заняття математикою передусім формують у нас стійкий стереотип мислення, а вже потім додають нам розумових здібностей (або навпаки, позбавляють нас вільнодумства).

pozg.ru

неділя, 4 серпня 2019 р.

Дописував постскриптум до статті про і побачив у Вікіпедії цей чудовий текст:

Читаємо: "...багата теоретична основа математики Вавилону у відсутності цілісного характеру і зводилася до набору розрізнених прийомів, позбавлених загальної системи та доказової бази."

Вау! Які ми розумні та як добре можемо бачити недоліки інших. А чи слабко нам подивитися на сучасну математику в такому ж розрізі? Злегка перефразовуючи наведений текст, особисто мені вийшло таке:

Багата теоретична основа сучасної математики немає цілісного характеру і зводиться до набору розрізнених розділів, позбавлених загальної системи та доказової бази.

За підтвердженням своїх слів я далеко ходити не буду - має мову та умовні позначення, відмінні від мови та умовних позначень багатьох інших розділів математики. Одні й самі назви у різних розділах математики можуть мати різний сенс. Найбільш очевидним ляпам сучасної математики хочу присвятити цілий цикл публікацій. До скорої зустрічі.

субота, 3 серпня 2019 р.

Як поділити множину на підмножини? Для цього необхідно ввести нову одиницю виміру, присутню в частині елементів обраної множини. Розглянемо приклад.

Нехай у нас є безліч А, Що складається з чотирьох людей. Сформовано цю множину за ознакою "люди" Позначимо елементи цієї множини через букву а, нижній індекс з цифрою вказуватиме на порядковий номер кожної людини у цій множині. Введемо нову одиницю виміру "статевий ознака" і позначимо її літерою b. Оскільки статеві ознаки властиві всім людям, множимо кожен елемент множини Ана статеву ознаку b. Зверніть увагу, що тепер наша безліч "люди" перетворилася на безліч "люди зі статевими ознаками". Після цього ми можемо розділити статеві ознаки на чоловічі bmта жіночі bwстатеві ознаки. Ось тепер ми можемо застосувати математичний фільтр: вибираємо один із цих статевих ознак, байдуже який - чоловічий чи жіночий. Якщо вона присутня у людини, тоді множимо її на одиницю, якщо такої ознаки немає – множимо її на нуль. А далі застосовуємо звичайну шкільну математику. Дивіться, що вийшло.

Після множення, скорочень і перегрупувань, ми отримали дві підмножини: підмножина чоловіків Bmі підмножина жінок Bw. Приблизно так само міркують математики, коли застосовують теорію множин на практиці. Але в деталі вони нас не присвячують, а видають готовий результат - "безліч людей складається з підмножини чоловіків і підмножини жінок". Природно, у вас може виникнути питання, наскільки правильно застосовано математику у викладених вище перетвореннях? Смію вас запевнити, по суті перетворень зроблено все правильно, достатньо знати математичне обґрунтування арифметики, булевої алгебри та інших розділів математики. Що це таке? Якось іншим разом я вам про це розповім.

Що стосується надмножин, то об'єднати дві множини в одну надмножину можна, підібравши одиницю виміру, що є у елементів цих двох множин.

Як бачите, одиниці виміру та звичайна математика перетворюють теорію множин на пережиток минулого. Ознакою те, що з теорією множин не все гаразд, і те, що з теорії множин математики придумали власну мову і позначення. Математики вчинили так, як колись робили шамани. Тільки шамани знають, як "правильно" застосовувати їх "знання". Цим "знанням" вони навчають нас.

На закінчення, я хочу показати вам, як математики маніпулюють з .

понеділок, 7 січня 2019 р.

У п'ятому столітті до нашої ери давньогрецький філософ Зенон Елейський сформулював свої знамениті апорії, найвідомішою з яких є апорія "Ахілес і черепаха". Ось як вона звучить:

Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахілес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.

У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі та дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.
Покажу процес на прикладі. Відбираємо "червоне тверде в пухирцю" - це наше "ціле". При цьому ми бачимо, що ці штучки є з бантиком, а без бантика. Після цього ми відбираємо частину "цілого" і формуємо безліч "з бантиком". Ось так шамани добувають собі корм, прив'язуючи свою теорію множин до реальності.

А тепер зробимо маленьку пакість. Візьмемо "тверде в пухирцю з бантиком" і об'єднаємо ці "цілі" за колірною ознакою, відібравши червоні елементи. Ми отримали безліч "червоних". Тепер питання на засипку: отримані множини "з бантиком" і "червоне" - це одна й та сама множина чи дві різні множини? Відповідь знають лише шамани. Точніше самі вони нічого не знають, але як скажуть, так і буде.

Цей простий приклад показує, що теорія множин абсолютно марна, коли йдеться про реальність. У чому секрет? Ми сформували безліч "червоне тверде в пухирцю з бантиком". Формування відбувалося за чотирма різними одиницями виміру: колір (червоне), міцність (тверде), шорсткість (у пухирцю), прикраси (з бантиком). Тільки сукупність одиниць виміру дозволяє адекватно описувати реальні об'єкти мовою математики.. Ось як це виглядає.

Літера "а" з різними індексами позначає різні одиниці виміру. У дужках виділено одиниці виміру, якими виділяється " ціле " попередньому етапі. За дужки винесена одиниця виміру, якою формується безліч. Останній рядок показує остаточний результат - елемент множини. Як бачите, якщо застосовувати одиниці виміру для формування множини, то результат не залежить від порядку наших дій. А це вже математика, а не танці шаманів із бубнами. Шамани можуть "інтуїтивно" прийти до такого ж результату, аргументуючи його "очевидністю", адже одиниці виміру не входять до їхнього "наукового" арсеналу.

За допомогою одиниць виміру дуже легко розбити одну або об'єднати кілька множин в одну надмножину. Давайте уважніше розглянемо алгебру цього процесу.

(Кругові функції, аркфункції) - математичні функції, які є зворотними до тригонометричних функцій.

Арктангенс- Позначення: arctg xабо arctan x.

Арктангенс (y = arctg x) - зворотна функція до tg (x = tg y), яка має область визначення та безліч значень . Тобто повертає кут за значенням його tg.

Функція y = arctg xбезперервна і обмежена на всій своїй числовій прямій. Функція y = arctg xє строго зростаючою.

Властивості функції arctg.

Графік функції y = arctg x.

Графік арктангенса одержують із графіка тангенсу, змінюючи місцями осі абсцис та ординат. Щоб позбавитися багатозначності, безліч значень обмежують інтервалом , у ньому функція монотонна. Це визначення називається основним значенням арктангенса.

Отримання функції arctg.

Є функція y = tg x. На всій своїй області визначення вона є шматково-монотонною, і, отже, зворотна відповідність y = arctg xне є функцією. Тому розглядаємо відрізок, на якому вона тільки зростає і набуває всіх значень лише 1 раз — . На такому відрізку y = tg xтільки зростає монотонно і набуває всіх значень лише 1 раз, тобто, на інтервалі є зворотна y = arctg x, графік її симетричний графіку y = tg xна відрізку щодо прямої y = x.

Визначення та позначення

Арксінус (y = arcsin x) - це функція, зворотна до синуса (x = sin y -1 ≤ x ≤ 1і безліч значень -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

Арксинус іноді позначають так:
.

Графік функції арксинус

Графік функції y = arcsin x

Графік арксинусу виходить із графіка синуса, якщо поміняти місцями осі абсцис та ординат. Щоб усунути багатозначність, область значень обмежують інтервалом, на якому монотонна функція. Таке визначення називають основним значенням арксинусу.

Арккосинус, arccos

Визначення та позначення

Арккосинус (y = arccos x) - це функція, зворотна до косінус (x = cos y). Він має область визначення -1 ≤ x ≤ 1і безліч значень 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

Арккосинус іноді позначають так:
.

Графік функції арккосинус

Графік функції y = arccos x

Графік арккосинусу виходить із графіка косинуса, якщо поміняти місцями осі абсцис та ординат. Щоб усунути багатозначність, область значень обмежують інтервалом, на якому монотонна функція. Таке визначення називають основним значенням арккосинусу.

Парність

Функція арксинус є непарною:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Функція арккосинус не є парною або непарною:
arccos(-x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Властивості - екстремуми, зростання, спадання

Функції арксинус і арккосинус безперервні у своїй області визначення (див. доказ безперервності). Основні властивості арксинусу та арккосинусу представлені в таблиці.

	y = arcsin x	y = arccos x
Область визначення та безперервність	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Область значень
Зростання, спадання	монотонно зростає	монотонно зменшується
Максимуми
Мінімуми
Нулі, y = 0	x = 0	x = 1
Точки перетину з віссю ординат, x = 0	y = 0	y = π/ 2

Таблиця арксинусів та арккосинусів

У цій таблиці представлені значення арксинусів і арккосинусов, у градусах і радіанах, при деяких значеннях аргументу.

x	arcsin x		arccos x
	град.	радий.	град.	радий.
- 1	- 90 °	-	180 °	π
-	- 60 °	-	150 °
-	- 45 °	-	135°
-	- 30 °	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Формули

Див. також: Виведення формул зворотних тригонометричних функцій

Формули суми та різниці

при або

при і

при і

при або

при і

при і

при

при

при

при

Вирази через логарифм, комплексні числа

Див. також: Висновок формул

Вирази через гіперболічні функції

Похідні

;
.
Див. Виведення похідних арксинусу та арккосинусу.

Похідні вищих порядків:
,
де - багаточлен ступеня. Він визначається за формулами:
;
;
.

Див. Виведення похідних вищих порядків арксинусу та арккосинусу.

Інтеграли

Робимо підстановку x = sin t. Інтегруємо частинами, враховуючи що -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, cos t ≥ 0:
.

Виразимо арккосинус через арксинус:
.

Розкладання в ряд

За |x|< 1 має місце наступне розкладання:
;
.

Зворотні функції

Зворотними до арксинусу та арккосинусу є синус та косинус відповідно.

Наступні формули справедливі по всій області визначення:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Наступні формули справедливі лише на безлічі значень арксинусу та арккосинусу:
arcsin(sin x) = xпри
arccos(cos x) = xпри .

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Див. також:

Функції sin, cos, tg і ctg завжди супроводжуються арксинусом, арккосинусом, арктангенсом та арккотангенсом. Одне є наслідком іншого, а пари функцій однаково важливі до роботи з тригонометричними висловлюваннями.

Розглянемо малюнок одиничного кола, у якому графічно відображено значень тригонометричних функцій.

Якщо обчислити arcs OA, arcos OC, arctg DE і arcctg MK, всі вони дорівнюють значенню кута α. Формули, наведені нижче, відображають взаємозв'язок основних тригонометричних функцій та відповідних їм арків.

Щоб більше зрозуміти властивості арксинусу, необхідно розглянути його функцію. Графік має вигляд асиметричної кривої, що проходить через центр координат.

Властивості арксинусу:

Якщо зіставити графіки sinі arcsinУ двох тригонометричних функцій можна знайти загальні закономірності.

Арккосінус

Arccos числа а - це значення кута α, косинус якого дорівнює а.

Крива y = arcos xдзеркально відображає графік arcsin x, з тією різницею, що проходить через точку π/2 на осі OY.

Розглянемо функцію арккосинусу докладніше:

1. Функція визначена на відрізку [-1; 1].
2. ОДЗ для arccos -.
3. Графік цілком розташований у І та ІІ чвертях, а сама функція не є ні парною, ні непарною.
4. Y = 0 за x = 1.
5. Крива зменшується на всій своїй протяжності. Деякі властивості арккосинусу збігаються з функцією косинуса.

Деякі властивості арккосинусу збігаються з функцією косинуса.

Можливо, школярам видасться зайвим таке «докладне» вивчення «арків». Однак, в іншому випадку, деякі елементарні типові завдання ЄДІ можуть ввести учнів у глухий кут.

Завдання 1.Вкажіть функції, зображені на малюнку.

Відповідь:Рис. 1 - 4, рис.2 - 1.

У цьому прикладі акцент зроблений на дрібницях. Зазвичай учні дуже неуважно ставляться до побудови графіків та зовнішнього вигляду функцій. Справді, навіщо запам'ятовувати вигляд кривої, якщо її можна побудувати за розрахунковими точками. Не варто забувати, що в умовах тесту час, витрачений на малюнок для простого завдання, буде потрібний для більш складних завдань.

Арктангенс

Arctgчисла a – це значення кута α, що його тангенс дорівнює а.

Якщо розглянути графік арктангенсу, можна виділити такі характеристики:

1. Графік нескінченний та визначений на проміжку (- ∞; + ∞).
2. Арктангенс непарна функція, отже, arctg (-x) = arctg x.
3. Y = 0 за x = 0.
4. Крива зростає по всій області визначення.

Наведемо короткий порівняльний аналіз tg x та arctg x у вигляді таблиці.

Арккотангенс

Arcctg числа a — приймає таке значення з інтервалу (0; π), що його котангенс дорівнює а.

Властивості функції арккотангенсу:

1. Інтервал визначення функції – нескінченність.
2. Область допустимих значень – проміжок (0; π).
3. F(x) не є ні парною, ні непарною.
4. На всьому своєму протязі графік функції зменшується.

Порівняти ctg x і arctg x дуже просто, потрібно лише зробити два малюнки та описати поведінку кривих.

Завдання 2.Співвіднести графік та форму запису функції.

Якщо міркувати логічно, з графіків видно, що обидві функції зростають. Отже, обидва малюнки відображають певну функцію arctg. З властивостей арктангенса відомо, що y = 0 при x = 0,

Відповідь:Рис. 1 - 1, рис. 2 – 4.

Тригонометричні тотожності arcsin, arcos, arctg та arcctg

Раніше нами вже було виявлено взаємозв'язок між арками та основними функціями тригонометрії. Ця залежність може бути виражена рядом формул, що дозволяють виразити, наприклад, синус аргументу, через його арксинус, арккосинус або навпаки. Знання подібних тотожностей буває корисним під час вирішення конкретних прикладів.

Також існують співвідношення для arctg та arcctg:

Ще одна корисна пара формул, що встановлює значення для суми значень arcsin і arcos, а також arcctg і arcctg одного і того ж кута.

Приклади розв'язання задач

Завдання тригонометрії можна умовно поділити на чотири групи: обчислити числове значення конкретного виразу, побудувати графік цієї функції, знайти її область визначення або ОДЗ і виконати аналітичні перетворення для вирішення прикладу.

При вирішенні першого типу завдань необхідно дотримуватись наступного плану дій:

Працюючи з графіками функцій головне – це знання їхніх властивостей та зовнішнього вигляду кривої. Для розв'язання тригонометричних рівнянь та нерівностей необхідні таблиці тотожностей. Що більше формул пам'ятає школяр, то простіше знайти відповідь завдання.

Допустимо в ЄДІ необхідно знайти відповідь для рівняння типу:

Якщо правильно перетворити вираз і привести до потрібного вигляду, вирішити його дуже просто і швидко. Для початку перенесемо arcsin x в праву частину рівності.

Якщо згадати формулу arcsin (sin α) = α, то можна звести пошук відповідей до вирішення системи із двох рівнянь:

Обмеження на модель x виникло, знов-таки з властивостей arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0 частина системи являє собою квадратне рівняння з корінням x1 = 1 і x2 = - 1/a. При a = 0, x дорівнюватиме 1.