Slobodyanyuk O.I. Metóda najmenších štvorcov pre stredoškolský fyzikálny experiment // Fizika: problém. pracovný deň. - 1995. - VIP. 1. - S. 88-99.

Počet metód na spracovanie výsledkov vimiryuvanu bol rozdelený rôznymi spôsobmi. Najkoherentnejšou a najpresnejšou metódou je metóda najmenších štvorcov (LSM).

Článok demonštruje podstatu metódy najmenších štvorcov, umyte si myseľ. Autori šíriť aplikáciu najlepšej metódy na metódu LSM.

Všetky fyzikálne experimenty sa spravidla vykonávajú až do poklesu hodnoty piesne u v prípade jednej alebo viacerých ďalších hodnôt z 1 , z 2 , …, z n.

Potreba odstrániť úhor (a nevykonávať „bodový“ prieskum pri stanovovaní hodnôt parametrov) je pravdivá z týchto dôvodov:

možnosť opätovného overenia teoretických motivácií;

možnosť zahrnutia ťažko vypočítateľných parametrov;

v niektorých prípadoch jednoduchým spôsobom posúdenie únosov.

Počet metód na spracovanie výsledkov vimiryuvanu bol rozdelený rôznymi spôsobmi. Najlepší spôsob života, dajme tomu, je metóda najmenších štvorcov (LSM).

1. Podstata metódy najmenších štvorcov

Je to prípustné, máme pohľad na funkčný úhor fyzikálnej veličiny u podľa inej fyzikálnej veličiny z, ale nepoznáte parametre zálohy a, b, c,... . Výsledkom experimentov bola tabuľka hodnôt u i pri skutočných hodnotách . Takéto hodnoty parametrov je potrebné poznať a, b, c,... pre ktorú funkciu najlepšie opísať experimentálne údaje.

LSM potvrdzuje, že „najlepšia“ krivka bude taká, pre určitý súčet druhých mocnín experimentálnych hodnôt u i zadajte funkčnú hodnotu minimálne. V tomto rebríčku za účelom parametrov a, b, c,... treba poznať aspoň funkciu

. (1)

Je dôležité, aby sa tu Φ vnímalo ako funkcia parametrov a, b, c,..., váhy množstva u i, z i Vidomi z experimentálnych údajov.

Na konci dňa zmena minima funkcie (1) naďalej funguje ako sen. Preto je pre praktickú implementáciu MNC často potrebné použiť útočný trik: vedieť funkčne transformovať , ako priviesť fallage k lineárnemu vzhľadu

pre akúkoľvek implementáciu nadnárodných spoločností je najjednoduchšia. Použite permutáciu tohto typu indukovanú v tabuľke. 1. Akty znovuvynálezu budú preskúmané nižšie na konci dňa, keď budú podané konkrétne žiadosti.

Zastupujeme viraz (2) vo viraz (1)

(3)

to sa považuje za rovnaké pre označenie parametrov aі b. Pre ktoré môžeme vypočítať podobné funkcie Φ by aі b a prirovnať ich k nule,

(4)

Tento systém je lineárny a ľahko sa mení:

(5)

Vynechanie jazyka však nie je veľmi užitočné pre praktický rozrakhunkiv, preto ho prepíšeme do inej podoby. Pre koho je významný

(6)

(rohové oblúky znamenajú aritmetický priemer pre experimentálne údaje) a zapíšte

(7)

Na druhej strane je možné vidieť systém (4). .

Virazi (6), (7) umožňujú rýchlo vyriešiť parametre lineárneho úhoru (2) pomocou nenaprogramovanej kalkulačky.

Formulujte na zamyslenie, pre každého otrimani takým spôsobom sú hodnoty parametrov optimálne (nezaujaté, možné, efektívne odhady).

1. Výsledky vimirivu sú nezávislé.

2. Pohibki vimіrіv pіdryadkovuyutsya normálne rozpodіlu.

3. Hodnoty Xi, presne vieš.

Prakticky, MNC vo vikladenіy formách zastosovuyut, ako keby úmrtia vitiruvana prii významne (o rádovo nižšie) zvrátiť zlovoľnosť rozptylov x i.

Pre parametre umovi vikonanny tsikh umov a, b lineárne ohýbať výsledky vimirivu prii, (únosom x i nekhtuєmo), preto chybu priradenia parametrov možno štandardnou metódou nájsť ako chybu nepriamej metódy. Ťažkopádne výpočty Dekіlka vedú k urážlivým vzorcom na odhadovanie úmrtí:

(8)

de .

(9)

Týmto spôsobom sa vzorce (6) - (9) používajú na výpočet najmenších štvorcov pre analýzu lineárnych úhorov. Vzorce (7) - (8) dávajú odhady viac ako vipadkových únosov smrti. Táto voľba je úplne pravdivá, pre ktorý typ únosu je dôležitejší, ktorý je najpraktickejší. Aby ste boli svedkami takéhoto precenenia, nezabudnite na ružový bod ( prii, Xi) na grafe, ak body neležia presne na priamke. Je príznačné, že postsystematická chyba priladovej nezahŕňa hodnotu parametra aі є aditívum k parametru b, potom. yakscho priladova únos prii rovná teda .

Je tiež dôležité, že v niektorých prípadoch je potrebné vykonať bilanciu hodnôt u s rovnakým významom z. A tu nie sú potrebné žiadne úpravy nadnárodných spoločností. Stačí sa pozrieť na hodnoty nezávislosti, tobto. zapnite pred prehodením stávky z i, u i S rovnakými a rovnakými hodnotami z i. Inými slovami, jeden význam z môžete dať hodnotu nálepky u. Je zrejmé, že každý nemôže byť z to isté, inak bude vzorec (5) v norme ukazovať nulu.

2. Praktická implementácia metódy najmenších štvorcov pre lineárnu akumuláciu na nenaprogramovanej kalkulačke

Ako dôkaz je lepšie pre rozrakhunkіv parametrіv liniynoї zalezhnosti a їх khibok skorystatatis ďaleko pred pripraveným formulárom (tab. 2). V stĺpci 1 sú zaznamenané čísla vyšetrení ( i = 1, 2, ..., Ν ); v stĺpcoch 2, 3 - výsledky hodnôt vimiryuvanu z i, u i.

Prvým riadkom návrhu formulára na implementáciu MNC je vyplnenie stĺpcov 4, 5. z, u až do X, pri, medzi ktorými je lineárny úhor

Výpočtové vzorce uvedené v stĺpci 6 možno vypočítať na kalkulačke bez zaznamenania medzivýsledkov. Be-jaky, navit najjednoduchšiu kalkulačku, ak máte jednu miestnosť pamäte, v ktorej môžete akumulovať hodnotu sumy. Rozrahunki by sa malo vykonávať v nasledujúcom poradí:

1) vypočítajte - pre koho postupne zadajte všetky hodnoty do hádanky Xi, Zaznamenané v stĺpci 4 a potom ho rozdeľte na počet párov vimiryuvanu N, výsledok zápisu do stĺpca 7;

2) vypočítať, postupne získavať hodnoty x i, nazbierajte z pamäte súčet їх štvorcov (získajte hodnotu - „násobiť“ - „rovnako“ - „pre hádanku +“) a rozdeľte na N, Po zobratí výsledku sa zobrazí druhá mocnina priemeru, výsledok sa zapíše do stĺpca 7;

3 - 4) vypočítajte podobne;

5) v pamäti nahromadiť súčet výtvorov, rozdeliť na N, zoberte twir middle and sublime - upravte hodnotu parametra a.

Preč, ruže sú celkom zrejmé.

3. Pažba vikoristannya MNK

manažér. Za pomoci matematického kyvadla rýchly pád voľného pádu.

Osídlenie Kabína: závit, závažie, statív, pravítko, stopky.

Riešenie. Obdobie malého kolivanu matematického kyvadla T závisí od vzorca. Vzorec Qiu je možné prepísať vizuálne.

Inými slovami, medzi holubicou kyvadla l a druhá mocnina obdobia іsnuє linіyna zv'yazok, takže to píšeme ako: , de (premena na lineárny tvar). Zadanie parametra b v časoch nie є obov'azkovim, črepy teoreticky b= 0. Záznam lineárneho úhoru v globálnom pohľade však umožňuje automaticky meniť výkyv chrbta určeného kyvadla, navyše v tomto páde nie je možné meniť chrbát kyvadla, ale iba jeho zmenu. Ak bolo všetko vykonané správne, potom je MNC povinné doviesť k výsledku, čo povedať o tých, ktorí.

Výsledky vimiryuvanu menia dĺžku kyvadla Δ l(pohyboval sa z bodu zavesenia do deako pevného bodu na nite) tú hodinu t dvadsať kolivanov (zazimovaných pomocou príručnej ročenky) je umiestnených v tabuľke. 3. Na tom istom mieste boli indukované výsledky rozrakhunkiv podľa predloženej metodiky.

Po vypočítaní koeficientu a, môžete poznať význam zrýchleného pádu tej jogy .

Zvyškový výsledok pani.

Hodnota parametra b nevyhral (zmysel odstránenej hodnoty je stáť v pevnom bode na závite do stredu masovej vyhliadky). Voľba tohto parametra je verná presnosti presnej polohy stredu vagy.

4. Experimentálne úlohy, ktoré prenášajú nadnárodné spoločnosti

Na záver je potrebné spropagovať kropenie experimentálnych úloh, dokončiť niektoré z nasledujúcich víťazných prác na metóde. Kožné stretnutia môžu byť krátkymi otázkami až do rozhodnutia. Vzhľadom na to, že vzorce na odhadovanie neduhov sú zrejmé pri stave kože, zápach nie je vyvolaný.

Hlava 1. Obdobie výkyvu matematického kyvadla do ľahu v amplitúde j 0 (v radiánoch) podľa zákona

(10)

Zmeňte hodnotu parametra β.

Osídlenie Kabína: závit, vantage, statív, uhlomer, elektronické stopky.

Vkazіvki až do rozhodnutia. Obdobie úhoru je slabé z hľadiska amplitúdy. Pre detekciu je potrebné vykonať časovanie s vysokou presnosťou (-0,01 s), na čo sú potrebné elektronické stopky.

Úhor (10) môže byť reprezentovaný pohľadom, de y=T,b = T 0 Pre OLS pre lineárny úhor môžete poznať hodnoty parametrov aі b potom sa vzorcu priradí žartovný koeficient (významne, čo je teoreticky významné).

Manažér 2. Vyberte si ohniskovú vzdialenosť objektívu, ktorú si vyberiete.

Osídlenie Kabína: svetlo dzherelo, obrazovka, šošovka, linka.

Vkazіvki až do rozhodnutia. Zrýchlite pomocou receptúry pre tenké šošovky

de d- V_dstan v_d podľa objektívu, f– vyjsť z objektívu do obrazu, F- Zaostrovacia šošovka.

Výrazne to isté. Yakshcho vymіryati kіlka nominálna hodnota diі fi a vyneste body do grafu , potom body qi viny ležia na priamke, ako vіdsіkaє na osiach X, pri vіdrіzki, číselne rovnaké. Ako získať vklad nadnárodných spoločností, môžete vidieť a potom vedieť.

Manažér 3. Chladiaca voda je opísaná vzorcom , de Δ T-Rozdiel teplôt vody a vzduchu v miestnosti, Δ T 0 - cenový rozdiel v čase hodiny t\u003d 0. Ďakujem, koľko hodín uplynulo od varu vody.

Osídlenie: teplá voda v nádobe, teplomer, ročenka.

Vkazіvki až do rozhodnutia. Je potrebné prevariť vodu a dať ju na sporák. Po dlhej hodine si tieto jedlá môžete obliecť kvôli skazenosti dňa. Stopa spomienky, že hodina dosiahnutia fľaše vody pre izbové mysle je blízko 40. storočia.

Na dokončenie stanovenej úlohy je potrebné vziať do úvahy stagnáciu teploty vody T o hodine t. Prepíšme vzorec na hľadanie, de T 0 - izbová teplota, T kip - teplota varu vody, t 0 - hodinu po varení na klase. Oskilki v. vzorec zahŕňa iba teplotné rozdiely, môžete použiť stupnicu Celzia. Prologaritmus zostávajúcej virázy

(12)

a významné , X= t, odoberáme lineárny úhor

Zhrnutím výsledkov simulácie pre MNC poznáme hodnoty parametrov a, b, z ktorej je možné vypočítať požadovanú hodnotu hodiny t 0: .

Sídlo 4. Dosledzhuyte, ako znovu stanoviť silu podpory, čo dať na malé kúsky papiera, čo spadnúť, vo svetle zvyšku.

Osídlenie: papierové shmatochki, stopky.

Vkazіvki až do rozhodnutia. Malé kúsky papiera boli vyrobené štvorcové (cca cm) a mierne ohnuté na pohľad ako „padáky“, aby bol ich pád stabilný. Vіdmіnno pre tsієї mіti fit jednorazové taniere, vyrobené z chrumkavého papiera alebo fólie.

Pád papierových tanierov (alebo parašutikov) je videný s neustálym švédskym prejavom, ako keby zúril v štádiu malého klasu rozptýlenia. Sila podpory ležať v stave bezpečnosti a zgidno іz zákona

(je potrebné zvoliť γ), pri vstávaní je sila numericky silnejšia ako gravitačná sila, neskôr rýchlosť pohybu, ktorá stúpa, a hodina pádu z výšok h:

(14)

Vezmeme si šprot (1, 2, 3, ..., 5) z toho istého taniera a sledujeme padajúcu hodinu t n zložené naraz n tanier. Koeficient h vzorec (13) bude mať rovnaké hodnoty (ležať iba vo forme taniera), hmotnosť padajúcich telies, de m 0 - hmotnosť jedného taniera. Vikoristovuemo (14): v logaritmickej forme

(15)

Yak vyplyvaє z tsієї vzorce, mizh і іsnuє linіyny zv'yazok, de, b uveshli minulé hodnoty, vimiryuvat yakі nemaє nebhіdnostі.

V tejto hodnosti vymіryavshi zatuchnutosť na hodinu pádu t n, v počte zložených naraz n tanier a po spôsobení úhoru (15) je podľa MNC možné určiť hodnotu parametra aže veľkosť shukanoї.

Pre hodinu pokusu je potrebné pamätať na to, že hodina pádu papierových divov z výšky je cca 1,5 s, hodinu pádu je potrebné prekonať so stratou rádovo 0,1 s. Otzhe, pre kožu význam čísla n je potrebné vziať hodnotu šprot tn. Povedzme, že v tejto situácii nie je potrebné posúvať priemerné hodnoty dopredu, je možné (a potrebné) pozerať sa na všetky výsledky vo svete ako na nezávislé, vrátane ich pred formou zúčtovania.

Ďalšia úloha tohto typu bola údajne recenzovaná v magazíne Focus.

5. Višňovok

Revidovaný algoritmus prieskumov s nadnárodnými spoločnosťami bol testovaný na letných táboroch v tábore Zubran. Olympiády zamestnania realizované s výmennými stanicami ukázali, že táto metóda je plne dostupná pre stredoškolákov zo stratených fyzikálnych škôl. Hneď ako budem vedieť, práca na mikrokalkulačke zaberie cca 5-10 min.

Potreba vyvinúť metódy grafického spracovania výsledkov (podľa MHK a i.) je podmienená účasťou družstiev republiky na medzinárodných súťažiach (olympiády, turnaje mladých fyzikov), degrafické metódy zaberajú väčší priestor a sú vysoko cenené.

1. Taylor J. Úvod do teórie odpustenia. - M: Svetlo, 1985.

2. Bilshov L.M., Smirnov N.V. Tabuľky matematickej štatistiky. - M.: Nauka, 1983.

3. Timofeev A.. Obrátenie stokesov? - Sústreďte sa. - 1995. - č.2. - S. 44-49.

Privedené na lineárny úhor

Druh úhora	Reinkarnácia	Parametre

Formulár na zisťovanie parametrov v lineárnom úhore

i	z	u	X	r	Rozrahunkove vzorce	Výsledky

Určené parametre ležiace úhorom
obdobie kyvadla kyvadla vіd jogo dovzhini

Δl,	Rozrahunkove vzorce	Výsledky

Ako spoznať najširšiu zastosuvannya v rôznych galériách vedy a praktickej činnosti. Môžete použiť aj fyziku, chémiu, biológiu, ekonómiu, sociológiu, psychológiu atď. Z vôle svojho podielu často privádzam svoju matku na pravú stranu hospodárstva a dnes vám zariadim letenku do nádhernej krajiny pod menom ekonometrie=) ... nechceš?! Tam je to ešte lepšie - len musíte byť múdri! ... Ale os tých, scho vie, spievať, ako by ste chceli - tak sa naučte virishuvat avdannya metóda najmenších štvorcov. A hlavne usilovní čitatelia, aby sa naučili, ako ich virishuvovať nielen bez milosti, ale aj SHVIDKO ;-) Ale spochatku do očí bijúce vyjadrenie problému+ spoločník zadok:

Nech sú v oblasti aktívneho predmetu náznaky, ako keby tam bolo veľa viráz. Mať tsomu є pіdstavi vvazhati, scho pokaznik na úhor vіd pokaznik. Tse mozhe byť ako vedecká hypotéza a byť založený na elementárnej zdravej mysli. Nechajme vedu z cesty a ponechajme si chutnejšie oblasti - zocrema, obchody s potravinami. Významné prostredníctvom:

- obchodná plocha obchodu s potravinami, m2,
- Dodávka tovaru do obchodu s potravinami, mil. rub.

Bolo dobre pochopiteľné, že čím viac miesta bude mať obchod, tým viac vipadkіv bude mať viac tovaru.

Je prijateľné, aby po varovaní / po / po / tanci s tamburínou naša objednávka uvádzala číselné údaje:

Z obchodov s potravinami bolo hádam všetko jasné: - plocha 1. predajne, - plocha 2. predajne, - plocha 2. predajne atď. Pred prejavom, zovsіm nie obov'yazkovo matka prístup k tajným materiálom - môžete získať presné hodnotenie obehu komodít pomocou matematickej štatistiky. Vіm, nie som si istý, priebeh komerčnej špionáže - víno je už zaplatené =)

Tabuľkové údaje môžu byť tiež zapísané na vizuálnom bode a súčasne zobrazené pre nás karteziánsky systém .

Poznámka k dôležitej výžive: Koľko bodov potrebujete na obsluhu kyseliny?

Čím viac tým lepšie. Minimálna povolená sada je 5-6 pixelov. Navyše pri malom počte údajov zo vzorky nie je možné zahrnúť „anomálne“ výsledky. Takže napríklad malý luxusný obchod dokáže urobiť rádovo viac ako „ich kolegovia“, pričom ich sám podporuje veľkým zákonom, to je potrebné vedieť!

Je to ešte jednoduchšie – musíme si vybrať funkciu, harmonogram ako odovzdať yakomogu bližšie k bodom . Takáto funkcia sa nazýva aproximácia (aproximácia - aproximácia) alebo teoretická funkcia . Zdanlivo je tu zjavný „žiadateľ“ – bohatý termín na vysokej úrovni, ktorého harmonogram prejde všetkými bodmi. Táto možnosť je skladacia a často nesprávne (pretože rozvrh sa bude celú hodinu „zacykliť“ a bude zle odrážať hlavný trend).

Týmto spôsobom je zodpovednosťou rozshukuvana vykonať prestoje a zároveň sa primerane postarať o zatuchnutie. Ako si viete predstaviť, jedna z metód na nájdenie takýchto funkcií sa nazýva metóda najmenších štvorcov. Razberemo jogo je podstatou neslávne známeho vzhľadu. Nechajte funkciu blízko experimentálnych údajov:

Ako vyhodnotiť presnosť blízkosti? Vypočítajte a rozlíšte (vіdhilennya) medzi experimentálnymi a funkčnými hodnotami (Pozorovacie stoličky). Prvá myšlienka, ako to padá na myšlienku - tse odhad, suma je veľká, ale problém spočíva v tom, že maloobchod môže byť negatívny. (napríklad, ) že vіdhilennya po takejto pіdsumovuvannya bude vzájomná. Preto, ako posúdenie presnosti aproximácie, vás žiadame, aby ste akceptovali súčet modulov myšlienka:

ale v zlom pohľade: (Raptom niekto nevie: - ikona tse sumi a - dodatočná zmena - „lichilnik“, ako získať hodnotu od 1 do).

Aproximácia experimentálnych bodov s rôznymi funkciami, hoci berieme do úvahy rôzne hodnoty, a samozrejme, kde je súčet menší, je táto funkcia presnejšia.

Táto metóda sa používa a nazýva sa víno metóda najmenších modulov. V praxi však majú podstatne väčšiu šírku metóda najmenších štvorcov, Kdekoľvek sú možné záporné hodnoty, nie sú eliminované modulom, ale štvorcovými jednotkami:

, po ktorom sa určí súčet štvorcov Bula bol najmenej. Vlasne, zvіdsi th pomenoval metódu.

A zároveň sa obraciame k ďalšiemu dôležitému momentu: keďže sa plánovalo viac, funkcia, ktorá sa vyberá, sa má robiť jednoducho – ale takých funkcií bolo tiež málo: lineárne , hyperbolický, exponenciálny, logaritmický, kvadratický atď. A, samozrejme, tu by som chcel „zrýchliť pole činnosti“. Ktorú triedu funkcií zvoliť na sledovanie? Primitívna, ale účinná metóda:

- Ľahšie kresliť body na kresle a analyzovať ich roztashuvannya. Ako môže mať zápach tendenciu šíriť sa v priamej línii vedľa shukati zarovnanie rovných čiar s optimálnymi hodnotami ta . Inými slovami, manažér znalosti TAKÝCHTO koeficientov - teda súčet štvorcov bol najmenší.

Ako body hniloby, napríklad podľa hyperbola, potom sa ukázalo, že lineárna funkcia dáva zlú aproximáciu. Myslím si, že mám najviac „bdelé“ koeficienty na vyrovnanie hyperboly – Ті, aby ste dostali minimálny súčet štvorcov .

A teraz, aby som priviedol rešpekt, že v oboch typoch jazyka, Ide funkcie dvoch, argumenty ako ladné parametre, čo povedať:

A v skutočnosti musíme skontrolovať štandardnú úlohu - vedieť aspoň dve funkcie.

Zamyslime sa nad naším zadkom: povedzme, že „obchodné“ body môžu mať tendenciu rozširovať sa v priamke lineárny úhor obeh tovaru v obchodnej zóne bolo najmenej. Všetky yak zavzhdi - chrbtom k sebe súkromné sviatky 1. rádu. Židno pravidlo linearity môžete rozlišovať priamo pod znakom sumi:

Ak chcete uvedené informácie citovať do abstraktu alebo seminárnej práce, veľmi rád ich pošlem do zoznamu časopisov, o takýchto správach budete vedieť málo:

Vytvárame štandardný systém:

Je to krátkodobá koža, ktorá sa rovná „dviyke“ a navyše „šíri“ sumi:

Poznámka : nezávisle analyzujte, prečo „a“ a „byť“ môžu byť obviňované z ikony sumi

Prepíšme systém „aplikovaným“ spôsobom:

po tom, čo začnete, algoritmus pre rozvyazannya našej úlohy:

Poznáme súradnice bodov? Vieme. Sumi môžeme vedieť? Jednoducho. Robíme to jednoduché sústava dvoch lineárnych línií z dvoch nevidomimi("a" a "byť"). Systém virishuemo, napr. Cramerova metóda, výsledkom je stacionárny bod. Opätovná návšteva dosť mysle na extrém môžete prehodnotiť, aká je funkcia v tomto bode dostať sa k sebe minimálne. Opätovné overenie je spojené s ďalšími kartami a na to je v zákulisí príliš veľa (ak je to potrebné, môžete sa pozrieť na rám, ktorý je odmietnutý). Zvyškové fúzy Robimo:

Funkcia najvyššia hodnosť (Prijať, súhlasiť s akoukoľvek inou lineárnou funkciou) blížiace sa k experimentálnym bodom . Zhruba kazhuchi, її harmonogram vіdbuvaєtsya čo najbližšie k tsikh bodov. Tradície ekonometrie nazýva sa aj rimmanova aproximačná funkcia rovesníci párovej lineárnej regresie .

Pozrite sa na úlohu, ktorá má veľký praktický význam. Situácia s našim zadkom je rovnaká umožňuje predpovedať, aký druh komodity ("Іgrek") bude obchod s dôležitejšou obchodnou oblasťou (Tomuto chi inému význam "iks"). Vypnutie prognózy bude teda viac než len predpoveďou, no zároveň sa bude javiť ako presná.

Budem analyzovať iba jednu úlohu so „skutočnými“ číslami, ale neexistujú pre ňu žiadne útržky každodenných ťažkostí - všetky výpočty pre ten istý školský program pre ročníky 7-8. V 95 premenných budete musieť poznať samotnú lineárnu funkciu a v poslednom článku ukážem, že nie je jednoduchšie poznať rovnosť optimálnej hyperboly, exponentu a ďalších funkcií.

Ako v skutočnosti to nestačilo rozdať obіtsyanі buchty - tak ste sa naučili, ako virishuvate tak platí nielen bezmilkovo, ale aj shvidko. S úctou vyvchaєmo štandard:

manažér

V dôsledku toho sa z takejto dvojice čísel odstránilo prepojenie dvoch indikácií:

Použitie metódy najmenších štvorcov na spoznanie lineárnej funkcie ako najlepšej aproximácie empirickej (vopred)údajov. Úloha stoličky, na ktorej v karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme vyvolať experimentálne body a graf aproximačnej funkcie . Poznať súčet štvorcov medzi empirickými a teoretickými hodnotami. Z'yasuvati, chi bude najlepšia funkcia (z pohľadu metódy najmenších štvorcov) priblížiť sa k experimentálnym bodom.

Rešpektujte, že významy „iksov“ sú prirodzené a že môže dôjsť k charakteristickej zmene, o ktorej som trocha šťastia; ale smrad, zrozumіlo, dá sa zastreliť. Okrem toho je zatuchnutý vo svetle toho chi іnshoy zavdannya ako „iksovі“, takže „igroі“ významy sú viac či menej často môžu byť negatívne. Nuž, dali sme úlohu „bez tváre“ a opravujeme jogu Riešenie:

Koeficient optimálnej funkcie je známy ako oddelenie systému:

Pomocou kompaktnejšieho zápisu môžete vynechať zmenu-"lichilník", črepy a tak je jasné, že súčet sa sčítava od 1 do.

Zaplaťte potrebné sumy pohodlnejšie pri pohľade na stôl:

Výpočet je možné vykonať na mikrokalkulačke, ale je lepšie použiť Excel - rýchlejšie a bez pardonu; čuduj sa krátkemu videoklipu:

V tejto hodnosti prídem systému:

Tu môžete vynásobiť ďalšie rovnaké číslom 3 1. riadok. Ale tse vezinnya - v praxi systém často nie je nadaný av takýchto situáciách ryatuє Cramerova metóda:
Systém je opäť len jedno riešenie.

Potrebujeme opätovné overenie. Razumіyu, scho nechcem, ale teraz mi tam premeškať pardony, kde ti nemôže chýbať sto stoviek? Údajne existuje riešenie v ľavej časti dermálneho zarovnania systému:

Práva časti vidpovidnyh rovných boli odobraté a systém bol tiež správny.

V tomto poradí je šukana aproximačná funkcia: - h všetky lineárne funkcie Experimentálne údaje sú najbližšie k najlepším.

Na vіdmіnu vіd rovno zásoba tovaru do predajne v rovnakej oblasti bola zistená zásoba reverzibilné (Princíp „čo je viac – menej je“), a túto skutočnosť okamžite ukazuje negatív rezný koeficient. Funkcia pripomeňme tých, ktorí menia hodnotu úhorového ukazovateľa o 1 jednotku hodnoty úhorového ukazovateľa v strede o 0,65 jednotky. Zdá sa, že čím vyššia cena za pohánku, tým menej predávaná.

Na vyvolanie grafu aproximačnej funkcie poznáme dve hodnoty її:

a vykonaemo kresla:

Výzva na priame zavolanie trendová čiara (a k sebe - čiara lineárneho trendu, potom trend vo voľnej prírode nie je priamka). Každý pozná jazyk „byť v trende“ a myslím, že tento výraz nepotrebuje ďalšie komentáre.

Vypočítajte súčet štvorcov vіdhilen medzi empirickými a teoretickými hodnotami. Geometricky - súčet štvorcov dozhins "karmínového" vіdrіzkіv (dve z týchto podláh sú malé, takže ich nevidíte).

Vypočítané podľa tabuľky:

Stále to môžete urobiť ručne, asi každý vipadok ukážem zadkom za 1. bod:

ale efektívnejšie, urobte to už v poradí:

Zopakujme si to ešte raz: prečo mať pocit otrimanogo výsledku? W všetky lineárne funkcie na funkcii pokaznik є najmenej, aby jeho vlasť mala čo najlepšiu blízkosť. A tu, pred prejavom, nenásilný záver nutričnej úlohy: a exponenciálna funkcia je podporovaná raptom bližšie k experimentálnym bodom?

Poznáme presný súčet štvorcov vіdhilen - aby som ich rozlíšil, označím ich písmenom "epsilon". Technika je rovnaká:

І Volám späť na akýkoľvek neskorší výpočet pre 1. bod:

V Exceli pomocou štandardnej funkcie EXP (Syntax si môžete pozrieť v dokumente programu Excel).

Višňovok: , potom sa exponenciálna funkcia približuje k experimentálnym bodom vyššie, nižšie priamo .

Ale tu vedľa označiť, že "Hirshe" - tse ešte neznamená, to je zlé. Okamžite po vytvorení grafu funkcie exponenciálnej funkcie - a vіn tezh prejsť blízko k bodom - Takže bez analytického sledovania je dôležité povedať, že funkcia je presnejšia.

O tom, ktoré rozhodnutie je u konca, a obrátim sa na výživu o prirodzenom význame argumentu. V rôznych prípadoch správne, ekonomické a sociologické, prirodzené „iks“ počítajú mesiace, dátumy a iné rovnaké hodiny. Pozrime sa napríklad na takú úlohu.

Metóda najmenších štvorcov (LSM) umožňuje odhadovať rôzne hodnoty, zástupné výsledky násobenia vimiryuvan na pomstu vipadkovi omilostenia.

Charakteristika MNC

Hlavná myšlienka tejto metódy spočíva v tom, že ako kritérium presnosti riešenia problému sa berie do úvahy súčet štvorcov odpustení, aby sa počet znížil na minimum. Komu je možné zastosovuvaty ako numerické, і analytické pіdhіd.

Zocrema, ako numerická implementácia metódy najmenších štvorcov na prenos najväčšieho počtu experimentov na neznámu veľkosť. Navyše, čím viac budete počítať, tým presnejšie bude rozhodnutie. Komu sa berie neosobná vypočítavosť (sviatkov), inak neosobné veštecké rozhodnutia, z ktorých potom vyberáme to najlepšie. Ako neosobné riešenie parametrizácie povedie metóda najmenších štvorcov k hľadaniu optimálnej hodnoty parametrov.

Ako analytický krok pred implementáciou MNC na neosobné výstupné údaje (vimiryuvan) a prenos neosobného riešenia je znázornený deyak (funkčný), pretože môžete použiť vzorec na udržanie hypotézy deyak, ktorá vimagaє potvrdenie. Týmto spôsobom sa metóda najmenších štvorcov redukuje na hodnotu minima tohto funkcionálu na viacnásobných štvorcoch pardonov víkendových dát.

Rešpektujte, že vy sami máte odpustky, samé štvorce odpustkov. prečo? Vpravo v tom, že väčšinou môže byť vimiriv v presnom význame pozitívny aj negatívny. Keď sa určí priemerná jednoduchosť, súčet môže viesť k nepresnej vysnovke kvality hodnotenia, škálovanie vzájomne sa znižujúcich pozitívnych a negatívnych hodnôt na zníženie intenzity vibrácií neosobného vimiryuvanu. Otzhe, a presnosť hodnotenia.

Aby sa niečo nestalo, a zrátajte štvorce smrti. Navit more, schob virіvnyat razmіrnіnіnіnіnіnіnі vіmіryuvanої hodnotu аnd pіdаmkovої їsіnki, іѕ mimo sumi squarії khubok vityaguyuy

Aktívne programy MNC

MNC sú široko vikoristovuєtsya v rôznych galuzah. Napríklad v teórii dynamiky a matematickej štatistike metóda vikoristovuetsya na označenie takej charakteristiky veľkosti veľkosti, ako je stredná kvadratická odchýlka, ktorá priraďuje šírku rozsahu k hodnote veľkosti veľkosť.

Metóda najmenších štvorcov

Metóda najmenších štvorcov ( MNK, OLS, Obyčajné najmenšie štvorce) - jedna zo základných metód regresnej analýzy na hodnotenie neznámych parametrov regresných modelov pre vibračné dáta. Metóda je založená na minimalizácii súčtu štvorcov prebytkov regresie.

Je potrebné poznamenať, že metódu najmenších štvorcov možno nazvať metódou riešenia problémov v akejkoľvek oblasti, ako riešenie problému alebo splnenie určitého kritéria pre minimalizáciu súčtu štvorcov existujúcich funkcií vo forme zmien, ktoré robia si srandu. Metódu najmenších štvorcov možno preto použiť aj na približnú reprezentáciu (aproximáciu) danej funkcie inými (jednoduchými) funkciami, pri známom súhrne hodnôt, ktorý spĺňa úroveň alebo hranicu, ich počet prevažuje nad počet týchto hodnôt atď.

Podstata MNK

Nechajte zmeniť denný (parametrický) model imovirnіsnoї (regresívny) úhor medzi (z'yasovanoy) r a neosobné faktory (ktoré vysvetľujú zmeny) X

de - vektor neznámych parametrov v modeli

- Vipadkova model pardon.

Nech aj oni rozvibrujú význam naznačených zmien. Poď - číslo hodinky (). Todi - význam zmeny v bdelom. Potom, vzhľadom na hodnoty parametrov b, je možné vyvinúť teoretické (modelové) hodnoty zmeny, čo je vysvetlené y:

Rozšírenie prebytočných vkladov podľa hodnoty parametrov b.

Podstata MNC (vynikajúca, klasika) pre tých, ktorí poznajú takéto parametre b, pre nejaký súčet štvorcov excesov (angl. Zvyšný súčet štvorcov) bude minimálny:

Na konci dňa je riešenie ktorej úlohy možné vykonať numerickými metódami optimalizácie (minimalizácie). O čom sa rozprávaš nelineárne najmenšie štvorce(NLS alebo NLLS - eng. Nelineárne najmenšie štvorce). V bohatej vipadke je možné získať analytické riešenie. Na dokončenie úlohy minimalizácie je potrebné poznať stacionárne body funkcie, odlíšiť її pre neznáme parametre b, nastaviť podobné hodnoty na nulu a porušiť otrimanský systém rovných:

V dôsledku premenných pardonov modelu môže existovať normálne rozdelenie, môže existovať rovnaký rozptyl a nekorelované medzi sebou, odhady parametrov LSM sú založené na odhadoch metódy maximálnej pravdepodobnosti (MLM).

LSM pre rôzne lineárne modely

Nech je regresný omyl lineárny:

Poď r- vektorový stĺpec strážcu vysvetľujúci zmenu a - matica strážcu faktorov (riadky matice sú vektory a hodnota faktorov pre túto stráž, podľa stĺpcov - vektor hodnoty daný faktor pre všetkých strážcov). Matricový prejav lineárneho modelu je možné vidieť:

Potom vektor odhadov zmeny, ktorý je vysvetlený, a vektor excesov v regresii sú viac

zrejme súčet druhých mocnín prebytkov pri regresii nákladov

Diferencovaním funkcie za vektorom parametrov a prirovnávaním hodnôt k nule odoberieme systém vyrovnávania (v maticovej forme):

Virishennya tsієї systém rivnyan a uveďte všeobecný vzorec odhadov LLS pre lineárny model:

Na analytické účely je znázornená farba zvyšku uvedeného čísla vzorca. Ako funguje regresný dátový model centrovanie, potom je prvá matica pridelená prvej matici kovariančnej matice sens vibrance chinnikov a druhá je vektor kovariancií chinnikov z ladom zminnaya. Ako dať prídelový v regióne severného Kazachstanu (tobto štandardizované), potom prvá matica je zmyslom vibračnej korelačnej matice faktorov, druhým vektorom sú vektory vibračných korelačných faktorov úhorového lomu.

Význam sily odhadov OLS pre modely s konštantou- línia indukovanej regresie prechádzajúca stredom závažnosti vibračných údajov, aby sa dosiahla vyrovnanosť:

Zocrema, v extrémnom bode, ak je jediný regresor konštantou, predpokladá sa, že LSM odhad jedného parametra (v prípade konštanty) je bližšie k priemernej hodnote zmeny, čo je vysvetlené. To je aritmetický priemer, za prítomnosti svojej dobrej autority zo zákonov veľkých čísel a tiež odhad MNC - spĺňa minimálne kritérium súčtu štvorcov vzduchu v ňom.

Príklad: jednoduchá (parná) regresia

V inej párovej lineárnej regresii je možné vzorce zjednodušiť (zaobídete sa aj bez maticovej algebry):

Sila MNC odhadov

Nasampered je významné, že pre lineárne modely odhadu LLS є lineárne odhady, ako to vyniká z odvodeného vzorca. Pre stabilitu MNC-odhadov je potrebné a postačujúce zlepšiť najdôležitejší dôvod regresnej analýzy: je možné dosiahnuť nulu nad rámec faktorov matematického hodnotenia regresnej pardon. Tsya umova, zokrema, vikonana, yakshcho

matematicky ochіkuvannya vipadkovy pardon na nulu, to
faktor a vipadkovi pardon - nezavisle vipadkovy hodnoty.

Dôležitý je priateľ mysle – exogénne faktory mysle. Aj keď úrady nezvíťazili, môžete rešpektovať, že ak budú hodnotenia mimoriadne neuspokojivé: de smrad je možný (inšpirovať ani veľkú povinnosť Demshevského pocty vám neumožňuje odobrať rovnaké hodnotenia z rôznych krajín). V klasickom nalade je silny pripust pre determinizmus faktorov, pre uvazovanie o vipadkovom pardonu, co automaticky znamena znicenie mysle exogenity. Aby bolo hodnotenie jednoduchšie, dosiahnuť exogénnu myseľ a exogénnosť naraz z matrice na dvojku nepanenskú matricu zo zvýšenia odhodlania k nepresnosti.

Aby bol zločin propagovaný a nezaujatý, hodnotenie (nadradených) nadnárodných spoločností bude efektívnejšie (najlepšie v triede lineárnych nezaujatých hodnotení), je potrebné prekonať dodatočné právomoci vipadkovho pardonu:

Tieto prídavky môžu byť formulované pre kovariančnú maticu vektora vipadianskych odpustení

Lineárny model, ktorý vás tak poteší, sa nazýva klasický. LLS-odhady pre klasickú lineárnu nezaujatú regresiu a najefektívnejšie odhady v triede všetkých lineárnych nezaujatých odhadov Modrá (Najlepší lineárny nezaložený odhad) - najlineárnejšie nestranné hodnotenie; v domácej literatúre sa najčastejšie indukuje Gauss-Markovova veta). Nezáleží na tom, aby sme ukázali, že kovariančná matica vektora odhadov nákladových koeficientov je:

Aktualizuje nadnárodné spoločnosti

Metóda najmenších štvorcov je široko používaná. Namiesto minimalizácie súčtu druhých mocnín pretečení je možné minimalizovať dvojku kladne priradenej kvadratickej formy vo vektore pretečenia. Konečná metóda najmenších štvorcov sa nazýva typ tohto prístupu, ak je matica úmerná jednej matici. Ako je zrejmé z teórie symetrických matíc (alebo operátorov) pre takéto matice, existuje základné usporiadanie. Taktiež menovania funkcionálu môžu byť odhalené podľa nadchádzajúcej hodnosti, takže celá funkcionalita môže byť ako súčet druhých mocnín takýchto transformácií „prebytkov“. Taktiež môžeme pomenovať triedu metód najmenších štvorcov - LS-metódy (Least Squares).

Bolo dokázané (Aitkenova veta), že pre zúžený lineárny regresný model (pre kovariátnu maticu vipadkových pardonov nie sú rovnaké hodnoty superponované) najefektívnejším (pre triedu lineárnych nezaujatých odhadov) zovšeobecnené najmenšie štvorce (OMNK, GLS – zovšeobecnené najmenšie štvorce)- LS-metóda s vago maticou, čo je zdravá kovariátna matica vipadkovych pardonov: .

Je možné ukázať, že vzorec odhadov parametrov GLS v lineárnom modeli môže vyzerať

Kovariančná matica

V skutočnosti sa denný čas MLNC používa pri spevnej (lineárnej) transformácii (P) denných údajov a stosuvaní hviezdnych MNC pred transformáciou údajov. Účelom tejto transformácie je, aby sa transformácia týchto vipadkových odpustkov uspokojila už s klasickými odpustkami.

tituly MNC

Toľko radov WLS (WLS - Weighted Least Squares) je v diagonálnej diagonálnej vag matici (a teda matici kovariantných vipadkových odpustkov). V časoch minimalizácie sa nazýva súčet štvorcov prebytočných modelov, aby sa koža opatrná odobrala „vaga“, cnostne proporcionálne rozptýlenie vipadkovo pardon v ktorom je opatrný: . V skutočnosti sa pocty menia na poručníctvo (vydelené hodnotou úmernou štandardnému príspevku za odpustenie) a udeľujú sa nádherné nadnárodné spoločnosti.

Deyakі okremi vipadki zastosuvannya MNK v praxi

Aproximácia lineárneho úhoru

Môžeme sa pozrieť na pokles, ak v dôsledku vyčerpania delikvencie dvojky skalárnej hodnoty do návnady skalárnej hodnoty їм význam. Údaje vimiryuvan môžu byť zaznamenané pri stole.

tabuľky. Výsledky vimirivu.

№ vimiru
1
2
3
4
5
6

Myšlienka má znieť takto: ako možno zvoliť hodnotu koeficientu, aby lepšie opísal úhor? Hodnoty Zgidno z OLS ce môžu byť také, že súčet štvorcov hodnôt hodnôt hodnôt

bula minimalne

Súčet štvorcov môže mať iba jeden extrém - minimum, ktoré nám umožňuje prekonať vzorec. Poznáme hodnotový vzorec koeficientu. K tomu prerobíme poslednú časť takto:

Zvyšok vzorca vám umožňuje poznať hodnotu požadovaného koeficientu.

História

Na klase XIX storočia. vcheni maju prítomnost halierových pravidiel na vrchu systému rovných, pre ktoré je počet neznámych menší, počet rovných je nižší; až do tejto hodiny víťazili súkromní priyomi, ktorí ležali nízko kvôli typu rivnyanu a kvôli stupňu tepla, počítanie a do tej doby počítanie, vychádzka z ticha týchto stráží samých, prišli do rôznych vysnovkiv. Gauss (1795) by mal byť pred touto metódou a Legendre (1805) nezávisle objavil a publikoval jogu pod súčasným názvom (fr. Methode des moindres quarres ). Laplace zaviedol metódu do teórie imovirnosti a americký matematik Edrain (1808) sa pozrel na jej teoreticko-imovirnіsni dodatky. Metóda predlžovania a predlžovania ďalšími štúdiami od Jenckeho, Bessela, Hansena a iných.

Alternatívna metla MNC

Myšlienka metódy najmenších štvorcov môže byť použitá aj inými spôsobmi, pretože priamo nekoreluje s regresnou analýzou. Vpravo v tom, že súčet štvorcov je jedným z najširších rozsahov blízkosti pre vektory (euklidovská metrika v konečných priestoroch).

Jedným zo zastosuvanov je „virishenya“ systémov lineárnych zarovnaní, v ktorých je počet zarovnaní väčší ako počet náhrad.

matica nie je štvorcová, ale obdĺžniková.

Takýto systém je rovnocenný, pre jednotlivca neexistuje riešenie (v dôsledku toho je poradie skutočne väčšie ako počet ostatných). Tento systém možno „porušiť“ iba pri senzorickom výbere takéhoto vektora, aby sa minimalizoval „vidstan“ medzi vektormi a . To sa dá dosiahnuť kritériom minimalizácie súčtu štvorcov rozdielu medzi ľavou a pravou časťou rovnakého systému, tobto. Nemá význam ukázať, že výška úlohy minimalizácie má viesť k výške útočného systému vyrovnávania.

Metóda najmenších štvorcov (OLS, angl. Ordinary Least Squares, OLS)- matematická metóda, zastosovuvanii na vyrіshennya rіznih zavdan, zastozovaniya na minimalizáciu súčtu druhých mocnín daných funkcií vo forme shukanih zminnyh. Vіn môže byť vikoristovuvatsya pre "virishennya" prepočítacie systémy rovnosti (ak počet rovných prevažuje nad počtom nedomov), v záujme riešenia rôznych (nie preradených) nelineárnych systémov rovnosti, na priblíženie bodových hodnôt speváckej funkcie. OLS je jednou zo základných metód regresnej analýzy na odhadovanie neznámych parametrov regresných modelov pre vibračné dáta.

Encyklopedický YouTube

1 / 5

✪ Metóda najmenších štvorcov. Téma

✪ Metóda najmenších štvorcov, lekcia 1/2. Lineárna funkcia

✪ Ekonometria. Prednáška 5. Metóda najmenších štvorcov

✪ Mitin I. V. - Obrobka výsledky fiz. experiment - Metóda najmenších štvorcov (4. prednáška)

✪ Ekonometria: Podstata metódy najmenších štvorcov #2

titulky

História

Na klase XIX storočia. vcheni nie su male pravidla na implementaciu systemu rovna, v ktorom je pocet neznamych mensi, pocet rovnych nizsi; až do tejto hodiny víťazili súkromní priyomi, ktorí ležali nízko kvôli typu rivnyanu a kvôli stupňu tepla, počítanie a do tej doby počítanie, vychádzka z ticha týchto stráží samých, prišli do rôznych vysnovkiv. Gauss (1795) by mal byť pred touto metódou a Legendre (1805) nezávisle objavil a publikoval jogu pod súčasným názvom (fr. Methode des moindres quarres). Laplace zaviedol metódu do teórie imovirnosti a americký matematik Edrain (1808) sa pozrel na jej teoreticko-imovirnіsni dodatky. Metóda predlžovania a predlžovania ďalšími štúdiami od Jenckeho, Bessela, Hansena a iných.

Podstata metódy najmenších štvorcov

Poď x (\displaystyle x)- vytočiť n (\displaystyle n) neznáme zmeny (parametre), f i (x) (\displaystyle f_(i)(x)), , m > n (\displaystyle m>n)- Sukupnіst funktsіy vіd tsgogo set zminnyh. Za výber takýchto hodnôt je zodpovedný vedúci odboru x (\displaystyle x) tak, aby hodnoty týchto funkcií boli čo najbližšie k existujúcim hodnotám y i (\displaystyle y_(i)). V skutočnosti sa hovorí o „virishenni“ revidovaného systému rovných f i (x) = y i (\displaystyle f_(i)(x)=y_(i)), i = 1, …, m (\displaystyle i=1,\ldots,m)špecifikovaný zmysel má maximálnu blízkosť ľavej a pravej časti systému. Podstata MNC je zvolená ako „približný“ súčet štvorcov ľavej a pravej časti | f i (x) − y i | (\displaystyle |f_(i)(x)-y_(i)|). V tomto poradí možno podstatu MNC vyjadriť v tomto poradí:

∑ i e i 2 = ∑ i (y i − fi (x)) 2 → min x (\displaystyle \sum _(i)e_(i)^(2)=\sum _(i)(y_(i)-f_( i)(x))^(2)\šípka doprava \min _(x)).

Ak sa systém rovná riešeniu, potom sa minimálny súčet štvorcov rovná nule a presné riešenia vyrovnávacieho systému môžete nájsť analyticky alebo napríklad rôznymi numerickými metódami optimalizácie. Ak je systém predefinovaný, potom, zjavne nie striktne, počet nezávislých rovných je väčší pre počet náhodných zmien, potom systém nemá presné riešenie a metóda najmenších štvorcov vám umožňuje poznať skutočné „optimálne“ vektor x (\displaystyle x) zmysel má maximálnu blízkosť vektorov y (\displaystyle y)і f(x) (\displaystyle f(x)) alebo maximálna blízkosť vektora v_dkhilen e (\displaystyle e) nanovec (blízkosť chápe sensi euklidovská myseľ).

Butt - systém lineárnych čiar

Zokrema, metóda najmenších štvorcov môže byť použitá na zlepšenie systému lineárnych zarovnaní

A x = b (\displaystyle Ax = b),

de A (\displaystyle A) priamočiara matica rozšírená m × n , m > n (\displaystyle m\times n,m>n)(teda počet riadkov v matici A je väčší ako počet náhodných zmien).

Neexistuje riešenie pre takýto systém vyrovnávania. Tento systém môže byť „narušený“ senzorickým výberom takéhoto vektora. x (\displaystyle x), aby sa minimalizoval rozdiel medzi vektormi A x (\displaystyle Axe)і b (\displaystyle b). Pre koho môžete nastaviť kritérium pre minimalizáciu súčtu druhých mocnín rozdielu medzi ľavou a pravou časťou systému, tobto (A x − b) T (A x − b) → min x (\displaystyle (Ax-b)^(T)(Ax-b)\šípka doprava \min _(x)). Nemá význam ukázať, že výška úlohy minimalizácie má viesť k výške útočného systému vyrovnávania.

x = (A TA) − 1 A T b (\displaystyle A^(T)Ax=A^(T)b\šípka doprava x=(A^(T)A)^(-1)A^ (T)b).

OLS v regresnej analýze (aproximácia údajov)

Poď є n (\displaystyle n) význam deaco y (\displaystyle y)(výsledky môžu byť opatrné, iba experimenty) a ďalšie zmeny x (\displaystyle x). Líder v odbore je v tom, že vzájomné porozumenie jazyka y (\displaystyle y)і x (\displaystyle x) Približné niektoré funkcie, presné na niektoré neznáme parametre b (\displaystyle b), potom skutočne určte najlepšie hodnoty parametrov b (\displaystyle b), ktoré sa maximálne približujú hodnotám f (x, b) (\displaystyle f(x,b)) na skutočné hodnoty y (\displaystyle y). V skutočnosti je potrebné vybudovať až do bodu „virishennya“ revidovaného systému shodo rovných b (\displaystyle b):

F (x t , b) = y t , t = 1 , … , n (\displaystyle f(x_(t),b)=y_(t),t=1,\ldots ,n).

V regresnej analýze tejto zocremy v ekonometrii existujú rôzne modely úhorov medzi zmenami

Yt = f (x t, b) + ε t (\displaystyle y_(t)=f(x_(t),b)+\varepsilon _(t)),

de ε t (\displaystyle \varepsilon _(t))- tzv vipadkovi pardon modelov.

Vidpovidno, vіdhilennya znachen, scho stráž y (\displaystyle y) typ modelu f (x, b) (\displaystyle f(x,b)) prenesené už v rovnakom modeli. Podstata MNC (ohromujúca, klasická) s cieľom poznať takéto parametre b (\displaystyle b), Pre akýkoľvek súčet štvorcov sú (odpustenie, pre regresné modely sa často nazývajú regresné excesy) e t (\displaystyle e_(t)) bude minimálny:

b ^ O S = arg ⁡ min b RS S (b) (\displaystyle (\klobúk (b))_(OLS)=\arg \min _(b)RSS(b)),

de RS S (\displaystyle RSS)- Angličtina. Zvyšný súčet štvorcov sa zobrazí ako:

RS (b) = e T e = ∑ t = 1 n e t 2 = ∑ t = 1 n (y t − f (x t, b)) 2 (\displaystyle RSS(b)=e^(T)e=\sum _ (t=1)^(n)e_(t)^(2)=\súčet _(t=1)^(n)(y_(t)-f(x_(t),b))^(2) ).

Na konci dňa je riešenie ktorej úlohy možné vykonať numerickými metódami optimalizácie (minimalizácie). O čom sa rozprávaš nelineárne najmenšie štvorce(NLS alebo NLLS - angl. Non-Linear Least Squares). V bohatej vipadke je možné získať analytické riešenie. Na splnenie úlohy minimalizácie je potrebné poznať stacionárne body funkcie RS S (b) (\displaystyle RSS(b)), odlíšenie її pre neznáme parametre b (\displaystyle b), pričom straty sa rovnajú nule a porušuje sa otrimanský systém rovných:

∑ t = 1 n (y t − f (x t, b)) ∂ f (x t, b) ∂ b = 0 (\displaystyle \sum _(t=1)^(n)(y_(t)-f(x_ (t),b))(\frac (\čiastočné f(x_(t),b))(\čiastočné b))=0).

OLS v rôznej lineárnej regresii

Nech je regresný omyl lineárny:

t = ∑ j = 1 k b j x t j + ε = x t T b + ε t (\displaystyle y_(t)=\sum _(j=1)^(k)b_(j)x_(tj)+\varepsilon =x_( t)^(T)b+\varepsilon _(t)).

Poď r- vektorové stovety strážcu vysvetľujúce zmenu a X (\displaystyle X)- ce (n × k) (\displaystyle ((n\krát k)))-matica strážcovia funkcionárov (riadky matice - vektor a hodnota funkcionárov, pre ktorých stráži, podľa krokov - vektor hodnoty tohto dôstojníka je väčší pre všetkých strážnikov). Maticová reprezentácia lineárneho modelu môže vyzerať takto:

y = X b + ε (\displaystyle y=Xb+\varepsilon).

Potom vektor odhadov zmeny, ktorý je vysvetlený, a vektor excesov v regresii sú viac

y ^ = X b , e = y − y ^ = y − X b (\displaystyle (\hat(y))=Xb,\quad e=y-(\hat(y))=y-Xb).

zrejme súčet druhých mocnín prebytkov pri regresii nákladov

RS = e T e = (y − X b) T (y − X b) (\displaystyle RSS=e^(T)e=(y-Xb)^(T)(y-Xb)).

Diferenciačná funkcia za vektorom parametrov b (\displaystyle b) a prirovnaním hodnôt k nule odoberieme systém vyrovnávania (v maticovej forme):

(X T X) b = X T y (\displaystyle (X^(T)X)b=X^(T)y).

Pri dešifrovaní maticových foriem vyzerá systém takto:

(∑ x t 1 2 ∑ x t 1 x t 2 ∑ x t 1 x t 3 … ∑ x t 1 x t k ∑ x t 2 x t 1 ∑ x t 2 2 ∑ x t∑ x t∑ x t 2 x t x 3 … 2 x 2 x 3 x 2 x 3 ∑ x t k x t 1 ∑ x t k x t 2 ∑ x t k x t 3 … ∑ x t (2) y t ⋮ ∑ x t k y t) , (\displaystyle (\začiatok(pmatrix)\sum x_(t1)^)_x2(2) &\súčet x_(t1)x_(t3)&\ldots &\súčet x_(t1)x_(tk)\\\súčet x_(t2)x_(t1)&\súčet x_(t2)^(2) &\ súčet x_(t2)x_(t3)&\ldots &\ súčet x_(t2)x_(tk)\\\súčet x_(t3)x_(t1)&\súčet x_(t3)x_(t2)&\ súčet x_ (t3)^(2)&\ldots &\sum x_ (t3)x_(tk)\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\súčet x_(tk)x_(t1 )& \sum x_(tk)x_(t2)&\sum x_ (tk)x_(t3)&\ldots &\sum x_(tk)^(2)\\\end(pmatrix))(\začiatok(pmatrix )b_ (1)\\b_(2)\\b_(3 )\\\vbodky \\b_(k)\\\koniec (pmatica))=(\začiatok (pmatica)\súčet x_(t1)y_( t) \\\súčet x_(t2)y_(t)\\ \súčet x_(t3)y_(t)\\\vdots \\\súčet x_(tk)y_(t)\\\koniec (pmatrix)) ,) de všetky sumi sa berú pre všetky prípustné hodnoty t (\displaystyle t).

Ak je model povolený konštantne (ako vždy), potom x t 1 = 1 (\displaystyle x_(t1)=1) vôbec t (\displaystyle t)že na ľavom hornom záhybe matice rovnakého systému je hŕstka strážcov n (\displaystyle n) a ďalšie prvky prvého riadku a prvého stĺpca - jednoducho spočítajte hodnoty zmien: ∑ x t j (\displaystyle \sum x_(tj)) ten prvý prvok pravej časti systému - ∑ y t (\displaystyle \sum y_(t)).

Virishennya tsієї systém rivnyan a uveďte všeobecný vzorec odhadov LLS pre lineárny model:

b ^ O L S = (X T X) − 1 X T y = (1 n X T X) − 1 1 n X T y = V x − 1 C x y (\displaystyle(\hat(b))_(OLS)=(X^(T ) )X)^(-1)X^(T)y=\vľavo((\frac(1)(n))X^(T)X\vpravo)^(-1)(\frac(1)( n))X^(T)y=V_(x)^(-1)C_(xy)).

Pre analytické účely je zostávajúca hodnota vzorca uvedená ako správna (v systéme sa rovná, keď je delené n, súčet je aritmetický priemer). Ako funguje regresný dátový model centrovanie, potom je prvá matica pridelená prvej matici kovariančnej matice sens vibrance chinnikov a druhá je vektor kovariancií chinnikov z ladom zminnaya. Ako dať prídelový v regióne severného Kazachstanu (tobto štandardizované), potom prvá matica je zmyslom vibračnej korelačnej matice faktorov, druhým vektorom sú vektory vibračných korelačných faktorov úhorového lomu.

Význam sily odhadov OLS pre modely s konštantou- línia indukovanej regresie prechádzajúca stredom závažnosti vibračných údajov, aby sa dosiahla vyrovnanosť:

y? (\klobúk(b))_(j)(\bar(x))_(j)).

Najjednoduchšie okremi vipadki

V rôznej párovej lineárnej regresii y t = a + b x t + ε t (\displaystyle y_(t)=a+bx_(t)+\varepsilon _(t)) Ak vyhodnotíte lineárny pokles jednej zmeny v budúcnosti, vzorec pre analýzu možno zjednodušiť (vystačíte si s maticovou algebrou). Systém vyrovnávania môže vyzerať takto:

(1 x x x x 2) (a b) = (y x x y) (štýl zobrazenia (začiatok(pmatica)1) (x^(2)))\\\koniec(pmatica))(\začiatok(pmatica)a\b\\koniec( pmatrix))=(\začiatok(pmatrix)(\bar (y))\\ (\overline (xy))\\\end(pmatrix))).

Je ťažké poznať odhady koeficientov:

( b ^ = Cov ⁡ (x, y) Var ⁡ (x) = x y − − x ¯ y ¯ x 2 − − x 2 , a ^ = y ¯ − b x ¯ . (\displaystyle (\begin(cases)) (\hat (b))=(\frac (\mathop (\textrm (Cov)) (x,y))(\mathop (\textrm (Var)) (x)))=(\frac ((\overline (xy))-(\bar (x))(\bar (y)))((\overline (x^(2)))-(\overline (x))^(2))),\\( \hat(a))=(\bar(y))-b(\bar(x)).\end(cases)))

Bez ohľadu na tie, ktoré sú lepšie vo všeobecnom pohľade na model s konštantou a (\displaystyle a) je vinný z dosiahnutia nuly. Napríklad vo fyzike je možné vidieť pokles medzi silou a silou prúdu U = I ⋅ R (\displaystyle U=I\cdot R); Vimiryuyuchi kmeň a silu strumy, je potrebné vyhodnotiť opir. V tejto dobe je potrebný model y = b x (\displaystyle y = bx). Takto je poslanec systému rovný, možno jeden rovný

(∑ x t 2) b = ∑ x t y t (\displaystyle \left(\sum x_(t)^(2)\right)b=\sum x_(t)y_(t)).

Tiež môže vyzerať vzorec na odhad jedného koeficientu

B ^ = ∑ t = 1 n x t y t ∑ t = 1 n x t 2 = x y x 2 (štýl zobrazenia (klobúk (b))= )y_(t))(\sum _(t=1)^(n)x_(t)^ (2)))=(\frac (\overline (xy))(\overline (x^(2)) ))).

Variácia polynomického modelu

Údaje ako také sú aproximované polynomickou regresnou funkciou jednej premennej f (x) = b 0 + ∑ i = 1 k b i x i (\displaystyle f(x)=b_(0)+\sum \limits _(i=1)^(k)b_(i)x^(i)), potom urob krok x i (\displaystyle x^(i)) ako nezávislý faktor pre pokožku i (\displaystyle i) môžete odhadnúť parametre modelu na základe všeobecného vzorca pre odhad parametrov v lineárnom modeli. Komu stačí premeniť vzorec na hlavný, čo za takýto výklad x t i x t j = x t i x t j = x t i + j (\displaystyle x_(ti)x_(tj)=x_(t)^(i)x_(t)^(j)=x_(t)^(i+j)і x t j y t = x t j y t (\displaystyle x_(tj)y_(t)=x_(t)^(j)y_(t)). Otzhe, v tejto chvíli rovná matica, pozriem sa:

(n ∑ n x t ... ∑ n x t k ∑ n x t ∑ n x t 2 ... ∑ n x t k + 1 ⋮ ⋱ ⋮ ∑ n x t k ∑ n x t k ∑ n x t k ∑ n x t k ∑ n x t k + 1 x n x t k + 1 x n x t k + 1 x n x t k + 1 x n x 2 k ∑ n x t y t ⋮ n x t k y t]. (\displaystyle (\begin(pmatrix)n&\sum \limits _(n)x_(t)&\ldots &\sum \limits _(n)x_(t)^(k)\\\sum \limits _( n)x_(t)&\súčet \limity _(n)x_(t)^(2)&\ldots &\sum \limits _(n)x_(t)^(k+1)\\vbodky & \ bodky &\dbodky &\vbodky \\\súčet \limity _(n)x_(t)^(k)&\sum \limity _(n)x_(t)^(k+1)&\ldots &\ súčet \limits _(n)x_(t)^(2k)\end(pmatrix))(\začiatok(bmatrix)b_(0)\\b_(1)\\\vdots \\b_(k)\end( bmatrix ))=(\začiatok(bmatica)\súčet \limity _(n)y_(t)\\\súčet \limity _(n)x_(t)y_(t)\\\vbodky \\\súčet \limity _ (n)x_(t)^(k)y_(t)\end(bmatica)).)

Štatistická sila odhadov MNC

Nasampered je významné, že pre lineárne modely odhadu LLS є lineárne odhady, ako to vyniká z odvodeného vzorca. Pre stabilitu odhadov MNC je potrebné a postačujúce zlepšiť najdôležitejší dôvod regresnej analýzy: matematické vyhodnotenie regresného odpustenia sa môže rovnať nule nad rámec faktorov. Tsya umova, zokrema, vikonana, yakshcho

matematicky ochіkuvannya vipadkovy pardon na nulu, to
faktor a vipadkovi pardon - nezavisly, vipadkovі, velkost.

Dôležitý je priateľ mysle – exogénne faktory mysle. Aj keď úrady nezvíťazili, môžete rešpektovať, že ak budú hodnotenia mimoriadne neuspokojivé: de smrad je možný (inšpirovať ani veľkú povinnosť Demshevského pocty vám neumožňuje odobrať rovnaké hodnotenia z rôznych krajín). V klasickom nalade je silny pripust pre determinizmus faktorov, pre uvazovanie o vipadkovom pardonu, co automaticky znamena znicenie mysle exogenity. Pre jednoduchosť hodnotenia stačí exogénnosť pochopiť hneď z matice V x (\displaystyle V_(x)) na deyakoї nevirogennoj matrix zі zbіlshennyam vybіrki vіbrki to neskіchennostі.

Tieto prídavky môžu byť formulované pre kovariančnú maticu vektora vipadianskych odpustení V (ε) = σ 2 I (\displaystyle V(\varepsilon)=\sigma ^(2)I).

Lineárny model, ktorý vás tak poteší, sa nazýva klasický. LLS-odhady pre klasickú lineárnu nezaujatú regresiu a najefektívnejšie odhady v triede všetkých lineárnych nezaujatých odhadov Modrá (Najlepší lineárny nezaujatý odhad) - najlineárnejšie nestranné hodnotenie; v domácej literatúre sa častejšie uvádza Gauss-Markovova veta). Nezáleží na tom, aby sme ukázali, že kovariančná matica vektora odhadov nákladových koeficientov je:

V (b ^ O L S) = σ 2 (X T X) − 1 (\displaystyle V((\hat(b))_(OLS))=\sigma ^(2)(X^(T)X)^(-1 )).

Efektívnosť znamená, že kovariančná matica je „minimálna“ (či už ide o lineárnu kombináciu koeficientov a limity samotných koeficientov môžu mať minimálny rozptyl), teda v triede lineárnych neimaginatívnych odhadov. Diagonálnymi prvkami matice sú rozptyly odhadov koeficientov - dôležitých parametrov kvality odčítaných odhadov. Je však nemožné rozlúštiť kovariančnú maticu; Je možné priniesť, že nezaujaté a možné (pre klasický lineárny model) posúdenie rozptylu vipadkových pardonov je hodnota:

S 2 = R S S / (n − k) (\displaystyle s^(2)=RSS/(n-k)).

Nahradením hodnotového vzorca pre kovariančnú maticu vezmeme odhad kovariančnej matice. Stiahnutie posudkov je tiež nezaujaté a naopak. Dôležité je aj to, že hodnotenie rozptylu pardonov (a tiež rozptylu koeficientov) a hodnotenie parametrov v modeli sú nezávislé fluktuácie, čo umožňuje výber testovacej štatistiky na opätovné overenie hypotéz o koeficientoch. modelu.

Je potrebné poznamenať, že aj keď klasické vynechanie nie je víťazné, MNC-odhad parametrov nie je najefektívnejší a de W (\displaystyle W)- Matica Deyak je symetrická a pozitívne priradená. Konečná metóda najmenších štvorcov sa nazýva typ tohto prístupu, ak je matica úmerná jednej matici. Ako sa ukázalo, pre symetrické matice (alebo operátory) W = P T P (\displaystyle W=P^(T)P). Otzhe, indikácie funkčného môžu byť predložené nasledovne e T P T P e = (P e) T P e = e ∗ T e ∗ (\displaystyle e^(T)P^(T)Pe=(Pe)^(T)Pe=e_(*)^(T)e_( *)), takže táto funkčnosť je možná ako súčet druhých mocnín niektorých transformácií "prebytkov". Taktiež môžeme pomenovať triedu metód najmenších štvorcov - LS-metódy (Least Squares).

Je možné ukázať, že vzorec odhadov parametrov GLS v lineárnom modeli môže vyzerať

B ^ G L S = (X T V − 1 X) − 1 X T V − 1 y (\displaystyle (\hat(b))_(GLS)=(X^(T)V^(-1)X)^(-1) X^(T)V^(-1)y).

Kovariančná matica

V (b ^ G L S) = (X T V − 1 X) − 1 (\displaystyle V((\hat(b))_(GLS))=(X^(T)V^(-1)X)^(- jeden)).

tituly MNC

Toľko radov WLS (WLS - Weighted Least Squares) je v diagonálnej diagonálnej vag matici (a teda matici kovariantných vipadkových odpustkov). Súčet štvorcov excesov modelu je v tomto prípade minimalizovaný, takže opatrnosť pokožky uberá „vágu“, proporčný rozptyl temperamentného pardonu je zabalený do tejto opatrnosti: e T W e = ∑ t = 1 n e t 2 σ t 2 (\displaystyle e^(T)We=\sum _(t=1)^(n)(\frac (e_(t)^(2)))( \sigma _(t)^(2)))). V skutočnosti sa pocty menia na poručníctvo (vydelené hodnotou úmernou štandardnému príspevku za odpustenie) a udeľujú sa nádherné nadnárodné spoločnosti.

ISBN 978-5-7749-0473-0.

Ekonometria. Podruchnik/Za červený. Єlisєєvoї I. ja - 2. pohľad. - M.: Finančná štatistika, 2006. - 576 s. - ISBN 5-279-02786-3.

Alexandrova N.V. História matematických pojmov, rozumieť, význam: slovná zásoba-dovidník. - 3. pohľad. - M.: LKI, 2008. - 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4. I.V. Mitin, Rusakov V.S. Analýza a kompilácia experimentálnych údajov - 5. vydanie - 24s.