Maticový zápis systému premenných diferenciálnych rovníc (SODE) s konštantnými koeficientmi

Lineárna homogénna SODE s konštantnými koeficientmi $\left\(\begin(pole)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_(2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(pole)\right.$,

de $y_(1)\vľavo(x\vpravo),\; y_(2)\vľavo(x\vpravo),\; \ldots,\; y_(n) \left(x\right)$ -- potrebné funkcie nezávislej zmeny $x$, koeficienty $a_(jk) ,\; 1 \ le j, k \ le n $ - dané skutočné čísla môžu byť vyjadrené v maticovom zápise:

1. matica šumu $Y=\left(\begin(pole)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) \ vľavo (x \ vpravo)) \ koniec (pole) \ vpravo) $;
2. matica nedávnych riešení $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(pole)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(pole)\vpravo)$;
3. matica koeficientov $A=\left(\begin(pole)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_ (n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(pole)\vpravo)$.

Teraz, na základe pravidla násobenia matíc, môže byť daný SODE zapísaný v zmysle zarovnania matíc $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.

Globálna metóda dosiahnutia SODE s konštantnými koeficientmi

Povedzme, že matica desatinných čísel $\alpha =\left(\begin(pole)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\ alfa _ (n) ) \koniec (pole)\vpravo)$.

Riešenie SODE vyzerá takto: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. V maticovom tvare: $Y=\left(\begin(pole)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(pole )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(pole)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(pole)\vpravo)$.

Vezmite prosím na vedomie:

Teraz je možné zarovnanie matice danej SODE určiť pohľadom na:

Vyrovnanie Otrimane sa dá urobiť takto:

Zostávajúca rovnosť ukazuje, že vektor $\alpha$ za dodatočnou maticou $A$ sa transformuje na paralelný vektor $k\cdot\alpha$. Tse znamená, že vektor $\alpha $ je daný vektor matice $A$, ktorý sa zhoduje s danou hodnotou $k$.

Číslo $k$ možno prevziať z $\left|\begin(pole)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(pole)\vpravo|=0$.

Cena sa nazýva charakteristická.

Uveďte všetky korene $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) charakteristického vyrovnania rozdielu. Pre hodnotu vzhľadu $k_(i) $ іz systém $\left(\begin(pole)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(pole)\vpravo)\cdot \left(\začiatok(pole)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(pole)\right)=0$ $\left(\ begin(pole)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i\right)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(pole)\right)$.

Stačí si vybrať jednu z hodnôt v tejto matici.

Zostávajúce, riešenie tohto systému v maticovej forme je napísané takto:

$\left(\begin(pole)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(pole)\right)=\ left(\begin(array)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(pole)\right)\cdot \left(\begin(pole)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x) ) \end(pole)\right)$,

de $ C_ (i) $ - dovіlnі postіynі.

manažér

Rozbiť RC systém $\left\(\begin(pole)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac( dy_ ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(pole)\right.$.

Napíšte maticu systému: $A=\left(\begin(pole)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(pole)\right)$.

Maticový formulár má SODE zapísaný takto: $\left(\begin(pole)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (pole)\right)=\left(\begin(pole)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(pole)\right)\cdot \left(\ begin( pole)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(pole)\vpravo)$.

Otrimuёmo sa charakteristicky rovná:

$\left|\begin(pole)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(pole)\right|=0$ potom $k^( 2 ) -10 cdot k + 9 = 0 USD.

Koreň charakteristického vyrovnania: $ k_(1) = $1, $ k_(2) = $9.

Vytvárame systém na výpočet $\left(\begin(pole)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ ) vpravo)) ) \end(pole)\right)$ pre $k_(1) =1$:

\[\left(\begin(pole)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(pole)\right)\cdot \ left(\begin(pole)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (pole)\vpravo)=0,\]

potom $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\vľavo(1\vpravo)) +\vľavo(5-1\vpravo)\cdot \alpha _(2)^(\vľavo(1\vpravo) ) = 0 USD.

Ak zadáte $ \ alpha _ (1) ^ ( \ vľavo (1 \ vpravo)) = 1 $, potom $ \ alpha _ (2) ^ ( \ vľavo (1 \ vpravo)) = -1 $.

Vytvárame systém na výpočet $\left(\begin(pole)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ ) vpravo)) ) \end(pole)\right)$ pre $k_(2) =9$:

\[\left(\begin(pole)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(pole)\right)\cdot \ left(\begin(pole)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (pole)\vpravo)=0,\]

potom $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\vľavo(2\vpravo)) +\vľavo(5-9\vpravo)\cdot \alpha _(2)^(\vľavo(2\vpravo) ) = 0 USD.

Ak vložíte $ \ alpha _ (1) ^ ( \ vľavo (2 \ vpravo)) = 1 $, dostanete $ \ alpha _ (2) ^ ( \ vľavo (2 \ vpravo)) = 1 $.

SODE môžeme vyriešiť v maticovom tvare:

\[\left(\begin(pole)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(pole)\right)=\left(\begin(pole)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(pole)\right)\cdot \left(\začiatok(pole)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(pole)\vpravo).\]

Primárna forma riešenia SODE môže vyzerať takto: $\left\(\begin(pole)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \ cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \ koniec(pole )\vpravo.$.

................................ 1

1. Úvod ............................................... ................................................. .. 2

2. Sústavy diferenciálnych rovníc 1. rádu ................................... 3

3. Sústavy lineárnych diferenciálnych rovnosti 1. rádu......... 2

4. Systémy lineárnych homogénnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi ...................................... ................................................................... .............................. 3

5. Systémy nehomogénnych diferenciálnych rovníc 1. rádu s konštantnými koeficientmi. ................................................. ...... 2

Laplaceova reinkarnácia................................................................................ 1

6. Úvod ................................................... ................................................. .. 2

7. Mocná reinkarnácia Laplace ................................................ .............. 3

8. Laplaceov program transformácie ............................................ ........... 2

Úvod do integrálneho zarovnania............................................................... 1

9. Úvod ................................................... ................................................. .. 2

10. Prvky všeobecnej teórie lineárnych integrálnych rovnosti ............... 3

11. Pochopenie iteračného rozptylu Fredholmovho integrálu sa rovná 2. druhu .................................. ............................................................. ............................................ 2

12. Rivnyannia Volterra............................................................ ........................ 2

13. Razv'yazannya Volterra rіvnyan s rіvnicem core z vikoristnya transformácia Laplace. ......................................... 2

Systémy premenných diferenciálnych rovníc

Vstup

Systémy veľkých diferenciálnych rovnosti sa skladajú z niekoľkých rovnakých rovníc, aby sa pomstili neznáme neznáme funkcie jednej premennej. Zagalom takýto systém môže vyzerať

de - neznáme funkcie, t– nezávislá zmena; Zničiť takýto systém znamená poznať všetky funkcie, ktoré potešia váš systém.

Ako zadok Newtonovho peeringu, ktorý opisuje pohyb telesnej hmoty pod silovou silou:

de - Vektor, kreslenie od klasu súradníc k aktuálnej polohe tela. Kartézsky súradnicový systém má є funkcií V tomto poradí je rovnica (1.2) redukovaná na tri diferenciálne rovnice rôzneho rádu

Pre známe funkcie v kožnom momente hodiny je zrejmé, že potreba poznať polohu tela klasu a polohu klasu v hodine je celkom 6 myslí klasu (ktoré sú založené na systémoch troch rovnakých rozdielneho rádu) :

Rivnyannia (1.3) naraz s mysľou klasu (1.4) spĺňa úlohu Kosh, ako, ako bolo chápané z fyzického mirkuvanu, jediné riešenie, ktoré dáva špecifickú trajektóriu pohybu tela, ako keby sila spĺňala rozumné kritériá. hladkosti.

Dôležité je, že projekt je možné povýšiť na systém 6 požiadaviek prvého rádu na implementáciu nových funkcií. Významne funguje, pretože uvádzame tri nové funkcie, označené podľa nadchádzajúcej hodnosti

Systém (1.3) je teraz možné prepísať ako

Týmto spôsobom sme dospeli k systému šiestich diferenciálnych rovníc prvého rádu funkcií Pochatkovі myseľ pre tsієї systém mayut vglyad

Prvé tri klasy dávajú súradnice tela, zvyšné tri - projekcie šírky klasu osi súradníc.

zadok 1.1. Vytvorte systém dvoch diferenciálnych rovníc 2. rádu

do systému іz chotiriokh rivnyan 1. rádu.

Riešenie. Uveďme si nasledujúcu definíciu:

Keď opustím systém, uvidím

Na úvod označenia sú ešte dve rovnaké:

Zvyšne poskladáme systém diferenciálnych rovnosti 1. rádu, ekvivalentný diferenciálnemu systému rovnosti 2. rádu

Aplikujte tieto príklady na ilustráciu situácie: systém skinov diferenciálnych vyrovnaní možno posunúť na systém vyrovnávania prvého poriadku. Otzhe, nadalі môžeme obmezhitsya vыvchennyam systémy diferenciálnych rovná 1. rádu.

Systémy diferenciálnych rovníc 1. rádu

Na neslávny vzhľad systému n diferenciál rovnajúci sa 1. rádu možno zapísať takto:

de - neznáme funkcie nezávislej zmeny t, - Aktuálne nastavené funkcie. Spіlne riešenie systém (2.1) pomsta n viac konštánt, tobto. môže vyzerať:

Pri popise reálnych úloh pre doplnkové sústavy diferenciálnych rovní sa konkrétne riešenie, príp súkromné ​​riešenie vymaniť sa z divokého rozhodovania lídrov klasy. Pochatkova umova je zaznamenana pre funkciu a system koze n rovná 1. rádu vyzerá takto:

Rozhodnutia sa robia vo vesmíre linka, ako sa tomu hovorí integrálna čiara Systémy (2.1).

Formulujeme vetu o základe a jednote riešenia pre sústavy diferenciálnych rovníc.

Cauchyho veta. Systém diferenciálnych rovníc 1. rádu (2.1) naraz z mysle klasu (2.2) môže mať iba jediné riešenie (takže z globálneho riešenia je odvodená jedna množina konštánt), ako aj funkcie a ich súkromné ​​hodnoty ​za všetky argumenty na okraji týchto klasových myslí.

Je úžasné ísť o riešenie v yakіysk galluzі zminnyh .

Razvyazannya systém diferenciálnej rovnosti môžete vidieť ako vektorová funkcia X, komponenty ľubovoľnej funkcie a množina funkcií je ako vektorová funkcia F, potom.

Vykoristovuyuchi tak znachennya, môžete krátko prepísať vihіdnu systém (2.1) a pochatkovі myseľ (2.2) pre tak hodnosti vektorová forma:

Jednou z metód vývoja systému diferenciálnych rovní je priviesť systém k jednému rovnému vyššiemu rádu. Tri rovné (2.1), ako aj rovné, ktoré vlastnia ich diferenciácie, možno považovať za jedného rovného n poradie, či je to z neznámych funkcií Integrácia jogo, poznať neznámu funkciu Ďalšie neznáme funkcie pochádzajú z rovnakého vonkajšieho systému a medziproduktu sa rovná, otrimanih pri diferenciácii vonkajších.

zadok 2.1. Zostavte systém dvoch diferenciálov prvého rádu

Riešenie. Na rozdiel od ostatných rovných:

Poďme visieť cez prvý riadok

Z inej rieky

Získali sme lineárnu rovnomernú diferenciálnu rovnicu 2. rádu s konštantnými koeficientmi. Joga je charakteristicky rovnocennejšia

Hviezdy sa berú na hrozné rozhodnutia, aké bude rozdielové vyrovnanie

Odhalili sme jednu z neznámych funkcií vizuálneho systému rovnosti. Koristuyuchisya virazom môžete poznať aj:

Virishimo zavdannya Kosh pre klasy

Predstavme si, že riešenie systému

a poznáme integračné konštanty:

V takejto hodnosti budú funkcie úlohy Kosh

Grafy týchto funkcií znázorňujú trochu 1.

Ryža. 1. Súkromné ​​riešenie systémového zadku 2.1 v intervaloch

zadok 2.2. Skontrolujte systém

volanie jogy do jedného rovného 2. rádu.

Riešenie. Diferenciácia najprv rovná, otrimaemo

Koristuyuchisya iným rovným, prichádzame k rovným iného poriadku X:

Nezáleží na tom, že toto rozhodnutie odoberieme a potom prevezmeme funkciu a nahradíme známe rovnakým dielom. V dôsledku toho možno riešenie systému:

Rešpekt. Funkciu vyrovnávania sme poznali. Na prvý pohľad je možné urobiť tie isté rozhodnutia a prezentovať dom toho druhého s podobným systémom

a integrácia jogy. Ak viete v takom poradí, riešenie má tretiu, konštantu:

Nech už je to akokoľvek nesprávne, funkcia sa uspokojí so systémom nie v dostatočnej hodnote, ale až po takom poradí, pričom ďalšej funkcii priradí ďalšiu funkciu bez integrácie.

Pridáme druhé mocniny funkcií i:

Zarovnanie Otrimane dáva rodinu sústredných kýlov so stredom na klase súradníc blízko roviny (obrázok 2). Optimálne parametrické krivky sú tzv fázové krivky, a byt, v yakіy smrad roztashovanі fázová rovina.

Ak na konci dňa zdôvodníte, že ste ako klasy mysle, môžete odobrať hodnoty integračných konštánt a znamenať počet s s prvým polomerom vo fázovej rovine. Týmto spôsobom dermálny súbor klasov ukazuje jednofázovú krivku. Vіzmemo, napríklad, pochatkovі myseľ . Substitúcia v konečnom riešení dáva hodnoty konštánt V takejto hodnosti sa možno súkromne pozerám. Pri zmene parametra na intervale sledujeme fázovú krivku za šípkou roka: hodnota zmeny je bod klasu na osi, hodnota je bod na osi, hodnota je bod na osi. , hodnota je bod na osi, keď sa otočíme k bodu klasu.

Hlavné chápanie tohto účelu Predtým, ako sa systém diferenciálu rovná, je ešte jednoduchšie riadiť úlohu dynamiky bodu: je daná sila, ktorá má byť vyvinutá na hmotný bod; určiť zákon kolapsu, t.j. určiť funkcie x = x(t), y = y(t), z = z(t), ktoré odrážajú omyl súradníc bodu, ktorý sa v hodinu zrúti. Systém, yak, keď idete von, sa môže pozrieť na divokú osobu. Tu x, y, z sú súradnice bodu, ktorý sa zrúti, t je hodina, f, g, h sú funkcie ich argumentov. Systém tvaru (1) sa nazýva kanonický. Prejdeme k divoko ponorenému systému diferenciálnych rovní s neznámymi funkciami argumentu t, nazývame kanonický systém a myseľ je povolená len tým starším. Systém rovných prvého rádu, ktorý umožňuje akékoľvek iné typy funkcií, sa nazýva normálny. Ak prijmeme nové doplnkové funkcie, potom môže byť globálny kanonický systém (2) nahradený ekvivalentným normálnym systémom, ktorý je rovný. Stačí sa pozrieť na menej bežné systémy. Napríklad jeden rovný, označme vipad kanonického systému. Po uctievaní ^ = y, na základe cnosti rivyannnya, partnera vo výsledku, normálneho systému RIVNYAN systémov diferenciálneho RIVNYANN METÓDY METÓDY INTEGISHIC SYSTIONS INICIATÍVNY RIVNYANS 1. RISSHENS TUSTOMA systému (3) diferenciačných funkcií na intervale, čím sa rovnosť sústavy (3) obalí rovnako vzhľadom na t na intervale (a, b). systémy (3) sú formulované nasledovne: poznať riešenie (4) systému, ktoré vyhovuje pri t = klasy. pokojná oblasť D zmena meniaca sa t, X\, x 2, ..., xn. potom je interval do - L0 zmena t, na základe jediného riešenia normálneho systému (3), ktorý uspokojí myslenie ľubovoľných prípustných hodnôt, je systém funkcií (6) rovný (3) celkovo, 2) v oblasti funkcií P (6) porušujúce, či už úlohu Kosh alebo nie. Rozhodnutia, ktoré pochádzajú z divočiny pre konkrétny význam, sa nazývajú súkromné ​​rozhodnutia. Vráťme sa pre presnosť k normálnemu systému dvoch rovností, systém hodnôt t> X \, x2 považujeme za pravouhlú karteziánsku súradnicu bodu triviálneho priestoru, zavedenú do súradnicového systému Otx \ x2. Riešenie sústavy (7), ktoré nadobúda hodnotu t - to, označuje priamku v priestore, ktorá prechádza bodom) - Táto priamka sa nazýva integrálna krivka normálnej sústavy (7). Cauchyho úloha pre systém (7) vyžaduje geometrickejšiu formuláciu: v priestore zmeny t> X \, x2 nájdite integrálnu krivku, ktorá prechádza daným bodom Mo (to, x1, x2) (obr. 1) . Veta 1 stanovuje základ a jednotu takejto krivky. Normálnemu systému (7), ktorý її rozptyl môže byť dané také zakalenie: nezávislá zmena t sa považuje za parameter a riešenie systému je ako parametrické zarovnanie krivky v rovine x\Ox2. Oblasť Qiu meniaceho sa XX2 sa nazýva fázová oblasť. Vo fázovej rovine roztoku (0 systému (7), ktorá nadobúda v t \u003d t0 hodnotu cob x ° (, x2, je znázornená krivkou AB, ktorá prechádza bodom). Táto krivka je called the trajectory of the system (phase trajectory). The trajectory of the system (7) є проекція інтегральної кривої на фазову площину За інтегральною кривою фазова траєкторія визначається однозначно, але не навпаки § 2. Методи інтегрування систем диференціальних рівнянь 2.1 Метод виключення Один з методів інтегрування - метод виключення. дозволене щодо старшої похідної, Ввівши нові функції рівняння наступною нормальною системою рівнянь : replace one equal to the n-th order is equivalent to the normal system (1). May I replace the right part of the product abo, kratšia, Rivnyannia (3) nová diferenciálne v t. Prijatie systému (2 ), je to možné alebo nie Pokračovanie v procese, vieme Predpokladajme, že označujúci (jakobiánsky systém funkcií sa pri pohľade na hodnoty rovná nule). Známe virazi v rovnici je brané ako ekvivalencia n-tého rádu. Rovnakým spôsobom môžete vidieť, že ako riešenie sústavy (2), potom funkcia X (t) bude riešením rovnice (5 ). Späť, pustite to - riešenie sa rovná (5). Diferenciačné úlohy s ohľadom na t, vypočítateľné a pravdepodobne známe hodnoty ako funkcia systému. Dá sa ukázať, že takýto systém funkcií bol motivovaný stať sa riešením systému diferenciálnych rovníc (2). zadok. Systém je potrebné integrovať diferenciálne skôr, ako sa systém rovná, možno hviezdy, zástupne iný rovný, alebo aspoň - lineárne diferenciálny rovný inému rádu s konštantnými koeficientmi s jednou neznámou funkciou. Yogo zagalne riešenie môže vyzerať. Z prvej úrovne systému poznáme funkciu. Známe funkcie x(t), y(t), ako sa dá ľahko nesprávne interpretovať, pre akúkoľvek hodnotu C| a C2 spĺňajú úlohy systému. Funkcie vidno z hviezd, je zrejmé, že integrálne krivky sústavy (6) sú skrútené priamky so stočením od stredovej priamky x = y = 0, ako aj integrálna krivka (obr. 3). Zahrnutím do vzorcov (7) je parameter rovnaký, takže fázové trajektórie daného systému sú podstatou kolíku so stredom na klase súradníc - priemetov špirálových čiar na rovinu. Keď L = 0, fázová trajektória je vytvorená z jedného bodu, ako sa nazýva bod pokojného systému. ". Môže sa zdať, že funkcie nemôžu byť zobrazené cez rovnaký n-tý rád, ekvivalentný výstupnému systému, neberieme to. Os je jednoduchý príklad. Systém rovných nemožno nahradiť ekvivalentnými rovnými iného rádu, buď x alebo x2. Systém Tsya je poskladaný z dvojice rovných 1. rádu, koža ktorejkoľvek z nich je integrovaná nezávisle, čo umožňuje integráciu kombinácií. Integráciu normálnych systémov diferenciálnych rovníc dXi je možné vykonať odlišne metódou integračných kombinácií. Kombinácia, ktorú možno integrovať, sa nazýva diferenciálna rovnica, ktorá je poslednou rovnicou (8), ale je tiež ľahko integrovateľná. zadok. Integrovať systém SYSTÉMY DIFERENCIÁLNYCH ROVNIC Metódy integrácie Metóda eliminácie Metóda integrovateľných kombinácií Sústavy lineárnych diferenciálnych rovníc Fundamentálna matica Metóda variácie konštánt Sústavy lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi Maticová metóda 4 Sčítaním člen po člene týchto rovníc nájdeme jednu integrovateľná kombinácia: ďalšia integrovaná kombinácia: hviezdy Poznali sme dve endianske rovnosti, ktoré možno ľahko rozlíšiť podľa hlavného riešenia systému: Posledný riadok sa teda nazýva prvý integrál systému (8). Inak: prvý integrál systému diferenciálnych rovníc (8) je funkcia, ktorá diferencuje, nerovná sa rovnakej konštante, ale nadobúda konštantnú hodnotu podľa toho, či ide o integrálnu krivku systému. Je známe, že n prvých integrálov systému (8) a všetky sú nezávislé, takže Jacobián systému funkcií sa rovná nule: Systém lineárnych zarovnaní prvého rádu je napísaný v normálnej forme, ktorá môže vyzerať ako to, v maticovej forme, veta 2. Ako všetky funkcie, bez prerušenia na vrchu, potom v malej oblasti bodu pokožky. , хп), de), vykonnі myslite na vetu na zaklade a jednote riesenia problemu Koshії, aj cez pokozku takehoto bodu je jedna integralna krivka systemu (1). V skutočnosti sú pravé časti systému (1) neprerušené pre postupnosť argumentov t)x\,x2)... Ak je matica F nulová, na intervale (a, 6), potom systém (2 ) sa nazýva lineárny homogénny a môže vyzerať ako. Veta 3. Ako X(t) je pre riešenia lineárneho homogénneho systému, de s je celkom konštantné a pre riešenia podobného systému. Veta 4 Dôsledok. Lineárna kombinácia s dostatočnými konštantnými koeficientmi, riešenie lineárnej homogénnej sústavy diferenciálnych rovníc a riešenia sústavy. Veta 5. Ak X(t) je riešením lineárneho nehomogénneho systému - riešením duálnohomogénneho systému, potom súčet bude riešení nehomogénneho systému. Vektory sa nazývajú lineárne poklesy na intervale, aby sa stanovili konštantné čísla tak, že ak vezmeme jedno z čísel a, nebude sa rovnať nule. Ak platí zhodnosť (5), potom len tie vektory sa nazývajú lineárne nezávislé na (a, b). Jedna vektorová identita (5) je ekvivalentná v identite: . Vodca sa nazýva vodca Vronského vektorového systému. Vymenovanie. Nech mám lineárny homogénny systém de-matica s prvkami Systém riešení lineárneho homogénneho systému (6), lineárne nezávislý na intervale, sa nazýva fundamentálny. Veta 6. W(t) fundamentálnej W(t) fundamentálneho riešenia lineárnej homogénnej sústavy (6) na intervale sústavy (6) s koeficientmi a-ij(t) bez prerušení na vrchu b koeficienty a-ij(t) a rovné nule vo všetkých bodoch intervalu (a, 6). Veta 7 (o štruktúre globálneho riešenia lineárneho homogénneho systému). Pre globálne riešenia v obore lineárnej homogénnej sústavy s neprerušiteľnými koeficientmi na priamke a lineárnou kombináciou lineárne nezávislých na intervalovom riešení sústavy (6): postačujú konštantné čísla. zadok. Systém MAH, Yak Nevazhko Perelyatichi, Rishnnya eshnnya Linіniyno, Oskilki Voznik Vronsky Vidmіnniy nil: "Zagalne RISHENNA MAHISH ABOM - Dovir post -iz. základná matrica celého systému. Nezáleží na tom, či základná matica spĺňa zarovnanie matice Yakshcho X(t) je základná matica systému (6), potom môže byť celkové riešenie systému reprezentované vo vizuálne stabilnom maticovom zásobníku s dostatočnými prvkami. , Матриця називається матрицею Коші.З її допомогою рішення системи (6) можна представити так: Загальне рішення в області лінійної неоднорідної системи диференціальних рівнянь з безперервними на відрізку коефіцієнтами і правими (t) дорівнює сумі загального рішення соот відповідної однорідної системи та якогось окремого рішення X t) nehomogénny systém (2): 3.2. Metóda variácií konštánt Hoci vo všeobecnosti ide o riešenie lineárneho homogénneho systému (6), súkromné ​​riešenie nehomogénneho systému možno študovať metódou variácií konštánt (Lagrangeova metóda). Majme hĺbkové riešenie homogénnej sústavy (6), tiež dXk, navyše riešenia sú lineárne nezávislé. Shukatimemo je privátne riešenie heterogénneho systému de - neznámych funkcií v t. Diferenciácia je možná Nahradenie otrimuєmo Takže, pokiaľ ide o označenie, vezmeme systém hore, v zloženom pohľade Systém (10) je lineárny algebraický systém 4(0, takže systém) je jediným riešením, de MO - vіdomі neprerušované funkcie . Інтегруючи останні співвідношення, знаходимо Підставляючи ці значення, знаходимо приватне рішення системи (2): (тут під символом розуміється одна з першорядних для функції § 4. Системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами Розглянемо лінійну систему диференціальних рівнянь у якій всі коефіцієнти - постійні. Загалом Taka systém ilntegravni, až po jednu z rizynnnya rádu Vishnoy, kňaz rivyannnya bude alarmujúci Keephiziyt. netriviálne riešenie, je potrebné a dostatočné, aby sa hodnota premennej rovnala nule: Rovnica (4) sa nazýva charakteristika. , keďže všetky korene charakteristického vyrovnania (4) sú rôzne, potom ich predstavujeme podľa rzі v systéme (3), je známe, že ide o netriviálne riešenie, systém і, tiež je známe, že riešenie externého systému diferenciálnych rovníc (1) v prípade iného indexu naznačuje číslo riešenia a prvé - číslo neznámej funkcie. Podnecované takou hodnosťou a súkromnými riešeniami lineárneho homogénneho systému (1) vytvárajú, ako je možné obrátiť, základný systém riešenia celého systému. Otzhe, zagalne riešenie homogénneho systému diferenciálnych rovníc (1) môže vyzerať - dosť rýchlo. Vipadok, ak charakteristický rovný môže byť násobkom odmocniny, nebudeme sa môcť pozerať na svet. М Шукаємо рішення у вигляді Характеристичне рівняння Система (3) для визначення 01,02 виглядає так: Підставляючи отримуємо звідки Отже, Вважаючи знаходимо тому Загальне рішення даної системи: СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯН Методи інтеграції Метод виключення Системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами Матричний метод Викладемо ще maticová metóda na integráciu homogénneho systému (1). Sústavu (1) napíšme ako maticu s konštantnými reálnymi prvkami a, j. Hádanie deyakiho chápania lineárnej algebry. Vektor g Ф sa nazýva vlastný vektor matice A, takže číslo A sa nazýva vlastné hodnoty matice A, čo zodpovedá voľnému vektoru g, i - koreň charakteristického zarovnania de I je a jediná matica. Predpokladajme, že všetky hodnoty mocniny matice A sú rôzne. Týmto spôsobom sú vektory lineárne nezávislé a n x p-matica T, takže maticu A možno zmenšiť na diagonálny vzhľad, takže parametre matice T sú súradnicami lineárnych vektorov. Nech B(t) - n x n-matica, prvky 6,; (0, čo sú funkcie argumentu t, priradeného k multiplikátoru Matica B(f) sa nazýva bez prerušenia na P, keďže Q je bez prerušenia pre všetky prvky 6,j(f) Matica B(*) sa nazýva derivácia na P, ako aj odvodenie všetkých prvkov matice na Q. -za vzorcom de T je matica, ktorá redukuje maticu A na diagonálny pohľad. , n-svetové vektory-stovptsі riešenia môžu byť dané vzhľadom Tak, ako stovtsі matice T є vlajnі vektory a matice vlajnі vektorové matice A. Preto dosadením (13) (11) odoberieme vzorec (10): V tento rád, ako matica A sústavy diferenciálnych rovníc (7) m aє diff vlasnі hodnoty ​​pre otrimannya globálne riešenie tsієї systém: 1) známa vlaznі veta „ matica ako koreň algebraickej rovnice 2) známe všetky vlnové vektory a 3) napísané globálne riešenie systému diferenciálnych rovníc pre vzorec (7 ) pre vzorec (7). Príklad 2. Rozlož systém Maticová metóda 4 Je možné vidieť maticu A systému 1) Pridáme charakteristicky rovnakú odmocninu charakteristického vyrovnania. 2) Poznáme mocenské vektory Pre A \u003d 4 berieme systém hviezd \u003d 0 | 2, takže podobne pre A \u003d 1 vieme, že I Oskіlki pre pripuschennyam koefіtsієnti ay systém (7) dіysnі, je charakteristicky rovný matima іyіsnі koefіtsієnti. Preto je poradie s komplexným odmocninou A rovnaké ako odmocnina, komplexne s A. Nezáleží na tom, aby ste ukázali, že g je mocninový vektor, že podporuje mocninovú hodnotu A, potom A * je mocninový vektor rovnakú hodnotu, aká je daná mocninovým vektorom g *, v komplexných obväzoch g. Pre komplexné riešenie systému L (7) bude taioKe komplexné. Desatinná časť a zrejmá časť tohto rozhodnutia sú rozhodnutia systému (7). Vlasnyu znamená L * vіdpovіdatime pár skutočných riešení. ten istý pár, ktorý má hornú hodnotu L. Otzhe, páry A, A * komplexne súvisí s hornou hodnotou páru efektívnych riešení sústavy (7) diferenciálu sa rovná. No tak - diysnі vlasnі význam, komplexný vlasnі význam. Todi be-yak dіysne riešenie systému (7) môže vyzerať de z - celkom postiyni. Príklad 3. Rozšírenie systému -4 Matica systému 1) Charakteristické zarovnanie systému Iogo koreňa Vlasnových vektorov matice 3) Rozhodnutie systému pomerne zložitý post. Poznáme efektívne riešenie systému. Koristuyuchis vzorec Euler otrimuemo Ozhe, každý deň riešenie systému môže pozrieť na dostatok reálnych čísel. Vpravo Integrujte systémy pomocou metódy zapnutia: Integrujte systémy kombinovanou metódou: Integrujte systémy pomocou maticovej metódy:

Ako rozviazať systém diferenciálnych rovní?

Ukazuje sa, že čitateľ je už zlý na virishuvati diferenciálnu rovnosť, zokrema, podobne ako iná objednávkaі heterogénne rovné inému rádu z konštantných koeficientov. V systémoch diferenciálnych vyrovnaní nie je nič zložiteľné, a aj keď sú vyrovnávané rôznymi typmi vyrovnaní, vývoj systémov nie je skladom zvláštnych ťažkostí.

Existujú dva hlavné typy diferenciálnych vyrovnávacích systémov:

- Lineárne homogénne systémy diferenciálnych usporiadaní
- Lineárne heterogénne systémy diferenciálneho usporiadania

І dva hlavné spôsoby rozvoja systému diferenciálnych rovnosti:

- Metóda vypnutia. Podstatou metódy je, že po prvýkrát je systém rekreačných stredísk vytvorený jedným rozdielovým usporiadaním.

- Za pomoc charakteristickej žiarlivosti(Toto je názov Eulerovej metódy).

Pri najdôležitejších rozdieloch je potrebné prvým spôsobom prelomiť systém diferenciálneho rovná sa. Ďalší spôsob v hlavách úloh je podstatne rýchlejší, za celú moju prax som prekonal 10-20 systémov. Ale jogu možno stručne zhodnotiť v zostávajúcom odseku tohto článku.

Opätovne sa pýtam na teoretické nepresnosti látky, ale potom som do hodiny zaradil len tie úlohy, aby som sa naozaj naučil v praxi. Tých, ktorí spadnú s meteoritovou doskou raz za päť, tu pravdepodobne nenájdete a s takýmito prekvapeniami sa vrátia späť k špecializovanému tseglini na difury.

Lineárne homogénne systémy diferenciálnych usporiadaní

Najjednoduchší homogénny systém diferenciálnych rovnosti môže vyzerať takto:

Vlasne, nech vsetci prakticki uplatnia takyto system a uzavria sa.

čo je tu?

- Tse číslo (počet koeficientov). Najjednoduchšie čísla. Zokrema, jeden, kіlka chi navit usі koefіtsієnti môže byť nula. A napriek tomu sa takéto dary dávajú zriedka, takže čísla sa najčastejšie nerovnajú nule.

Nemám funkcie. Ako nezávislá zmena sa zmení reproduktor - tse "nibi iks pre najväčší rozdiel sa rovná".

І – prvý pokhіdnі nevіdomih funktsіy i vіdpovіdno.

Čo znamená rozdeliť systém diferenciálnych rovnosti?

Tse znamená vedieť tak funkcie, ktoré potešia k prvému a k druhému vyrovnanie systému. Yak bachite, princíp je už podobný zvichayn sústavy lineárnych čiar. Iba tam korene sú čísla, ale tu fungujú.

Našiel som dôkazy, zapíšte si ich pri pohľade divoký rozv'yazannya systém diferenciálneho rivnyan:

Na kučeravé spánky! Tieto funkcie sú „v jednom zväzku“.

Pre systém DC môžete zmeniť úlohu Kosha, takže viete videnie súkromného systému, čo sa musíme opýtať klasov. Súkromné ​​riešenie systému môže byť zaznamenané aj s kučeravými ramenami.

Kompaktnejšie je možné systém prepísať takto:

Ale, v priebehu tradične najširšej verzie riešenia s neskoršími, maľované v diferenciáloch, takže buďte láskaví, okamžite zavolajte na ďalšie znamenie:
ta - prvý rád pokhіdnі;
že - podobne ako v inom poriadku.

zadok 1

Vyriešte Cauchyho úlohu pre systém diferenciálnych rovníc s klasmi, .

Riešenie: V úlohách systém väčšinou pracuje s hlavičkami, takže všetky lekcie, ktoré sa dajú použiť, budú z úloh Koshu. Ale, to nie je dôležité, čriepky divokého rozhodnutia, ako ísť, urob všetko jeden po druhom, aby si vedel.

systém Virišima spôsob vypnutia. Hádam v čom spočíva podstata metódy redukcie systému na jednu diferenciálnu úroveň. A diferenciálna ekvivalencia, som presvedčený, robíte dobre.

Algoritmus riešenia je štandardný:

1) Beremo inú úroveň systému a vislovlyuєmo z nové:

Dane, musíme sa priblížiť ku koncu rozhodnutia a spoznám ho s hviezdičkou. U asistentov, buvay, tiká 500 znakov a potom sa pýtame: „pre vzorec (253) ...“ a hľadajte vzorec tu cez 50 strán dozadu. No obklopí ma jeden jediný znak (*).

2) Diferenciácia podľa priestupnej časti odstráneného sa rovná:

Pri „ťahoch“ proces vyzerá takto:

Dôležité je, že pre tento jednoduchý moment pochopenia sa nenechám oklamať ničím iným.

3) Predstavte si to na prvej úrovni systému:

І vykonáme maximálne dopytovanie:

Otrimane najdôležitejšie jedna k jednej sa rovná inej objednávke z konštantných koeficientov. S "ťahmi" je to napísané takto: .

- koreň otrimano razne deisne, k tomu:
.

Jedna z funkcií bola nájdená, vráťte sa späť.

Aby sme prejavili úctu, že sme sa stali charakteristicky rovnocennejšími s „dobrým“ diskriminantom a tiež sme si nič nepomýlili s odôvodnením a odpustením.

4) Idea pre funkciu. Pre ktorú funkciu už poznám a vedieť її pokhіdnu. Diferenciácia podľa:

Predstavte si i vyrovnanie (*):

Abo je kratší:

5) Boli nájdené problematické funkcie, zapíšeme celkové riešenie systému:

Návrh: súkromné ​​riešenie:

Pre otrimana je to jednoduché, je ľahké to revidovať, môžeme to zrevidovať v troch krokoch:

1) Overte si, aké sú pravdy mysle klasu:

Urazený klasmi, mysli na výhru.

2) Overte si, že som rád, že poznám prvý riadok systému.

Funkcia Beremo z vіdpovіdі a vedieť її pokhіdnu:

Predstavte si , і na prvej úrovni systému:

Správna správnosť bola odobratá, neskôr sa zistilo, že vyhovuje prvej úrovni systému.

3) Revidovať, chi preukazujúce rovnocennosť systému s iným

Berieme životaschopnú funkciu a vieme, že to bude lepšie:

Predstavte si , і iný rovnaký systém:

Správna rovnováha bola odobratá, neskôr sa zistilo, že bola splnená aj iná rovnováha systému.

Revízia je dokončená. Čo je skreslené? Obrátený vykonannya cob mysle. І, čo je najdôležitejšie, ukazuje skutočnosť, že sa našlo súkromné ​​riešenie spokojný koža vyrovnanie vonkajšieho systému .

Podobne je možné zvrátiť toto radikálne riešenie , opätovné overenie bude kratšie, črepy budú musieť znova overiť klasy.

Teraz sa obráťme na dokonalý systém a umiestnime napájací zdroj. Riešenie začalo takto: vzali sme iný systém a zavesili sme ho. A ako môžeš hovoriť nie iks, ale igrek? Pokiaľ vieme, nič nám nedáme - pre túto osobu sú vpravo є a “grovets” a “iks”, takže sa nebudeme báť zmeniť a priniesť riešenie systému na koniec jednej diferenciálnej rovnice.

Priateľ s jedlom. Ako sa môže rozhodnúť nie z inej, ale z prvej úrovne systému? Je to možné, je to možné. Pozreli sme sa na prvú úroveň systému: . Máme dva „iksi“ a jeden „grovets“ pre niekoho iného, ​​takže je potrebné povedať „grovets“ cez „iksi“: . Dali vie, že prvá vec je zlá: . Poďme sa riadiť návrhom і iný rovnocenný systém. Rozhodnutie bude rovnocennejšie, s rovnakou právomocou, takže najprv poznáme funkciu a potom budeme.

Ja sám budem iným spôsobom príkladom pre nezávislú víziu:

zadok 2

Poznať konkrétne riešenie systému diferenciálnych rovnosti, ktoré poteší myseľ klasu.

Pri pohľade na rozhodnutie, ktoré lekcia vyvolala, bolo od začiatku vyslovené A celý tanec začína vo svetle virazu. Pokúste sa nezávisle vykonať zrkadlové riešenie pre body bez toho, aby ste sa pozerali na body.

Môžete piť s cestom Butt č.1 - z iného rovnakého vrazity (Zvernіt rešpekt, scho vraziť sіd sám "iks"). Ale tento spôsob je menej racionálny, pretože máme veľa múdrosti, ktorú nevieme urobiť.

Lineárne heterogénne systémy diferenciálnych usporiadaní

Prakticky to isté, len riešenie bude lacné.

Heterogénny systém diferenciálnych vyrovnaní, ako je vám vo väčšine prípadov známy na zavdannya, môže vyzerať takto:

Spárovaný s homogénnym systémom je úroveň pokožky doplnená o funkciu dvojky, ktorá sa páči ležať vo forme "tých". Funkcie môžu byť konštanty (pretože jedna z nich sa nerovná nule), exponenty, sínusy, kosínusy atď.

zadok 3

Poznať súkromné ​​riešenie sústavy lineárneho jednosmerného prúdu

Riešenie: Vzhľadom na lineárny nehomogénny systém diferenciálnych rovníc fungujú konštanty ako „sčítanie“. Vikoristovuemo zakázať metódu, podľa vlastného algoritmu sa rozhodnutie prijme znova. Pre rozmanitosť začnem od prvého rovného.

1) Z prvej úrovne systému je možné vidieť:

Toto je dôležité zariadenie, znova ho označím hviezdičkou. Nestrihajte mašle lepšie, prečo nevyplňte zlomky?

A ešte raz, rešpektujte, že samotné „hroby“ sú vyjadrené od prvej rovnej – cez dve „ixi“ tá konštanta.

2) Odlíšenie podľa problematickej časti:

Vznikla konštanta (tri), ktorej sú konštanty rovné nule.

3) Predstavte si і iný systém je rovnaký :

Po dokončení inštalácie sa pridajú zábery, pre ktorú časť pokožky sa vyrovnanie vynásobí 5:

Teraz hovoríme:

V dôsledku toho to bolo prijaté lineárne heterogénne rovné inému rádu z konštantných koeficientov. Axis, v podstate, a všetky vіdmіnіst vіd vіd vіrіshennya odnorodnoї systém rivnyan, razіbrannogo v prednom odseku.

Poznámka: Prote v heterogénnom systéme môže byť tiež rovnomerne rovnaký..

Poznáme hlbšie riešenie rovnomerného homogénneho vyrovnania:

Je zložený a virіshimo charakteristicky rovnaký:

- komplexný koreň otrimano pov'yazane, teda:
.

Koreň charakteristickej horlivosti sa opäť stal „dobrým“, potom sme na správnej ceste.

Pri pohľade sa šepká súkromné ​​riešenie heterogénnej ekvivalencie.
Vieme, že zabijem priateľa:

Predstavme si v ľavej časti heterogénne vyrovnanie:

Týmto spôsobom:

Treba poznamenať, že privátne riešenie sa ľahko volí ústne a ako celok je prípustné nahradiť staré záložky a napísať: „Samozrejme, súkromné ​​riešenie heterogénneho vyrovnania:“.

Ako výsledok:

4) Skontrolujte funkciu. Na chrbte ruky poznáme to isté ako už známu funkciu:

Nie je to obzvlášť vítané, ale často viete o tom istom v difuroch.

Búrka sa láme a odrazu príde deviata vlna. Priviažte sa lanom k ​​palube.

Predstavte si
i vyrovnanie (*):

5) Hlavné riešenie systému:

6) Poznáme súkromné ​​riešenie, ktoré pomáha hlavám :

Zostávajúce, súkromné ​​rozhodnutie:

Axis bachite, ako história šťastného kintzu, sa teraz môžete nebojácne plaviť na lodiach bez kambalového mora pod hladiacim slnkom.

Návrh: súkromné ​​riešenie:

Pred prejavom, aby ste mohli začať porušovať systém z inej úrovne, bude výpočet výrazne jednoduchší (môžete to vyskúšať), ale požiadali web o triedenie a zostavovanie reči. Ako to tu vidíte? =) Nech sú vážnejšie aplikácie.

Príklad je jednoduchší ako nezávislé riešenie:

zadok 4

Dozvedieť sa viac o riešení lineárnej nejednotnej sústavy diferenciálnych rovníc, čo potvrdzuje úlohu klasových myslí

Tse zavdannya mi na chvíľu vyrishene Butt č. 1, teda z iného rovného výrazu "iks". Riešením je nasledovať príklad z lekcie.

Pri pohľade na zadky som neochvejne vikoristovuvav rôznych označení, zastosovuvav rôznych spôsobov riešenia. Takže napríklad jazdy v rovnakom poradí boli zaznamenané tromi spôsobmi: . Pre väčšieho matematika sa nemusí báť nejakých poukážok, je lepšie pochopiť algoritmus riešenia.

Charakteristická metóda zarovnania(Eulerova metóda)

Keďže to bolo zamýšľané na klasy štatistiky, pomocou charakteristického vyrovnávania systému diferenciálnych rovnosti sa skóre len zriedka doplní, v poslednom odseku sa pozriem len na jeden zadok.

zadok 5

Daný lineárny homogénny systém diferenciálnych rovnosti

Poznať zásadné riešenie systému vyrovnávania pomocou charakteristického vyrovnávania

Riešenie: S úžasom nad systémom rovných sme ho dali do iného poradia:

Za akýmsi princípom je položený vyznachnik, vidí hádam každý.

Je zložený viac charakteristicky rovnaký, pre ktoré číslo kože, ako stojí uhlopriečka hlavy, pozri skutočný parameter:

Na čistopis som si, samozrejme, hneď zapísal charakteristické rovné, vysvetlím podrobne, krok za krokom, aby bolo jasné, že hviezdy pochádzajú.

Poďme rozlúštiť obetného baránka:

Poznám odmocninu štvorcového zarovnania:

Yakshcho charakteristicky rovný máj dva rôzne skutočné korene, potom je možné vidieť konečné riešenie systému diferenciálnych rovnosti:

Koeficienty na výstavách vystavovateľov už poznáme, o koeficientoch sme stratili vedomosti

1) Pozrime sa na korene a predstavme si ich pre rovnakú charakteristiku:

(Ti dvaja vyznachnici na cistopis sa nedaju zapisat, ale system mozem kludne dat dole)

Z čísel označujúceho zostavíme systém dvoch lineárnych rovní z dvoch neznámych:

Z oboch rovností vyniká jedna a tá istá rovnosť:

Teraz je potrebné vyzdvihnúť najmenej význam je rovnaký, takže význam bol veľký. Je jasné, aká bude ďalšia úloha. A yakscho teda