Trigonometrik qisqartirish formulalari. Trigonometrik identifikatsiyalar va transformatsiyalar. Trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasi

Trigonometriyaning asosiy formulalari - bu asosiy trigonometrik funktsiyalar o'rtasidagi aloqalarni o'rnatadigan formulalar. Sinus, kosinus, tangens va kotangens shaxssiz munosabatda bir-biri bilan bog'langan. Quyida biz asosiy trigonometrik formulalarni ko'rsatamiz va aniqlik uchun ularni ma'nolari bo'yicha guruhlaymiz. Quyidagi formulalardan amalda standart trigonometriya kursidan dars sifatida foydalanish mumkin. Statistik ma'lumotlar beriladigan formulalar emas, balki formulalarning o'zlari quyida keltirilganligi juda muhimdir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Trigonometriyaning asosiy jihatlari

Trigonometrik tengliklar bir xil atamaning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi o'rtasidagi bog'lanishni ta'minlaydi va bir funktsiyani boshqasi orqali aniqlashga imkon beradi.

Trigonometrik tenglamalar

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g a = sin a cos a , c t g a = cos a sin a t g a c t g a = 1 t g 2 a + 1 = 1 cos 2 a, c t g 2 a + 1 = 1 sin 2 a

Bu o'xshashliklar bevosita bitta son, sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tg) va kotangent (ctg) ma'nosidan kelib chiqadi.

Yo'naltiruvchi formulalar

Berilgan formulalar 0 dan 90 gradusgacha bo'lgan diapazonda yetarlicha va qancha ajoyib kesiklar bilan ishlashdan kesiklar bilan ishlashga o'tish imkonini beradi.

Yo'naltiruvchi formulalar

sin a + 2 p z = sin a , cos a + 2 p z = cos a t g a + 2 p z = t g a , c t g a + 2 p z = c t g a sin - a + 2 p z = - sin a, cos - a + 2 p z = cos a t g - a + 2 p z = - t g a , c t g - a + 2 p z = - c t g a sin p 2 + a + 2 p z = cos a, cos p 2 + a + 2 p z = - sin a t g p 2 + a + 2 p z = - c t g a , c t g p 2 + a + 2 p z = - t g a sin p 2 - a + 2 p z = cos a, cos p 2 - a + 2 p z = sin a t g p 2 - a + 2 p z = c t g a , c t g p 2 - a + 2 p z = t g a sin p + a + 2 p z = - sin a, cos p + a + 2 p z = - cos a t g p + a + 2 p z = t g a , c t g p + a + 2 p z = c t g a sin p - a + 2 p z = sin a, cos p -a + 2 p z = - cos a t g p - a + 2 p z = - t g a , c t g p - a + 2 p z = - c t g a sin 3 p 2 + a + 2 p z = - cos a, cos 3 p 2 + a + 2 p z = sin a t g 3 p 2 + a + 2 p z = - c t g a , c t g 3 p 2 + a + 2 p z = - t g a sin 3 p 2 - a + 2 p = - cos a , cos 3 p 2 - a + 2 p z = - sin a t g 3 p 2 - a + 2 p z = c t g a , c t g 3 p 2 - a + 2 p z = t g a

Induksiya formulalari trigonometrik funksiyalarning davriyligiga asoslanadi.

Trigonometrik katlama formulalari

Trigonometriyada qo'shish formulalari qismlar yig'indisining yoki ayirmasining trigonometrik funktsiyasini ushbu qismlarning trigonometrik funktsiyalari orqali ifodalash imkonini beradi.

Trigonometrik katlama formulalari

sin a ± b = sin a · cos b ± cos a · sin b cos a + b = cos a · cos b - sin a · sin b cos a - b = cos a · cos b + sin a · sin b t g a. ± b = t g a ± t g b 1 ± t g a t g b c t g a ± b = - 1 ± c t g a c t g b c t g a ± c t g b

Qo'shimcha formulalar asosida ko'p kutning trigonometrik formulalari olinadi.

Ko'p kuta uchun formulalar: podviynogo, uch quta va boshqalar.

Sub-juft va uchlik kut uchun formulalar

sin 2 a = 2 · sin a · cos a cos 2 a = cos 2 a - sin 2 a , cos 2 a = 1 - 2 sin 2 a , cos 2 a = 2 cos 2 a - 1 t g 2 a = 2 · t g a 1 - t g 2 a z t g 2 a = s t g 2 a - 1 2 · z t g a sin 3 a = 3 sin a · cos 2 a - sin 3 a , sin 3 a = 3 sin a - 4 sin 3 a cos 3 a = cos 3 a - 3 sin 2 a · cos a , cos 3 a = - 3 cos a + 4 cos 3 a t g 3 a = 3 t g a - t g 3 a 1 - 3 t g 2 a c t g 3 = c t g 3 a - 3 c t g a 3 c t g 2 a - 1

Yarim kuta formulalari

Trigonometriyaning yarim kesim formulalari tobe kesim formulalaridan meros bo`lib, yarim kesimning asosiy funksiyalari bilan butun kesimning kosinuslari orasidagi munosabatni ifodalaydi.

Yarim kuta formulalari

sin 2 a 2 = 1 - cos a 2 cos 2 a 2 = 1 + cos a 2 t g 2 a 2 = 1 - cos a 1 + cos a c t g 2 a 2 = 1 + cos a 1 - cos a

Pastki darajadagi formulalar

Pastki darajadagi formulalar

sin 2 a = 1 - cos 2 a 2 cos 2 a = 1 + cos 2 a 2 sin 3 a = 3 sin a - sin 3 a 4 cos 3 a = 3 cos a + cos 3 a 4 sin 4 a = 3 - 4 cos 2 a + cos 4 a 8 cos 4 a = 3 + 4 cos 2 a + cos 4 a 8

Ko'pincha, buzilish sodir bo'lganda, katta hajmli qadamlar bilan ishlash qiyin. Pastki darajadagi formulalar trigonometrik funktsiya darajasini iloji boricha yuqoridan birinchi darajaga tushirishga imkon beradi. Keling, uning yovuz ko'rinishini ko'rib chiqaylik:

Pastki bosqich formulalarining konvertning orqa turi

yigitlar uchun n

sin n a = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) a) cos n a = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) a)

juftlashtirilmagan n uchun

sin n a = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) a) cos n a = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) a)

Trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasi

Trigonometrik funktsiyalarning qiymati va yig'indisi yaratuvchiga berilishi mumkin. Sinuslar va kosinuslar farqini ko'paytirishni eng yuqori trigonometrik tenglamalar va soddalashtirilgan ifodalar bilan osongina birlashtirish mumkin.

Trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasi

sin a + sin b = 2 sin a + b 2 cos a - b 2 sin a - sin b = 2 sin a - b 2 cos a + b 2 cos a + cos b = 2 cos a + b 2 cos a - b. 2 cos a - cos b = - 2 sin a + b 2 sin a - b 2 , cos a - cos b = 2 sin a + b 2 sin b - a 2

Qo'shimcha trigonometrik funktsiyalar

Yig'indi va ayirma funktsiyalari uchun formulalar yakuniy yechimga o'tishga imkon berganligi sababli, trigonometrik funktsiyalarni yaratish uchun formulalar qaytib o'tishni amalga oshiradi - yig'indiga yechimga olib keladi. Biz sinuslar, kosinuslar va sinuslar uchun formulalarni kosinus bo'yicha ko'rib chiqamiz.

Trigonometrik funksiyalarni qo'shish formulalari

sin a · sin b = 1 2 · (cos (a - b) - cos (a + b)) cos a · cos b = 1 2 · (cos (a - b) + cos (a + b)) sin a cos b = 1 2 (sin (a - b) + sin (a + b))

Universal trigonometrik almashtirish

Barcha asosiy trigonometrik funktsiyalar - sinus, kosinus, tangens va kotangens - yarim kesmaning tangensi orqali ifodalanishi mumkin.

Universal trigonometrik almashtirish

sin a = 2 t g a 2 1 + t g 2 a 2 cos a = 1 - t g 2 a 2 1 + t g 2 a 2 t g a = 2 t g a 2 1 - t g 2 a 2 c t g a = 1 - t g 2 t g a 2

Agar siz matnda yaxshilikni belgilagan bo'lsangiz, uni ko'ring va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Siz eng muhim vazifangiz haqida xabar berishingiz mumkin!

Trigonometrik funksiya (`sin x, cos x, tan x` yoki `ctg x`) belgisi ostida noma`lumdan qasos oladigan tenglama trigonometrik tenglamalar deyiladi, ularning formulalarining o`zi bundan keyin ko`rib chiqiladi.

Eng oddiylari `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` soni deb ataladi, bu erda `x` ma`lum bo`lishi kerak bo`lgan son, `a` sondir. Keling, teri uchun ildiz formulasini yozamiz.

1. Rivnyanya `sin x=a`.

`|a|>1` bo'lganda, hech qanday yechim yo'q.

Qachon `|a| \leq 1` cheksiz ko'p yechim mavjud.

Ildiz formulasi: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Rivnyannya `cos x=a`

Qachon `|a|>1` - sinus natijasida, faol sonlarning o'rtasiga yechim yo'q.

Qachon `|a| \leq 1` qaror yo'q.

Ildiz formulasi: x = p arccos a + 2 pi n, Z da n

Grafiklardagi sinus va kosinus uchun xususiy o'zgarishlar.

3. Rivnyannya `tg x=a`

`A` ma`nosi qanday bo`lishidan qat`iy nazar qaror yo`q.

Ildiz formulasi: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Rivnyannya `ctg x=a`

Xuddi shu narsa "a" ning har qanday qiymati uchun ham amal qiladi.

Ildiz formulasi: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Jadvaldagi trigonometrik tenglamalarning ildizlari uchun formulalar

Sinus uchun:
Kosinus uchun:
Tangens va kotangens uchun:
Darvoza trigonometrik funktsiyalarini almashtirish uchun tenglamalarni ochish uchun formulalar:

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari

Har qanday trigonometrik tenglamaning ulanishi ikki bosqichdan iborat:

• yordam uchun uni eng oddiy shaklga aylantiring;
• Ildiz va jadvallarning eng oddiy formulalarini toping.

Keling, bog'lashning asosiy usullarida dumbalarni ko'rib chiqaylik.

Algebraik usul.

Ushbu butun usulda o'zgaruvchini almashtirish va uni tenglik uchun almashtirish kerak.

dumba. Tenglamani ajrating: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+frac \pi 6)-3cos(x+frac \pi 6)+1=0`,

Tez almashtirishni amalga oshiramiz: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, keyin `2y^2-3y+1=0`,

Biz ildizni bilamiz: `y_1=1, y_2=1/2`, yulduzlar ikkita shaklni ko'rsatadi:

1. ` cos (x + frac \ pi 6) = 1 `, ` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n `, ` x_1 = - \ frac \ pi 6 +2 \ pi n `.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Versiya: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-frac \pi 6+2\pi n`.

Ko'p sonlilarga ochish.

dumba. Tenglamani chiqaring: `sin x+cos x=1`.

Qaror. Barcha tenglik shartlari chapga ko'chiriladi: `sin x+cos x-1=0`. Vikoristovuchi, murosasiz va chap qismning ko'paytirgichlariga ajraladi:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. ` sin x/2 = 0 `, ` x/2 = \ pi n `, ` x_1 = 2 \ pi n `.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Versiya: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Bir xil darajaga tushirildi

Trigonometrik tenglamani ikkita turdan biriga qisqartirish kerak:

`a sin x+b cos x=0` (birinchi bosqichning bir xil darajasi) yoki `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (boshqa bosqichning bir xil darajasi).

Keyin qoidabuzar qismlarni birinchi bosqich uchun "cos x\ne 0" ga, ikkinchisi uchun "cos ^ 2 x\ne 0" ga bo'ling. Biz `tg x` hisobini istisno qilamiz: `a tg x+b=0` va `a tg^2 x + b tg x +c =0`, chunki quyidagi usullarda hisoblash kerak.

dumba. Tenglamani ajrating: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1 `.

Qaror. To'g'ri qismni `1=sin^2 x+cos^2 x` shaklida yozamiz:

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=`` sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x - `` sin^2 x - cos^2 x=0`

` sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0 `.

Bu boshqa bosqichga teng trigonometrik bo'lib, uning chap va o'ng qismlarini `cos^2 x \ne 0` ga bo'ladi va ayiriladi:

`\frac(sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x + tg x - 2 = 0`. Biz `tg x=t` almashtirishni kiritamiz, natijada `t^2 + t - 2=0` bo'ladi. Bu tenglamaning ildizi: `t_1=-2` va `t_2=1`. Todi:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Tasdiqlash. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Yarim nuqtaga o'tish

dumba. Tenglamani toping: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Qaror. Keling, o'simlikning formulasini umumlashtiramiz, natijada: `22 sin (x/2) cos (x/2) - ``2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=``10 sin ^2 x/2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Yuqori algebra usulining tavsiflarini to'xtatib, biz rad etamiz:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Tasdiqlash. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Qo'shimcha kodni kiritish

Trigonometrik tenglamada `a sin x + b cos x = c`, bu erda a, b, c koeffitsientlar va x o'zgaruvchan, `sqrt (a^2+b^2)` ga bo'linadi:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `frac c(sqrt (a^2 +) b^2))`.

Chap tarafdagi koeffitsientlar sinus va kosinusning kuchiga asoslanadi va ularning kvadratlari yig'indisi 1 ga teng, modullari esa 1 dan ko'p emas. Ular quyidagi tartibda ahamiyatli: `\frac a(sqrt). (a^2+b^2))=cos\varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b) ^2))=C`, keyin:

` cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C `.

Keling, yon tomondan hisobotni ko'rib chiqaylik:

dumba. Tenglamani eching: `3 sin x+4 cos x=2`.

Qaror. Biz hasadning haqoratli qismlarini `sqrt (3^2+4^2)` ​​ga ajratamiz, bundan mustasno:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+``\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `frac 2(sqrt ( 3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Sezilarli `3/5 = cos\varphi`, `4/5 = sin\varphi`. Demak, ` sin \ varphi > 0 `, ` cos \ varphi > 0 ` bo`lgani uchun qo`shimcha kesim sifatida ` \ varphi = arcsin 4/5 ` ni olamiz. Keyin hasadimizni quyidagi shaklda yozamiz:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Sinus uchun sumi kuti formulasini o'rnatgandan so'ng, g'ayratimizni quyidagi shaklda yozamiz:

`sin (x+\varphi) = 2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Tasdiqlash. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Kasrli ratsional trigonometrik tenglamalar

Trigonometrik funktsiyalar kabi sonlar va belgilardagi kasrlar bilan bog'liq muammolar.

dumba. Virishity teng. frak (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x`.

Qaror. Tenglikning o'ng qismini `(1+cos x)` ga ko'paytiramiz va bo'lamiz. Natijada biz rad etamiz:

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Vrahovuychi, sodiq butining belgisi nolga teng bo'lmagani uchun biz `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z ni rad qilamiz. `.

Kasr sonini nolga tenglashtiramiz: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Yoki `sin x=0` yoki `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Shifokorlarning ta'kidlashicha, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, yechimlar `x=2\pi n, n \in Z` va `x=\pi /2+2\pi bo`ladi. n` , `n\in Z`.

Tasdiqlash. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometriya va trigonometrik tenglamalar geometriya, fizika va texnikaning barcha sohalarida keng qo'llaniladi. Bitiruv 10-sinfda boshlanadi va sizdan EDI ga borish talab qilinadi, shuning uchun trigonometrik tenglamalarning barcha formulalarini yod olishga harakat qiling - bu sizga kerak bo'ladi!

Biroq, ularni yodlashning hojati yo'q, lekin mohiyatini tushunish va e'tiborga olish kerak. Bu ko'rinadigan darajada murakkab emas. O'zgartiring va videoni tomosha qiling.

Asosiy trigonometrik funktsiyalar - sinus, kosinus, tangens va kotangens o'rtasidagi bog'liqlik ko'rsatilgan trigonometrik formulalar. Trigonometrik funktsiyalar o'rtasida juda ko'p bog'lanishlar mavjud bo'lib, ular trigonometrik formulalarning joylashishini tushuntiradi. Ba'zi formulalar bitta kesmaning trigonometrik funktsiyalarini, ko'p kesimning boshqa funktsiyalarini, boshqalari qadamni kamaytirishga imkon beradi, to'rtinchisi barcha funktsiyalarni yarim kesimning tangensi orqali ifodalaydi va hokazo.

Ushbu maqola ko'pgina trigonometriya masalalari uchun etarli bo'lgan barcha asosiy trigonometrik formulalarni o'z ichiga oladi. Eslab qolishni osonlashtirish uchun ularni ma’nolari bilan birga guruhlab, jadvalga kiritamiz.

Sahifada navigatsiya.

Asosiy trigonometrik tengliklar

Asosiy trigonometrik tengliklar bitta kutning sinus, kosinus, tangens va kotangenslari orasidagi munosabatlarni belgilang. Hidi sinus, kosinus, tangens va kotangens ma'nosidan, shuningdek, bitta qoziq tushunchasidan kelib chiqadi. Ular bir trigonometrik funktsiyani boshqasi orqali ifodalash imkonini beradi.

Ushbu trigonometriya formulalarining batafsil tavsifi, ularning asoslari va ilovalari maqolada keltirilgan.

Yo'naltiruvchi formulalar

Yo'naltiruvchi formulalar sinus, kosinus, tangens va kotangens kuchlaridan kelib chiqadi, shuning uchun ular trigonometrik funktsiyalarning davriylik kuchini, simmetriya kuchini, shuningdek, bu holda zsuvo kuchini ifodalaydi. Ushbu trigonometrik formulalar noldan 90 darajagacha bo'lgan kesimlar bilan ishlash uchun etarli kesiklar bilan ishdan ko'chirishga imkon beradi.

Ushbu formulalarning asosini, ularni yodlashning mnemonik qoidasini va ularni qo'llashni statistik ma'lumotlardan o'qish mumkin.

Qo'shish formulalari

Trigonometrik katlama formulalari ikki qismning yig‘indisi va ayirmalarining trigonometrik funksiyalari shu qismlarning trigonometrik funksiyalari orqali qanday ifodalanishini ko‘rsating. Bu formulalar pastki trigonometrik formulalarni chiqarish uchun asosdir.

Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. Kuta

Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. kut (ular bir nechta kut formulalari deb ham ataladi) trigonometrik funktsiyalarning qanday tobe, uchlik va hokazo ekanligini ko'rsatadi. kutiv () bitta kutning trigonometrik funksiyalari orqali ifodalanadi. Ularning ramzlari katlama formulalaridan paydo bo'ladi.

Batafsil ma'lumot ikkinchi, uchinchi va ikkinchi formuladan to'planadi. Kuta.

Yarim kuta formulalari

Yarim kuta formulalari yarim kutning trigonometrik funktsiyalari butun kutning kosinusu orqali qanday ifodalanishini ko'rsating. Bu trigonometrik formulalar o'simliklarning formulalaridan kelib chiqadi.

Ularning dizayni va dumbalarini statistik ma'lumotlardan ko'rish mumkin.

Pastki darajadagi formulalar

Pastki darajadagi trigonometrik formulalar Biz trigonometrik funktsiyalarning tabiiy bosqichlaridan sinus va kosinuslarga birinchi bosqichda yoki bir necha bosqichda o'tishni mamnuniyat bilan qabul qilamiz. Boshqacha qilib aytganda, ular trigonometrik funktsiyalar darajasini birinchi darajaga tushirishga imkon beradi.

Trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmalarining formulalari

Asosiy maqsad trigonometrik funktsiyalarning formulalari yig'indisi va farqlari funksiyalarni yaratishga o'tishda yotadi, bu esa trigonometrik ifodalarni soddalashtirishda yanada yomonroqdir. Belgilangan formulalar eng yuqori trigonometrik tenglamalar uchun ham keng qo'llaniladi, bu sinuslar va kosinuslarning yig'indisini va ayirmasini ko'paytirish imkonini beradi.

Kosinuslar, kosinuslar va sinuslarni yaratish formulalari

Farq yig'indisiga qadar trigonometrik funktsiyalarni yaratishga o'tish sinuslar, kosinuslar va kosinuslar bo'yicha sinuslarni yaratish uchun qo'shimcha formulalar yordamida sodir bo'ladi.

Universal trigonometrik almashtirish

Trigonometriyaning asosiy formulalarini ko'rib chiqish trigonometrik funktsiyalarni yarim kesimning tangensi orqali ifodalovchi formulalar bilan yakunlanadi. Bu almashtirish nomni olib tashladi universal trigonometrik almashtirish. Afzalligi shundaki, bu trigonometrik funktsiyalar ildizsiz ratsional ravishda yarim kesmaning tangensi orqali ifodalanadi.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: Navch. 9-sinf uchun. o'rtada maktab/Yu. N. Makarichev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Tahrir bo'yicha. S. A. Telyakovskiy.- M.: Prosvitnitstvo, 1990.- 272 b.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra va tahlil: Navch. 10-11 sinflar uchun. o'rtada maktab - 3 xil. - M: Prosvitnitstvo, 1993. - 351 p.: kasal. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra va tahlil bilan boshlang: Bosh. 10-11 sinflar uchun. zagalnosvit. o'rnatish / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsin va yilda; Tahrir bo'yicha. A. N. Kolmogorov. - 14 tur. - M .: Prosvitnitstvo, 2004. - 384 pp.: Il. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnikagacha bo'lgan maktab o'quvchilari uchun qo'llanma): Navch. Pos_bnik.- M.; Visch. maktab, 1984.-351 b., kasal.

cleverstudent tomonidan mualliflik huquqi

Barcha huquqlar himoyalangan.
Mualliflik huquqi qonuni bilan himoyalangan. Saytning biron bir qismi, shu jumladan ichki materiallar va tashqi dizayn, yuridik organning yozma ruxsatisiz hech qanday shaklda nashr etilishi yoki o'zgartirilishi mumkin emas.

Ushbu sahifada siz o'ng qo'lda juda ko'p ishlarni bajarishga yordam beradigan barcha asosiy trigonometrik formulalarni topasiz.

Trigonometrik formulalar - bu argumentning barcha haqiqiy qiymatlari uchun hisoblangan trigonometrik funktsiyalar uchun matematik tenglamalar.

Formulalar asosiy trigonometrik funktsiyalar - sinus, kosinus, tangens, kotangens o'rtasidagi munosabatni belgilaydi.

Sinus kut - bitta sondagi nuqtaning (ordinataning) y koordinatasi. Kosinus kosinus nuqtaning x koordinatasi (abscis).

Tangens va kotangens, shubhasiz, sinusning kosinusga nisbati va aksincha.
`sin\alpha,\cos\alpha`
`tg \\alpha=\frac(sin\\alpha)(cos\\alpha), `` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \n \in Z`
`ctg \\alpha=\frac(cos\\alpha)(sin\\alpha), `` \alpha\ne\pi+\pi n, \n \in Z`

Va avvalroq muhokama qilingan ikkita - sekant, kosekant. Ular 1 va kosinus va sinus o'rtasidagi munosabatni ko'rsatadi.

`sec \\alpha=\frac(1)(cos\\alpha),`` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
` cosec \ \ alpha = \ frac (1) (sin \ \ alpha), `` \ alpha \ ne \ pi + \ pi n, \ n \ in Z `

Trigonometrik funktsiyalarning qiymatidan siz terida qanday hid belgilari paydo bo'lishini ko'rishingiz mumkin. Funktsiyaning belgisi faqat argumentning qaysi chorakda kengaytirilganligiga bog'liq.

Argument belgisini "+" dan "-" ga o'zgartirganda, faqat kosinus funktsiyasi uning qiymatini o'zgartirmaydi. Bu bug 'xonasi deb ataladi. Bu grafik ordinata o'qi bo'ylab simmetrikdir.

Boshqa funktsiyalar (sinus, tangens, kotangens) juftlashtirilmagan. Argument belgisini "+" dan "-" ga o'zgartirganingizda, ularning qiymatlari ham salbiy o'zgaradi. Ularning grafiklari koordinatalar yadrosiga simmetrikdir.

`sin(-\alpha)=-sin \\alpha`
`cos(-\alpha)=cos \\alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \\alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \\alpha`

Asosiy trigonometrik tengliklar

Asosiy trigonometrik tengliklar - bular bir birlikning trigonometrik funktsiyalari (`sin\alpha,\cos\\alpha,\tg\alpha,\ctg\\alpha`) oʻrtasidagi bogʻlanishlarni oʻrnatadigan va qiymatlarni topishga imkon beruvchi formulalardir. teri x funktsiyasi boshqalarning bilimi orqali.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha, `` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha, `` \alpha\ne\pi n, \n \in Z`

Trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasining formulalari

Buklangan va aniq argumentlar formulalari yig'indining trigonometrik funktsiyalarini yoki bu qismlarning trigonometrik funktsiyalari orqali ikki qismning farqini ifodalaydi.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ beta`
` sin ( \ alfa - \ beta ) = `` sin \ \ alfa \ cos \ \ beta - cos \ \ alfa \ sin \ \ beta `
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ alpha\ sin \ beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

Ildiz uchun formulalar

`sin\2\alpha = 2\sin\\alpha\cos\\alpha = ``frac (2\tg\\alpha) (1 + tg^2\alpha) = \frac (2\ctg\\alpha) (1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=``1-2 \ sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `frac(1-tg^ 2) \alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `frac(ctg \ alpha-tg \ alpha) (ctg \ alpha) + tg\alfa)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=``\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\ frac 2 (\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)=``\frac ( \ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

Uchta kuta formulalari

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
` cos \ 3 \ alpha = 4 cos ^ 3 \ alpha-3 \ cos \ \ alfa `
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Yarim kuta formulalari

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \alpha)(1+cos \alpha))=` `frac (sin \ alpha)(1+cos \ \alpha)=\frac (1-cos\alpha)(sin\alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=``\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alfa) = frak (1 + cos \ alfa) (sin \ alfa)`

Yarim, ikki va uch argumentlar uchun formulalar ushbu argumentlarning `sin, \cos, \tg, \ctg` funksiyalarini ifodalaydi (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha, ... ' ) ci funksiyalari orqali `\alpha` argumentiga.

Ular oldingi guruhdan olib tashlanishi mumkin (katlanmış va ko'rinadigan argumentlar). Misol uchun, o'simliklarning o'xshashligini "beta" ni "alfa" bilan almashtirish orqali osongina yo'q qilish mumkin.

Pastki darajadagi formulalar

Trigonometrik funksiyalarning kvadratlari (kublari va boshqalar) formulalari 2,3, ... bosqichdan birinchi bosqichning trigonometrik funksiyalariga yoki karrali (`\alpha, \3\alpha, \...') o'tish imkonini beradi. yoki `2 \alpha, \4 \alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,`` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,`` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alfa-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`

Trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmalarining formulalari

Formulalar sirtdagi turli argumentlarning trigonometrik funktsiyalari yig'indisi va farqining o'zgarishidir.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \sin \frac(\alpha-\beta)2`
` cos \ \ alpha + cos \ \ beta = `` 2 \ cos \ frac (\ alpha + \ beta ) 2 \ cos \ frac (\ alfa - beta )2 `
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ ) beta)2 \ sin \frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=``\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ beta)`

Bu erda har bir tur uchun bitta argumentning qo'shilishi va funktsiyasini o'zgartirishingiz kerak.

` cos \ \ alpha + sin \ \ alpha = \ sqrt (2) \ cos (\ frac (\ pi) 4- \ alfa)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ alpha+ctg \ \ alfa = 2 \ kosek \ 2 \ alfa; ``tg\\alpha-ctg\\alpha = -2\ctg\2\alpha

Quyidagi formulalar birlik va trigonometrik funktsiyaning yig'indisi va ayirmasini qo'shimchalarga aylantiradi.

`1 + cos\\alpha = 2\cos^2\frac (\alfa)2`
`1-cos \\alpha=2\sin^2\frac(\alpha)2`
`1 + sin\\alpha = 2\cos^2 (\frac (\pi)4-\frac (\alpha)2)`
`1-sin \alpha=2 \sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \\alpha)`
`1 \pm tg\alpha\tg\\beta =\frac (cos (\alpha\mp\beta)) (cos\\alpha\cos\\beta); `` \ ctg \ \ alpha \ ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

Ijodiy funktsiyalarni o'zgartirish uchun formulalar

'\alfa' va '\beta' argumentlari bilan trigonometrik funktsiyalarni ushbu argumentlar yig'indisiga (farqiga) aylantirish uchun formulalar.
`sin \ \alpha \sin \ \beta = `` \ frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
` cos \ \ alpha \ cos \ \ beta =` ` \ frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg\\alpha\tg\\beta = ``frac (cos (\alpha - \beta) - cos (\alpha + \beta)) ( cos (\alpha - \beta) + cos (\alpha + \beta) )) = ``\ frac(tg\alpha + tg\beta)(ctg\alpha + ctg\beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `frac(cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta)) (cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta) )) = ``frac(ctg\alpha + ctg\beta)(tg\alpha+tg\beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `frac(sin(\alpha - \beta) + sin(\alpha + \beta)) (sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \beta) ))`

Universal trigonometrik almashtirish

Bu formulalar trigonometrik funksiyalarni yarim kesimning tangensi orqali ifodalaydi.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)), `` \alfa\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos\\alpha =\frac (1 - tg^(2)\frac (\alpha) (2)) (1 + tg^(2)\frac (\alpha) (2)), ``\alpha\ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg\\alpha =\frac (2tg\frac (\alpha) (2)) (1 - tg^(2)\frac (\alpha) (2)), ``\alpha\ne\pi +2\ pi n, n \in Z, `` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)), `` \alpha \ne \pi n, n \da Z, ``\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \da Z`

Yo'naltiruvchi formulalar

Kamaytirish formulalar olinishi mumkin, vikorystvo va ma'lumotlar yig'indisi davriylik, simmetriya, kuch kabi trigonometrik funktsiyalari bunday kuch. Ular ma'lum miqdordagi issiqlikning funktsiyalarini 0 dan 90 darajagacha bo'lgan funktsiyalarga o'zgartirishga imkon beradi.

Kut (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) yoki (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha) = cos \ \alpha; `` gunoh (\frac (\pi)2 + \alpha) = cos \ \alpha`
`cos(\frac(\pi)2 - \alpha)=sin \\alpha;``cos(\frac(\pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`
`tg(\frac(\pi)2 - \alpha) = ctg \\alpha;``tg(\frac(\pi)2 + \alpha)=-ctg \\alpha`
`ctg(\frac(\pi)2 - \alpha)=tg \\alpha;``ctg(\frac(\pi)2 + \alpha)=-tg \\alpha`
Kut (`\pi \pm \alpha`) yoki (`180^\circ \pm \alpha`) uchun:
` sin (\pi - \alpha) = sin\\alpha; ``sin(\pi +\alpha) = - sin\\alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \\alpha;``cos(\pi + \alpha)=-cos \\alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha) = -ctg \ \alpha;`` ctg(\pi + \alpha) = ctg \ \alpha`
Kut (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) yoki (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac(3\pi)2 - \alpha)=-cos \\alpha;``sin(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-cos\alpha`
`cos(\frac(3\pi)2 - \alpha)=-sin \\alpha;``cos(\frac(3\pi)2 + \alpha)=sin \\alpha`
`tg(\frac(3\pi)2 - \alpha)=ctg \\alpha;``tg(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-ctg \\alpha`
`ctg(\frac(3\pi)2 - \alpha) = tg \\alpha;`` ctg(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-tg \\alpha`
Kut (`2\pi \pm \alpha`) yoki (`360^\circ \pm \alpha`) uchun:
` sin(2\pi -\alpha) = - sin\\alpha; ``sin(2\pi+\alfa) = sin\\alfa`
` cos(2\pi -\alpha) = cos\\alpha; ``cos(2\pi+\alpha) = cos\\alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha) = -ctg \ \alpha; ``ctg(2\pi+\alpha) = ctg\\alpha`

Ayrim trigonometrik funksiyalarni boshqalar orqali ifodalash

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alfa))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alfa))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=``\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alpha) = \frac 1 (ctg\\alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alfa))(sin \ \alpha)=` `frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2) \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`

Trigonometriya so'zma-so'z tarjimada "uchli odamlar dunyosi" deb tarjima qilingan. Von maktabda o'qishni boshlaydi va VNZda batafsilroq davom etadi. Shuning uchun trigonometriyaning asosiy formulalari 10-sinfdan boshlab, shuningdek, EDI ni to'ldirish uchun kerak. Xushbo'y hid funksiyalar orasidagi bog'lanishni bildiradi va bu bog'lanishlarning bo'laklari ko'p bo'lsa-da, formulalarning o'zi kam. Ularning barchasini eslab qolish oson emas, lekin bu shart emas - ularni zarurat tufayli olib tashlash mumkin.

Trigonometrik formulalar integral hisoblashda, shuningdek, trigonometrik kamaytirish, hisob-kitoblar va konvertatsiyalarda qo'llaniladi.