Trigonometrické skracovacie vzorce. Trigonometrické identity a transformácie. Súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Základné vzorce trigonometrie - sú to vzorce, ktoré vytvárajú spojenia medzi základnými goniometrickými funkciami. Sínus, kosínus, dotyčnica a kotangens sú vo vzájomnom vzťahu v neosobnom vzťahu. Nižšie uvádzame základné trigonometrické vzorce a pre prehľadnosť ich zoskupujeme podľa ich významu. Nasledujúce vzorce možno prakticky použiť ako lekciu zo štandardného kurzu trigonometrie. Je veľmi dôležité, aby nižšie boli uvedené samotné vzorce a nie ich vzorce, ku ktorým budú priradené štatistiky.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Základné aspekty trigonometrie

Trigonometrické rovnosti poskytujú spojenie medzi sínusom, kosínusom, tangensom a kotangensom toho istého člena, čo umožňuje určiť jednu funkciu pomocou druhej.

Trigonometrické rovnosti

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin . α

Tieto podobnosti priamo vyplývajú z významu jediného čísla, sínus (sin), kosínus (cos), tangens (tg) a kotangens (ctg).

Usmerňovacie vzorce

Uvedené vzorce umožňujú prejsť od práce s dostatkom a koľkými skvelými rezmi až po prácu s rezmi v rozsahu od 0 do 90 stupňov.

Usmerňovacie vzorce

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α, cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α, cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α, cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α, cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α, cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α, cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α, c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Indukčné vzorce sú založené na periodicite goniometrických funkcií.

Trigonometrické skladacie vzorce

Sčítacie vzorce v trigonometrii umožňujú vyjadriť goniometrickú funkciu súčtu alebo rozdielu častí prostredníctvom goniometrických funkcií týchto častí.

Trigonometrické skladacie vzorce

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin α t g . ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Na základe doplnkových vzorcov sú odvodené trigonometrické vzorce viacerých kut.

Vzorce pre viacnásobné kuta: podviynogo, trojité kuta atď.

Vzorce pre sub-double a triple kut

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α з t g 2 α = с t g 2 α - 1 2 · з t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 . = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Vzorce polovičného kuta

Vzorce polovičného rezu trigonometrie sú prevzaté zo vzorcov podriadeného rezu a vyjadrujú vzťah medzi základnými funkciami polovičného rezu a kosínusom celého rezu.

Vzorce polovičného kuta

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Vzorce nižšej úrovne

Vzorce nižšej úrovne

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Často, keď dôjde k poruche, je práca s objemnými krokmi ťažká. Vzorce nižšej úrovne umožňujú znížiť úroveň goniometrickej funkcie z čo najvyššej na prvú. Poďme sa pozrieť na jeho zlý pohľad:

Formuláre nižšieho stupňa typu Back-of-the-Envelope

pre chlapov n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = Cn 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

pre nepárové n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Hodnotu a súčet goniometrických funkcií možno zadať tvorcovi. Násobenie rozdielu sínusov a kosínusov možno ľahko kombinovať s najvyššími trigonometrickými rovnicami a zjednodušenými výrazmi.

Súčet a rozdiel goniometrických funkcií

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - 2 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Ďalšie goniometrické funkcie

Keďže vzorce pre súčtové a rozdielové funkcie umožňujú prejsť ku konečnému riešeniu, potom vzorce na tvorbu goniometrických funkcií vykonajú spätný prechod – vedúci k riešeniu súčtu. Pozeráme sa na vzorce pre sínus, kosínus a sínus po kosínu.

Vzorce na sčítanie goniometrických funkcií

sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Univerzálna trigonometrická substitúcia

Všetky základné goniometrické funkcie - sínus, kosínus, tangens a kotangens - môžu byť vyjadrené tangensom polovičného rezu.

Univerzálna trigonometrická substitúcia

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 α - t g 2 t g α 2

Ak ste v texte označili láskavosť, pozrite si ju a stlačte Ctrl+Enter

Môžete podať správu o svojej najdôležitejšej úlohe!

Rovnica, ktorá sa mstí neznámemu pod znamienkom goniometrickej funkcie (`sin x, cos x, tan x` alebo `ctg x`), sa nazýva goniometrické rovnice, o ich samotných vzorcoch sa bude diskutovať ďalej.

Najjednoduchšie sa nazývajú číslo `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, kde `x` je číslo, ktoré treba poznať, `a` je číslo. Zapíšme si koreňový vzorec pre pokožku.

1. Rivnyanya `sin x=a`.

Keď `|a|>1` neexistuje žiadne riešenie.

Keď `|a| \leq 1` existuje nekonečný počet riešení.

Vzorec koreňov: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Rivnyannya `cos x=a`

Keď `|a|>1` - ako výsledok sínusu, neexistuje riešenie stredu aktívnych čísel.

Keď `|a| \leq 1` neexistuje žiadne rozhodnutie.

Vzorec koreňov: x = p arccos a + 2 pi n, n v Z

Súkromné ​​variácie pre sínus a kosínus v grafoch.

3. Rivnyannya `tg x=a`

Neexistuje žiadne rozhodnutie bez ohľadu na význam „a“.

Vzorec koreňov: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Rivnyannya `ctg x=a`

To isté platí pre akúkoľvek hodnotu „a“.

Vzorec koreňov: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Vzorce pre korene goniometrických rovníc v tabuľke

Pre sínus:
Pre kosínus:
Pre tangens a kotangens:
Vzorce na rozlúštenie rovníc, ktoré nahradia goniometrické funkcie brány:

Metódy riešenia goniometrických rovníc

Spojenie akejkoľvek goniometrickej rovnice pozostáva z dvoch fáz:

• o pomoc, transformujte ho do jeho najjednoduchšej podoby;
• Zistite najjednoduchšie vzorce koreňov a tabuliek.

Pozrime sa na zadky na hlavné spôsoby viazania.

Algebraická metóda.

V celej tejto metóde je potrebné nahradiť premennú a dosadiť ju za rovnosť.

zadok. Rozdeľte rovnicu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+frac \pi 6)-3cos(x+frac \pi 6)+1=0`,

Urobme rýchlu náhradu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, potom `2y^2-3y+1=0`,

poznáme koreň: `y_1=1, y_2=1/2`, hviezdy majú dve formy:

1. ` cos (x + frac \ pi 6) = 1 `, ` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n `, ` x_1 = - \ frac \ pi 6 +2 \ pi n `.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Verzia: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-frac \pi 6+2\pi n`.

Rozloženie na násobky.

zadok. Extrahujte rovnicu: `sin x+cos x=1`.

rozhodnutie. Všetky členy rovnosti sa presunú doľava: `sin x+cos x-1=0`. Vikoristovuchi, zmieriteľné a rozložené na multiplikátory ľavej časti:

`sin x – 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0“,

1. ` sin x/2 = 0 `, ` x/2 = \ pi n `, ` x_1 = 2 \ pi n `.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Verzia: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Znížené na jednotnú úroveň

Je potrebné zredukovať trigonometrickú rovnicu na jeden z dvoch typov:

`a sin x+b cos x=0` (rovnaká úroveň prvého kroku) alebo `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (rovnaká úroveň v druhom kroku).

Potom rozdeľte problematické časti na „cos x\ne 0“ – pre prvú fázu a na „cos ^ 2 x\ne 0“ – pre druhú fázu. Vylúčime výpočet `tg x`: `a tg x+b=0` a `a tg^2 x + b tg x +c =0`, keďže je potrebné počítať nasledujúcimi spôsobmi.

zadok. Rozdeľte rovnicu: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1 `.

rozhodnutie. Napíšme pravú časť ako `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=`` sin^2 x+cos^2 x`,

`2 hriech^2 x+sin x cos x - cos^2 x - `` hriech^2 x - cos^2 x=0`

` sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0 `.

Ide o rovnakú trigonometriu, ktorá sa rovná inému stupňu, pričom jeho ľavú a pravú časť vydelíme „cos^2 x \ne 0“ a odpočíta sa:

`\frac(sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x + tg x - 2 = 0`. Zavedieme náhradu `tg x=t`, výsledkom čoho bude `t^2 + t - 2=0`. Koreň tejto rovnice: `t_1=-2` a `t_2=1`. Todi:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Potvrdenie. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Prejazd do polovice

zadok. Nájdite rovnicu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

rozhodnutie. Zhrňme vzorec podrastu ako výsledok: `22 sin (x/2) cos (x/2) - ``2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=``10 sin ^2 x/2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Po stagnácii opisov nadradenej metódy algebry odmietame:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Potvrdenie. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Zavedenie dodatočného kódu

V trigonometrickej rovnici „a sin x + b cos x = c“, kde a, b, c sú koeficienty a x je premenné, deliteľné na „sqrt (a^2+b^2)“:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `frac c(sqrt (a^2 + b^2)).

Koeficienty na ľavej strane sú založené na mocnine sínusu a kosínusu a súčet ich štvorcov sa rovná 1 a ich moduly nie sú väčšie ako 1. Sú významné v nasledujúcom poradí: `\frac a(sqrt (a^2+b^2))=cos\varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b ^2))=C`, potom:

` cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C `.

Pozrime sa na prehľad na strane:

zadok. Rozlúštiť rovnicu: `3 hriechy x+4 cos x=2`.

rozhodnutie. Urážlivé časti žiarlivosti rozdeľujeme na `sqrt (3^2+4^2)`, vylučujeme:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+``\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `frac 2(sqrt ( 3^2+4^2)).

`3/5 hriechu x+4/5 čos x=2/5`.

Výrazne `3/5 = cos\varphi`, `4/5 = hriech\varphi`. Takže keďže ` sin \ varphi > 0 `, ` cos \ varphi > 0 `, potom ako ďalší rez berieme ` \ varphi = arcsin 4/5 `. Potom si zapíšme našu žiarlivosť v tvare:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Keď sme vytvorili vzorec sumi kuti pre sínus, zapíšme si našu horlivosť v tejto forme:

`sin (x+\varphi) = 2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Potvrdenie. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Zlomkové racionálne goniometrické rovnice

Týka sa zlomkov, čísel a znakov, ako sú goniometrické funkcie.

zadok. Panenstvo rovnaké. frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x`.

rozhodnutie. Vynásobme a vydeľme pravú časť rovnosti `(1+cos x)`. V dôsledku toho odmietame:

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Vrahovuychi, pretože znamenie verných buti nemôže byť nula, odmietame `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z `.

Číslo zlomku rovnáme nule: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Buď „sin x=0“ alebo „1-sin x=0“.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Lekári hovoria, že ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, riešenia budú `x=2\pi n, n \in Z` a `x=\pi /2+2\pi n` , `n\v Z`.

Potvrdenie. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometria a trigonometrické rovnice sa bežne používajú vo všetkých oblastiach geometrie, fyziky a inžinierstva. Maturita sa začína v 10. ročníku a budete musieť navštevovať EDI, takže sa snažte zapamätať si všetky vzorce goniometrických rovníc – budete to potrebovať!

Netreba sa ich však učiť naspamäť, ale pochopiť podstatu a vziať na vedomie. Nie je to také zložité, ako to znie. Prepnite sa a pozrite si video.

Spresňuje sa vzťah medzi základnými goniometrickými funkciami - sínus, kosínus, tangens a kotangens trigonometrické vzorce. Medzi goniometrickými funkciami je veľa súvislostí, ktoré vysvetľujú usporiadanie goniometrických vzorcov. Niektoré vzorce spájajú trigonometrické funkcie jedného rezu, iné funkcie viacnásobného rezu, iné umožňujú zmenšiť krok, štvrtý vyjadruje všetky funkcie cez tangens polovičného rezu atď.

Tento článok obsahuje v poradí všetky základné trigonometrické vzorce, ktoré sú dostatočné pre väčšinu problémov s trigonometriou. Pre ľahšie zapamätanie ich zoskupíme s ich významom a zapíšeme do tabuľky.

Navigácia na stránke.

Základné trigonometrické rovnosti

Základné trigonometrické rovnosti nastavte vzťahy medzi sínusom, kosínusom, tangentom a kotangensom jedného kut. Vôňa pochádza z významu sínus, kosínus, tangens a kotangens, ako aj z konceptu jedného kolíka. Umožňujú vyjadriť jednu goniometrickú funkciu cez druhú.

Podrobný popis týchto trigonometrických vzorcov, ich základy a aplikácie nájdete v článku.

Usmerňovacie vzorce

Usmerňovacie vzorce vznikajú mocniny sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu, teda predstavujú mocninu periodicity goniometrických funkcií, mocninu symetrie, ako aj v tomto prípade mocninu zsuvo. Tieto trigonometrické vzorce vám umožňujú prejsť z práce s dostatočnými rezmi na prácu s rezmi medzi nulou a 90 stupňami.

Základ týchto vzorcov, mnemotechnické pravidlo na ich zapamätanie a aplikáciu ich aplikácie možno vyčítať zo štatistík.

Sčítacie vzorce

Trigonometrické skladacie vzorce ukázať, ako sú goniometrické funkcie súčtu a rozdielov dvoch častí vyjadrené prostredníctvom goniometrických funkcií týchto častí. Tieto vzorce sú základom pre odvodenie nižších goniometrických vzorcov.

Vzorce pre dvojité, trojité atď. Kuta

Vzorce pre dvojité, trojité atď. kut (nazývajú sa aj viacnásobné vzorce kut) ukazujú, ako sú goniometrické funkcie podradené, trojité atď. kutiv () sú vyjadrené prostredníctvom goniometrických funkcií jedného kut. Ich symboly vychádzajú zo skladacích vzorcov.

Podrobnejšie informácie sa zbierajú zo vzorca druhého, tretieho a druhého. Kuta.

Vzorce polovičného kuta

Vzorce polovičného kuta ukážte, ako sú goniometrické funkcie polovičného kutu vyjadrené cez kosínus celého kutu. Tieto trigonometrické vzorce vychádzajú zo vzorcov podrastu.

Ich vzory a zadky si môžete pozrieť zo štatistík.

Vzorce nižšej úrovne

Goniometrické vzorce nižšej úrovne Vítame prechod z prirodzených stupňov goniometrických funkcií na sínusy a kosínusy na prvom stupni, prípadne viacstupňoch. Inými slovami, umožňujú znížiť úroveň goniometrických funkcií na prvú úroveň.

Vzorce pre súčet a rozdiely goniometrických funkcií

Hlavný účel vzorce súčet a rozdiely goniometrických funkcií spočíva v prechode k tvorbe funkcií, čo je ešte horšie pri zjednodušovaní goniometrických výrazov. Určené vzorce sú tiež široko používané pre najvyššie trigonometrické rovnice, čo umožňuje vynásobiť súčet a rozdiel sínusov a kosínusov.

Vzorce na vytváranie sínusov, kosínusov a sínus po kosínu

Prechod na tvorbu goniometrických funkcií až do súčtu rozdielu nastáva pomocou doplnkových vzorcov na tvorbu sínusov, kosínusov a sínus po kosínu.

Univerzálna trigonometrická substitúcia

Prehľad základných vzorcov trigonometrie končí vzorcami, ktoré vyjadrujú goniometrické funkcie cez tangens polovičného rezu. Táto náhrada odobrala meno univerzálna trigonometrická substitúcia. Výhodou je, že tieto goniometrické funkcie sú vyjadrené cez dotyčnicu polovičného rezu racionálne bez koreňov.

Zoznam literatúry.

• Algebra: Navch. pre 9. ročník. stred škola/Yu. N. Makarichev, N. G. Mindyuk, K. I. Neškov, S. B. Suvorová; Podľa vyd. S. A. Telyakovsky.- M.: Prosvitnitstvo, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bašmakov M.I. Algebra a analýza: Navch. pre 10-11 ročníkov. stred školy - 3 druhy. - M: Prosvitnitstvo, 1993. - 351 s.: chor. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra a začnite s analýzou: Head. pre 10-11 ročníkov. zagalnosvit. inštalácia / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsin a v; Podľa vyd. A. N. Kolmogorov. - 14 druhov. - M.: Prosvitnitstvo, 2004. - 384 s.: Il. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre študentov predtechnických škôl): Navch. Pos_bnik.- M.; Visch. škola, 1984.-351 s., ill.

Autorské práva chytrých študentov

Všetky práva vyhradené.
Chránené autorským zákonom. Žiadna časť stránky, vrátane interných materiálov a vonkajšieho dizajnu, nemôže byť publikovaná v žiadnej forme alebo modifikovaná bez predchádzajúceho písomného súhlasu zákonného orgánu.

Na tejto stránke nájdete všetky základné trigonometrické vzorce, ktoré vám pomôžu urobiť veľa práce pravou rukou.

Goniometrické vzorce sú matematické rovnice pre goniometrické funkcie, ktoré sa počítajú pre všetky platné hodnoty argumentu.

Vzorce definujú vzťah medzi základnými goniometrickými funkciami – sínus, kosínus, dotyčnica, kotangens.

Sínus kut je súradnica y bodu (ordináta) na jednom čísle. Kosínus kosínus je súradnica x bodu (abscis).

Tangenta a kotangens sú, samozrejme, pomer sínusu ku kosínu a naopak.
`sin\alpha,\cos\alpha`
`tg \\alpha=\frac(sin\\alpha)(cos\\alpha), `` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \n \in Z`
`ctg \\alpha=\frac(cos\\alpha)(hriech\\alfa), `` \alpha\ne\pi+\pi n, \n \in Z`

A dva, o ktorých sme hovorili skôr – sekant, kosekant. Označujú vzťah medzi 1 a kosínusom a sínusom.

`s \\alpha=\frac(1)(cos\\alpha),`` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
` cosec \ \ alpha = \ frac (1) (sin \ \ alpha), `` \ alpha \ ne \ pi + \ pi n, \ n \ v Z `

Z hodnoty goniometrických funkcií vidíte, aké známky smradu sa objavujú na koži. Znamienko funkcie závisí len od toho, v ktorej štvrtine je argument rozšírený.

Pri zmene symbolu argumentu z „+“ na „-“ nemení jeho hodnotu iba funkcia kosínus. Tá sa nazýva parná miestnosť. Tento graf je symetrický podľa zvislej osi.

Ostatné funkcie (sínus, tangens, kotangens) sú nepárové. Keď zmeníte symbol argumentu z „+“ na „-“, ich hodnoty sa tiež zmenia negatívne. Ich grafy sú symetrické k jadru súradníc.

`sin(-\alpha)=-sin \\alpha`
`cos(-\alpha)=cos \\alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \\alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \\alpha`

Základné trigonometrické rovnosti

Základné goniometrické rovnosti - to sú vzorce, ktoré vytvárajú väzby medzi goniometrickými funkciami jednej jednotky (`sin\alpha,\cos\\alpha,\tg\alpha,\ctg\\alpha`) a ktoré umožňujú nájsť hodnoty funkcie kože x prostredníctvom vedomostí kohokoľvek iného.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha, `` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha, `` \alpha\ne\pi n, \n \in Z`

Vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Vzorce zložených a zrejmých argumentov vyjadrujú goniometrické funkcie súčtu alebo rozdielu dvoch častí prostredníctvom goniometrických funkcií týchto častí.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ beta`
` sin ( \ alpha - \ beta ) = `` sin \ \ alpha \ cos \ \ beta - cos \ \ alpha \ sin \ \ beta `
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ alpha\ sin \ beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

Vzorce pre podpník

`sin\2\alpha = 2\sin\\alpha\cos\\alpha = ``frac (2\tg\\alpha) (1 + tg^2\alpha) = \frac (2\ctg\\alpha) (1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=``1-2 \ sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `frac(1-tg^ 2 \alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `frac(ctg \ alpha-tg \ alpha) (ctg \ alpha + tg\alpha).
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=``\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)=``\frac ( \ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

Triple kuta vzorce

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
` cos \ 3 \ alpha = 4 cos ^ 3 \ alpha-3 \ cos \ \ alpha `
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \\alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Vzorce polovičného kuta

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \alpha)(1+cos \alpha))=` `frac (sin \alpha)(1+cos \\alpha)=\frac (1-cos\alfa)(sin\alfa)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=``\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alfa) = frac (1 + cos \ alfa) (sin \ alfa)“.

Vzorce pre polovičné, dvojité a trojité argumenty vyjadrujú funkcie `sin, \cos, \tg, \ctg` týchto argumentov (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha, ... ' ) cez funkcie ci až po argument `\alpha`.

Môžu byť odstránené z prednej skupiny (zložené a viditeľné argumenty). Napríklad podobnosť podrastu sa dá ľahko odstrániť nahradením „beta“ za „alfa“.

Vzorce nižšej úrovne

Vzorce druhých mocnín (kocky a pod.) goniometrických funkcií umožňujú prejsť od 2,3, ... stupňa k goniometrickým funkciám prvého stupňa alebo násobkom (`\alfa, \3\alfa, \...' alebo `2 \alpha, \4 \alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,`` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,`` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alfa-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`

Vzorce pre súčet a rozdiely goniometrických funkcií

Vzorce sú transformáciou súčtu a rozdielu goniometrických funkcií rôznych argumentov na povrchu.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \sin \frac(\alpha-\beta)2`
` cos \ \ alpha + cos \ \ beta = `` 2 \ cos \ frac ( \ alpha + \ beta ) 2 \ cos \ frac ( \ alpha - beta )2 `
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ ) beta)2 \ sin \frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=``\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ beta)`

Tu je potrebné zmeniť pridanie a funkciu jedného argumentu na typ.

` cos \ \ alpha + sin \ \ alpha = \ sqrt (2) \ cos ( \ frac ( \ pi) 4- \ alpha)“
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ alpha+ctg \ \ alpha = 2 \ cosec \ 2 \ alpha; ``tg\\alpha-ctg\\alpha = -2\ctg\2\alpha

Nasledujúce vzorce konvertujú súčet a rozdiel jednotky a goniometrickej funkcie na sčítanie.

`1 + cos\\alpha = 2\cos^2\frac (\alpha)2`
`1-cos \\alpha=2\sin^2\frac(\alpha)2`
`1 + sin\\alpha = 2\cos^2 (\frac (\pi)4-\frac (\alpha)2)`
`1-sin \alpha=2 \sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \\alpha)`
`1 \pm tg\alpha\tg\\beta =\frac (cos (\alpha\mp\beta)) (cos\\alpha\cos\\beta); `` \ ctg \ \ alpha \ ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

Vzorce na transformáciu tvorivých funkcií

Vzorce na prevod goniometrických funkcií s argumentmi '\alpha' a '\beta' na súčet (rozdiel) týchto argumentov.
`sin \ \\alpha \sin \ \beta = `` \frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
` cos \ \ alpha \ cos \ \ beta =` ` \frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg\\alpha\tg\\beta = ``frac (cos (\alpha - \beta) - cos (\alpha + \beta)) ( cos (\alpha - \beta) + cos (\alpha + \beta )) = ``\frac(tg\alpha + tg\beta)(ctg\alpha + ctg\beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `frac(cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta)) (cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta )) = ``frac(ctg\alpha + ctg\beta)(tg\alpha+tg\beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `frac(sin(\alpha - \beta) + sin(\alpha + \beta)) (sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \beta ))“.

Univerzálna trigonometrická substitúcia

Tieto vzorce vyjadrujú goniometrické funkcie prostredníctvom dotyčnice polovičného rezu.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)), `` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos\\alpha =\frac (1 - tg^(2)\frac (\alpha) (2)) (1 + tg^(2)\frac (\alpha) (2)), ``\alpha\ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg\\alpha =\frac (2tg\frac (\alpha) (2)) (1 - tg^(2)\frac (\alpha) (2)), ``\alpha\ne\pi +2\ pi n, n \in Z, `` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)), `` \alpha \ne \pi n, n \in Z, ``\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

Usmerňovacie vzorce

Redukčné vzorce možno získať, vikorystvo a takú silu goniometrických funkcií, ako je periodicita, symetria, sila súčtu dát. Umožňujú zmenu funkcií určitého množstva tepla na funkcie, ktoré sú medzi 0 a 90 stupňami.

Pre kut (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) alebo (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha) = cos \ \alpha; `` hriech (\frac (\pi)2 + \alpha) = cos \ \alpha`
`cos(\frac(\pi)2 - \alpha)=sin \\alpha;``cos(\frac(\pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`
`tg(\frac(\pi)2 - \alpha) = ctg \\alpha;``tg(\frac(\pi)2 + \alpha)=-ctg \\alpha`
`ctg(\frac(\pi)2 - \alpha)=tg \\alpha;``ctg(\frac(\pi)2 + \alpha)=-tg \\alpha`
Pre kut (`\pi \pm \alpha`) alebo (`180^\circ \pm \alpha`):
` hriech (\pi - \alpha) = hriech\\alfa; ``sin(\pi +\alpha) = - sin\\alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \\alpha;``cos(\pi + \alpha)=-cos \\alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha) = -ctg \ \alpha;`` ctg(\pi + \alpha) = ctg \ \alpha`
Pre kut (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) alebo (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac(3\pi)2 - \alpha)=-cos \\alpha;``sin(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-cos\alpha`
`cos(\frac(3\pi)2 - \alpha)=-sin \\alpha;``cos(\frac(3\pi)2 + \alpha)=sin \\alpha`
`tg(\frac(3\pi)2 - \alpha)=ctg \\alpha;``tg(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-ctg \\alpha`
`ctg(\frac(3\pi)2 - \alpha) = tg \\alpha;`` ctg(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-tg \\alpha`
Pre kut (`2\pi \pm \alpha`) alebo (`360^\circ \pm \alpha`):
` sin(2\pi -\alpha) = - sin\\alpha; ``sin(2\pi+\alpha) = hriech\\alfa`
` cos(2\pi -\alfa) = cos\\alfa; ``cos(2\pi+\alpha) = cos\\alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha) = -ctg \ \alpha; ``ctg(2\pi+\alpha) = ctg\\alpha`

Vyjadrenie niektorých goniometrických funkcií prostredníctvom iných

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=``\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alpha) = \frac 1 (ctg\\alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \\alpha)`

Trigonometria sa doslovne prekladá ako „svet trikutánnych ľudí“. Vaughn začína študovať na škole a podrobnejšie bude pokračovať na VNZ. Preto sú potrebné základné vzorce trigonometrie od 10. ročníka, ako aj na absolvovanie EDI. Zápach znamená spojenia medzi funkciami a zatiaľ čo fragmentov týchto spojení je veľa, samotných vzorcov je málo. Nie je ľahké si ich všetky zapamätať, ale nie je to potrebné - možno ich z núdze odstrániť.

Goniometrické vzorce sa používajú pri integrálnom výpočte, ako aj pri goniometrických redukciách, výpočtoch a prepočtoch.