ტრიგონომეტრიული შემოკლების ფორმულები. ტრიგონომეტრიული იდენტობები და ტრანსფორმაცია. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამი და განსხვავება

ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფორმულები - ეს არის ფორმულები, რომლებიც ამყარებენ კავშირებს ძირითად ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის. სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი დაკავშირებულია ერთმანეთთან უპიროვნო ურთიერთობაში. ქვემოთ ჩამოვთვლით ძირითად ტრიგონომეტრიულ ფორმულებს და სიცხადისთვის ვაჯგუფებთ მათ მნიშვნელობების მიხედვით. შემდეგი ფორმულები შეიძლება გამოყენებულ იქნას პრაქტიკულად, როგორც გაკვეთილი სტანდარტული ტრიგონომეტრიის კურსიდან. ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ ქვემოთ ჩამოთვლილი იყოს თავად ფორმულები და არა მათი ფორმულები, რომლებსაც სტატისტიკა მიეკუთვნება.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ტრიგონომეტრიის ძირითადი ასპექტები

ტრიგონომეტრიული ტოლობები უზრუნველყოფს კავშირებს ერთი და იგივე ტერმინის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის, რაც საშუალებას იძლევა განისაზღვროს ერთი ფუნქცია მეორის მეშვეობით.

ტრიგონომეტრიული ტოლობები

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

ეს მსგავსება პირდაპირ გამომდინარეობს ერთი რიცხვის, სინუსის (sin), კოსინუსის (cos), ტანგენტის (tg) და კოტანგენტის (ctg) მნიშვნელობიდან.

სახელმძღვანელო ფორმულები

მოცემული ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ საკმარისად და რამდენი დიდი ჭრით სამუშაოდან 0-დან 90 გრადუსამდე დიაპაზონში.

სახელმძღვანელო ფორმულები

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α, cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α, cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α, cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α, cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α, cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α, cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

ინდუქციური ფორმულები ეფუძნება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პერიოდულობას.

ტრიგონომეტრიული დასაკეცი ფორმულები

ტრიგონომეტრიაში დამატების ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ ნაწილების ჯამის ან სხვაობის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ამ ნაწილების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მეშვეობით.

ტრიგონომეტრიული დასაკეცი ფორმულები

sin α ± β = ცოდვა α · cos β ± cos α · ცოდვა β cos α + β = cos α · cos β - ცოდვა α · sin β cos α - β = cos α · cos β + ცოდვა α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

დამატებითი ფორმულების საფუძველზე მიღებულია მრავალჯერადი კუტის ტრიგონომეტრიული ფორმულები.

მრავალჯერადი კუტას ფორმულები: პოდვინოგო, სამმაგი კუტა და ა.შ.

ფორმულები ქვეორმაგი და სამმაგი კუტისთვის

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α z t g 2 α = с t g 2 α - 1 2 · ზ t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

ნახევარი კუტას ფორმულები

ტრიგონომეტრიის ნახევრად ჭრის ფორმულები მემკვიდრეობით მიიღება ქვემდებარე ჭრის ფორმულებიდან და გამოხატავს ნახევრად ჭრის ძირითად ფუნქციებსა და მთლიანი ჭრის კოსინუსს შორის ურთიერთობას.

ნახევარი კუტას ფორმულები

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

ქვედა დონის ფორმულები

ქვედა დონის ფორმულები

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

ხშირად, როდესაც არის ავარია, ნაყარი ნაბიჯებით მუშაობა რთულია. ქვედა დონის ფორმულები საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის დონე რაც შეიძლება მაღალიდან პირველამდე. მოდით შევხედოთ მის ბოროტ მზერას:

ქვედა საფეხურის ფორმულების უკანა კონვერტის ტიპი

ბიჭებისთვის ნ

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

დაუწყვილებელი ნ

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამი და განსხვავება

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობა და ჯამი შეიძლება მიეცეს შემქმნელს. სინუსებისა და კოსინუსების სხვაობის გამრავლება ადვილად შეიძლება გაერთიანდეს უმაღლეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებებთან და გამარტივებულ გამოსახულებებთან.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამი და განსხვავება

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2

დამატებითი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

ვინაიდან ჯამისა და განსხვავების ფუნქციების ფორმულები საშუალებას იძლევა გადავიდეს საბოლოო ამონახვამდე, მაშინ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შექმნის ფორმულები აკეთებენ დაბრუნების გადასვლას - მიგვიყვანს ამონახსნის ჯამამდე. ჩვენ ვუყურებთ სინუსების, კოსინუსების და სინუსების ფორმულებს.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დამატების ფორმულები

sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება

ყველა ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია - სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი - შეიძლება გამოიხატოს ნახევრად კვეთის ტანგენტის საშუალებით.

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 t g α 2

თუ ტექსტში მონიშნეთ უპირატესობა, გთხოვთ, ნახოთ და დააჭირეთ Ctrl+Enter

თქვენ შეგიძლიათ მოხსენება თქვენი ყველაზე მნიშვნელოვანი ამოცანის შესახებ!

განტოლებას, რომელიც შურს იძიებს უცნობზე ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ (`sin x, cos x, tan x` ან `ctg x`) ეწოდება ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს, მათი ფორმულები შემდგომში იქნება განხილული.

უმარტივესებს უწოდებენ რიცხვს `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, სადაც `x` არის რიცხვი, რომელიც უნდა იცოდეს, `a` არის რიცხვი. მოდით ჩამოვწეროთ კანის ფესვის ფორმულა.

1. Rivnyanya `sin x=a`.

როდესაც `|a|>1` გამოსავალი არ არის.

როცა `|ა| \leq 1` არის ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ფესვების ფორმულა: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Rivnyannya `cos x=a`

როდესაც `|a|>1` - სინუსის შედეგად, აქტიური რიცხვების შუაში ამოხსნა არ არის.

როცა `|ა| \leq 1` გადაწყვეტილება არ არის.

ფესვების ფორმულა: x = p arccos a + 2 pi n, n Z-ში

გრაფებში სინუსებისა და კოსინუსების პირადი ვარიაციები.

3. რივნიანნია `tg x=a`

არ არსებობს გადაწყვეტილება, როგორიც არ უნდა იყოს "ა"-ს მნიშვნელობა.

ფესვების ფორმულა: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Rivnyannya `ctg x=a`

იგივე ეხება `a`-ს ნებისმიერ მნიშვნელობას.

ფესვების ფორმულა: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

ცხრილის ტრიგონომეტრიული განტოლებების ფესვების ფორმულები

სინუსისთვის:
კოსინუსისთვის:
ტანგენტისა და კოტანგენსისთვის:
კარიბჭის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჩასანაცვლებლად განტოლებების ამოხსნის ფორმულები:

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული განტოლების კავშირი შედგება ორი ეტაპისგან:

• დახმარებისთვის გადააკეთეთ იგი უმარტივეს ფორმაში;
• გაეცანით ფესვებისა და ცხრილების უმარტივეს ფორმულებს.

მოდით შევხედოთ კონდახებს შეკვრის ძირითად მეთოდებზე.

ალგებრული მეთოდი.

მთელ ამ მეთოდში აუცილებელია ცვლადის ჩანაცვლება და მისი თანასწორობის ჩანაცვლება.

კონდახი. გაყავით განტოლება: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+frac \pi 6)-3cos(x+frac \pi 6)+1=0`,

მოდით გავაკეთოთ სწრაფი ჩანაცვლება: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, შემდეგ `2y^2-3y+1=0`,

ჩვენ ვიცით ფესვი: `y_1=1, y_2=1/2`, ვარსკვლავები აჩვენებენ ორ ფორმას:

1. ` cos (x + frac \ pi 6) = 1 `, ` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n `, ` x_1 = - \ frac \ pi 6 +2 \ pi n `.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

ვერსია: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-frac \pi 6+2\pi n`.

მრავლობითად იშლება.

კონდახი. ამოიღეთ განტოლება: `sin x+cos x=1`.

გადაწყვეტილება. ტოლობის ყველა პირობა გადატანილია მარცხნივ: `sin x+cos x-1=0`. ვიკორისტოვუჩი, შერიგებადი და მარცხენა ნაწილის მულტიპლიკატორებად დაშლა:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. ` sin x/2 = 0 `, ` x/2 = \ pi n `, ` x_1 = 2 \ pi n `.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=pi/2+ 2pi n`.

ვერსია: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

შემცირდა ერთგვაროვან დონეზე

აუცილებელია ტრიგონომეტრიული განტოლების შემცირება ორ ტიპზე:

`a sin x+b cos x=0` (პირველი საფეხურის იგივე დონე) ან `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (სხვა საფეხურის იგივე დონე).

შემდეგ დაყავით შეურაცხმყოფელი ნაწილები `cos x\ne 0` - პირველი ფაზისთვის და `cos ^ 2 x\ne 0` - მეორესთვის. გამოვრიცხავთ `tg x`-ის გამოთვლას: `a tg x+b=0` და `a tg^2 x + b tg x +c =0`, რადგან ეს აუცილებელია შემდეგი გზებით.

კონდახი. გაყავით განტოლება: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1 `.

გადაწყვეტილება. მოდით ჩავწეროთ მარჯვენა ნაწილი, როგორც `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=`` sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x - `` sin^2 x - cos^2 x=0`

` sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0 `.

ეს არის იგივე ტრიგონომეტრიული ტოლი სხვა საფეხურისა, რომელიც ყოფს მის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს `cos^2 x \ne 0`-ზე და გამოკლებულია:

`\frac(sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x + tg x - 2 = 0`. შემოგვაქვს ჩანაცვლება `tg x=t`, რის შედეგადაც `t^2 + t - 2=0`. ამ განტოლების ფესვი: `t_1=-2` და `t_2=1`. თოდი:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-ში`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Დადასტურება. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \ Z-ში`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-ში`.

გადაკვეთა შუა გზაზე

კონდახი. იპოვეთ განტოლება: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

გადაწყვეტილება. შევაჯამოთ ქვეტყის ფორმულა, შედეგად: `22 sin (x/2) cos (x/2) - ``2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=``10 sin ^2 x/2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

ალგებრის უმაღლესი მეთოდის აღწერილობების სტაგნაციის შემდეგ, ჩვენ უარვყოფთ:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \Z-ში`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \Z-ში`.

Დადასტურება. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \ Z-ში`.

დამატებითი კოდის დანერგვა

ტრიგონომეტრიულ განტოლებაში `a sin x + b cos x = c`, სადაც a, b, c არის კოეფიციენტები და x არის ცვლადი, იყოფა `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `frac c(sqrt (a^2 + ბ^2))`.

მარცხენა მხარეს კოეფიციენტები ეფუძნება სინუსის და კოსინუსის სიმძლავრეს და მათი კვადრატების ჯამი 1-ის ტოლია და მათი მოდულები 1-ზე მეტი არ არის. ისინი მნიშვნელოვანია შემდეგი თანმიმდევრობით: `\frac a(sqrt (a^2+b^2))=cos\varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b ^2))=C`, შემდეგ:

` cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C `.

მოდით შევხედოთ მოხსენებას გვერდით:

კონდახი. ამოხსენი განტოლება: `3 sin x+4 cos x=2`.

გადაწყვეტილება. ეჭვიანობის შეურაცხმყოფელ ნაწილებს ვყოფთ `sqrt (3^2+4^2)`, გამოვრიცხავთ:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+``\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `frac 2(sqrt ( 3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

მნიშვნელოვნად `3/5 = cos\varphi`, `4/5 = sin\varphi`. ასე რომ, რადგან ` sin \ varphi > 0 `, ` cos \ varphi > 0 `, მაშინ დამატებით ჭრილად ვიღებთ ` \ varphi = arcsin 4/5`. მაშინ მოდით ჩამოვწეროთ ჩვენი ეჭვიანობა ამ სახით:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

სინუსისთვის სუმი კუტის ფორმულის დადგენის შემდეგ, მოდით ჩამოვწეროთ ჩვენი გულმოდგინება ამ ფორმით:

`sin (x+\varphi) = 2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Დადასტურება. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

წილადი რაციონალური ტრიგონომეტრიული განტოლებები

აწუხებს წილადებს, რიცხვებსა და ნიშნებს, როგორიცაა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

კონდახი. მხნეობა თანაბარი. ფრაკი (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x`.

გადაწყვეტილება. გავამრავლოთ და გავყოთ ტოლობის მარჯვენა ნაწილი `(1+cos x)`-ზე. შედეგად, ჩვენ უარვყოფთ:

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

ვრაჰოვუიჩი, რადგან ერთგული ბუთის ნიშანი არ შეიძლება იყოს ნული, ჩვენ უარვყოფთ `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z. `.

წილადის რაოდენობას ვატოლებთ ნულს: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. ან `sin x=0` ან `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

ექიმები ამბობენ, რომ `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, გადაწყვეტილებები იქნება `x=2\pi n, n \in Z` და `x=\pi /2+2\pi n`, `n\ Z-ში`.

Დადასტურება. `x=2\pi n`, `n \ Z-ში`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \ Z-ში`.

ტრიგონომეტრია და ტრიგონომეტრიული განტოლებები ჩვეულებრივ გამოიყენება გეომეტრიის, ფიზიკისა და ინჟინერიის ყველა სფეროში. სკოლის დამთავრება იწყება მე-10 კლასში და თქვენ მოგიწევთ EDI-ზე დასწრება, ამიტომ შეეცადეთ დაიმახსოვროთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ყველა ფორმულა - ეს დაგჭირდებათ!

თუმცა არ არის საჭირო მათი დამახსოვრება, არამედ არსის გაგება და შენიშვნა. ეს არ არის ისეთი რთული, როგორც ჟღერს. გადართე და უყურე ვიდეოს.

ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების - სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსისა და კოტანგენსების - ურთიერთობა მითითებულია. ტრიგონომეტრიული ფორმულები. ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის ბევრი კავშირია, რაც ხსნის ტრიგონომეტრიული ფორმულების განლაგებას. ზოგიერთი ფორმულა აკავშირებს ერთი ჭრის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს, მრავალჯერადი ჭრის სხვა ფუნქციებს, სხვები საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ ნაბიჯი, მეოთხე გამოხატოს ყველა ფუნქცია ნახევრად ჭრის ტანგენტის საშუალებით და ა.შ.

ეს სტატია მოიცავს ყველა ძირითად ტრიგონომეტრიულ ფორმულებს, რომლებიც საკმარისია ტრიგონომეტრიის პრობლემების უმეტესობისთვის. დამახსოვრების გასაადვილებლად ვაჯგუფებთ მათ თავიანთი მნიშვნელობებით და შევიყვანთ ცხრილში.

ნავიგაცია გვერდზე.

ძირითადი ტრიგონომეტრიული ტოლობები

ძირითადი ტრიგონომეტრიული ტოლობებიდააყენეთ მიმართებები ერთი კუტის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის. სუნი მოდის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის მნიშვნელობიდან, ისევე როგორც ერთი ფსონის ცნებიდან. ისინი საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია მეორის მეშვეობით.

ამ ტრიგონომეტრიის ფორმულების დეტალური აღწერა, მათი საფუძვლები და აპლიკაციები შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში.

სახელმძღვანელო ფორმულები

სახელმძღვანელო ფორმულებიწარმოიქმნება სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის ძალებისგან, ამიტომ ისინი წარმოადგენენ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პერიოდულობის ძალას, სიმეტრიის ძალას, ასევე ზუვოს ძალას ამ შემთხვევაში. ეს ტრიგონომეტრიული ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ სამუშაოდან საკმარისი ჭრებით სამუშაოზე ნულიდან 90 გრადუსამდე.

ამ ფორმულების საფუძველი, მათი დამახსოვრების მნემონიკური წესი და მათი გამოყენების გამოყენება სტატისტიკიდან შეგიძლიათ წაიკითხოთ.

დამატების ფორმულები

ტრიგონომეტრიული დასაკეცი ფორმულებიაჩვენე, როგორ გამოიხატება ორი ნაწილის ჯამისა და სხვაობის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ამ ნაწილების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მეშვეობით. ეს ფორმულები არის ქვედა ტრიგონომეტრიული ფორმულების წარმოშობის საფუძველი.

ფორმულები ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. ქუთა

ფორმულები ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. kut (მათ ასევე უწოდებენ მრავალ კუტ ფორმულებს) აჩვენებს, თუ როგორ არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები დაქვემდებარებული, სამმაგი და ა.შ. kutiv () გამოიხატება ერთი კუტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებით. მათი სიმბოლოები წარმოიქმნება დასაკეცი ფორმულებიდან.

უფრო დეტალური ინფორმაცია გროვდება მეორე, მესამე და მეორე ფორმულიდან. ქუთა.

ნახევარი კუტას ფორმულები

ნახევარი კუტას ფორმულებიაჩვენე, როგორ არის გამოხატული ნახევარკუტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მთელი კუტის კოსინუსის მეშვეობით. ეს ტრიგონომეტრიული ფორმულები წარმოიქმნება ქვეტყის ფორმულებიდან.

მათი დიზაინი და კონდახი შეგიძლიათ ნახოთ სტატისტიკიდან.

ქვედა დონის ფორმულები

ქვედა დონის ტრიგონომეტრიული ფორმულებიჩვენ მივესალმებით ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ბუნებრივი ეტაპებიდან გადასვლას სინუსებსა და კოსინუსებზე პირველ ეტაპზე ან მრავალ სტადიაზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ისინი აძლევენ საშუალებას ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დონე პირველ დონემდე შემცირდეს.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამისა და განსხვავების ფორმულები

მთავარი მიზანი ფორმულები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამი და განსხვავებებიმდგომარეობს ფუნქციების შექმნაზე გადასვლაში, რაც კიდევ უფრო უარესია ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივებისას. მითითებული ფორმულები ასევე ფართოდ გამოიყენება უმაღლესი ტრიგონომეტრიული განტოლებისთვის, რაც საშუალებას იძლევა გავამრავლოთ სინუსებისა და კოსინუსების ჯამი და განსხვავება.

სინუსების, კოსინუსების და კოსინუსების შექმნის ფორმულები

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შექმნაზე გადასვლა სხვაობის ჯამამდე ხდება დამატებითი ფორმულების გამოყენებით სინუსების, კოსინუსების და სინუსების მიერ კოსინუსების შესაქმნელად.

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება

ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფორმულების მიმოხილვა მთავრდება ფორმულებით, რომლებიც გამოხატავენ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს ნახევრად კვეთის ტანგენტის მეშვეობით. ამ ჩანაცვლებამ სახელი წაართვა უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება. უპირატესობა ის არის, რომ ეს ტრიგონომეტრიული ფუნქციები გამოიხატება ნახევრად ჭრის ტანგენტის საშუალებით რაციონალურად ფესვების გარეშე.

ლიტერატურის სია.

• Ალგებრა:ნავჩ. მე-9 კლასისთვის. შუა სკოლა/იუ. ნ.მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი. ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა; პერ რედ. S. A. Telyakovsky.- M.: Prosvitnitstvo, 1990.- 272 გვ.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• ბაშმაკოვი M.I.ალგებრა და ანალიზი: ნავჩ. 10-11 კლასებისთვის. შუა სკოლა - 3 ტიპი. - M: Prosvitnitstvo, 1993. - 351გვ.: ილ. - ISBN 5-09-004617-4.
• Ალგებრადა დაიწყეთ ანალიზით: უფროსი. 10-11 კლასებისთვის. ზაგალნოსვით. ინსტალაცია / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsin და in; პერ რედ. A.N. კოლმოგოროვი. - 14 ტიპი. - M.: Prosvitnitstvo, 2004. - 384 გვ.: ილ. - ISBN 5-09-013651-3.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სკოლის მოსწავლეებისთვის): ნავჩ. Pos_bnik.- მ. ვიშ. სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.

საავტორო უფლება ჭკვიანი სტუდენტების მიერ

Ყველა უფლება დაცულია.
დაცულია საავტორო უფლებების კანონით. საიტის ნებისმიერი ნაწილი, მათ შორის შიდა მასალები და გარე დიზაინი, არ შეიძლება გამოქვეყნდეს რაიმე ფორმით ან შეცვალოს კანონიერი ორგანოს წინასწარი წერილობითი ნებართვის გარეშე.

ამ გვერდზე ნახავთ ყველა ძირითად ტრიგონომეტრიულ ფორმულას, რომელიც დაგეხმარებათ ბევრი მარჯვენა ხელით მუშაობის შესრულებაში.

ტრიგონომეტრიული ფორმულები არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მათემატიკური განტოლებები, რომლებიც გამოითვლება არგუმენტის ყველა მოქმედი მნიშვნელობისთვის.

ფორმულები განსაზღვრავს ურთიერთობას ძირითად ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის - სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი.

Sine kut არის წერტილის (ორდინატის) y კოორდინატი ერთ რიცხვზე. კოსინუსი არის წერტილის x კოორდინატი (აბსცისი).

ტანგენსი და კოტანგენსი, ცხადია, არის სინუსის შეფარდება კოსინუსთან და პირიქით.
`sin\alpha,\cos\alpha`
`tg \\alpha=\frac(sin\\alpha)(cos\\alpha), `` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \n \in Z`
`ctg \\alpha=\frac(cos\\alpha)(sin\\alpha), `` \alpha\ne\pi+\pi n, \n \in Z`

და ორი, რაც ადრე იყო განხილული - სეკანტი, კოსექსანტი. ისინი მიუთითებენ კავშირი 1-სა და კოსინუსსა და სინუსს შორის.

`sec \\alpha=\frac(1)(cos\\alpha),`` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \Z-ში
` cosec \ \ alpha = \ frac (1) (sin \\ alpha), `` \ alpha \ ne \ pi + \ pi n, \ n \ Z -ში.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობიდან ხედავთ, კანზე სუნის რა ნიშნები ჩნდება. ფუნქციის ნიშანი დამოკიდებულია მხოლოდ იმაზე, თუ რომელი კვარტალია არგუმენტი გაფართოებული.

არგუმენტის სიმბოლოს „+“-დან „-“-ზე შეცვლისას მხოლოდ კოსინუს ფუნქცია არ ცვლის მის მნიშვნელობას. ამას ორთქლის ოთახს უწოდებენ. ეს გრაფიკი სიმეტრიულია ორდინატთა ღერძის გასწვრივ.

სხვა ფუნქციები (სინუსური, ტანგენსი, კოტანგენსი) დაუწყვილებელია. როდესაც თქვენ შეცვლით არგუმენტის სიმბოლოს "+"-დან "-", მათი მნიშვნელობები ასევე იცვლება უარყოფითად. მათი გრაფიკები სიმეტრიულია კოორდინატების ბირთვთან.

`sin(-\alpha)=-sin \\alpha`
`cos(-\alpha)=cos \\alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \\alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \\alpha`

ძირითადი ტრიგონომეტრიული ტოლობები

ძირითადი ტრიგონომეტრიული თანასწორობები - ეს არის ფორმულები, რომლებიც ამყარებენ კავშირს ერთი ერთეულის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის (`sin\alpha,\cos\\alpha,\tg\alpha,\ctg\\alpha`) და რომლებიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მნიშვნელობები. კანის x ფუნქცია სხვისი ცოდნით.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \Z-ში`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha, `` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha, `` \alpha\ne\pi n, \n \in Z`

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის ფორმულები

დაკეცილი და აშკარა არგუმენტების ფორმულები გამოხატავს ჯამის ან ორი ნაწილის სხვაობის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს ამ ნაწილების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მეშვეობით.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \\alpha\ cos \\beta+cos \ \alpha\ sin \ beta`
` sin ( \ alpha - \ beta ) = `` sin \ \ alpha \ cos \\ beta - cos \ \ alpha \ sin \ \ beta `
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \\alpha\ cos \\beta-sin \ \alpha\ sin \\beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \\alpha\ cos \\beta+sin \ alpha\ sin \ beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \\alpha+tg \\beta)(1-tg \\alpha\ tg \\beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \\alpha-tg \\beta)(1+tg \\alpha \ tg \\beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \\alpha \ ctg \\beta-1)(ctg \\beta+ctg \\alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \\alpha\ ctg \\beta+1)(ctg \\beta-ctg \\alpha)`

ფორმულები საძირესთვის

`sin\2\alpha = 2\sin\\alpha\cos\\alpha = ``frac (2\tg\\alpha) (1 + tg^2\alpha) = \frac (2\ctg\\alpha) (1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \\alpha+ctg \\alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=``1-2 \ sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `frac(1-tg^ 2 \alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `frac(ctg \ alpha-tg \ alpha) (ctg \ ალფა + tg\alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \\alpha)(1-tg^2 \alpha)=``\frac(2 \ ctg \\alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \\alpha-tg \\alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \\alpha)=``\frac ( \ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

სამმაგი კუტას ფორმულები

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
` cos \ 3 \ alpha = 4 cos ^ 3 \ alpha-3 \ cos \ \ alpha `
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \\alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \\alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

ნახევარი კუტას ფორმულები

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \\alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \\alpha)2)`
`tg \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \alpha)(1+cos \alpha))=` `frac (sin \ alpha)(1+cos \ \alpha)=\frac (1-cos\alpha)(sin\alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \\alpha)(1-cos \\alpha))=``\frac (sin \\alpha)(1-cos \\ ალფა) = ფრაკი (1 + cos \ alpha) (sin \ alpha)`

ნახევარი, ორმაგი და სამმაგი არგუმენტების ფორმულები გამოხატავს ამ არგუმენტების `sin, \cos, \tg, \ctg` ფუნქციებს (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha, ... ' ) ci ფუნქციების მეშვეობით არგუმენტამდე `\alpha`.

მათი ამოღება შესაძლებელია წინა ჯგუფიდან (დაკეცილი და ხილული არგუმენტები). მაგალითად, ქვეტყის მსგავსება ადვილად მოიხსნება `ბეტას` `ალფა~-ით ჩანაცვლებით.

ქვედა დონის ფორმულები

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების კვადრატების (კუბები და ა.შ.) ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ 2,3, ... სტადიიდან პირველი საფეხურის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე ან ჯერადებზე (`\alpha, \3\alpha, \...'). ან `2 \ალფა, \4 \ალფა, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,`` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \\alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,`` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \\alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \\alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამისა და განსხვავების ფორმულები

ფორმულები წარმოადგენს ზედაპირზე სხვადასხვა არგუმენტების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამისა და განსხვავების ტრანსფორმაციას.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \sin \frac(\alpha-\beta)2`
` cos \ \ alpha + cos \ \ beta = `` 2 \ cos \ frac ( \ alpha + \ ბეტა ) 2 \ cos \ frac ( \ ალფა - ბეტა )2 `
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ ) beta)2 \ sin \frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \\alpha \ cos \\beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \\alpha \ sin \\beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=``\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \\alpha \ sin \ beta)`

აქ თქვენ უნდა შეცვალოთ ერთი არგუმენტის დამატება და ფუნქცია თითო ტიპზე.

` cos \ \ alpha + sin \ \ alpha = \ sqrt (2) \ cos ( \ frac ( \ pi) 4- \ alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ alpha+ctg \ \ alpha = 2 \ cosec \ 2 \ alpha; ``tg\\alpha-ctg\\alpha = -2\ctg\2\alpha

შემდეგი ფორმულები გარდაქმნის ერთეულისა და ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ჯამს და განსხვავებას მიმატებებში.

`1 + cos\\alpha = 2\cos^2\frac (\alpha)2`
`1-cos \\alpha=2\sin^2\frac(\alpha)2`
`1 + sin\\alpha = 2\cos^2 (\frac (\pi)4-\frac (\alpha)2)`
`1-sin \alpha=2 \sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \\alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \\alpha)`
`1 \pm tg\alpha\tg\\beta =\frac (cos (\alpha\mp\beta)) (cos\\alpha\cos\\beta); `` \ ctg \ \ alpha \ ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \\beta)`

შემოქმედებითი ფუნქციების ტრანსფორმაციის ფორმულები

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების კონვერტაციის ფორმულები არგუმენტებით '\alpha' და '\beta' ამ არგუმენტების ჯამში (განსხვავებაში).
`sin \ \alpha \sin \ \beta = `` \frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
` cos \ \ alpha \ cos \ \ ბეტა =` ` \frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg\\alpha\tg\\beta = ``frac (cos (\alpha - \beta) - cos (\alpha + \beta)) ( cos (\alpha - \beta) + cos (\alpha + \beta )) = ``\frac(tg\alpha + tg\beta)(ctg\alpha + ctg\beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `frac(cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta)) (cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta )) = ``frac(ctg\alpha + ctg\beta)(tg\alpha+tg\beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `frac(sin(\alpha - \beta) + sin(\alpha + \beta)) (sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \beta ))`

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება

ეს ფორმულები გამოხატავს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს ნახევრად კვეთის ტანგენტის მეშვეობით.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)), `` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos\\alpha =\frac (1 - tg^(2)\frac (\alpha) (2)) (1 + tg^(2)\frac (\alpha) (2)), ``\alpha\ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg\\alpha =\frac (2tg\frac (\alpha) (2)) (1 - tg^(2)\frac (\alpha) (2)), ``\alpha\ne\pi +2\ pi n, n \in Z, `` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \\alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)), `` \alpha \ne \pi n, n \ Z-ში, ``\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \Z-ში`

სახელმძღვანელო ფორმულები

შემცირების ფორმულები შეიძლება მივიღოთ, vikorystvo და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ისეთი სიმძლავრე, როგორიცაა პერიოდულობა, სიმეტრია, მონაცემთა ჯამის სიმძლავრე. ისინი საშუალებას აძლევს გარკვეული რაოდენობის სითბოს ფუნქციებს შეიცვალოს ფუნქციებზე, რომლებიც 0-დან 90 გრადუსამდეა.

კუტისთვის (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) ან (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha) = cos \ \alpha; `` sin (\frac (\pi)2 + \alpha) = cos \\alpha`
`cos(\frac(\pi)2 - \alpha)=sin \\alpha;``cos(\frac(\pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`
`tg(\frac(\pi)2 - \alpha) = ctg \\alpha;``tg(\frac(\pi)2 + \alpha)=-ctg \\alpha`
`ctg(\frac(\pi)2 - \alpha)=tg \\alpha;``ctg(\frac(\pi)2 + \alpha)=-tg \\alpha`
კუტისთვის (`\pi \pm \alpha`) ან (`180^\circ \pm \alpha`):
` sin (\pi - \alpha) = sin\\alpha; ``sin(\pi +\alpha) = - sin\\alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \\alpha;``cos(\pi + \alpha)=-cos \\alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha) = -ctg \\alpha;`` ctg(\pi + \alpha) = ctg \ \alpha`
კუტისთვის (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) ან (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac(3\pi)2 - \alpha)=-cos \\alpha;``sin(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-cos\alpha`
`cos(\frac(3\pi)2 - \alpha)=-sin \\alpha;``cos(\frac(3\pi)2 + \alpha)=sin \\alpha`
`tg(\frac(3\pi)2 - \alpha)=ctg \\alpha;``tg(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-ctg \\alpha`
`ctg(\frac(3\pi)2 - \alpha) = tg \\alpha;`` ctg(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-tg \\alpha`
კუტისთვის (`2\pi \pm \alpha`) ან (`360^\circ \pm \alpha`):
` sin(2\pi -\alpha) = - sin\\alpha; ``sin(2\pi+\alpha) = sin\\alpha`
` cos(2\pi -\alpha) = cos\\alpha; ``cos(2\pi+\alpha) = cos\\alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \\alpha;`` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha) = -ctg \\alpha; ``ctg(2\pi+\alpha) = ctg\\alpha`

ზოგიერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის გამოხატვა სხვების მეშვეობით

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \\alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))".
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \\alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))".
`tg \ \alpha=\frac (sin \\alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=``\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alpha) = \frac 1 (ctg\\alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \\alpha)=` `frac (cos \\alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \\alpha)`

ტრიგონომეტრია სიტყვასიტყვით ითარგმნება როგორც "სამყარო ადამიანების სამყარო". ვონი იწყებს სწავლას სკოლაში და უფრო დეტალურად გააგრძელებს VNZ-ში. ამიტომ საჭიროა ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფორმულები მე-10 კლასიდან დაწყებული, ასევე EDI-ს შევსებისთვის. სუნი ნიშნავს კავშირებს ფუნქციებს შორის და მიუხედავად იმისა, რომ ამ კავშირების ფრაგმენტები უამრავია, თავად ფორმულები ცოტაა. ყველა მათგანის დამახსოვრება ადვილი არ არის, მაგრამ არ არის აუცილებელი - მათი ამოღება შესაძლებელია აუცილებლობისგან.

ტრიგონომეტრიული ფორმულები გამოიყენება როგორც ინტეგრალური გამოთვლებისას, ასევე ტრიგონომეტრიული შემცირების, გამოთვლების და კონვერტაციის დროს.