Har qanday ikkita kesishgan chiziq uchun tekislik mavjud. To'g'ri chiziqlarni kesib o'tish belgisi. Ellips ta'rifi, kanonik tenglama. Kanonik tenglamani chiqarish. Xususiyatlari

Leksiya: Kesishgan, parallel va kesishgan chiziqlar; to'g'ri chiziqlarning perpendikulyarligi

To'g'ri chiziqlarni kesib o'tish

Agar samolyotda bir nechta to'g'ri chiziqlar mavjud bo'lsa, unda ular ertami-kechmi o'zboshimchalik bilan, yoki to'g'ri burchak ostida kesishadi yoki parallel bo'ladi. Keling, har bir ish bilan shug'ullanaylik.

Kesishishni kamida bitta kesishish nuqtasiga ega bo'lgan chiziqlar deb atash mumkin.

Siz nima uchun kamida bitta to'g'ri chiziq boshqa to'g'ri chiziqni ikki yoki uch marta kesib o'tolmasligini so'rashingiz mumkin. Siz haqsiz! Ammo to'g'ri chiziqlar bir-biriga to'liq mos kelishi mumkin. Bunday holda, cheksiz ko'p umumiy fikrlar bo'ladi.

Parallelizm

Parallel siz hech qachon kesishmaydigan satrlarni nomlashingiz mumkin, hatto abadiylikda ham.

Boshqacha qilib aytganda, parallel bo'lganlar - bu umumiy nuqta yo'q. Iltimos, ushbu ta'rif faqat chiziqlar bitta tekislikda bo'lsa, lekin ular umumiy nuqtalarga ega bo'lmasa, turli tekisliklarda bo'lsa, ular kesishgan deb hisoblanadi.

Hayotda parallel to'g'ri chiziqlarga misollar: monitor ekranining ikkita qarama-qarshi qirralari, daftarlardagi chiziqlar, shuningdek narsalarning to'rtburchaklar, to'rtburchaklar va boshqa shakllarga ega bo'lgan boshqa qismlari.

Bitta to'g'ri chiziq ikkinchisiga parallel ekanligini harf bilan ko'rsatmoqchi bo'lganlarida, ular quyidagi a || b yozuvidan foydalanadilar. Ushbu yozuv a chizig'i b satriga parallel ekanligini aytadi.

Ushbu mavzuni o'rganayotganda yana bitta gapni tushunish muhimdir: tekislikning ushbu to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lmagan nuqtasi orqali bitta parallel to'g'ri chiziq chizish mumkin. Ammo e'tibor bering, yana tuzatish samolyotda. Agar uch o'lchovli bo'shliqni ko'rib chiqsak, u holda siz kesishmaydigan, lekin kesishadigan cheksiz ko'p sonli to'g'ri chiziqlarni chizishingiz mumkin.

Yuqorida tavsiflangan bayonot chaqiriladi parallel aksioma.

Perpendikulyarlik

To'g'ri chiziqlarni faqat agar chaqirish mumkin bo'lsa perpendikulyaragar ular 90 daraja burchak ostida kesishsa.

Fazoda, to'g'ri chiziqning biron bir nuqtasi orqali siz perpendikulyar to'g'ri chiziqlarning cheksiz to'plamini chizishingiz mumkin. Biroq, agar biz samolyot haqida gapiradigan bo'lsak, unda bitta perpendikulyar chiziq to'g'ri chiziqning bir nuqtasi orqali o'tkazilishi mumkin.

To'g'ri chiziqlarni kesib o'tgan. Xavfsiz

Agar ba'zi to'g'ri chiziqlar biron bir nuqtada o'zboshimchalik burchagi bilan kesilsa, ularni chaqirish mumkin aralashtirish.

Har qanday kesish chiziqlari vertikal burchaklarga va qo'shni burchaklarga ega.

Agar ikkita kesishgan to'g'ri chiziqlar bilan hosil qilingan burchaklar bir tomonga o'xshash bo'lsa, ular qo'shni deb nomlanadi:

Qo'shni burchaklar 180 gradusgacha qo'shiladi.

Agar kosmosdagi ikkita chiziq umumiy nuqtaga ega bo'lsa, demak, ular bu ikki chiziq kesishadi. Quyidagi rasmda a va b chiziqlar A nuqtada kesishadi a va c chiziqlar kesishmaydi.

Har qanday ikkita satrda faqat bitta umumiy nuqta bor, yoki umumiy nuqtalar yo'q.

Parallel chiziqlar

Fazodagi ikkita to'g'ri chiziq, agar ular bir tekislikda yotsa va kesishmasa, parallel deyiladi. Parallel chiziqlarni ko'rsatish uchun maxsus belgidan foydalaning - ||.

A || b yozuvi a chizig'i b chiziqqa parallel ekanligini bildiradi. Yuqoridagi rasmda a va c chiziqlar parallel.

Parallel chiziq teoremasi

Fazoning ma'lum bir to'g'ri chiziqqa yotmaydigan har qanday nuqtasi orqali berilganga parallel va yana bittasiga to'g'ri chiziq mavjud.

To'g'ri chiziqlarni kesib o'tdi

Xuddi shu tekislikda yotgan ikkita to'g'ri chiziq kesishishi yoki parallel bo'lishi mumkin. Ammo kosmosda ikkita tekis chiziq bu tekislikka tegishli bo'lishi shart emas. Ular ikki xil tekislikda joylashgan bo'lishi mumkin.

Shubhasiz, turli tekisliklarda joylashgan to'g'ri chiziqlar kesishmaydi va parallel to'g'ri chiziqlar emas. Bir tekislikda yotmaydigan ikkita to'g'ri chiziq deyiladi chiziqlarni kesib o'tish.

Quyidagi rasmda turli tekisliklarda joylashgan ikkita kesishgan a va b to'g'ri chiziqlar ko'rsatilgan.

Kesilgan chiziqli test va teorema

Agar ikkita to'g'ri chiziqdan biri ma'lum bir tekislikda yotsa, ikkinchisi to'g'ri chiziq bu tekislikni birinchi to'g'ri chiziqda yotmagan nuqtada kesib o'tgan bo'lsa, unda bu chiziqlar kesishgan bo'ladi.

Kesilgan chiziqlar teoremasi: ikkita o'tish chizig'ining har biri orqali boshqa chiziqqa parallel bo'lgan tekislik mavjud va bundan tashqari, faqat bitta.

Shunday qilib, biz to'g'ri chiziqlarning kosmosda o'zaro joylashishining barcha mumkin bo'lgan holatlarini ko'rib chiqdik. Ularning atigi uchtasi bor.

1. Chiziqlar kesishgan. (Ya'ni, ularning umumiy jihatlari faqat bitta.)

2. Chiziqlar parallel. (Ya'ni, ularning umumiy nuqtalari yo'q va bir tekislikda yotadi.)

3. To'g'ri chiziqlar kesib o'tiladi. (Ya'ni, ular turli tekisliklarda joylashgan.)

DARSNING MATN KODI:

Siz allaqachon to'g'ri chiziqlarning kosmosda o'zaro joylashishining ikkita holatini bilasiz:

1. kesishgan to‘g‘ri chiziqlar;

2. parallel to'g'ri chiziqlar.

Keling, ularning ta'riflarini eslaylik.

Ta'rif. Fazodagi chiziqlar bir tekislikda yotsa va bitta umumiy nuqtaga ega bo'lsa, ularni kesishish deyiladi

Ta'rif. Fazodagi chiziqlar bir tekislikda yotsa va umumiy nuqtalari bo'lmasa parallel deyiladi.

Ushbu ta'riflar uchun umumiy narsa shundaki, chiziqlar bir tekislikda yotadi.

Bu har doim ham kosmosda mavjud emas. Biz bir nechta tekisliklar bilan ish tutishimiz mumkin va har ikkala to'g'ri chiziq bir tekislikda yotmaydi.

Masalan, ABCDA1B1C1D1 kubining qirralari

AB va A1D1 turli tekisliklarda yotadi.

Ta'rif. Agar bu to'g'ri chiziqlardan o'tadigan tekislik bo'lmasa, ikkita to'g'ri chiziq kesishgan deb nomlanadi. Ta'rifdan ko'rinib turibdiki, bu chiziqlar kesishmaydi va parallel emas.

Kesish chiziqlari mezonini ifodalovchi teoremani isbotlaylik.

Teorema (kesishgan chiziqlar belgisi).

Agar chiziqlardan biri ma'lum bir tekislikda yotsa, ikkinchisi esa ushbu tekislikni ushbu chiziqqa tegishli bo'lmagan nuqtada kesib o'tgan bo'lsa, unda bu chiziqlar kesishgan.

AB chiziq a tekislikda yotadi. CD chiziq AB tekislikka tegishli bo'lmagan a tekislikni C nuqtada kesib o'tadi.

AB va DC chiziqlari kesib o'tganligini isbotlang.

Dalillar

Dalil qarama-qarshilik bilan amalga oshiriladi.

AB va CD bir tekislikda yotadi deylik, uni β bilan belgilaylik.

Keyin β tekislik AB chizig'i va S nuqtasi orqali o'tadi.

Aksiomalarning xulosasiga ko'ra, AB chizig'i va uning ustida yotmagan S nuqta orqali tekislik, va bundan tashqari, faqat bittasini o'tkazish mumkin.

Ammo bizda allaqachon shunday tekislik - a tekisligi mavjud.

Binobarin, b va a tekisliklari bir-biriga to'g'ri keladi.

Ammo bu mumkin emas, chunki CD satri a ni kesib o'tadi, lekin unda yotmaydi.

Biz qarama-qarshilikka duch keldik, shuning uchun bizning taxminimiz noto'g'ri. AB va CD yotadi

turli tekisliklar va kesishmoqda.

Teorema isbotlangan.

Shunday qilib, kosmosda to'g'ri chiziqlarni o'zaro joylashtirishning uchta usuli mavjud:

A) chiziqlar kesishadi, ya'ni ularning bitta umumiy nuqtasi bor.

B) chiziqlar parallel, ya'ni. bir tekislikda yotish va umumiy nuqtalari yo'q.

C) To'g'ri chiziqlar kesib o'tiladi, ya'ni. bir tekislikda yotmang.

Yana bir kesishgan chiziq teoremasini ko'rib chiqing

Teorema. Kesishgan ikkala chiziqning har biri orqali boshqa chiziqqa parallel tekislik o'tadi va bundan tashqari faqat bittasi.

AB va CD - to'g'ri chiziqlarni kesib o'tish

AB tekislik a tekislikda yotadigan va CD chiziq a tekislikka parallel bo'ladigan a tekislik mavjudligini isbotlang.

Dalillar

Keling, bunday samolyot mavjudligini isbotlaylik.

1) AE chizig'ini A nuqtasi orqali CD ga parallel ravishda o'tkazing.

2) AE va AB to'g'ri chiziqlar kesishganligi sababli, ular orqali tekislik o'tkazilishi mumkin. Buni a bilan belgilaylik.

3) CD chiziq AE ga parallel bo'lganligi sababli va AE a tekislikda yotgan bo'lsa, u holda a tekislikning CD line chizig'i (chiziq va tekislikning perpendikulyarligi teoremasi bo'yicha).

A tekisligi kerakli tekislikdir.

A tekisligi shartni bajaradigan yagona ekanligini isbotlaylik.

AB chizig'idan o'tgan har qanday boshqa tekislik AE ni kesib o'tadi va shu sababli unga parallel ravishda CD satrini kesib o'tadi. Ya'ni, AB orqali o'tadigan har qanday boshqa tekislik CD chizig'i bilan kesishadi, shuning uchun u unga parallel emas.

Binobarin, a tekisligi noyobdir. Teorema isbotlangan.

To'g'ri kesib o'tish Katta ensiklopedik lug'at

to'g'ri o'tish - bir tekislikda yotmaydigan kosmosdagi to'g'ri chiziqlar. * * * KIRISh TIZIMI KIRISh LINE, kosmosdagi tekis chiziqlar, bir tekislikda yotmagan ... entsiklopedik lug'at

To'g'ri chiziqlarni kesib o'tgan - bir tekislikda yotmaydigan kosmosdagi to'g'ri chiziqlar. Parallel tekisliklarni S. p orqali chizish mumkin, ularning orasidagi masofa S. p orasidagi masofa deb nomlanadi.Bu S. n nuqtalari orasidagi eng qisqa masofaga teng ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

To'g'ri kesib o'tish - bir tekislikda yotmaydigan kosmosdagi to'g'ri chiziqlar. Elementning S. orasidagi burchakka deyiladi. kosmosning ixtiyoriy nuqtasi orqali o'tuvchi ikkita parallel to'g'ri chiziqlar orasidagi har qanday burchak. Agar a va b S. p yo'nalish vektorlari bo'lsa, u holda S. p orasidagi burchak kosinusi ... Matematika entsiklopediyasi

To'g'ri kesib o'tish - bir tekislikda yotmagan kosmosdagi to'g'ri chiziqlar ... Tabiatshunoslik. entsiklopedik lug'at

Parallel chiziqlar - Mundarija 1 Evklid geometriyasida 1.1 Xususiyatlar 2 Lobachevskiy geometriyasida ... Vikipediya

Ultraparallel to'g'ri - Mundarija 1 Evklid geometriyasida 1.1 Xususiyatlar 2 Lobachevskiy geometriyasida 3 Shuningdek qarang ... Vikipediya

RIEMANNING GEOMETRIYASI - elliptik geometriyalar, evklid bo'lmagan geometriyalardan biri, ya'ni aksiomalarga asoslangan geometrik nazariya, rykhga qo'yiladigan talablar Evklid geometriyasi aksiyomlariga qo'yiladigan talablardan farq qiladi ... Evklid geometriyasidan farqli o'laroq R. g ... ... Matematika entsiklopediyasi

Teorema. Agar bitta to'g'ri chiziq berilgan tekislikda yotsa va boshqa to'g'ri chiziq bu tekislikni birinchi to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lmagan nuqtada kesib o'tgan bo'lsa, unda bu ikkita to'g'ri chiziq kesishadi. Chiziqlarni kesishish mezoni Isbot. To’g’ri chiziq tekislikda yotsin, b chiziq esa tekislikni a chiziqqa kirmaydigan B nuqtada kesadi. Agar a va b to'g'ri chiziqlar bir tekislikda yotgan bo'lsa, u holda B nuqta ham shu tekislikda yotar edi.Yagona tekislik bu to'g'ri chiziq va shu to'g'ri chiziqdan tashqaridagi nuqtadan o'tib ketsa, u holda bu tekislik tekislik bo'lishi kerak. Ammo keyin b chiziq tekislikda yotar edi, bu shartga zid keladi. Binobarin, a va b chiziqlar bir tekislikda yotmaydi, ya'ni. zotli.

Muntazam uchburchak prizmaning qirralarini o'z ichiga olgan necha juft kesishgan to'g'ri chiziqlar mavjud? Biznes: taglikning har bir qirrasi uchun u bilan kesishgan uchta chekka mavjud. Har bir yon qovurg'a uchun u bilan kesishgan ikkita qovurg'a mavjud. Shuning uchun kesishgan chiziqlarning kerakli juftligi 5-mashqga teng

Muntazam olti burchakli prizmaning qirralarini o'z ichiga olgan necha juft kesishgan to'g'ri chiziqlar mavjud? Yechish: Bazaning har bir qirrasi 8 juft kesishgan to'g'ri chiziqlarda qatnashadi. Har bir yon chekka kesishgan 8 juft juft chiziqda qatnashadi. Shuning uchun kerakli kesuvchi juft chiziqlar soni 6-mashqqa teng