ДБОУ ЗОШ №149 м. Санкт-Петербурга

Конспект уроку

Новікова Ольга Миколаївна

2016р.

Тема: "Система показових рівнянь та нерівностей".

Цілі уроку:

освітні:

узагальнити та закріпити знання про способи розв'язання показових рівнянь та нерівностей, що містяться в системах рівнянь та нерівностей

розвиваючі: активізація пізнавальної діяльності; розвиток навичок самоконтролю та самооцінки, самоаналізу своєї діяльності.

виховні: формування умінь працювати самостійно; приймати рішення та робити висновки; виховання спрямованості до самоосвіти та самовдосконалення.

Тип уроку : комбінований.

Вигляд уроку: урок-практикум.

Хід уроку

I. Організаційний момент (1 хвилина)

Формулювання мети класу: Узагальнити та закріпити знання про способи розв'язання показових рівнянь та нерівностей, що містяться в системах рівнянь та нерівностейз урахуванням властивостей показової функції.

ІІ. Усна робота (1 хвилина)

Визначення показового рівняння.
Способи розв'язання показових рівнянь.
Алгоритм розв'язання показових нерівностей.

III . Перевірка домашнього завдання (3 хв)

Учні у своїх місцях. Вчитель проводить перевірку відповідей та опитування способів розв'язання показових рівнянь та нерівностей. №228-231(непарно)

IV. Актуалізація опорних знань. "Мозковий штурм": (3 хв)

Запитання показано надруковані аркуші на партах учнів «Показові функції, рівняння, нерівності» та пропонуються учням для усних відповідей з місця.

1. Яка функція називається показовою?

2. Яка область визначення функції y= 0,5x?

3. Яка область визначення показової функції?

4. Яка область значення функції y= 0,5x?

5. Якими властивостями може мати функція?

6. За якої умови показова функція зростає?

7. За якої умови показова функція є спадною?

8. Зростає чи зменшується показова функція

9. Яке рівняння називається показовим?

Діагностика рівня формування практичних навиків.

10 завдання записати рішення у зошитах. (7 хв)

10. Знаючи властивості зростаючої та спадної показової функції, розв'яжіть нерівності

2 3 < 2 х ;
; 3 х < 81 ; 3 х < 3 4

11 . Розв'яжіть рівняння: 3 x = 1

12 . Обчислити 7,8 0; 9,8 0

13 . Вказати спосіб розв'язання показових рівнянь та розв'язати його:

Після виконання пари змінюються листочками. Оцінюю один одного. Критерії на дошці. Перевірка записів на аркушах у файлі.

Отже, ми повторили властивості показової функції, методи розв'язання показових рівнянь.

Вчитель вибірково бере та оцінює роботи у 2-3 учнів.

Практикум за рішенням систем показових рівнянь та нерівностей: (23 хв)

Розглянемо розв'язання систем показових рівнянь та нерівностей на основі властивостей показової функції.

При розв'язанні систем показових рівнянь і нерівностей, застосовуються самі прийоми, що у розв'язанні систем алгебраїчних рівнянь і нерівностей (метод підстановки, метод складання, метод запровадження нових змінних). У багатьох випадках, перш ніж застосувати той чи інший метод розв'язання, слід перетворити кожне рівняння (нерівність) системи до більш простого вигляду.

приклади.

1.

Рішення:

Відповідь: (-7; 3); (1; -1).

2.

Рішення:

Позначимо 2 х= u, 3 y= v. Тоді система запишеться так:

Вирішимо цю систему способом підстановки:

Рівняння 2 х= -2 рішень немає, т.к. -2<0, а 2 х> 0.

b)

Відповідь: (2;1).

№244(1)

Відповідь: 1,5; 2

Підведення підсумків. Рефлексія. (5 хв)

Підсумок уроку: Сьогодні ми з вами повторили та узагальнили знання методів розв'язання показових рівнянь та нерівностей, що містяться в системах, на основі властивостей показової функції.

Дітям по черзі пропонується взяти з нижче поданих словосполучень вибрати та продовжити фразу.

Рефлексія:

сьогодні я дізнався(ла)...

було тяжко…

я зрозуміла що…

я навчив(ла)ся…

я змогла)…

було цікаво дізнатися, що…

мене здивувало…

мені захотілось…

Домашнє завдання. (2 хв)

№ 240-242 (непарний) с.86

На цьому уроці ми розглянемо розв'язання складніших показових рівнянь, пригадаємо основні теоретичні положення щодо показової функції.

1. Визначення та властивості показової функції, методика вирішення найпростіших показових рівнянь

Нагадаємо визначення та основні властивості показової функції. Саме на властивостях базується розв'язання всіх показових рівнянь та нерівностей.

Показова функція- це функція виду , де основа ступеня і тут х - незалежна змінна, аргумент; у – залежна змінна, функція.

Мал. 1. Графік показової функції

На графіці показані зростаюча та спадна експоненти, що ілюструють показову функцію при підставі більшої одиниці та меншої одиниці, але більшим за нуль відповідно.

Обидві криві проходять через точку (0; 1)

Властивості показової функції:

Область визначення: ;

Область значень: ;

Функція монотонна, при зростає, при зменшується.

Монотонна функція набуває кожного свого значення при єдиному значенні аргументу.

Коли аргумент зростає від мінус до плюс нескінченності, функція зростає від нуля не включно до плюс нескінченності. При навпаки, коли аргумент зростає від мінус до плюс нескінченності, функція зменшується від нескінченності до нуля не включно.

2. Вирішення типових показових рівнянь

Нагадаємо, як вирішувати найпростіші показові рівняння. Їхнє рішення ґрунтується на монотонності показової функції. До таких рівнянь зводяться практично всі складні показові рівняння.

Рівність показників ступеня за рівних підстав зумовлено властивістю показової функції, саме її монотонністю.

Методика розв'язання:

Зрівняти основи ступенів;

Зрівняти показники ступенів.

Перейдемо до розгляду складніших показових рівнянь, наша мета – звести кожне з них до найпростішого.

Звільнимось від кореня в лівій частині і наведемо ступеня до однакової основи:

Для того, щоб звести складне показове рівняння до найпростіших, часто використовується заміна змінних.

Скористаємося властивістю ступеня:

Вводимо заміну. Нехай тоді

Помножимо отримане рівняння на два і перенесемо всі складові в ліву частину:

Перший корінь не задовольняє проміжку значень, відкидаємо його. Отримуємо:

Наведемо ступені до однакового показника:

Вводимо заміну:

Нехай тоді . При такій заміні очевидно, що вона набуває строго позитивних значень. Отримуємо:

Вирішувати подібні квадратні рівняння ми вміємо, випишемо відповідь:

Щоб переконатися в правильності знаходження коренів, можна виконати перевірку за теоремою Вієта, тобто знайти суму коренів та їх добуток та звірити з відповідними коефіцієнтами рівняння.

Отримуємо:

3. Методика вирішення однорідних показових рівнянь другого ступеня

Вивчимо наступний важливий тип показових рівнянь:

Рівняння такого типу називають однорідними другого ступеня щодо функцій f та g. У лівій його частині стоїть квадратний тричлен щодо f з параметром g або квадратний тричлен щодо g з параметром f.

Методика розв'язання:

Це рівняння можна вирішувати як квадратне, але легше вчинити по-іншому. Слід розглянути два випадки:

У першому випадку отримуємо

У другому випадку маємо право розділити на старший ступінь та отримуємо:

Слід ввести заміну змінних , отримаємо квадратне рівняння щодо:

Зауважимо, що функції f і g можуть бути будь-якими, але нас цікавить той випадок, коли це показові функції.

4. Приклади розв'язання однорідних рівнянь

Перенесемо всі складові в ліву частину рівняння:

Оскільки показові функції набувають строго позитивних значень, маємо право відразу ділити рівняння на , не розглядаючи випадок, коли :

Отримуємо:

Вводимо заміну: (згідно з властивостями показової функції)

Отримали квадратне рівняння:

Визначаємо коріння за теоремою Вієта:

Перший корінь не задовольняє проміжку значень у, відкидаємо його, отримуємо:

Скористаємося властивостями ступеня та приведемо всі ступеня до простих підстав:

Неважко помітити функції f і g:

На етапі підготовки до заключного тестування учням старших класів необхідно підтягнути знання на тему «Показові рівняння». Досвід минулих років свідчить про те, що подібні завдання викликають у школярів певні труднощі. Тому старшокласникам, незалежно від рівня їх підготовки, необхідно ретельно засвоїти теорію, запам'ятати формули та зрозуміти принцип розв'язання таких рівнянь. Навчившись справлятися з цим видом завдань, випускники зможуть розраховувати на високі бали під час здачі ЄДІ з математики.

Готуйтеся до екзаменаційного тестування разом із «Шкілковим»!

При повторенні пройдених матеріалів багато учнів стикаються з проблемою пошуку необхідних вирішення рівнянь формул. Шкільний підручник не завжди знаходиться під рукою, а відбір необхідної інформації на тему в Інтернеті займає довгий час.

Освітній портал «Школкове» пропонує учням скористатися нашою базою знань. Ми реалізуємо новий метод підготовки до підсумкового тестування. Займаючись на нашому сайті, ви зможете виявити прогалини у знаннях та приділити увагу саме тим завданням, які викликають найбільші труднощі.

Викладачі «Школково» зібрали, систематизували та виклали весь необхідний для успішної здачі ЄДІ матеріал у максимально простій та доступній формі.

Основні визначення та формули представлені у розділі «Теоретична довідка».

Для кращого засвоєння матеріалу рекомендуємо попрактикуватися у виконанні завдань. Уважно перегляньте наведені на цій сторінці приклади показових рівнянь із рішенням, щоб зрозуміти алгоритм обчислення. Після цього починайте виконання завдань у розділі «Каталоги». Ви можете почати з найлегших завдань або відразу перейти до розв'язання складних показникових рівнянь із кількома невідомими або . База вправ на нашому сайті постійно доповнюється та оновлюється.

Ті приклади з показниками, які викликали у вас складнощі, можна додати до «Вибраного». Так ви можете швидко знайти їх та обговорити рішення з викладачем.

Щоб успішно здати ЄДІ, займайтесь на порталі «Школкове» щодня!

"Нерівності з однією змінною" - У навчанні не можна зупинятися. Вкажіть найбільше число, що належить проміжку. На прикладах вчимося. Розв'язанням нерівності з однією змінною називається значення змінної. Лінійна нерівність. Знайди помилку. Нерівності. Цілі уроку. Вирішити нерівність – значить знайти всі її рішення. Історична довідка.

"Алгоритм розв'язання нерівностей" - Функція. Завдання. Випадок. Безліч рішень. Розв'язання нерівностей. Нерівності. Розв'язання нерівності. Розглянемо дискримінант. Вирішимо нерівність шляхом інтервалів. Найпростіша лінійна нерівність. Алгоритм розв'язання нерівностей. Ось. Тепер вирішимо квадратну нерівність.

«Логарифмічні рівняння та нерівності» - З'ясуйте, чи позитивним чи негативним є число. Ціль уроку. Розв'яжіть рівняння. Властивості логарифмів. Логарифми. Формули переходу до нової основи. Відпрацювання навичок при розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей. Визначення логарифму. Обчисліть. Вкажіть хід розв'язання наступних рівнянь.

«Доказ нерівностей» - застосування методу математичної індукції. Для n = 3 отримаємо. Довести, що для будь-яких n? N Доказ. за теоремою Бернуллі, що й потрібно. Але що явно доводить, що наше припущення неправильне. Метод заснований на властивості невід'ємності квадратного тричлена, якщо і. Нерівність Коші – Буняковського.

«Розв'язання нерівностей методом інтервалів» - Розв'язання нерівностей методом інтервалів. 2. Алгоритм розв'язання нерівності шляхом інтервалів. Даний графік функції: Розв'яжіть нерівність:

«Рішення ірраціональних рівнянь та нерівностей» - Стороннє коріння. Набір завдань. Внесіть множник під кореневий знак. Робота із завданням. Ірраціональні рівняння та нерівності. Актуалізація знань. Ірраціональне рівняння. Визначення. Вибрати ті, які є ірраціональними. Ірраціональні рівняння. При яких значеннях А правильна рівність. Ірраціональні нерівності.

Розділи: Математика

Цілі уроку:

Освітня: навчити вирішувати системи показових рівнянь; закріпити навички розв'язання рівнянь, що входять до цих систем

Виховна: виховати акуратність.

Розвиваюча: розвинути культуру писемного та усного мовлення.

Обладнання:комп'ютер; мультимедійний проектор.

Хід уроку

Організаційний момент

Вчитель. Сьогодні ми продовжимо вивчення розділу “Показова функція”. Тему уроку сформулюємо трохи згодом. Протягом уроку ви заповнюватимете бланки відповідей, які лежать у вас на столах ( див. додаток №1 ). Відповіді підсумовуватимуться.

Актуалізація знань.

Учні відповідають питання:

• Який вигляд має показова функція?

Усна робота. Робота зі слайдів з 1 по 5.

• Яке рівняння називається показовим?
• Які методи вирішення вам відомі?

Усна робота зі слайдів з 6 по 10.

• Яку властивість показової функції використовують під час вирішення показової нерівності?

Усна робота зі слайдів з 11 по 15.

Завдання. Записати відповіді на ці запитання у бланку відповідей №1. ( див. додаток №1 ). (Слайди з 16 по 31)

Перевірка домашнього завдання

.

Домашню роботу перевіряємо в такий спосіб.

Замініть коріння рівнянь на відповідну літеру та відгадайте слово.

Учні дивляться у бланк відповідей №2 ( Додаток 1) . Вчитель демонструє слайд №33

(Учні називають слово (слайд №34)).

• Які явища протікають згідно із законами цієї функції?

Учням пропонується вирішити завдання з ЄДІ В12 (слайд 35) та записати рішення до бланку відповіді №3 ( Додаток 1).

У ході перевірки домашньої роботи та вирішуючи завдання В12, ми повторимо методи вирішення показових зрівнювань.

Учні приходять до висновку, що для вирішення рівняння з двома змінними потрібне ще одне рівняння.

Потім формулюється тема уроку (слайд №37).

У зошитах записується система (слайд №38).

Щоб вирішити цю систему, повторюємо метод підстановки (слайд № 39).

Метод складання повторюється під час рішення системи (слайд з 38 по 39).

Первинне закріплення вивченого матеріалу

:

Учні самостійно вирішують системи рівнянь у бланках відповіді № 4 ( Додаток 1 ), отримуючи індивідуальні консультації вчителя.

Підведення підсумків. Рефлексія.

Продовжуйте фрази.

• Сьогодні на уроці я повторив...
• Сьогодні на уроці я закріпив.
• Сьогодні на уроці я навчився.
• Сьогодні на уроці я дізнався...

Наприкінці уроку учні записують домашнє завдання, здають бланки відповідей

Завдання додому:

№ 59 (парні) та № 62 (парні).

Література

1. Усі завдання групи ЄДІ 3000 завдань - Видавництво "Іспит" Москва, 2011. За редакцією А.Л. Семенова, І.В. Ященко.
2. С.А. Шестаков, П.І. Захаров ЄДІ 2010 математика завдання С1 за редакцією О.Л. Семенова, І.В. Ященко Москва видавництво "МЦНМО".
3. Навчальний посібник Алгебра та початку математичного аналізу, 10 клас Ю.М.Колягін Москва "Просвіта", 2008.